机械工程控制基础系统的稳定性概述
机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
机械工程控制基础 第五章
第五章简介：本章介绍了单输入单输出控制系统稳定性的定义及其判定依据。
对于不同的系统，稳定性的定义不同。
系统的稳定性指标是控制系统设计过程中需要考虑的众多性能指标中最重要的指标,不稳定的系统是无法使用的。
主要包括赫尔维茨判据、劳斯判据、幅角原理、奈奎斯特稳定性判据等概念.重点是赫尔维茨稳定性判据和劳斯稳定性判据及其在系统分析中的应用.难点是应用复变函数的幅角原理推导奈奎斯特稳定性判据和对稳定裕度的理解。
随堂测试：一、知识点名称1：控制系统稳定性的基本概念1。
是保证控制系统正常工作的先决条件。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案：A解析：不稳定的系统是无法使用的。
2。
是控制系统最重要的性能指标。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案:A解析：稳定性是控制系统最重要的性能指标知识点名称2：单输入单输出控制系统稳定的条件1.单输入单输出控制系统稳定的条件为(）A 特征方程根具有副实部B特征方程根具有副实部C极点位于复平面的右半部D极点位于虚轴上正确答案:A解析：单输入单输出控制系统稳定的充分必要条件为特征方程根全部具有副实部2。
某单位反馈系统的开环传递函数为,则该系统稳定的K值范围为（) A.K〉0 B。
K>1 C。
0〈K<10 D K〉-1正确答案:A解析:其特征方程为,根据二阶螺丝准则和朱里准则，该系统稳定条件为;所以的K的取值范围为K〉0知识点名称3：赫尔维茨稳定性判据1。
赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正,是线性系统稳定的条件。
(）A.充分 B 必要C充要 D 即不充分也不必要正确答案:C解析：线性系统稳定的充要条件赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正。
2。
如果满足主子式前提下，若所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正。
（）A BC D正确答案：B解析：如果满足条件,若所有奇次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨矩阵的主子式必为正；反之亦然。
机械工程控制基础5-稳定性
频域分析方法
1
步骤1
将系统的输入信号与幅频特性、相频特性等如增益裕度、相位裕度等，评估系统的稳定性。
3
步骤3
对系统进行频域优化，以提高系统的稳定性和性能。
使用根轨迹法分析系统稳定性
1
步骤1
绘制系统传递函数的根轨迹图。
步骤2
2
根据根轨迹图的特征，判断系统的稳定性和
机械工程控制基础5-稳定 性
控制系统的稳定性是一个关键问题，了解动态稳定性和定态稳定性概念，以 及常用的时域和频域分析方法对于工程师来说至关重要。
控制系统概述
1 定义
控制系统是由多个组件和子系统构成的工程系统，用于管理和控制特定过程或行为。
2 常见类型
常见的控制系统类型包括自动化制造系统、航空航天控制系统、机器人控制系统等。
响应特性。
3
步骤3
通过调整系统参数，改变根轨迹，以改善系 统的稳定性。
动态稳定性概念
1 定义
2 影响因素
3 评估方法
动态稳定性描述了控制系统 在时间响应中是否会产生过 渡、振荡或不稳定等现象。
响应速度、阻尼比和固有频 率等因素会影响动态稳定性。
通过分析控制系统的传递函 数和频率响应等特性，可以 评估系统的动态稳定性。
定态稳定性概念
1 定义
定态稳定性描述了控制系统在稳定状态下的性能和特征。
3 重要性
控制系统的合理设计和管理可以提高效率、安全性和质量，广泛应用于各个领域。
控制系统稳定性问题
1 问题定义
控制系统的稳定性问题涉及系统响应是否会随时间或外部干扰而发散、周期性振荡或逐 渐趋于稳定。
2 影响因素
稳定性问题可受到控制参数、外部干扰、系统非线性等多种因素的影响。
机械工程控制基础课件第5章
n
(s s1 )( s s2 )(s sn ) sn ( si )sn1 ( si s j )sn2 (1)n si
i 1
i j
i 1
i1, j2
11
比较系数，得出根与系数的关系：
an1
an
n
i 1
si ,
an3
an
n
si s j sk ,
i jk
i 1, j 2,k 3
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t )
A1i e si t
A2i e si t B(t )
i 1
i 1
初态引起的 输入引起的自由响
自由响应
应
si:系统的特征根
5
1) 当系统所有的特征根si（i=1,2,…,n)均具有负实部 （位于[s]复平面的左半平面）
ltim
n i 1
A1i e si t
a2>0, a1>0, a0>0 三阶系统（n=3）稳定的充要条件： a3>0, a2>0, a1>0，a0>0, a1a2－a0a3>0
17
【例2】已知=0.2，n=86.6，K取何值时，系统能稳定?
系统开环传递函数：
GK (s)
Xo( s ) E(s)
2 n
(
s
K
)
s2 (s 2 n )
系统闭环传递函数：
对其求导得零行系数。 继续计算Routh表的其余各元。
劳斯表出现零行系统一定不稳定
24
【例5】系统特征方程 D(s)=s5+2s4+24S3+48s2-25s-50=0 试用Routh表判别系统的稳定性。
第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案
Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。
重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。
本章难点Nyquist 判据及其应用。
§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。
（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。
与输入量种类、性质无关。
②系统不稳定必伴有反馈作用。
（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。
将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。
即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。
2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
武科大城市学院
机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
武科大城市学院
机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
武科大城市学院
机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
武科大城市学院
机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
机械控制工程基础-自动控制原理 第五章-系统的稳定性
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)
a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1
a1a2 a0a3 a1
b2
a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。
机械工程控制基础第七章
Kv
lim
s0
sG(s)
lim
s0
s
K(1s 1)( 2s 1)( m s 1)
(T1s 1)(T2s 1)(Tns 1)
0
即： ss2
R Kv
斜坡输入、0型系统的稳态误差： ss2
18
②Ⅰ型系统（N=1）
静态速度误差系数为：
Kv
lim
s0
sG ( s )
lim
s0
s
K (1s 1)( 2s 1)( m s 1)
或者根据误差 s和偏差Es之间的关系：
s
Es H s
ss(t)
lim
s0
s (s)
lim
s0
s
E(s) H(s)
ess
lim s0
1 H(s)
ess H (0)
8
第二节 静态误差系数
一．影响稳态误差的两个因素
ss
(t
)
lim
t
(t
)
lim
s0
s
(s)
lim
s0
s
1
1 G(s)H
(s)
X (s) H(s)
(1)解: 偏差系数
输入信号 稳态误差
7(s 1)
KP
lim
s0
s(s 4)(s2 2s 2)
1
ss
1 1 KP
0
7(s 1)
7
Kv
lim
s0
s
s(s 4)(s2
2s 2)
8
t
ss
1 KV
8 7
Ka
lim
s0
s2
7(s 1) s(s 4)(s2 2s
机械工程控制基础_第六章
18
6s 4 GB ( s ) 4 s 7 s 3 17 s 2 17 s 6
k
r
i
j i s i j i 0 ( 3)
(2)可改写成：
y( t ) Di e e ( E i cos i t Fi sin i t )
si t k r
jt
( 4)
i 1
i 1
由(3)、 (4)可知，若si、δi都是负的，则当t → ∞时， y(t) → 0。这说明控制系统的特征方程式的根是负 实根或共轭复根具有负实部时，系统是稳定的。
系系3
y3(t)
t
系统的稳定性：系统存在干扰，干扰信号为脉 冲信号。 系统1：衰减振荡，系统稳定； 系统2：等幅振荡，系统处于临界状态；
系统3：发散振荡，系统不稳定。
6
小球的稳定性
b
系 系系
系系
系系 系系
系
a
1. 稳定平衡点a ：作用在小球上的有限干扰力消失 以后，小球总能回到a点； 2. 不稳定平衡点b ：只要有干扰力作用于小球，小 球就不会再回到这点； 3. 若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其 过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 具有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。
第六章 控制系统的稳定性分析
控制系统能实际应用的首要条件—系统稳定。 判别系统稳定性的准则—系统的稳定性判据。 劳斯判据:依据闭环系统特征方程式对系统的 稳定性做出判别，是一种代数判据。 奈奎斯特判据 : 依据系统的开环极坐标图与 （−1，0）点之间的位置关系对闭环系统的稳 定性作出判别，是一种几何判据。 波德判据:是奈奎斯特判据的另一种描述法，它 们之间有着相互对应的关系。
机械工程控制基础课件第五节 Bode稳定判据与系统相对稳定性
2
10
g g
2 10
一般来说，相角裕度和幅值裕度概念只适用于 最小相位控制系统(但可含滞后环节)。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
举例 说明
G ( j )
K
j ( jT 1 1 )( jT 2 1 )
Im
Im
Im
Im
-1
0 Re
h(t)
-1 0 Re
h(t)
-1
0 Re
h(t)
-1 h(t)
0 Re
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
▪相角裕度又称相位裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率为 c A(c ) G( jc )H ( jc ) 1 L(c ) 0dB
定义相角裕度为 1800 G jc H jc
相位裕度的物理意义：
对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。
1800 G jc H jc
(g ) G jg H jg 1800
Kg
G
1
jg H jg
00
K
g
1
Im
1 Kg
g
- ＋
1 c
G( j)
（a）稳定系统
00
K
g
1
Im
c
Re g
－
-
Re
1
G( j)
1 Kg
（b）不稳定系统
机械工程控制基础
20lg G( jc )H( jc ) 0dB
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
例6－2例2：：
G(s)
s(
5 s 1)(
s
机械工程控制基础--系统的稳定性概述
57 5
2
33 5
51010 5
10
33
5 2 510 33 5
13834
184 3310 184 33
510
10
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
(3) 劳斯判据特殊情况处理
例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数。
由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性
不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及 性能的问题
频域稳定判据 —
Nyquist 判据 对数稳定判据
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性
可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
机械工程控制基础
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
Ai e it
0
充分性： i 0 i 1, 2, , n
i 1
i 0 i 1, 2, , n
n
t
k(t ) Aieit 0
i 1
系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半s平面。
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
避免直接求解特征根，讨论特征根的分布 D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0 (an 0)
列劳斯表
s5 1 12 35
s4 3 20 25
16
s3 3
80 3
s2 5
25
s1 0
0
s0
312 20 3
16 3
335 3
25
80 3
机械工程控制基础
机械工程控制基础 第五章 系统的稳定性
相对稳定性
根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统 是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳 定。
-1
（a）
（b）
相对稳定性的概念
基于Nyquist判剧，当开环传递函数
在s平面右半部无极点时，其开环频率响应 若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘
。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可
0变化到＋∞时，开环频率特性
正、
负穿越 平面负实轴上（-1，-∞ ）段的次
数差为 ，这里 是开环传递函数极点中处
于s平面右半部的数目。否则，闭环系统不
稳定。
乃氏判剧-形式Ⅱ例子：如图所示的乃氏曲线中 ，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。
解：
所以系统稳定 所以系统不稳定 所以系统不稳定
系统稳定
系统不稳定
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
改变一次
在这两种情况下, 两个大小相等符号相反的实根
表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根,
此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。
下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到 第一种情况, 可用一个任意小的正数ε代替为零的元 素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。
形式Ⅰ
形式Ⅰ
[F(s)]
[GH(s)]
[s]
[GH(s)]
乃氏图负穿越
在乃氏图上，开环频率特性，从上半部
分穿过负实轴的
段到实轴的下半部
分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿
过负实轴的
段到实轴的上半部分
，称为负穿越；起始于（或终止于）
段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；
乃氏图负穿越实例1
现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t
机械工程控制基础5-稳定性
机械工程控制基础5-稳定性简介稳定性是机械工程控制系统中一个非常重要的概念。
在控制系统中，稳定性指的是系统恢复到平衡或稳定状态的能力。
在机械工程中，我们常常需要确保系统在控制下保持稳定，否则系统可能会失控，造成严重的后果。
稳定性的定义稳定性可以用数学的语言来定义。
在控制系统中，我们通常关注系统的输入和输出之间的关系。
如果系统的输入发生变化，但系统的输出最终趋于一个稳定的状态，我们可以说这个系统是稳定的。
稳定性可以分为两种情况：有界稳定和渐近稳定。
•有界稳定：系统的输出在一定范围内保持稳定，不会无限增大或减小。
•渐近稳定：系统的输出随着时间的推移，最终趋于一个固定的值。
稳定性的判断方法判定稳定性的条件稳定性的判断可以通过多种方法进行，包括Routh-Hurwitz稳定性判据、Nyquist稳定性判据、极点位置判据等等。
下面我们将介绍其中一种常用的方法：Routh-Hurwitz稳定性判据。
Routh-Hurwitz稳定性判据Routh-Hurwitz稳定性判据是一种基于系统的特征方程的方法。
给定一个系统的特征方程：$ a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + … + a_1s + a_0 = 0 $其中，a n,a n−1,...,a1,a0是特征方程的系数，s 是复数变量。
根据Routh-Hurwitz稳定性判据，如果一个系统的特征方程满足以下两个条件，那么系统是稳定的：1.所有特征方程的系数都是实数，即所有s的幂次都是实数。
2.所有特征方程的左上角主子式大于零。
例子假设我们有一个系统的特征方程：$ s^3 + 2s^2 + 5s + 6 = 0 $我们可以使用Routh-Hurwitz稳定性判据来判断这个系统是否稳定。
首先，我们需要计算Routh阵：s3s11 52 68 0根据Routh-Hurwitz稳定性判据的第一个条件，所有幂次的系数都是实数，所以这个条件满足。
接下来，我们需要检查Routh阵的左上角主子式是否大于零。
控制工程--系统的稳定性
河南科技大学 机械工程控制基础 第六章系统稳定性主讲人：王程远河南科技大学§6.1 线性系统的稳定性一、稳定性的概念河南科技大学定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身能在有限的时间内、以足够的精度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
河南科技大学扰动时间信号描述单位脉冲时间函数河南科技大学河南科技大学假设系统的传递函数为：河南科技大学由系统稳定性的充要条件可知，该系统是稳定的。
河南科技大学河南科技大学河南科技大学代数稳定判据 — Ruoth-Hurwitz 判据 频域稳定判据 — （几何判据） Nyquist 判据Bode 判据 (对数稳定判据 ) 系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半s 平面。
j ω σ 0稳定区域 不稳定区域[S 平面]§6.2 劳斯 (Routh) 稳定判据特征方程的系数特征方程根的分布（是否全部具有负实部）系统是否稳定？河南科技大学河南科技大学设 线性系统的特征方程为：由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程所有系数均为正数。
若特征方程中任一系数为负或缺项（系数为零），则系统为不稳定系统。
0111=++++--a s a S a s a n n n n 即可确定系统是不稳定的(1) 系统稳定的必要条件河南科技大学河南科技大学河南科技大学机械工程控制基础第六章系统稳定性主讲人：王程远 河南科技大学河南科技大学第六章 系统稳定性第二讲 劳斯判据主讲人：王程远 河南科技大学河南科技大学)(012211=+++++=----a s a sa sa s a s D n n n n nn (2) 系统稳定的充要条件0321ss s ss n n n n---劳斯表642---n n n n a a a a7531----n n n n a a a a 4321b b b b4321c c c c 0a 13211-----n n n n n a a a b 15412-----=n n n n n a a a a a b 763121311b b a a bc n n ---=131512n n --473？17-n 1-n 6-n n 315-n 1-n 4-n n 213-n 1-n 2-n n 1a a a a a a a a a a a a ----=-=-=n n n a b a b a b 111n-1n-3121b n-1n 5132b n-1n-7143b a a b b c a a b b c a a b b c -=-=-=-河南科技大学劳斯稳定性判据：1. 劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定。
武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章系统的稳定性
X o (s) b0sm b1sm1 ... bm1s bm B(s)
X i (s) a0sn a1sn1 ... an1s an A(s)
k
B(s)
r
a0 (s pi ) (s ( j j j ))(s ( j j j ))
i 1
j 1
k
r
x0 (t) cie pit e jt Aj sin(djt j )
Xi(s) ＋ －
K (s 1)
Xo(s)
s3 as2 2s 1
系统产生持续振荡，说明系 统为临界稳定系统，则劳斯 行列式的第一列会出现0元素。
2 K K 1 0 K 1 a(K 2) a
GB (s)
(s
K (s a)( s 2
1) K
2)
s2 K 2 0 s j K 2 j2
稳定
不稳定
线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身 的结构和参数，与输入无关。
以上定义只适用于线性定常系统。
5.1.1 稳定性的定义
稳定性的其他说法 ——
大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消 后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏 差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。
K 2, a 0.75
5.2 Routh (劳斯)稳定判据
课后作业
教材185~186 页： 5.3，5.4 5.7 (选做题)
5. 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征
方程1+G(s)H(s)=0 的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还 能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。
机械工程控制基础
1.机械系统的输入与输出，往往又分别称为“激励”与“响应”。
机械系统的“激励”一般是外界对系统的作用，而“响应”则一般是系统的变形或位移。
一个系统的激励，如果是人为的、有意识地加上去的，往往又称为“控制”，而如果是偶然因素产生而一般无法人为控制的，则称为“扰动”。
2.对机械系统的基本要求：（1)系统的稳定性。
稳定性就是指系统抵抗动态过程振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。
稳定性要求是系统工作的必要条件。
（2）响应的快速性。
快速性是指当系统的输出量与给定的输入量之间产生偏差时，消除这种偏差的快速程度。
（3）响应的准确性。
是指在调整过程结束后输出量与给定的输入量之间偏差程度，这一偏差或称为静态精度。
3.列些微分方程的一般方法：（1）确定系统或各元件的输入量、输出量。
（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程。
（3）消除所列各微分方程中间变量，得到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程。
（4）整理所得微分方程，一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。
4.系统方框图的建立步骤：（1）建立系统的原始微分方程；（2）对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各Laplace变换式中的因果关系，绘出相应的方框图；（3）按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来，系统的输入量置于左端，输出量置于右端，得到系统的传递函数方框图。
5.阻尼、电阻、流阻都是耗能元件；而质量、电感、流感与弹簧、电容、流容都是储能元件。
6.系统的时间响应可从两方面分类，按震动性质可分为自由响应和强迫响应，按振动来源可分为零输入响应（无输入时系统的初态引起的自由响应）和零状态响应）无输入时系统初态为零而仅由输入引起的响应）。
7.当阻尼比ε大于0小于1时，系统称为欠阻尼系统；当阻尼比ε等于0时，系统称为无阻尼系统；当阻尼比ε等于1时，系统称为临界阻尼系统；当阻尼比ε大于1时，系统称为过阻尼系统。
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(1)必要条件 ai 0 i 0, 1, 2, , n 1
说明： D(s) (s 1)(s 2)(s 3) (s2 3s 2)(s 3) s3 6s2 11s 6
(s21)3(ss22))(s s23) 2s
s3 3s2 2s s 2 3s2 s29s 3s6 2
D(s) an(s 1) (s 2 ) (s n )
(s)
A1
A2
L
An
n
Ai
s 1 s 2
s n i1 s i
n
k(t ) A1e it A2e 2t Ane nt Ai e it
n
lim k(t)
t
lim
t
i 1
Ai e it
0
充分性： i 0 i 1, 2, , n
计算劳斯表时,某一行各项全为零。 这表明特征方程具有 对称于原点的根:系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号 相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。
其根的数目总是偶数的
这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零构成的辅助 方程求得
列辅助方程： 5s2 25 0
S=±j5
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
解. 列劳斯表
s5 1 12 35
s4 3 20 25
s3
16 3
80 3
s2 5
25
s1 100
0
s0 25
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
例4 D(Ds)(=s)s5=+ (3ss+4+j51)(2ss-3j+5)20(ss+2+13) 5(s+12+5=j20) (s+1-j2) =0
s0 10
57 5
2
33 5
51010 5
10
33
5 2 510 33 5
13834
184 3310 184 33
510
10
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
(3) 劳斯判据特殊情况处理
例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数。
s3 6s2 11s 6
D(s) s5 6s4 9s3 2s2 8s 12 0 不稳定
例1 D(s) s5 4s4 6s2 9s 8 0
不稳定
D(s) s4 5s3 7s2 2s 10 0 可能稳定
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
(2) 劳斯（Routh）判据
解. 列劳斯表
s3 1 -3
s2 e
2
s1 0
s0 2
3e e
2
2 0
2
某行第一列元素为0， 而该行元素不全为0时:
将此0改为e ，
继续运算。
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
例4 D(Ds)(=s)s5=+ (3ss+4+j51)(2ss-3j+5)20(ss+2+13) 5(s+12+5=j20) (s+1-j2) =0 解. D(s) = s5+3s4+12s3+20s2+35s+25
定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
机械工程控制基础
5.1 系统稳定性的初步概念
2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 lim k(t) 0 ,则系统是稳定的。
t
必要性： (s) M (s) bm (s z1)(s z2 ) (s zm )
i 1
i 0 i 1, 2, , n
n
t
k(t ) Aieit 0
i 1
系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半s平面。
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
避免直接求解特征根，讨论特征根的分布 D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0 (an 0)
s0
a0
劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0
解. 列劳斯表
s4 1 7 10
s3 5 2
s2
33 5
10
s1
118844 3333
列劳斯表
s5 1 12 35
s4 3 20 25
16
s3 3
80 3
s2 5
25
s1 0
0
s0
312 20 3
16 3
335 3
25
80 3
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
例4 DD(s()s=)s=5+(3s+s4j+5)1(s2-sj35+)2(0ss+21+)3(5ss++12+5j=20) (s+1-j2) =0
出现全零行时： 用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次， 用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。
列辅助方程： 5s2 25 0
d 5s2 25 10s 0
ds
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
例4 DD((ss))==s5+(s3+sj45+)(1s2-js53+) 2(s0+s12+) 3(s5+s+1+25j2=)0(s+1-j2) =0
D(s) an sn an1sn1 an2sn2 a1s a0 0
劳斯表
sn
an an2 an4 an6
sn1 an1 an3 an5 an7
s n2 b1 s n3 c1
b2 c2
b3 c3
b4 c4
Байду номын сангаас
bb2c31132abnn11a11annnn37a546b2nn11a11annnn1a1bnn243573
机械工程控制基础
5 系统的稳定性
5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh（劳斯）稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据 5.4 Bode（伯德）稳定判据 5.5 系统的相对稳定性
机械工程控制基础
5.1 系统稳定性的初步概念
1 稳定性的概念
稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系 统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论 的基本任务之一。
例5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0 =(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)
解. 列劳斯表
s5 1
0
s4 2
0
s3 80 00
s2 e0
-2
s1 16 /e 0