最新九年级下册数学第一章测试题
九年级下册数学第一章测试题(北师大版)
九年级下册数学第一章测试题（北师大版）学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。
因此，精品编辑老师为大家整理了九年级下册数学第一章测试题，供大家参考。
填空题(每小题3分，共24分)11.(2021山东东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米.12.(2021陕西中考)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则A的度数约为________.(用科学计算器计算，结果精确到0.1)13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60，那么塔高约为 _________ m.(小兰身高忽略不计， )14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ .15.如图，已知Rt△ 中，斜边上的高，，则 ________.16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 _ .17. (2021江西中考)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD=15 cm，CBD=40，则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 200.342，cos 200.940，sin 400.643，cos 400.766，结果精确到0.1 cm，可用科学计算器).第17题图18.如图，在四边形中，，，，，则 __________.解答题(共66分)19.(8分)计算下列各题：(1) ;(2) .20.(7分)在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点看大树顶端C 的仰角为35(2)在点A和大树之间选择一点B(A，B，D在同一直线上)，测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45(3)量出A，B两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1 m) 21.(7分)每年的5月15日是世界助残日.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡? (参考数据： )22.(8分)如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度.(取 1.732，结果精确到1 m)23.(8分)已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45，沿着坡度为30的斜坡前进400米到D处(即，米)，测得A的仰角为，求山的高度AB.24.(8分)一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少?25.(10分)如图，已知在Rt△ABC中，ACB=90，CD是斜边AB 上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD= ，求BE的值.26.(10分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100( +1)海里，船C在船A的北偏东60方向上，船C在船B 的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上.(1)分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号).(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险?(参考数据： 1.41， 1.73)参考答案填空题11.10 解析：如图，过点A作ACBC,则AC= 8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10(米).12. 27.8 解析：根据正切的定义可知 ,然后使用计算器求出的度数约为27.8.13.43.3 解析：因为，所以所以所以 ).14.15或75 解析：如图， .在图①中，，所以 ;在图②中，，所以 .15. 解析：在Rt△ 中，∵ ， sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ，sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ， .16. 解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .17. 14.1 解析：如图，过点B作BECD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的三线合一性质，得CBE= CBD=20.在Rt△BCE中，cosCBE= ， BE=BCcosCBE150.940=14.1(cm). 第17题答图18. 解析：如图，延长、交于点，三、解答题19.解：(1)(2)20.解：∵ 90 45，则 m，∵ 35，tan tan 35 .整理，得 10.5.故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设，则由题意可知， m.在Rt△AEC中，tanCAE= ，即tan 30= ，，即3x (x+100)，解得x 50+50 .经检验， 50+50 是原方程的解.故该建筑物的高度约为23.解:如图，过点D分别作于点，于点，在Rt△ 中，，米，所以 (米)，(米).在Rt△ADE中，ADE=60，设米，则 (米).在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，在Rt△ACB中，，，即，，米.24.解：由原题左图可知：BEDC， m， .在Rt△BEC中， (m).由勾股定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积=梯形的面积.解得 =80(m).改造后坡面的坡度 .25.分析：(1)根据已知条件得出DCB=CAE，可以在Rt△ACH 中求出sin B的值.(2)通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE 的长，利用BE=BC-CE得到答案.解：(1)∵ CD是斜边AB上的中线，CD=BD, DCB.∵ ACB=90，AECD，DCB=CAE, DCB=CAE.∵ AH=2CH，sin B=sinCAE= = = .(2)∵ CD= ， AB=2 .BC=2 cos B=4，AC=2 sin B=2,CE=ACtanCAE=1,BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：(1)过点C作CEAB于点E，构造直角三角形.设AE=a 海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DFAC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.解：(1)如图，过点C作CEAB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a(海里).在Rt△ACE中，AEC=90EAC=60，AC= = =2a(海里)，CE=AEtan 60= a(海里).在Rt△BCE中，BE=CE，100( +1)-a= a， a=100(海里).AC=2a=200(海里).在△ACD和△ABC中，ACB=180-45-60=75ADC,CAD=BAC，△ACD∽△ABC， = ,即 = .AD=200( -1)(海里).答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.(2)如图，过点D作DFAC于点F.在Rt△ADF中，DAF=60，DF=ADsin 60=200( -1) =100(3- )127100.船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.点拨：(1)解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解;(2)已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.希望为大家提供的九年级下册数学第一章测试题的内容，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注!。
九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版(含答案)
九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版（含答案）一、单选题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（）A．34B．43C．35D．453．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（）米．A．100cos20°B．100cos20°C．100sin20°D．100sin20°4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：√2，坝高BC=4m，则AB的长度为（）A．2√6m B．4√2m C．4√3m D．6m5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（）A ．7sina 米B ．7cosa 米C ．7tana 米D ．7tana米 7．如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△A 的正弦值为（ ）A ．512B ．1213C ．125D ．5138．如图，AB 是△O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos△CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长为（ ）A ．23B ．56C ．1D ．769．如图是大坝的横断面，斜坡AB 的坡度 i 1 =1：2，背水坡CD 的坡度i 2=1：1，若坡面CD 的长度为6√2 米，则斜坡AB 的长度为（ ）A ．4√3B ．6√3C ．6√5D ．2410．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12二、填空题11．若cosα=0.5，则锐角α为 度．12．计算： |√3−2|+(12)−1+2sin60°= . 13．如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A 的位置观测停泊于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向900米处，船C 在点A 南偏东15°方向1200米处，则船B 与船C 之间的距离为 米．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是边CD 上的一动点，EF△BP 交BP 于G ，且EF 平分正方形ABCD 的面积，则线段GC 的最小值是 .三、计算题15．计算： |−5|+sin30∘−(π−1)016．计算： √8−4cos45°+(12)−1+|−2| 17．观察下列等式：①sin30°= 12 ，cos60°= 12； ②sin45°= √22 ，cos45°= √22； ③sin60°= √32 ，cos30°= √32． （1）根据上述规律，计算sin 2α+sin 2（90°﹣α）= ．（2）计算：sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°．18．（1）√18 + |−√2| -（2012﹣π）0-4sin45°（2）解方程：x 2-10x ＋9＝0．四、解答题19．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．21．已知sinα+cosα=1713，且0°＜α＜45°，求sinα的值．22．已知：在Rt△ABC 中，△C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积。
九年级数学下册第一章《二次函数》单元测试题-湘教版(含答案)
九年级数学下册第一章《二次函数》单元测试题-湘教版（含答案）一、单选题1．二次函数y=（x-3）2+1的最小值是（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-12．将二次函数 2(1)y x =- 的图象向左平移1个单位长度， 再向上平移2个单位后， 所得图象 的函数解析式是（ ）A ．2(2)2y x =-+B ．2(2)2y x =--C ．22y x =-D ．22y x =+3．抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（ ） A ．直线 1x =- B ．直线 1x = C ．直线 2x = D ．直线 2x =- 4．已知二次函数 223y x x =-++ ，当x≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y≥3B ．y≤3C ．y ＞3D ．y ＜35．如果抛物线 ()22y a x =+ 开口向下，那么 a 的取值范围为（ ）A ．2a >B ．2a <C ．2a >-D ．2a <-6．二次函数y=x 2-2x+2的图象顶点在第（ ）象限.A ．一B ．二C ．三D ．四7．在下列函数中，其图象与x 轴没有交点的是（ ）A ．y=2xB ．y=﹣3x+1C ．y=x 2D ．y= 1x8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()20A -，和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c->；②241b ac -=；③14a =；④21cb =-．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．函数 2y ax 3ax 1(a 0)=++> 的图象上有三个点分别为 ()1A 3y -， ， ()2B 1y -， ，31C y 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，则 1y ， 2y ， 3y 的大小关系为( ) A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．1y ， 2y ， 3y 的大小不确定10．已知a ，b 是抛物线y ＝（x ﹣c ）（x ﹣c ﹣d ）﹣3与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则|a ﹣c|+|c ﹣b|化简的结果是（ ）A ．b ﹣aB ．a ﹣bC ．a+b ﹣2cD ．2c ﹣a ﹣b二、填空题11．二次函数 ()2223y x =-+- 的对称轴是直线 ．12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 ()m y 与水平距离 ()m x 之间的关系为 ()215312y x =--+ ，由此可知铅球推出的距离是 m ． 13．二次函数()223y mx mx m =+--的图象如图所示，则m 的取值范围是 ．14．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，△ADE=△B=α，DE 交AC 于点E ，且cosα= 45.下列结论： ①△ADE△△ACD ； ②当BD=6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8； ④0<CE≤6.4.其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题15．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=12，BC=24，动点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 以每秒4个单位长度的速度向终点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t （s ）如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．16．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积，17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．18．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。
九年级下册数学第一章综合测试卷
九年级下册数学第一章综合测试卷一、填空题（每小题2分，共48分） 1．sin45°＝＿＿；cot60°=____.2.若sin67°18′=0.9225,则cos22°42′＝＿＿。
3．在△ABC 中，∠C ＝90°，a=3,b=4,则cosA ＝＿＿＿＿。
4．计算：2sin30°＋tan60°－6cot60°＝＿＿＿＿＿＿。
5．如果锐角α满足2cos α=2，那么α＝＿＿＿。
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=0.6,则tanA ＝＿＿＿。
7．在△ABC 中，角A 、B 满足｜tanA －1｜＋20.5cosB －＝0，则△ABC 是 三角形. 8、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝24，BC ＝7，则tanA ＝＿＿；cotA=_____.9.用计算器求cos24°的值，应先按键 ，再依次按键 ， ，可得答案。
10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝4，则AC ＝＿＿；AB ＝＿＿。
11．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A ＝30°，则上弦AB 的长为＿＿＿＿米。
12．菱形的两条对角线长的比是3∶1，那么菱形的相邻两个内角的度数为＿＿.13.如果等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，那么周长为＿＿＿。
14．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ＋b=14,则a b ＝＿＿＿。
15.如图，两建筑物的水平距离是36米，从A 点测得D 角α＝30°,测得C 点的俯角β为45°，AB ＝＿＿米，CD ＝＿＿＿米。
16. 已知：sin α＝0.5，则cos(90°－α)＝＿＿＿＿。
17．等边三角形的边长为2，则它的高等于＿＿＿，面积等于＿＿＿＿＿。
初三数学九下第一章综合水平测试
九年级下学期第一章综合水平测试 4页一、选择题：1. 如图1，在△ABC 中，AC =3，BC =4，AB =5，则tan B 的值是（ ） A 、43 B 、34 C 、53 D 、542. 如图2，将三角板的直角顶点放置在直线A B 上的点O 处，使斜边C D A B ∥．则α∠的正弦值为 ( )．A、2 B 、 1 C 、12 D23. 已知在A B C R t △中，90C ∠=þ，1c o s 2A =，则s i n B的值是（ ） Ａ．12324. 一人乘雪橇沿坡比为1的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 A ．72 m B ．C ．36 mD ．m 5. 计算tan 452sin 452cos 60︒+︒-︒的结果是（ ） A ．2BCD ．14ta n 3B =．A C 上6. 如图3，已知A D 为等腰三角形A B C 底边上的高，且有一点E ，满足:2:3A E E C =．那么，tan A D E ∠是（ ） Ａ．35Ｂ．23Ｃ．12Ｄ．137．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，尺寸如图4.如果把小敏画的三角形的面积记作S △ABC ，小颖画的三角形的面积记作S △DEF ，那么你认为（ ） （A ）S △ABC ＞S △DEF （B ）S △ABC ＜S △DEF （C ）S △ABC = S △DEF （D ）不能确定8．如图5，在□ABCD 中，AB : AD = 3:2，∠ADB=60°， 那么cos Ａ的值等于（ ）6666ＢＣＡ图1ABO0 图2AECD B图3图4ABC F E D130︒50︒545小敏画的三角形小颖画的三角形图5图6（1）（2） AB 9．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ．11.5米 B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米二、填空题12．图6（1）是一张R t △A B C 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图6（2）），那么在R t △A B C 中，sin B ∠的值是 ． 13. 有一个直角梯形零件A B C D ，A D B C ∥，斜腰B C 的长为10cm ，120D ∠=，则该零件另一腰A B 的长是 c m ．（结果不取近似值）14.在R t A B C△中，90C ∠=，且123s i n 30s i n 45s i n 60222===，，3c o s 302=，21c o s 45c o s 6022==，；观察上述等式，请你写出正弦函数值与余弦函数值之间的等量关系式： ，因为A ∠与互余，所以请你写出正弦函数与余函数函数间的一般关系式 ． 15. 已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为1:_________．16.如图7，A B C △中，45A B A C A ==，∠，A C 的垂直平分线分别交A B A C ，于D E ，两点，连接C D ．如果1A D =，那么tan B C D ∠= ．图717．如图8，小红把梯子AB 斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙1.6米，小红上了两节梯子到D 点，此时D 点距墙1.4米，BD 长0.5518．图9，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 （结果保留根号）．AECBD 第18题图图8 图9（第9题图）19．为了方便看电视和有利于彩电在放映中产生热量的散发，将一台54寸的大背投彩电放置在墙角，图10是它的俯视图，已知22D A O =∠，彩电后背110cm A D =，平行于前沿B C ，且与B C 的距离为60cm ，则墙角O 到前沿B C 的距离是 cm （精确到1cm ）．图10三、解答题20.某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如图11所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你求出A B 的长度（用含有a b β，，，字母的式子表示）．并简要说明理由.（1）______A B = （2）______A B = （3）______A B =21. 如图12，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C 处，观察到树顶端A 正好与C 处在同一水平线上，小勇测得树底B 的俯角为60，并发现B 点距墙脚恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，请你帮助小勇算出树的高度A B1.414≈1.732≈）22. 为保卫祖国的海疆,我人民解放军海军在相距20海里的A ，B 两地设立观测站(海岸线是过A ，B 的直线).按国际惯例,海岸线以外12海里范围内均为我国领海,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海.某日，观测员（1）cC图12发现一外国船只行驶至P 处,在A 观测站测得63B A P ∠=,同时在B 观测站测得34A B P ∠=（如图13）.问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告,命令其退出我国领海? （参考数据:932sin 63ta n 632sin 34ta n 341053≈≈≈≈，，，)23. 某风景区内有一古塔A B ，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是30，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子C D ；而在春分日正午光线与地面的夹角是45，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 有15米的距离（B ，E ，C 在一条直线上），如图14，求塔A B 的高度（结果保留根号）． 四、附加题25.高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB ．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC =2.4米，DF =7.2米，求大树AB 的高度． （2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m ，n …表示，角度用希腊字母α，β …表示）；②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．26．如图7所示，A ，B 为两个村庄，AB ，BC ，CD 为公路，BD 为地，AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直.现在要从E 处开始铺设通往村庄A 、村庄B 的一电缆，共有如下两种铺设方案： 方案一：E D A B →→→； 方案二：E C B A →→→.经测量得A B =10B C =千米，6C E =千米，∠BDC ＝45°，∠ABD ＝15°． 已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.⑴求出河宽AD （结果保留根号）；⑵求出公路CD 的长；⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.图14A海图13AB AB 光线村庄E C B。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
【精品】初三九年级数学下册第一章单元测试
第一章单元测试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 计算cos 245°的值为(A) A.12 B ．1 C.14 D.222. 在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值(C) A ．都扩大两倍 B ．都缩小两倍 C ．不变 D ．都扩大四倍3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列结论正确的是(A)A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．tanB ＝a b,第3题图) ,第5题图) ,第7题图) ,第8题图)4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为(A) A.154 B.14 C.1515 D.417175. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长度为(A)A ．2B ．8C ．4 3D ．4 56. 在△ABC 中，∠C ＝90°，1－2sinB ＝0，则cosA 等于(C) A. 3 B.32 C.12 D.32或127. 如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为(C)A ．1∶2.6B ．1∶513 C ．1∶2.4 D ．1∶5128. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA ＝35，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值(B)A.12 B ．2 C.52 D.559. 已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A 的距离为(A)A.5sin α千米 B ．5sin α千米 C.5cos α千米 D ．5cos α千米10. 如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间轮船离灯塔最近(A)A ．1小时 B.3小时 C ．2小时 D ．23小时 二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分) 11. 已知α是锐角，且cos α＝32，则tan(90°－α)＝ 3. 12. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝20，AB ＝202，则∠A ＝45°.13. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sinB ＝35，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，则BC ＝8.,第13题图) ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图)14. 如图，AD ⊥CD ，∠ABD ＝60°，AB ＝4 m ，∠ACB ＝45°，则AC ＝26m. 15. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 中点，FC ＝14BC ，则tan ∠EAF ＝12.16. 如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14 m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则铁塔AB 的高为7(3＋1)m.三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分) 17. 计算： (1)sin30°＋1cos45°； (2)sin 230°＋cos 260°－tan 245°.解：原式＝1＋222 解：原式＝－1218. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A ＝30°，a ＝5；解：∠B ＝60°，b ＝53，c ＝10(2)a ＝85，b ＝815.解：∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝16 519. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝32，AC＝5，sinC＝35，求BC的长．解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AC＝5，sinC＝35，∴AD＝AC·sinC＝3，∴在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝4.∵AB＝32，∴在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝3，∴BC＝BD＋CD＝7四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝3 5 .(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．解：(1)过点B作BH⊥OA于H，∵OB＝5，sin∠BOA＝35，∴BH＝3，OH＝4，∴点B的坐标为(4，3) (2)∵OA＝10，∴AH＝OA－OH＝10－4＝6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO＝BH AH＝36＝1221. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，BD＝2，tanB＝34.(1)求AD和AB的长；(2)求sin∠BAD的值．解：(1)∵D 是BC 的中点，BD ＝2，∴BD ＝DC ＝2，BC ＝4，在Rt △ACB 中，由tanB ＝ACCB ＝34，∴AC 4＝34，∴AC ＝3，由勾股定理得：AD ＝AC 2＋CD 2＝32＋22＝13，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5 (2)过点D 作DE ⊥AB 于E ，∴∠C ＝∠DEB ＝90°，又∠B ＝∠B ，∴△DEB∽△ACB ，∴DE AC ＝DB AB ，∴DE ＝65，在Rt △ADE 中，sin ∠BAD ＝DE AD ＝6513＝6136522. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是边AC 的中点，CE ⊥BD 交AB 于点E.(1)求tan ∠ACE 的值； (2)求AE ∶EB.解：(1)由∠ACB ＝90°，CE ⊥BD ，得∠ACE ＝∠CBD ，在△BCD 中，BC ＝3，CD ＝12AC ＝2，∠BCD ＝90°，得tan ∠CBD ＝23，即tan ∠ACE ＝23(2)过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P ，则在△CAP 中，CA ＝4，∠CAP ＝90°，tan ∠ACP ＝23，得AP ＝4×23＝83，又∠ACB ＝90°，∠CAP ＝90°，得BC ∥AP ，得AE ∶EB ＝AP ∶BC ＝8∶9五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，信号塔PQ 坐落在坡度为i ＝1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ 落在斜坡上的影子QN 长为25米，落在警示牌上的影子MN 长为3米，求信号塔PQ 的高．(结果不取近似值)解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN ＝x，则EQ＝2x，∵QN2＝EN2＋QE2，∴20＝5x2，∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2，EQ＝MF＝4，∵MN＝3，∴FQ＝EM＝1，在Rt△PFM中，PF＝FM·tan60°＝43，∴PQ＝PF＋FQ＝43＋1，即信号塔PQ的高为(43＋1)米24. 如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里为半径的圆内或圆上即可，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝12AD＝6海里，由勾股定理得AC＝122－62＝63≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险25. 如图，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC＝17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE＝10米，过了一会，当α＝45°时，问小狗在FG 这层是否还能晒到太阳？请说明理由(3取1.73)．解：当α＝45°时，小狗仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点M，与FC的交点为点H.当α＝60°时，在Rt△ABE中，∵tan60°＝ABAE＝AB10，∴AB＝10·tan60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)．∵∠BMA＝45°，∴tan45°＝ABAM＝1，此时的影长AM＝AB＝17.3米，∴CM＝AM－AC＝17.3－17＝0.3(米)，∴CH＝CM＝0.3米，∴广告牌的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小狗能晒到太阳。
2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析
2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。
初中九年级数学下册中考复习第一章检测卷(含答案)WORD
8 A. 17
15 B. 17
8 C.15
15 D. 8
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
3．如图，在△ ABC
中，∠ BAC＝ 90°，AD⊥BC
于
D
，AD
＝
3，cosB＝
3，则 5
AC
等于
(
)
A． 4 B．5 C．6 D． 7
4．如图，在
Rt△ ABC
中，∠
C
＝90
°，
sinA＝
4， 5
AC＝
B 三点在同一直线上 )，又测得旗杆顶端 A 的仰角为 45°，请计算旗杆 AB 的高度 (结果保留根 号)．
21． (8 分 )王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知
AC ＝
20cm， BC＝ 18cm，∠ ACB＝ 50°，王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手
第 6 题图
第 7 题图
第 8 题图
8．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AC＝ 8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D ，连接
BD ，若
cos∠
BDC
＝
3，则 5
BC 的长是
(
)
A． 4cm B． 6cm C．8cm D． 10cm
-1-
9．如图，过点 C(－2，5)的直线 AB 分别交坐标轴于 A(0，2)，B 两点，则 tan∠ OAB 的 值为 ( )
A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是
55°，沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置， 此时测得叶片的顶端 D (D，C，H 在同一直线上 )的仰角是 45°.已知叶片的长度为 35 米(塔杆 与叶片连接处的长度忽略不计 ) ，山高 BG 为 10 米，BG⊥ HG，CH ⊥ AH，求塔杆 CH 的高 (参
九年级下册数学第一章单元测试题及参考答案
九年级下册数学第一章单元测试题及参考答案一、选择题(每题3分,共30分)1.顺次连接对角线相等的平行四边形四边中点,所得的四边形必是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形2.到三角形三边距离相等的点是三角形()A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线交点D.不确定3.正方形的对角线长为a,则它的对角线的交点到它的边的距离为()A.22aB.24aC.a2D.22a4.梯形上底长是4,下底长是6,则中位线夹在两条对角线之间的线段长为()A.1B.2C.3D.45.如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在Cprime;处,BCprime;交AD于点E,若,则在不添加任何辅助线的情况下,图中的45deg;角有()A.6个B.5个C.4个D.3个第6题6.如图,□ABCD中,过对角线交点O引EF交BC于点E,交AD于点F,若AB=5cm,AD=7cm,OE=2cm,则四边形ABEF的周长是()A.14B.16cm,C.19cmD.24cm7.如果等腰梯形的两底之差等于它一腰的长,则这个等腰梯形的锐角是()A.60deg;B.30deg;C.45deg;D.15deg;8.顺次连接四边形四边的中点,所得的四边形是菱形,则原四边形一定是()A.平行四边形B.对角线相等的四边形C.矩形D.对角线互相垂直的四边形9.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,则它的最小内角等于()A.10deg;B.20deg;C.30deg;D.60deg;10.下列条件中,能判定四边形是正方形的是()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线相等且垂直D.对角线相等且互相垂直平分二、填空题(每题3分,共30分)11.等腰三角形的一个内角为80deg;,则其它两个角分别是___________.12.在中, ,则a:b:c=___________.13.已知矩形的对角线长为10cm,则它的各边中点的连线所得的四边形的周长为___________cm.14.平行四边形的两邻边长分别是6cm,8cm,夹角为30deg;,则这个平行四边形的面积是__________.15.平行四边形的两邻角之比为1:2,两条高分别为2,3,则其面积为_______.16.菱形的周长为20,且一条对角线长为5,则它的另一条对角线长为______.17.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ang;AOD=60deg;,AB=23,AEperp;BD,垂足为E,那么BD=______,BE=________.18.四边形ABCD中,ang;A=ang;C , ,AB=3,BC=2,则CD=_______.19.梯形的上底长3cm,下底长7cm,则它的一条对角线把它分成的两部分的面积比是_________.20.梯形ABCD中, AB∥CD,中位线FE交AD、AC、BD、BC于点E、G、H、F,若DC=5,AB=11,则EH=________,GH=_________.三、解答题(每题10分,共40分)21.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,ang;C=60deg;,AEperp;BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.⑴求证:四边形AEFD是平行四边形;⑵设AE=x,四边形DEGF的面积为y,求y与x的关系式..22.如图,已知矩形ABCD.⑴在图中作出沿对角线BD所在直线对折后的 ,C点的对应点为Cprime;(用尺规作图,保留清晰的作图痕迹,简要写明作法)⑵设Cprime;B与AD的交点为E,若△EBD的面积是整个矩形面积的13,求ang;CDB的度数.23.如图,在△ABC中,ang;C=2ang;B,D是BC上的一点,且ADperp;AB,E是BD的中点,连接AE.⑴求证:ang;AEC=ang;C;⑵求证:BD=2AC;⑶若AE=6.5,AD=5,那么△ABE的周长是多少?24.如图,△ABC中,AB=AC,ang;A=90deg;,BD平分ang;ABC,CEperp;BD于点E.求证:BD=2CE参考答案一、1.B2.C3.B4.A5.B6.B7.A8.B9.C 10.D二、11.50deg;,50deg;或80deg;,20deg;12.1:3:213.2014.2415.4316.5317.4,318.43319.3:720.5.53三、21.解:⑴略⑵y=S=12EFbull;DG=12×2x×3x=3x2(xgt;0)h22.解:⑵30deg;23.解: ⑶周长为25.24.提示:延长BA,CE交于点F,证△ABD≌△ACF这篇九年级下册数学第一章单元测试题的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。
北师大版初中数学九下第一章综合测试试题试卷含答案
第一章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.若 的余角为°60，则tan 的值是（ ）A .12 B .2 C D .3 2.ABC △在正方形网格中的位置如下图所示，则cos B 的值为（ ）A B C .12D .2 3.在ABC Rt△中，将各边都扩大两倍，则锐角A 的正弦值（ ）A .扩大两倍B .缩小为原来的一半C .不变D .不能确定4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2:，则顶角的度数为（ ） A .60°B .90°C .120°D .150°5.在ABC Rt△中，°90C A B C ，，，所对的边分别为a b c ，，，且°45A a b ，，则c 等于（ ）A .B .4C .D .6.如下图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB ，点A B C D O ，，，，在同一平面内），已知AB a AD b BCO x ，，，则点A 到OC 的距离等于（ ）A .sin sin a x b xB .cos cos a x b xC .sin cos a x b xD .cos sin a x b x7.如下图，某河坝的横断面为四边形ABCD AD BC AB CD ，∥，，坝顶宽10BC 米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i ，则坝底宽AD 的长度为（ ）A .26米B .28米C .30米D .46米8.如下图，在ABC △中，°904ACB AC BC ，，将ABC △折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕.若3AE ，则sin BFD 的值为（ ）A .13B .3C .4D .359.如下图，在ABC Rt△中，°903ACB BC AC AB ，，的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D ，垂足为E ，连接AD ，则sin CAD 的值为（ ）A .14B .4C .13 D .15 10.如下图，在ABC △中，10tan 2AB AC A BE AC ，，于点E ，若点D 是线段BE 上的一个动点，则5CD BD的最小值是（ ）A .B .C .D .10二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.在ABC △中，若21sinA tan 02B，则C 的度数是________.12.如下图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使顶点C 落在C 处，若36AB DE ，，则sin C DE ________.13.如图，已知ABC Rt△中，°90BAC ，斜边BC 上的高4AD ，4cos 5B，则AC ________.14.如下图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知乙楼的高CD 是45m ，则甲楼的高AB 是________m .（结果保留根号）15.如下图，在东西方向的海岸线上有A B ，两个港口，甲货船从A 港出发，沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行，同时乙货船从B 港出发，沿西北方向航行，2h 后两船在点P 处相遇，则乙货船的速度为________.16.在ABC △中，AD 是ABC △的高，若AB ，tan 2B 且2BD CD ，则BC ________. 三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（10分）（1）计算：°2°sin60sin 30cos45tan 60tan 45cos30；（2）已知°°075 ＜＜，且 °sin 152 1014cos 3.14tan 3的值.18.（11分）如下图，ABC △的顶点A C ，的坐标分别是 04，， 30，，且°°9030ACB ABC ，，试求点B 的坐标.19.（12分）如下图，在ABC Rt△中，°90C D ，为BC 上一点，51AB BD ，，3tan 4B.（1）求AD 的长；（2）求sin 的值.20.（12分）如下图，山顶有一塔AB ，塔高33m .计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF .从与E 点相距80m 的C 处测得A B ，的仰角分别为27°，22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度.（参考数据：°°tan220.40tan270.51 ，）21.（13分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如下图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如下图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳篷CD . 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角最大（°77.44ADC ）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角最小（°30.56BDC ）.窗户AB 的高度为2m . 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m .参考数据：°°°°sin30.560.51cos30.560.86tan30.560.59sin77.440.98 ，，，，°°cos77.440.22tan77.44 4.49 ，）22.（14分）如下图1是小红家的阳台上放置的一个晒衣架，下图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB CD ，相交于点O B D ，，两点位于地面.经测量：136cm 51cm 34cm AB CD OA OC OE OF ，，.现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链EF 成一条线段，32cm EF .图1图2（1）求证：AC BD ∥；（2）求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF 的余弦值；（3）小红的连衣裙挂在衣架上的总长度达到122cm ，问挂在晒衣架后是否会拖落在地面？请通过计算说明理由.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】若 的余角为°60，则°30，所以°tan tan 303a .故选D . 2.【答案】B【解析】如下图，连接DE ，易知DE BC ，且点D E ，都在格点上，在BED Rt△中，EB，所以cos 5BD B EB.故选B .3.【答案】C4.【答案】A【解析】因为等腰三角形的底边与底边上的高的比是2，所以底角为°60，所以顶角的度数为°60.故选A . 5.【答案】A【解析】在ABC Rt△中，°°9045C A ，，所以a b.因为a b，所以a b，所以sin 2a c AA . 6.【答案】D【解析】如下图，过点A 作AE OC 于点E ，交BC 于点M AF OB ，于点F .∵四边形ABCD 是矩形，°°9090ABC AEC AMB CME EAB BCO x ∴，∵，，∴.易知四边形AFOE 为矩形，AE FO FBA EAB x ∴∥，∴.cos sin AB a AD b FO FB BO a x b x ∵，，∴.故选D .7.【答案】D【解析】过点B 作BE AD 于点E ，过点C 作CF AD 于点F .由题意得1121.5BE i BE AE，米，所以18AE 米.因为AD BC AB CD ∥，，所以18DF AE 米，10EF BC 米，所以18101846AD AE EF DF （米）.故选D . 8.【答案】A【解析】°°90445ACB AC BC A B ∵，，∴，由折叠可得3AEF DEF DE AE △≌△，，EDF A EDF B ，∴.又CDE EDF B BFD CDE BFD ∵，∴.在CDE Rt△中，11sin sin 3CE CE AC AE CDE BFD DE，∴的值为13.故选A . 9.【答案】A【解析】设 0AD x x ＞，因为DE 是AB 的垂直平分线，所以BD x ，所以3CD x .在ACD Rt△中，由222AC CD AD ，得 2223x x ，解得4x ，所以431CD ，所以1sin 4CD CAD AD .故选A . 10.【答案】B【解析】如下图，过点D 作DH AB 于点H ，过点C 作CM AB 于点M .°90BE AC AEB ∵，∴，tan 2BEA AE∴.设 0AE a a ＞，则2BE a ，根据勾股定理，得221004a a a ，∴，2BE a ∴.同理，可得CM BEsin 555DH AE DBH DH BD CD BD CD DH BD AB∵，∴，∴，又CD DH CM ∵≥，55CD BD CD BD ∴≥的最小值为.故选B .二、11.【答案】90°【解析】由题意，得°°11sin 0tan 0sin tan 306022A B A B A B，∴，，， °°°°180306090C ∴.12.【答案】2【解析】因为36CD AB DE ，，所以12CD DE，易得°30CED ，所以°60CDE ，由折叠可知C DE CDE ，所以°60C DE，所以sin 2C DE . 13.【答案】5【解析】因为°°9090CAD BAD B BAD ，，所以CAD B ，所以4cos cos 5CAD B ，即445AD AC AC ，所以5AC . 14.【答案】【解析】由题意，得°45BDA AB AD ，∴.在ADC Rt△中，°3045CAD CD ，，°tan tan303CD CAD AD∴，即453AD AB AD ，故甲楼的高AB是m . 15.【答案】【解析】过点P 作PC AB 于点C .∵甲货船从A 港出发，沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行，°30428PAC AP ∴，（海里），142PC AP ∴海里.∵乙货船从B 港出发，沿西北方向航行，°°45sin 45PCPBC PB∴，∴海里.∴乙货船的速度为2 （海里/时）. 16.【答案】3或1【解析】因为tan AD B BD，所以设 0AD x ＞，则2BD x .因为222AB AD BD，所以2222x ，解得1x 或1x （舍去），即2BD .又因为2BD CD ，所以1CD .当点D 在线段BC 上时，如下图1，则3BC BD CD ；当点D 在线段BC 的延长线上时，如下图2，则1BC BD CD .图1图2三、17.【答案】（1）2sin 60sin 30cos45tan 60tan 45cos30211211142142.（2）°°075 ∵＜＜，且°sin 15°°°156045 ∴，∴.114cos 3.14tan 3411323 .18.【答案】如下图，过点B 作BG x 轴于点G .435OA OC AC ∵，，∴.°°°9030tan30ACACB ABC BC∵，，∴°°9090BCG ACO ACO CAO ∵，，BCG CAO ∴，34sin cos 55BG CG BCG BCG BC BC∴，，BG CG ∴，∴点B 的坐标是 3 . 19.【答案】（1）在ABC Rt△中，3tan 4AC B BC ， 设 30AC x x ＞，则4BC x ，2222225345AC BC AB AB x x ∵，，∴，解得1x （舍去）或1x ，34AC BC ∴，. 13BD CD ∵，∴，AD ∴.（2）如下图，过点D 作DE AB 于点E ，则°90BED . 在BDE Rt△中，3tan 4DE B BE，设 30DE y y ＞，则4BE y ， 2222221341DE BE BD BD y y ∵，，∴，解得15y （舍去）或15y，3sin 510DE DE a AD∴.20.【答案】如下图，延长AB 交CD 于点H ，则AH CD . 在ACH Rt△中，°tan 27AHACH ACH CH，， °tan27AH CH ∴.在BCH Rt△中，°tan 22BHBCH BCH CH， °tan22BH CH ∴.33AB AH BH AB ∵，，°°tan 27tan2233CH CH ∴，300CH ∴.°tan27153AH CH ∴.在ADH Rt△中，°tan 45AHD D HD，， 153HD AH ∴.3001538050323EF CD CE FD CH HD CE FD ∴. 故隧道EF 的长度约为323m .21.【答案】在BCD Rt△中，°°9030.56tan BCBCD BDC BDC CD，，， °tan tan30.56BC CD BDC CD ∴.在ACD Rt△中，°°9077.44tan ACACD ADC ADC CD，，， °tan tan77.44AC CD ADC CD ∴.2AC BC AB AB ∵，，初中数学 九年级下册 6 / 6 °°tan77.44tan30.562CD CD ∴，4.490.592CD ∴，解得0.5CD .答：遮阳篷CD 的长约为0.5m .22.【答案】（1）OA OC AB CD OB OD ∵，，∴，°°1118018022OAC OCA AOC OBD ODB BOD ∴，， 又AOC BOD OAC OBD AC BD ∵，∴，∴∥.（2）如下图，过点O 作OM EF 于点M .34cm 32cm 16cm OE OF EF EM ∵，，∴，168cos 3417EM OEF OE ∴. （3）小红的连衣裙会拖落在地面.理由如下：如图，过点A 作AH BD 于点H .OE OF OB OD ∵，，°°1118018022OEF OFE BOD OBD ODB BOD ∴，， OEF OBD ∴，即OEM ABH ， 由（2）知88cos cos 1717OEF ABH，∴，即817BH AB ， 8813664cm 1717BH AB ∴，由勾股定理可得 120cm AH . 122120∵＞，∴小红的连衣裙会拖落在地面.。
初三数学下册第一章试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √16B. √-9C. πD. 2/32. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √2C. 3D. 1/23. 下列各数中，整数是（）A. -1.5B. √9C. 0.25D. 2.014. 下列各数中，正数是（）A. -2B. 0C. 1/3D. -1/25. 下列各数中，互为相反数的是（）A. 3 和 -2B. 2 和 -2C. 0 和 1D. -3 和 36. 下列各数中，绝对值最大的是（）A. -5B. -3C. 2D. 17. 下列各数中，能表示为有限小数的是（）A. √8B. 2/3C. 0.123D. √258. 下列各数中，能表示为分数的是（）A. √9B. πC. 0.101D. 2/39. 下列各数中，是实数的是（）A. √-4B. √9C. πD. -√1610. 下列各数中，是复数的是（）A. √-1B. √4C. 0D. 1/2二、填空题（每题3分，共30分）11. -2 的相反数是 _______，绝对值是 _______。
12. 下列各数中，正数是 _______，负数是 _______。
13. 下列各数中，有理数是 _______，无理数是 _______。
14. 下列各数中，整数是 _______，分数是 _______。
15. 下列各数中，正有理数是 _______，负有理数是 _______。
16. 下列各数中，能表示为有限小数的是 _______，能表示为无限循环小数的是_______。
17. 下列各数中，能表示为分数的是 _______，不能表示为分数的是 _______。
18. 下列各数中，实数包括 _______，复数包括 _______。
三、解答题（每题10分，共40分）19. 简化下列各数：（1）-5 + 2 - 3（2）√25 - √4 + √9（3）2/3 - 1/2 + 1/620. 求下列各数的相反数和绝对值：（1）-7（2）√-1（3）0.521. 判断下列各数是否为有理数，若是，请写出其分数形式；若不是，请说明理由：（1）√16（2）√-9（3）π22. 将下列各数转换为分数形式：（1）2.5（2）0.333...（3）-1.414...四、应用题（20分）23. 小明去商店买了一个单价为10元的笔记本，找回了3元零钱。
精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（ ）A B ．1 C D ．22、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（ ）A ．sin a cB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a c B =D ．sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A ．5米B ．C ．D ．6、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，O 为对角线BD 的中点，2OA =，5BC =，3CD =，则tan DCB ∠等于（ ）A ．43B ．34C ．45 D ．357、如图，某建筑物AB 在一个坡度为i ＝1：0.75的山坡BC 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC ＝20米，在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°，在另一坡度为i ＝1：2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，点E 到山脚点D 的距离DE ＝26米，若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 42°≈0.67．cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）A ．36.7米B ．26.3 米C ．15.4米D ．25.6 米8、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④ 9、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（ ）A B ．3 C ．43 D 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线14y k x =+与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ，若2OBC S ∆=，1tan 5BOC ∠=，则2k 的值是（ ）A ．-20B ．20C ．－5D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等腰ABC ，底角是30ABC 的周长是_____________2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠ADE ＝α，cosα＝35，AB ＝4，AD 长为_____．3、cos30°的相反数是 _____．4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ，在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD 的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）2、如图，等腰Rt△ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD=．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE ≌△RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）4、如图, 在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===， 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上，沿着直线 DE 翻折 ADE ，点 A 落在 BC 边上，记为点 F ，如果 1CF =，则 BE =_______．5、计算：（1）22390x x +-=；（21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可．【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．3、C【分析】先根据AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP⊥PC，∴∠PCA+∠A=90°，∵∠A=46°，∴∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，tan∠PCA=APCP，PC=50米，∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米．故选C．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45︒=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度．【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2．∴设BC=x，则AC=2x．∵AB=10，BC2+ AC2=AB2，∴x2+ (2x)2=102，解得：x=．故选：B．【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化．6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°，由正切定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∵O 为对角线BD 的中点，OA =2，∴BD =2OA =4，∵BC =5，CD =3，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°，∴tan∠DCB =BD CD =43， 故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．7、D【分析】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i ＝1：0.75，BC ＝20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i ＝1：2.4，DE ＝26可得DF =24,EF =10，分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6．【详解】如图所示，过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ，标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC ＝20，坡度为i ＝1：0.75，∴222BG GC BC +=， ∴2223()4BG BG BC +=， ∴222916BG BG BC +=， ∴22252016BG =， ∴22540016BG =， ∴21640025BG =⨯， ∴2256BG =，∴16BG =， ∴3124CG BG ==． 在BGC 中DE ＝26，坡度为 i ＝1：2.4，∴222DF EF DE +=， ∴22212()5EF EF DE +=， ∴22214425EF EF DE +=， ∴221692625EF =， ∴225676169EF =⨯，∴2100EF =，∴10EF =， ∴12245DF EF ==， ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒，在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24，代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②， 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=，∴AB =25.6．故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则1122AH AD BC==，即12AHAB=，再根据平行线分线段成比例定理得：12HGBG=即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC，计算FG=23x即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC，根据①中得：13AGAC=即可判断；④根据11,22HG AGBG CG==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=12AB，∴1122AH AD BC==，即12AHAB=∵AH//BC，∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=，故①正确；②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x，CF=2x，则BC，∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC，∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==，故③正确；④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．9、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论．【详解】解：∵直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，4），∴OC=4，过B作BD⊥y轴于D，∵S △OBC =2， ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=， ∴BD =1，∵tan∠BOC =15， ∴15BD OD =， ∴OD =5，∴点B 的坐标为（1，5）， ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B ， ∴k 2=1×5=5．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．二、填空题140 【分析】设腰长为x ，则等腰三角形的高为2x ，三角形的面积为122x ⨯=x 的值，进而求出周长2x +的值．【详解】解：设等腰三角形的腰长为x ，高为sin 302x x ︒=，底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形．解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来． 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE =∠DCE =α，求出AC 的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC =∠AED =90°，∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα＝35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为：163．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【详解】所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．41##【分析】在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．设AC =1，求出CD ，可得结论．【详解】解：如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D ．∵∠ABC =45°，∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5°，设AC =1，则BC =1，AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====．1．【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线， 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =，则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：1336【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键． 三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m ．【分析】如图所示，过点A 作AE ⊥CD 于E ，先证明AE =CE ，然后证明四边形ABDE 是矩形，则AE =BD =30m ，CE =AE =30m ，tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，∴∠AEC=∠AED=90°，∵∠CAE=45°，∴∠C=45°，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠BDE=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE=BD=30m，∴CE=AE=30m，tan=30tan26.615m∠，=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为45m．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【分析】（1）根据题意作出图形连接,DR RF ；（2）根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠，证明BRD 是等腰直角三角，可得BD DR =，根据旋转的性质可得ED DR =，进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ；（3）当24PB AB ==时，设DE a =，则CD =，分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】（1）如图，（2）DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF；（2）如图，当24==时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形，2∴=BCDC==，则CD，设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==，FR BR aABC是等腰直角三角形，∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形，BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，正切的定义，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒， ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+=速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ，设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ，即BE 的值【详解】解：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中，90,3C AC BC ∠===，AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =，则AE x =，EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，EA EF ∴=x在Rt EFG 中，222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键．5、（1）123,32x x ==-；（2）1 【分析】（1）用公式法求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可．【详解】（1）∵2a =，3b =，9c =-24972810b ac -=+=>，∴x ==∴123,32x x ==-．（2）原式621=-01=+1=． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是关键．。
北师大版数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. sin45°的值等于（ ） A.3 B.12C. 32D. 222. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，那么cosA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1253. 已知一斜坡的坡度i=1:3，用科学计算器求坡角的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）A. =3÷1tanB. °′′′=3÷1tanC. SHIFT ）（=3÷1tanD. SHIFT）（°′′′=3÷1tan4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m ，则AB 的长为（ ） A.cos mB ．m·cos αC ．m·sin αD ．m·tan α5．如果△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12，那么下列等式不正确的是（ ） A ．cos A ＝22B ．tan A ＝33 C ．sin B ＝32D ．tan B ＝36. 如图，点A 为∠B 边上的任意一点，过点A 作AC ⊥BC 于点C ，过点C 作CD ⊥AB 于点D.下列选项用线段比表示sin ∠BCD 的值，其中错误的是（ ） A ．BDBCB ．BCABC ．ADACD ．CDAC第6题图 第7题图 第8题图7．河堤横断面如图所示，AB ＝10米，tan ∠BAC ＝33，则AC 的长是（ ） A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米8. 如图，在每个小正方形边长均为1的方格图中，点A，C，M，N均在格点上，AN与CM 相交于点P，则tan∠CPN的值为（）A. 3B. 1C.33D.229. 如图，钓鱼竿AC长为6 m，露在水面上的鱼线BC长为32m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是（）A．3 m B．33m C．23m D．4 m第9题图第10题图10. 如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物CD的高度.他们从点A出发沿着坡度i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°，建筑物底端D的俯角β=30°.若AD为水平地面，则此建筑物的高度约为（参考数据：3≈1.7，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75）（）A．20.2米B．22.75米C．23.6米D．30米二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若2cosα=1，则锐角α的度数为.12. 已知α为锐角，tanα=34，则sinα等于.13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝23，tan∠BCD＝22，则BC＝．第13题图第14题图14. 如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°，则AB的长为.15. 在一次综合实践活动中，小东同学从A地出发，要到A地北偏东60°方向的C地.如图，他先沿正东方向行走了2千米到达B地，再沿北偏东15°方向行走，恰能到达目的地C，则A，C两地相距千米.（结果保留根号）第15题图第16题图16. 如图，要在宽为22米的公路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为米.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（8分）已知α为锐角，sin（α+15°）＝32，计算8﹣4cosα+tanα+（13）﹣1的值．18.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，请根据下面的条件解直角三角形的其他元素：（1）∠A＝45°，a＝10；（2）a＝23，c＝4．19.（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD.若tan∠DAE=15，求△ADE的三边长.EDCBA第19题图20.（8分）如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A，B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里.甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行.上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向，求此时两船之间的距离.（结果精确到1海里；参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45)≈第20题图21.（8分）如图，某居民小区广场上树立着一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，现施工人员要在两侧增加钢丝绳来加固灯牌.已知钢丝绳底端G距灯牌立柱FD的距离GD=4米，从G点测得灯牌顶端F和底端E的仰角分别是60°和45°.（1）若AF的长为5米，求灯牌的面积；（结果保留根号）（2）若灯牌两侧增加的钢丝绳一样长，求钢丝绳的总用料.（结果保留根号）第21题图22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.（1）求sinB的值；（2）如果CD=5，求BE的值.第22题图23.（10分）如图，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m，矩形面与地面所成的角α为78°，李师傅的身高为1.75 m.当他攀升到头顶距天花板0.05∼0.20 m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）第23题图24. （12分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α），tanα=-tan（180°-α）.（1）求sin150°，cos135°，tan120°的值；（2）若△ABC三个内角的比为1:1:4，sinA，cosB是一元二次方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 参考答案答案详解三、17.4.18. （1）∠B ＝45°，b ＝10，c ＝10.（2）∠A ＝60°，∠B ＝30°，b=2.19. 解：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠B=45°.所以AB=sin ACB=62因为DE ⊥AB ，所以△DEB 是等腰直角三角形.所以DE=BE. 因为tan ∠DAE=15DE AE =，所以AE=5DE. 因为AB=AE+BE=6DE=622，AE=2在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22AE DE +213. 20. 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F. 根据题意，得AC=30×2=60. 在Rt △CAE 中，因为∠CAE=45°，所以AE=CE=AC·cos ∠CAE=302在Rt △DBF 中，因为DF=CE=302∠DBF=60°，所以BF=106tan DBFDF=∠因为BE=AE-AB=30233≈9.3，所以EF=BF-BE=69.3≈15.2. 所以CD=EF=15.2≈15（海里）.答：此时两船之间的距离约为15海里.21. 解：（1）在Rt △FDG 中，因为∠FGD=60°，GD=4，所以FD=GD·tan ∠FGD=3在Rt △EDG 中，因为∠EGD=45°，GD=4，所以ED=GD·tan ∠EGD=4. 所以EF=FD-ED=43所以S 矩形ABEF =AF·EF=5×（3）=（203）平方米. 答：灯牌的面积为（203-20）平方米. （2）在Rt △FDG 中，FG=8cos GDFGD=∠.答案速览一、1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. B 二、11. 60° 12.3513. 6 14. 863+ 15.（1+3） 16. (1134)- 三、解答题见“答案详解”在Rt △EDG 中， EG=cos GDEGD=∠所以2（FG+EG ）=2×（8+=（16+.答：钢丝绳的总用料为（16+.22. 解：（1）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以CD=12AB=BD.所以∠BCD=∠B. 因为AE ⊥CD ，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.在Rt △ACH 中，AH=2CH ，由勾股定理，得CH.所以sin ∠CAH=CH AC =.所以（2）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以AB=2CD=因为sinB=AC AB =AC=2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得因为sin ∠CAH=CE AE =，所以CE.在Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE 2+AC 2=AE 2，即CE 2+22=CE ）2.解得CE=1. 所以BE=BC-CE=3.23. 解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. 因为AB=AC ，所以BE=EC=12BC=12. 在Rt △AEC 中，因为α=78°，所以AE=EC·tanα=12×tan78°≈2.35. 因为李师傅站立在梯子的第三级踏板上，所以37DC AC =.因为sinα=AE DF AC DC =，所以DF=37AE DC AE AC ⋅=≈1.007.所以李师傅头顶距离地面的高度约为1.007+1.75=2.757（m ），头顶距离天花板的高度约为2.90-2.757=0.143（m ）.因为0.05＜0.143＜0.20，所以他方便安装.第23题图24. 解：（1）根据题意，得sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=12；cos135°=-cos（180°-135°）=-cos45°=-22；tan120°=-tan（180°-120°）=-tan60°3.（2）因为△ABC三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A=30°，∠B=120°时，sinA=12，cosB=-12，即一元二次方程的两个根为12，-12.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，x=-12是方程4x2-1=0的根.所以m=0符合题意.②当∠A=120°，∠B=30°时，33因为sinA，cosB是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以这种情况不符合题意.③当∠A=30°，∠B=30°时，sinA=12，cosB=32，即一元二次方程的两个根为12，32.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，3是方程4x2-1=0的根.所以这种情况不符合题意.综上，m=0，∠A=30°，∠B=120°.。
北师大九年级数学(下册)第一章 测试题(及答案)
北师版九年级数学（下册）第一章 测试题1.若sin 28°= cos α,则α= .2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,tan B=127,则BC= . 3.如图1所示,将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处,使斜边CD ∥AB.则∠α的余弦值为 .图14.如图2所示,在屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l 为10 m,坡角α为35°,则坡屋顶高度h 约为 m.(结果精确到0.1 m;参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)图25.直线y=kx-1与y 轴相交所成的锐角为60°,则k= .6. cos 60°的值等于( )A.B.C.D.17.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tan A 的值是( )A.1B. 2C.D.8.计算：tan 45°+sin 30°=( )A.2B.C.D.9.如图3所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8 cm,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D,连接BD.若cos ∠BDC=53,则BC 的长是( )图3 A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm10.若锐角α满足cos α<22且tan α<3,则α的范围是( ) A.30°<α<45°B.45°<α<60°C.60°<α<90°D.30°<α<60°11.如图4所示,某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α=30°,则飞机A 与指挥台B 的距离为( )图4A.1200mB.1600mC.1800mD.2400m12.如图5所示,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=15,AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点,垂足为E,则sin ∠CAD 等于( )图5A.1B.C.D.13.如图6所示,△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转180°,点C 落在C’处,则CC’的长为( )图6A.4B.4C.2D.214.计算：(2-sin 60°)0+-(-)2+|-tan 45°|.15.如图7所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=,BC=,求：sin∠BCD、cos∠BCD和tan∠BCD的值.图716.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,sin A=,求AC和AB.17.已知锐角α使关于x的一元二次方程x2-2sin α·x+sin α-3=0有两个相等的实数根,求α的度数.18.每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米,为帮助残疾人便于轮椅行走,准备拆除台阶换成斜坡,又考虑安全,轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°,已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上),问此商场能否把台阶换成斜坡?(参考数据：sin 9°≈0.1564,cos 9°≈0.9877,tan 9°≈0.1584)图819.某校教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,如图9所示,BC∥AD,斜坡AB 长22 m,坡角∠BAD=68°.为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长;(精确到0.1 m)(2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC削进到F点处,问BF至少是多少米?(精确到0.1 m)图9参考答案1.62°2.3.4.3.55.±6.A7.A8.C9.A10.B11.D12.A13.B14.解：原式=1+2-3+1=115.解：∵在△ABC 中,∠ACB=90°,∴∵AC ·BC=CD ·AB,∴CD=·AC BC AB .∵CD ⊥AB,∴在Rt △BDC 中,=2.∴sin ∠BCD=BDBC =3,cos ∠BCD=CDBCtan ∠BCD=BDCD 16.解：AC=,AB=.17.解：由题意得b 2-4ac=(2sin α)2-4(sin α-)=0,即4sin 2 α-4sin α+3=0,解得sin α=.∵α为锐角,∴α=60°. 18.解：∵1.2=0.15<tan 9°,∴斜坡的坡角小于9°,故此商场能把台阶换成斜坡.19.解：(1)作BE ⊥AD,E 为垂足,则BE=AB ·sin 68°≈20.4(m).(2)作FG ⊥AD,点G 为垂足,连接FA,则FG=BE.FG =tan 50°,即=tan 50°,AG ≈17.12(m),又AE=AB ·cos 68°=22cos 68°≈8.24(m),故BF=AG-AE ≈8.88≈8.9(m),即BF 至少是8.9 m.。
2025年北师大版九年级下册数学第1章特色题型专练一
1 47.25 m 2 3 4
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1. [2024陕西师大附中八模]为了测古树AB的 高度．如图，先把长为1.8 m的标杆EF垂直 立于地面上的点F处，当树的最高点A，标 杆顶端E与地面上的点C在同一直线上时， FC＝1 m，接着沿斜坡从点C走到点D处， 此时测得树的最高点A处的仰角α＝45°，D 到地面BC的距离DM为9 m，CM为12 m， 则古树AB的高度为__4_7_.2_5__m_．
∴10 7÷40＝ 47(小时)． ∴救援船到达 C 处所用的时间为 47小时．
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4. [2024陕西工大附中七模]小明和小刚决定测量风筝到地面的距
离，如图，已知小明在B处看风筝的仰角为37°，小刚所站位 置D处看风筝的视线恰好被大树FG挡住(即点E，F，C三点共 线)，通过测量，此时小刚距离大树底部的距离GD为8 m，小 明与小刚之间的距离BD为115 m，大树的高度FG为4.9 m，两 人的眼睛距地面的高度均为1.7 m，请根据以上数据，求出此 时风筝到地面的距离．(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8， tan 37°≈0.75，风筝的宽度忽略不计)
∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF＝∠ABF＝90°. 又∵∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF.∴CADB ＝DBFF. ∴1A.B8＝2x.4.∴AB＝34x m. ∴43x≈0.5x＋1.6，解得 x≈6.4. ∴AB≈4.8 m．∴该景观灯的高 AB 约为 4.8 m.
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3. [2024 西安铁一中一模]如图，我国某海域上有 A，B 两 个小岛，B 在 A 的正东方向．有一艘渔船在点 C 处捕 鱼，在 A 岛测得渔船在东北方向上，在 B 北偏西 60° 的方向上，且测得 B，C 两处的距离为 20 2海里．
最新北师大版九年级下册数学第一章达标测试卷
第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.cos 30°的值为( ) A.12 B.32 C.22 D.332．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5(第2题) (第3题) 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD 等于( )A.53B.23C.253D.524．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他进行了如下操作：(1)在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE ＝α，(2)量得测角仪的高度CD ＝a ；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB ＝b .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )A ．a ＋b tanαB ．a ＋b s inαC ．a ＋b tanαD ．a ＋b sinα(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是()A．2 B.255 C.55 D.128．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2(1＋3)，则BC等于() A．2 B. 6 C．2 2 D．1＋ 3 9．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A．82 m B．163 m C．52 m D．30 m(第9题)(第10题)10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A．60°B．45°C．15°D．90°二、填空题(每题3分，共24分)11．若反比例函数y＝kx的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k＝________．12．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．13．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．14．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．(第14题) (第15题) (第16题) (第17题) (第18题)15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26 m ，斜坡AB 的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移________m 时，才能确保山体不滑坡．(tan50°≈1.2)16．如图，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3 m ，秋千向两边摆动，当踏板处于A ′位置时，摆角最大，此时∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．17．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20 n mile 的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．18．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________.三、解答题(19题8分，21题10分，其余每题12分，共66分)19．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 023)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.20．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．21．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．22．如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC ，BC .测得BC ＝221 m ，∠ACB ＝45°，∠ABC ＝58°.根据测得的数据，求AB 的长．(结果取整数)(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)23．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)24．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN ＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.A7．D8.A9.A10．C点拨：∵sin ∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB＝45°.∵sin ∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°.∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.二、11.3612.3 3 m13．3414.(8，23)15．1016．1.37点拨：如图，作A′D⊥OA于点D，A′C垂直地面于点C，延长OA交地面于点B.易得四边形BCA′D为矩形，∴A′C＝DB.∵∠AOA′＝50°，且OA＝OA′＝3 m，∴在Rt△OA′D中，OD＝OA′·cos ∠AOA′≈3×0.642 8≈1.93(m)．∵AB＝0.3 m，∴OB＝OA＋AB＝3.3 m.∴A′C＝DB＝OB－OD≈1.37 m.17．2418.23点拨：延长CA到F使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G.根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tan F的值，进而求出tan E的值．三、19.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12；(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k .∴sin B ＝b c ＝2k 13k＝21313， cos B ＝a c ＝3k 13k＝31313， tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2.∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x (x >0)，则CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD ＝2.∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.22．解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC ＝∠ADB ＝90°.设BD ＝x m ，则CD ＝(221－x )m.在Rt △ADC 中，tan 45°＝AD CD ＝1，∴AD ＝CD ＝(221－x )m.在Rt △ABD 中，tan 58°＝AD BD ≈1.6，∴AD ≈1.6x m ．∴1.6x ≈221－x ，解得x ≈85.在Rt △ABD 中，cos 58°＝BD AB ，∴AB ＝BD cos 58°≈850.53≈160(m)．答：AB 的长约是160 m.23．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mile.在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠P AC ＝90°－60°＝30°，∴tan ∠P AC ＝CP AP ＝33.∴CP ＝33x n mile.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠P AB ＝45°，∴BP ＝AP ＝x n mile.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mile)，∴33x ＋x ＝15.解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝15（3－3）2n mile. ∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34 h ，离观测点A 的距离最近．24．解：(1)如图，连接P A .由已知得AP＝39 m，在Rt△APH中，PH＝AP2－AH2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H的距离为36 m.(2)由题意，可知隔音板位置应从P到Q，在Rt△ADH中，DH＝AHtan 30°＝1533＝153(m)；在Rt△CDQ中，DQ＝CQsin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m长．。
初中九年级数学下册中考复习第一章检测卷(含答案)WORD
初中九年级数学下册中考复习第一章检测卷(含答案)WORD第一章检测卷时间：120分钟满分：120分问题编号分数：123456总分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)1．sin30°的值为()1323a.b.c.d.22232.如图所示，在RT中△ 美国广播公司，∠ C=90°，AC=8，BC=15，则Tana的值为（）815815a b.C.d.1717158第2题图第3题图第4题图43.如图所示，在RT中△ 美国广播公司，∠ C=90°，Sina=，AC=6cm，则BC的长度为（）5a．6cmb．7cmc．8cmd．9cm4.如图所示为挡水坝的横截面，AB边坡的水平宽度为12m，坡度为1:2，则AB边坡的长度为（）a．43米b．65米c．125米d．24米5.如图所示，穿过点C（-2,5）的直线AB分别在点a（0,2）和点B处与坐标轴相交，然后是Tan的值∠ OAB是（）2253a.b.c.d.5322图5图66．如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿ab和cd的长度相等，o是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠dob＝100°，那么椅腿ab的长应设计为(结果精确到0.1cm，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)()a、 38.1cmb。
49.8cmc。
41.6cmd。
45.3厘米2。
填空（在这个大问题中有6个小问题，每个小问题有3个点，总共18个点）7。
在RT中△ 美国广播公司，∠ C=90°，∠如果AB=2，则a=60°，CoSb=____________________。
-1-8.如图所示，将∠ 网格中的AOB由边长为1的小正方形组成，然后是棕褐色∠AOB=___第8题图第11题图一sinα－?＋(tanβ－1)2＝0，则α＋β＝________．9．若α，β均为锐角，且?2??a10.在RT△ 美国广播公司，∠ C=90°，ab=2，BC=3，然后sin=____211.本图为某品牌太阳能热水器实物图及横截面图。
九年级数学下册第一章检测卷-北师大版(含答案)
九年级数学下册第一章检测卷-北师大版（含答案）一、选择题(本大题共7小题,共28分)1.下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形2.如图-1,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于()图-1A.20B.15C.10D.53.如图-2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD=50°,那么∠CAD的度数是()图-2A.20°B.25°C.30°D.40°4.如图-3,在▱ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是菱形,这个条件可以是()图-3A.OM=1AC B.MB=MO2C.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND5.如图-4,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()图-4A.√2B.2√2C.√2+1D.2√2+16.如图-5,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则C'F的长为()图-5A.10B.4C.4.5D.537.如图-6,P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,AC,BD 交于点O,则点P到矩形的两条对角线AC,BD的距离之和是()图-6A.4.8B.5C.6D.7.2二、填空题(本大题共5小题,共25分)8.如图-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AC=6 cm,BC=8 cm,则CD的长为cm.图-79.如图-8所示,若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标为.图-810.如图-9,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件:,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).图-911.如图-10,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是.(填序号)图-1012.如图-11,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,连接EG,HF 交于点O,则EG2+FH2=.图-11三、解答题(共47分)13.(15分)如图-12,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF=3.2(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)求线段EF的长.图-1214.(16分)如图-13,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=20 cm,BD=12 cm,两动点E,F 分别从点A,C同时出发,在线段AC上均以2 cm/s的速度运动,当点E运动到点C,点F运动到点A时,两点均停止运动.(1)求证:当点E,F在运动过程中不与点O重合时,以B,E,D,F为顶点的四边形为平行四边形;(2)当点E,F的运动时间为多少时,以B,E,D,F为顶点的四边形为矩形?图-1315.(16分)如图-14,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.(1)求证:四边形EDFG是正方形;(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?请求出四边形EDFG面积的最小值.图-14参考答案1.B [解析] 对角线相等的四边形不一定是矩形,如等腰梯形.故选B .2.B [解析] ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=BC ,AB ∥CD , ∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°, ∴△ABC 是等边三角形, 故△ABC 的周长=3AB=15.3.B [解析] ∵矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O , ∴DB=AC ,OD=OB ,OA=OC ,∴OA=OD , ∴∠CAD=∠ADO.∵∠COD=50°=∠CAD+∠ADO , ∴∠CAD=25°.故选B .4.C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC ,OB=OD.∵对角线BD 上的两点M ,N 满足BM=DN ,∴OB -BM=OD -DN ,即OM=ON ,∴四边形AMCN 是平行四边形.∵BD ⊥AC ,∴MN ⊥AC ,∴四边形AMCN 是菱形.故选C . 5.B [解析] ∵正方形ABCD 的面积为1,∴BC=CD=1.∵E ,F 分别为BC ,CD 的中点,∴CE=CF=12.在Rt △ECF 中,由勾股定理得EF=√22,∴正方形EFGH 的周长为2√2.6.D [解析] 设C'F=x ,则FD=9-x.∵BC=6,四边形ABCD 为矩形,C'为AD 的中点, ∴AD=BC=6,C'D=3.在Rt △FC'D 中,∠D=90°,C'F=x ,FD=9-x ,C'D=3, ∴C'F 2=FD 2+C'D 2,即x 2=(9-x )2+32, 解得x=5.故选D .7.A [解析] 如图,连接OP ,作PE ⊥OA 于点E ,PF ⊥OD 于点F .∵矩形的两条边AB ,BC 的长分别为6和8,∴S 矩形ABCD =AB ·BC=48,OA=OC ,OB=OD ,AC=BD=10, ∴OA=OD=5,S △AOD =14S 矩形ABCD =12.∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =12OA ·PE+12OD ·PF=12×5×PE+12×5×PF=52(PE+PF )=12, 解得PE+PF=4.8. 故选A . 8.59.(2+√2,√2) [解析] 过点D 向x 轴作垂线段,构造等腰直角三角形. 10.答案不唯一,如AC=BD 或∠ABC=90°等 11.③ [解析] 需添加条件③. 理由:∵D 是BC 的中点, ∴BD=DC. 又∵DE=DF ,∴四边形BECF 为平行四边形. ∵AB=AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC , ∴▱BECF 为菱形.故答案为③.12.36 [解析] 如图,连接EF ,FG ,GH ,HE.∵E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,∴EF ∥AC ∥GH ,EF=GH=12AC=3, EH ∥BD ∥FG ,EH=FG=12BD=3, ∴EF=FG=GH=EH , ∴四边形EFGH 是菱形, 从而EG ⊥FH ,OE=OG ,OH=OF ,∴EG 2+FH 2=(2OE )2+(2OH )2=4OE 2+4OH 2=4(OE 2+OH 2)=4EH 2=36. 13.解:(1)证明:∵在矩形ABCD 中,AB=4,BC=2, ∴CD=AB=4,AD=BC=2,∠D=∠B=90°. ∵BE=DF=32,∴CF=AE=4-32=52,AF=CE=√22+(32) 2=52,∴AF=CF=CE=AE=52, ∴四边形AECF 是菱形. (2)过点F 作FH ⊥AB 于点H , 则四边形AHFD 是矩形, ∴AH=DF=32,FH=AD=2, ∴EH=52-32=1,∴EF=√FH 2+EH 2=√22+12=√5. 14.解:(1)证明:连接DE ,EB ,BF ,FD.∵两动点E ,F 分别从点A ,C 同时出发,在线段AC 上均以2 cm/s 的速度运动, ∴AE=CF .∵▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,∴OD=OB ,OA=OC (平行四边形的对角线互相平分), ∴OA -AE=OC -CF 或AE -OA=CF -OC ,即OE=OF ,∴以B ,E ,D ,F 为顶点的四边形为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). (2)当EF=BD=12 cm 时,以B ,E ,D ,F 为顶点的四边形为矩形.设运动时间为t s . 若点E 在OA 上,点F 在OC 上, 则20-4t=12,解得t=2;若点E 在OC 上,点F 在OA 上, 则4t -20=12,解得t=8. 经检验,t=2和t=8均符合题意.因此,当点E ,F 的运动时间为2 s 或8 s 时,以B ,E ,D ,F 为顶点的四边形为矩形. 15.解:(1)证明:如图,连接CD. ∵O 为EF 的中点,GO=OD , ∴四边形EDFG 是平行四边形.∵△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,D 是AB 的中点, ∴CD ⊥AB ,∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD. 在△ADE 和△CDF 中,∵AE=CF,∠A=∠DCF,AD=CD,∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.∴▱EDFG是正方形.(2)如图,过点D作DE'⊥AC于点E'.由(1)得△ADC为等腰直角三角形.∵DE'⊥AC,∴E'是AC的中点,AC=2.∴DE'=12在Rt△ACB中,AB=√AC2+BC2=4√2,AB=2√2,∴AD=12∴2≤DE<2√2(点E与点E'重合时取等号),∴4≤S四边形EDFG=DE2<8,∴当E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,最小值为4.。
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九年级下册数学第一章测试题
1
一选择题
2
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A等于( )．3
A．
3
2
B．
1
2
C．3 D．
3
3
4
2已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )．
5
A．30° B．60° C．45° D．75°
6
3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )．7
8
A．5 B．25
5
C．
5
5
D．
2
3
9
4如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=5,BC=2,则10
sin∠ACD的值为( )
11
12
52552
3
13
5如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B 14
落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）
15
A．4
3
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
5
16
6如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三17 条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 18 的长是（ ）
19 A ．172 B ．52 C ．24 D ．7
20
21 7如图，已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB ＝8，则22 CD 的长为( )．
23
24 A
． C
．25
8身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的26 线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风27 筝中最高的是（ ）
28
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
29 9如图，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀30 速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到31 达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离32 是（ ）海里A ．253 B 252C ．50
D ．25
33
10如图，在Rt△ABC 中，∠
34 ACB =90º，BC =3，AC =15，AB 的垂35 直平分线ED 交BC 的延长线于点D ，36
垂足为E ，则sin ∠CAD =( )
37
38 39
40
41
42 43 44 45 46
47 11小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；48 如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角49 为30度，同一时刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为50 2米，则树的高度为（ ）
51 )36.(+A 米 12.B 米 )324(.+C 米 D ．10米
52 12如图，在Rt△ABC 中，AB=CB ，BO⊥AC，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 53 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连结DE 、EF.54 下列结论：①tan∠ADB=2 ②图中有4对全等三角形 ③若将△DEF 沿EF 折叠，
55
A
E
B C D
第9题图
则点D 不一定落在AC 上 ④BD=BF ⑤S 四边形DFOE =S △AOF ，上述结论中正确的个数
56 是 （ ）（写序号）
57
二填空13．在锐角三角形ABC 中，∠A，∠B 满足2
2sin 2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
＋|3－tan
58 B|＝0，则∠C＝______.
59 14如图14，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 60 在北偏东60º方向上，航行半小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东61 30º方向上，那么该船继续航行____________分钟可使渔船到达离灯塔距离62 最近的位置．
63 15如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/64 分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的
65 人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为 66 米。
67 16如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼68 顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离69 DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：
，则大楼AB 的高度约为
70 （精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
71
72
73 17如图，△ABC 中，∠C =90º，点D 在AC 上，已知∠BDC =45º，BD =102，
74 AB =20 求AD 长
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78
79
80
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88
89
18如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，
90
在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向
91
水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求
92
树高AB（结果保留根号）
93
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95
19如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对96
折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
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（1）求证：AG＝C′G；（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，98
得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。
99
100
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20小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴
115
趣小组的小伙伴进行实地测量。
如图，他们在坡度是i=1:2.5的斜坡DE的D处，
测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜116
117
坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米。
大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM。
118
亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程。
（数据2 119
≈1.41，3≈1.73供选用，结果保留整数）
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21“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小
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组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚
128
好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”
129
前行110，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷130
香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，131
）．
132
133。