数列的递推公式练习
(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)
专题1：递推公式求通项公式1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a n D ．不存在2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅=L ，则35a a +=等于（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-=n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112++=n n a n D ．4tan πn a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n aA ．2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．122-n8．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 9．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 10．数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=L *()n N ∈，则=n a __________. 11．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
数列 的递推公式
1．由递推公式求通项公式的三个步骤 第一步：先根据递推公式写出数列的 前几项(至少是前 3 项)； 第二步：根据写出的前几项，观察归 纳其特点，并把每一项统一形式； 第三步：写出一个通项公式并证明．
2
．
(1)
当
an an－1
＝
g(n)(n≥2)
满
足
一
定
条
件
时
，
常
用
an ＝
aan－n 1·aann－ －12·aann－ －32·…·aa21·a1 累乘法求 an.
类
别
通项公式
递推公式
不同点
相同点
给出n的值，可求出数 列中的第n项an
由前一项（或前几项） 的值，通过一次（或多 次）运算，逐项求出第
n项an
可确定一个数列，求出 数列中的任意一项
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{bn}是（由3）数b列n {aana}nn中11的这项样，的通公过式公不式是bn递推aan公n1式1 .构因造为出数来列 的，不是由数列{bn}中的项经过递推构造出来的.如果改成
解之得：74≤n≤141， ∴n＝2，a2＝13， ∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13.
判断数列最大项和最小项的方法一般有两种：一是利用函数 的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由 函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值；二是利用通 项求解，即通过判断不等式组aann≥ ≥aann＋ －11， ， 或aann≤ ≤aann＋ －11， 有无正 整数解来判断．
bn2
bn bn1
并给出数列{bn}的第1项，第2项，那么就是递
推公式了.
（4）由数列的递推公式不一定能求出数列的通项公
式.
数列的递推公式
a3
an1
上式相乘可得
a2 a3 a4 an an 21 22 23 2n1
a1 a2 a3
an1 a1
n ( n-1）
2123 (n1) 2 2
所以 an
n ( n 1)
2 2
a1
，又 a1＝1
故
n ( n 1)
an 2 2
数列的递推公式
授课老师：唐才虹
通项公式与递推公式
通项公式：an f n; 由通项公式可以直接求出数列中的任一项。
递推式：指给出数列连续两项(或者多项)之间的关系，利用 初始值，可以逐步求得该数列所有项的一种表达数列的方 式。
题型一：由递推公式求某项：求具体某一项的值
例1：已知数列{an}满足a1 =2,
形如an＋1＝pan＋q(p、q为常数)用构造法
例5：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的 通项公式为________。
解析: 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，
所以
an1 1 an 1
＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，
公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，
所以an＝2·3n－1－1(n∈N*)。
目录
变5：已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an＋6，则数列{an} 的通项公式为an＝_____＋λ)，即an＋1＝4an＋3λ，与已知比 较可得λ＝2，
所以an＋1＝4an＋6可以转化为an＋1＋2＝4(an＋2)， 又a1＋2＝4，故数列{an＋2}是首项为4，公比为4的等比数 列， 所以an＋2＝4n，所以an＝4n－2。
n
递推公式的典型例题
以下是几个典型的递推公式例题及解析：
例1：斐波那契数列
斐波那契数列是一个典型的递推公式应用，其定义如下：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n≥2）。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
解析：
根据递推公式，我们可以计算出斐波那契数列的前几项：F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = 1 + 0 = 1
F(3) = 1 + 1 = 2
F(4) = 2 + 1 = 3
F(5) = 3 + 2 = 5
F(6) = 5 + 3 = 8
F(7) = 8 + 5 = 13
F(8) = 13 + 8 = 21
F(9) = 21 + 13 = 34
例2：等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为：a_n = a_1 + (n-1) * d，其中a_1 是首项，d 是公差。
解析：
用这个公式，我们可以计算出等差数列的第n项。
例如，
对于首项a_1 = 5，公差d = 3 的等差数列，第5项a_5 可以这样计算：a_5 = 5 + (5-1) * 3 = 5 + 4 * 3 = 5 + 12 = 17。
例3：等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_1 是首项，r 是公比。
解析：
用这个公式，我们可以计算出等比数列的第n项。
例如，对于首项a_1 = 2，公比r = 3 的等比数列，第5项a_5 可以这样计算：a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162。
数列的递推公式练习题
3．已知数列 an 中， a1 1 ， an1 an 3 ，若 an 2008，则 n =（ A.667 B.668 C.669 D.670
）
4．数列｛ an ｝中， an1 an2 an , a1 2, a2 5 ，则 a5 为（ A．-3 B．-11 C．-5 D．19
2 2 10．在数列 {an } 中，有 a1 1, an 1 an n 1, an 0 ，则通项 an =
．
11．已知数列 an 满足 an1 an n 2 （ n N ）且 a1 1
*
（1）求 a2 , a3 , a4 的值 （2）求 an 的通项公式 （3）令 bn 4an 68n ，求 bn 的最小值及此时 n 的值 12．已知 an 满足 a1 3 ， an1 2an 1 ，试写出该数列的前 5 项，并用观察法写出 这个数列的一个通项公式. 13．数列 an 中， a1 1, an
1．数列 an 满足 an 4an1 3 且 a1 0 ，则此数列第 5 项是 A．15 B．255 C．16 ) D．63
2．在数列 {an } 中,若 a1 1 , an1 an an1 1 0 ,则 a2012 ( A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 1
2an 1 (n 2) ，求 a2 , a3 , a4 , a5 ，并归纳出 an . 2 an 1
试卷第 1 页，总 1 页
）
5．在数列 {a n } 中，Fra biblioteka1 2 ，且 a n 1 A．12 B．14
a n 2 (n为奇数） ，则 a 5 等于（ (n为偶数） 2a n
C．20 D．22
数列的递推公式答案
§4.1(2) 数列的递推公式答案1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是( )A ．15B ．255C ．16D ．63答案 B解析 由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是( ) A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a n D ．a n ＋1＝－12a n 答案 D3．在数列{}a n 中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 021等于( ) A.12B ．－1C ．2D ．3 答案 B解析 当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1； 当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2； 当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；… 所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2 021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个 ＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .当n ＝1时，a 1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n ＝3－n (n ∈N *)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2答案 B解析 结合图象易知，a 1＝1，a 2＝3＝a 1＋2，a 3＝6＝a 2＋3，a 4＝10＝a 3＋4，∴a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2.6．(多选)已知数列{a n }的前n 项和满足S n ＝2n ＋1－1，则下列说法正确的是() A ．a 1＝3 B ．a n ＝2n (n ≥2)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n (n ≥2)答案 AD解析 S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n .当n ＝1时，不符合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2.7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4＝________.答案 7解析 当n ＝1时，a 2＝a 1＋1＝2，当n ＝2时，a 3＝a 2＋2＝2＋2＝4，当n ＝3时，a 4＝a 3＋3＝4＋3＝7.8．已知在数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝______.答案 8164解析 a 1a 2…a 8＝82，①a 1a 2…a 9＝92，②②÷①得，a 9＝9282＝8164.9．在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n (不用证明)．解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25. (2)猜想：a n ＝2n ＋1. 10．已知各项均不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0，∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1. ∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n，则数列{a n }的最大项是( ) A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案 A解析 因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ， 所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1， 所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020等于( )A ．a 2 021B ．a 2 022C ．a 2 023D ．a 2 024答案 A解析 由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2 020＝a 5＋a 6＋…＋a 2 020＝a 2 019＋a 2 020＝a 2 021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是( ) A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项答案 B解析 假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.答案 1n解析 方法一 (累乘法)把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1， ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n(n ≥2)， ∴a n a 1＝1n. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n. 又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n，n ∈N *. 方法二 (迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， ∴a n ＋1＝n n ＋1a n，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1na 1. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 方法三 (构造特殊数列法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n(n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________. 答案 28解析 依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值． 解 若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)， 若a 1为偶数，a 12＝2，a 1＝4； 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)， 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5，若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4,5,32.。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。
例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。
+1/n-1an=1+1/2+。
+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。
例2]an+1=kan+f(n)型。
当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。
例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。
+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。
例3]an+1=f(n)an型。
若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。
1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。
解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。
可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。
数列递推公式练习(带答案)
数列递推公式练习1 数列2, —, — ^8,10中第8项是( )3 15 35 63 9914 16 18 20A. B. C. D.195 255 323 3992、已知数列'a n满足a n a n j = a n j ■ -1 \且ai =1，则a5亠 ()a316 4 8 8A. B. C. — D.15 3 15 33、数列a?中,已知a T=1,a2 : =2, a n 2 =a n 1 " a n n N ，则a2002 =A. 1B. -1C. -2 D .24、已知a T1—Jan 1 -3an /n* -IN ,则a n 二() 2 a n32 23 3A. B C. D.n +5 n 4 n 5 n 45、数列Sn 满足a n = 4a n」3且a1 = 0，则此数列第5项是()A. 15B. 255C. 16D. 636、数列Sn冲，a1 =3,a n1 -2a n = 0 ,数列：b n啲通项b n满足关系式a nb n =( —1$(n€ N* ),贝V b n = _______________________________________ 。
17、设数列a ［满足a1 =1 , a n=1 n，写出这个数列的前5项。
a n」8、设数列：a n匚满足a1 = 5 ,a n T=3a n，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。
9、数列'a n '中, a i =a,a n i2a n1 a n写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律,写出数列的一个通项公式。
10、设数列；an ｝满足a i =1 , a n .1 - a n =3n2• 3n T ,写出这个数列的前5项并归纳通项公式。
11、已知数列3n 满足a i =1, a. ^pa n q，且a? =3, =15，求p,q 的值。
参考答案:1、B2、B3、B4、C5、B6、a n7、a i =1,a「2,a「|,a4 5 8「,a5=5= 15, a? =45, 83 = 135, a^ = 405 a n -5 3nJ9、2a=a a21 +a4aa3 :1 3aa28a1 7a2n」a1 2n」-1a10、a i =1@=8, a3 = 27, a4 = 64,a5 =12511、解:由已知可得a22a4二pa3 q = p pa2 q q = p a2 pq q 即3p2pq q =15联立方程组p +q =33p2+ pq + q =15解得丿p—3或」q =6。
数列求和求积累加累乘递推法
基本累乘： void main() { int j, n, s=1; scanf("%d", &n); for(j=0; j<n; j++) s = s*n; printf("“%d", s); }
例1: 输入n个100分制成绩（用整型），计算并输 出平均成绩，要求输出精确到两位小数。 #define n 10 main() { double av=0; int score, i; printf("Input %d integers:", n); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d", &score); av+=score; } av/=n; printf("av=%.2f\n", av); }
练习题
1. 求s=a+aa+aaa+…+aaa…a之值，其中a是一个数字。 例如：2+22+222+2222+22222(此时n=5),n由键盘输 入。 2.
2 3 5 8 13 21 有一分数序列： , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,.... 1
求出这பைடு நூலகம்数列
的前20项之和。
x2 xn 例4:求 e x = 1 + x + + ... + + ... 2! n!
的部分和。
直到余项的首项的值小于1.0e-6。 void main ( ) { float x, u=1., s=0.; int n=0; scanf(”%f”, &x); do { s+ = u; u*= x/(n+1); n++;} while (u>=1.e-6); printf("exp(x)=%f\n", s ); }
高中数学选择性必修二 4 1 2数列的递推公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。
高中数学《数列的递推公式》习题(含解析)
第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是() A．15B．255C．16D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，a n＋1＝a n3a n＋1，则数列{a n}的第4项是()A．116B．117C．110D．125答案C解析a2＝a13a1＋1＝13＋1＝14，a3＝a23a2＋1＝1434＋1＝17，a4＝a33a3＋1＝1737＋1＝110．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)．4．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n}，a n＝a n＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析＝a ＋m ，＝a 2＋m ，＝－1，＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2．6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2011＝________；a 2018＝________．答案01解析∵a 2011＝a 503×4－1＝0，∴a 2018＝a 2×1009＝a 1009＝a 4×253－3＝1．7．数列{a n }满足递推公式a 1＝5，a n ＝nn ＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，103，52，2a n ＝10n ＋1解析由a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2，n ∈N *)，得a 2a 1＝23，a 3a 2＝34，…，a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，将以上各式两两相乘得a n a 1＝23·34·…·n n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＝10n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝5符合上式，所以其通项为a n ＝10n ＋1．所以a 1＝5，a 2＝103，a 3＝52，a 4＝2．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解累加法：a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n，累加可得a n－a1＝1－1 n．又a1＝1，所以a n＝2－1 n．9．在数列{a n}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，求a n．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1)2仅适用于n∈N*且n≥2时的情况，因此两式相除得到a n＝n2(n－1)2也仅适用于n≥2时的情况，从而错误断定a n＝n2(n－1)2是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1)2，两式相除得a n＝n2(n－1)2(n≥2，n∈N*)，故a n，n≥2，n∈N*.一、选择题1．已知a n＝3n－2，则数列{a n}的图象是() A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点答案D解析∵a n＝3n－2，n∈N*，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．2．在数列{a n}中，a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5等于()A．－163B．163C．－83D．83答案B解析∵a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1，∴a2＝(－1)2×2×13＝23，a3＝(－1)3×2×23＝－4 3，a4＝(－1)4×2×－43＝－8 3，a5＝(－1)5×2×－83＝16 3．3．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，f(n＋1)>f(n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列{a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝() A．－7B．3C．15D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是()A ．415B ．425C ．435D ．445答案D解析由题知：a n ＋1＝2na n －(n －1)a n －1n ＋1，a 3＝2×2×3－13＝113，a 4＝2×3×113－2×34＝4，a 5＝2×4×4－3×1135＝215，a 6＝2×5×215－4×46＝266，故a n ＝5n －4n ．所以a 20＝5×20－420＝245＝445．故选D ．二、填空题6．在数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，对于数列{b n }，b 1＝a 1，当n ≥2时，b n ＝ab n－1，则b 4＝________，b 5＝________．答案3163解析由a n ＝2n ＋1，知b 2＝ab 1＝a 3＝7，b 3＝ab 2＝a 7＝15，b 4＝ab 3＝a 15＝31，b 5＝ab 4＝a 31＝63．7．已知F (x )＝1是R 上的奇函数．a n ＝f (0)＋f (1)(n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝n ＋1解析因为F (x )＋F (－x )＝0，所以x 2，即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2．于是由a n ＝f (0)＋…＋f (1)(n ∈N *)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]…[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，所以a n ＝n ＋1．8．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2019＝________．x 12345f (x )51342答案5解析由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2，1，5，2，1，…故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2019＝x 3×673＝x 3＝5．三、解答题9．数列{a n }中a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2．(1)求a 3，a 5；(2)探究256225是否为此数列中的项；若是，是第多少项？(3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解(1)∵对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2＝22，a 1·a 2·a 3＝32，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52．∴a 3＝94，a 5＝2516．(2)∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴n ≥3时，∴a n ，且a 1＝1，a 2＝4，而256225＝，∴256225是数列中的项，是第16项．(3)∵a na n＋1＝>1，∴a n>a n＋1(n≥2)．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得a2＝23，a3＝24，a4＝25，又a1＝2 2，∴可猜想a n＝2n＋1．应有a n＋1＝2n＋2，将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝2n＋1．解法二：∵a n＋1＝2a na n＋2，∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．两边同除以2a n＋1a n，得1a n＋1－1a n＝12．∴1a2－1a1＝12，1a3－1a2＝12，…，1a n－1a n－1＝12．把以上各式累加得1a n－1a1＝n－12．又a1＝1，∴a n＝2n＋1．故数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1(n∈N*)．。
数列的递推公式
2.1.2 数列的递推公式一、选择题1．在数列{n a }，则3a =（ ） A 、1 BC 、2D 、1.5 2．设已知数列{}n a 对任意的N n m ∈,，满足n m n m a a a +=+，且12=a ，那么10a 等于（ ）．A.3B.5C.7D.93．数列{}n a ，已知11a =，当2n ≥时121n n a a n -=+-，依次计算2a 、3a 、4a 后，猜想n a 的表达式是（ ）A ． 32n -B ． 2nC ． 13n -D ．43n -4．数列}{n a 中n n n a )1(-+=，则=+54a a （ ）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．105．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝，则其前6项之和是( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．1206．若数列{}n a 的通项公式为1)21n ⋅，则{}n a （ ） A ．为递增数列B ．为递减数列C ．从某项后为递减数列D ．从某项后为递增数列7．观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++=（ ）A ．219B ．220C ．221D ．2228．（理）若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（ ）A 、}{12+k aB 、}{13+k aC 、}{14+k a D 、}{16+k a 二、填空题9用数值表示) 10．已知数列{}n a ，对任意的,p q N *∈满足p q p q a a a +=⋅，且11a =-，那么9a 等于 11．若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n a a n -+=≥，则2013a =________．12．已知数列{}n a 满足13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则三、解答题13．已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=+ （*n N ∈）且11a =（1）求234,,a a a 的值（2）猜想{}n a 的通项公式14．（本小题12分）在数列}{n a 中，，计算432,,a a a 并猜想数列}{n a 的通项公式；15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ，（1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
递推法(迭代法)求数列通项
1 高二数学递推法（迭代法）求数列通项例1、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()22*11n+10n n n n a na a a n N ++-+=∈，求数列的通项公式.解：由题意知11,0n a a =>，将条件变形，得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦，又0n a >，得10n n a a ++≠，所以11n n n a a n +=+，即11n n a n a n +=+，到此可采用: 法一（递推法）：121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⋅==⋅⋅⋅--，从而1n a n =. 法二（叠成法）：12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-所以1n a n= . 法三（构造法）：由11n n a n a n +=+，得()1n+11n na na +=，故{}n na 是常数列，1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件()1n n a f n a -=求通项的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.例2、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：由已知，得（两边除以1n 3+），得1n n n 1n 1n 31323a 3a +++++=，即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-， 故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+122121213()()()3333333n n -=+++++++ 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=-- ， ∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-，即213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅= 练习：已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +=-=，求通项公式n a .（尝试叠加法）解：由已知，得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-()()()21n n-1n n+2121122a n n -==+-+-++=+=．。
考点20 递推公式求通项(第1课时)——2021年高考数学专题复习真题练习
考点20 递推公式求通项（第一课时）【题组一 公式法】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．2．设数列的前n 项乘积为，对任意正整数n 都有，则______． {}n a n T 1n n T a =-n T =3．数列的前项和为，，则它的通项公式为______.{}n a n 23n S n n =+n ∈+N4．若数列的前项和为，且，则______. {}n a n n S 21n n S a =+n a =5．数列的前n 项和，则其通项公式________.{}n a 23nn S =+n a =6．已知数列满足，，则_________________．{}n a ()12323213nn a a a na n ++++=-⋅ N n *∈n a =7．若数列，则_______．}{n a 2*3()n n n N +⋅⋅⋅+=+∈n a =8．已知数列满足：，数列的通项公式 。
{}n a 2112313333n n n a a a a -+++⋯+=()*n N ∈{}n a9．设数列满足．数列的通项公式 。
{}n a 123232n a a a na n ++++= {}n a10．设数列满足，的通项公式 。
{}n a 12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈{}n a11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且{}n a n n S 11a =n a =*n N ∈2n ≥）数列的通项公式 。
{}n a12．正项数列前项和为，且，.= 。
{}n a n n S ()214n na S +=()n N*∈na13．已知数列前项和为，若，则__________．{}n a n n S 22nn n S a =-n S =【题组二 累加法】1．在数列中：已知，，则数列的通项公式为 。
《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习(一)
《递推公式求通项公式—累加法》进阶练习一．选择题1.已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），则数列{a n}的通项公式a n=（）A． B．C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n+22.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，则a10=（）A．1024 B．1023C．2048 D．20473.已知数{a n}满a1=0，a n+1=a n+2n，那a2016的值是（）A．2014×2015 B．2015×2016C．2014×2016 D．2015×2015二．填空题4.已知数列{a n}中，，则a n=______．5.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），则a n=______．参考答案1.A2.B3.B4.5.解析1.【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力.利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a n﹣a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），可得a1=1a2﹣a1=2a3﹣a2=3a4﹣a3=4…a n﹣a n﹣1=n以上各式相加可得：a n=1+2+3+…+n=n（n+1），故选A．2.【分析】正确理解递推式，熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前n项和公式是解题的关键. 由已知递推式，利用累加求和及等比数列的前n项和公式即可求出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（n∈N*）．∴a10=210﹣1=1023．故选B．3.【分析】本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，通过a n+1=a n+2n 可知a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…，a2﹣a1=2，累加计算，进而可得结论．【解答】解：∵a n+1=a n+2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2），a n﹣2﹣a n﹣3=2（n﹣3），…a2﹣a1=2，累加得：a n﹣a1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]=2•=n（n﹣1），又∵a1=0，∴a n=n（n﹣1），∴a2016=2016（2016﹣1）=2015×2016，故选B．4.【分析】本题主要考查了利用裂项及累计法求解数列的通项，解题的关键是对递推公式的变形=由已知可得，，=，然后利用累计法可求通项【解答】解：∵∴=∴…以上n﹣1个式子相加可得，∵∴a n==故答案为.5.【分析】本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系，以及利用累加法和裂项法是解决本题的关键.根据数列的递推关系，利用累加法和裂项法即可得到结论．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+（n∈N*），∴a n+1﹣a n==﹣，（n∈N*），则a2﹣a1=1﹣，a3﹣a2=，…a n﹣a n﹣1=﹣，等式两边同时相加得a n﹣a1=1﹣，故a n=，故答案为.。
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4-3 利用递推公式求通项(精练)(含详解)
4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且11a =，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．2B ．3C ．1lg99+D ．2lg99+2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A ．293B ．471-C ．485D ．2743．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ） A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510085．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = . 7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式. 1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，*12,n n na n a n +=+∈N ，求数列{}n a 的通项公式.3．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ，求{}n a 的通项公式 .题组一 累加法题组二 累乘法4．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式 .5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 1．（2022·全国·高三专题练习）已知n a 为数列{}n S 的前n 项积，若121n nS a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．3-2nB ．3+2nC ．1+2nD ．1-2n2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n n n S a a =++，下列说法中正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-.数列{}n a 的通项公式 .5．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．6．（2022·安徽宿州）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______． 7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列{}n a 满足()212n a a a n n n *+++=+∈N ，则n a =____.8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 1．（2022·全国·课时练习）在数列{}n a 中，若111,12n n naa a a +==+，则n a =________.题组三 公式法题组四 构造等差数列2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______． 3．（2022·全国·课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，213a =，112n n n n a a a a ++=+．求数列{}n a 的通项公式 ； 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，133nn n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式 .1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．2．（2022·山西）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 3．（2021·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．1644．（2022·黑龙江）已知数列{}n a 的通项公式为135a =，1321nn n a a a +=+求数列{}n a 的通项公式 .题组五 构造等比数列4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且11a =，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+【答案】B【解析】由题意，因为()111lg 1lglg 1lg n n n a a n n n n ++⎛⎫-=+==+- ⎪⎝⎭， 所以10099lg100lg99a a -=-， ⋯⋯32lg3lg2a a -=-， 21lg2lg1a a -=-，以上99个式子累加得1001lg100a a -=， 100lg10013a =+=． 故选：B ．2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ） A ．293B ．471-C ．485D ．274【答案】C【解析】因为12n n a a n +-=，所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，，2121a a -=⋅，1n -式相加可得()()()()()11112121212n n n a a n n n +---=+++-=⋅=-，所以228n a n n =-+，2812281471n a n n n=+-≥-=-，当且仅当27n =取到，但*n N ∈，()275,6∈，所以5n =时5284851555a =+-=，当6n =时，6282961663a =+-=，482953<，所以n a n 的最小值为485.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．14n+B ．14n-C ．12n+D ．12n-题组一 累加法【答案】B【解析】由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--， 上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n， 又13a =，所以14=-n a n.故选：B .4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．20151008【答案】A【解析】∵11n n a a n +-=+，111n n a a n --=-+，…，2111a a -=+， ∵()1112n n n a a n ++-=+，即()1112n n n an ++=++， ∵()()1122n n n n n a n -+=+=，2n ≥． ∵11a =符合上式，∵()12n n n a +=． ∵11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 122017111111112122320172018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1212018⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，20171009=． 故选：A ．5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________．【答案】2n －1【解析】由题意得a n ＋1－a n ＝2n ，把n ＝1，2，3，…，n －1(n ≥2)代入，得到(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(an －an －1)＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以()1121212n n a a ---=-，即a n －a 1＝2n －2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1．故答案为：2n －1 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = .【答案】()()2*1n a n n N =-∈【解析】 121n n a a n +-=-，∴ 211a a -=，323a a -= ，435a a -=，123n n a a n --=- ()2n ≥，以上各式相加得1n a a -()()21357...231n n =+++++-=-()2n ≥，又10a =，所以()21n a n =- ()2n ≥，而10a =也适合上式， ∴ ()()2*1n a n n N =-∈.7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)2254n a n n =-+【解析】(1)由题1124n n n a a a +-+=+，即114n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为4的等差数列. (2)()()211211,42472n n a a a a a a n n n --=∴-=-+-=-12411n n a a n ---=-⋯⋯，累加可得()()()()()21471147411125322n n n a a n n n n n-+--=-+-++==-+()22542n a n n n =-+，当1n =时1a 也满足上式2254n a n n ∴=-+.1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.【答案】1n a n=【解析】因为a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，所以-11n n a n a n -=，所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅123··12n n n n n n ---=--·…·21·32·1=1n. 题组二 累乘法又因为当n=1时，a 1=1，符合上式，所以a n =1n.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a满足1a =*1,n n n +∈N ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】)*n a n ∈N1n n +，得1n n a a += 所以当2n ≥时，32123451112321n n a a a n n aa a n n +⋅=⋅⋅⋅=---，因为1a)2n a n =≥，又因为1n =时，1a )*n a n ∈N3．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ，求{}n a 的通项公式 .【答案】()()122121nn nn a +=-- 【解析】由()()2112122n n n n a a +-+-=-得，1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--，1231122113123121212121222221212121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a -----+--------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----()()11322121n n n -+--，即()()111322121n n n n a a -+⋅=--，所以()()122121nn nn a +=--.4．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式 . 【答案】()2211nn -+【解析】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+，所以当2n ≥时13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++()2211nn =-+当1n =时也满足上式 所以()2211nn a n =-+5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为12，且满足()()()*1112,n n n a n a n n N -+=-≥∈.求{}n a 的通项公式. 【答案】()11n a n n =+.【解析】由()()111n n n a n a -+=-，得111n n a n a n --=+， 又112a =，所以当2n ≥时，123211232112321······1143n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+-()1121n n ⋅=+， 又1n =也满足上式，所以()11n a n n =+；1．（2022·全国·高三专题练习）已知n a 为数列{}n S 的前n 项积，若121n nS a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．3-2n B ．3+2nC ．1+2nD ．1-2n【答案】D【解析】当n =1时，1111211a a a -=⇒=-；当2n ≥时，11112212n n n n n n n n a a a a a a a a ----=-=⇒-=-，于是{}n a 是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以()12112n a n n =---=-.故选：D.2．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）(多选）数列{}n a 的前n 项为n S ，已知2421n n n S a a =++，下列说法中正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 为等差数列或等比数列D ．{}n a 可能既不是等差数列也不是等比数列题组三 公式法【答案】BD【解析】依题意，2421n n n S a a =++，当1n =时，22111111421,210,1a a a a a a =++-+==，当2n ≥时，2421n n n S a a =++，2111421n n n S a a ---=++，两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，()()()11120n n n n n n a a a a a a ---+--+=，()()1120n n n n a a a a ----+=，当10n n a a -+=时，1n n a a -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为1-的等比数列. 当120n n a a ---=时，12n n a a --=，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 当10n n a a -+=，120n n a a ---=交替成立时，{}n a 既不是等差数列也不是等比数列. 故选：BD3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足112a =,212323n n a a a na n a +++⋯+=,则2017a =______ ．【答案】122017【解析】2212121331(1)((23231))2)1(,n n n n n a a a na n a a a a na n a n a +++++⋯+=+++⋯+++⇒+=(2)(1)-得,122111)1)((1n n n n n a n a n a nn a a n +++-⇒+==++, 所以有324123111123112234n n n a a a a n n a a a a a a n a --=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=,因此2017122017a =. 故答案为1220174．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-.数列{}n a 的通项公式 . 【答案】1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>-，11a =当2n =时，211a a == 当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++-，两式相减得：11n n n a a a n+-=，即11n n n a a n++=，∴11n n a n a n ++=， 11n n a na n -∴=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，3434n n a n a n ---=-⋯3232a a =， 累乘得：22nana =，所以2n n a =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩故答案为：1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩. 5．（2022·四川·什邡中学）数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，211312112a S ==⨯-⨯+=，当2n ≥时，()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合，所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，6．（2022·安徽宿州）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______． 【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭【解析】当1n =时，112a S +=，得11a =， 当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=， 所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭7．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列{}n a 满足()212n a a a n n n *+++=+∈N ，则n a =____.【答案】2n 【解析】因为212(1)n n a a a n +++=+，所以当2n ≥时，有2121(11)(2)n a a n n a -+++=--+，(1)(2)-，得2n a n =，当1n =时，12a =也适合2n a n =， 故答案为：2n8．（2022·山西太原·二模（文））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】n【解析】∵1(2)n n nS n S +=+，∵12n n S n S n ++= 当2n ≥时，121121n n n n n S S S S S S S S ---=⨯⨯⨯⨯， 1126543112344321n n n n n n n n +--=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯----(1)2n n +=当1n =时，111212S a ⨯===成立， ∵(1)2n n n S +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，当1n =时，11a =满足上式， ∵n a n =. 故答案为：n1．（2022·全国·课时练习）在数列{}n a 中，若111,12nn naa a a +==+，则n a =________.【答案】121n - 【解析】取倒数得:1112n na a +=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，题组四 构造等差数列所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 2．（2022·湖北·荆州中学）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．则数列{}n a 的通项公式为n a =_______． 【答案】1n【解析】因为11n n n a a a +=+，所以11111,1111n n n n n n a a a a a a ++=-+=+=，所以数列1na 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以11,nn n a a n ==故答案为：1n. 3．（2022·全国·课时练习）已知数列{}n a 中，1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈，求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】()213nn a n =-⋅．【解析】由11323n n n a a ++=+⨯，得：111123333n n n n n n a a ++++⋅=+，∵11233n n n na a ++-=， 即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∵213n n a n =-，得()213n n a n =-⋅． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，213a =，112n n n n a a a a ++=+．求数列{}n a 的通项公式 ；【答案】121n a n =- 【解析】因为112n n n n a a a a ++=+，213a =所以令1n =，则12122a a a a =+，解得11a =， 对112n n n n a a a a ++=+两边同时除以1n n a a +，得1112n na a +-=， 又因为111a ，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，所以112(1)21n n n a =+-=-，所以121n a n =-； 5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，133nn n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式 .【答案】13n n a n -=⋅【解析】∵133nn n a a +=+，∵111333n n n n a a ++-=，∵数列3n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为13，又1133a =， ∵11(1)3333n na nn =+-⨯=，∵13n n a n -=⋅. 题组五 构造等比数列1．（2022·四川师范大学附属中学二模）已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．【答案】52【解析】数列{}n a 满足1122n n a a +=+，整理得1112()22n n a a ++=+，若112a =-，则12n a =-，显然不符合题意，所以12n a ≠-，则121212n n a a +++=（常数）；所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112a +为首项，2为公比的等比数列；所以1111222n n a a -⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，整理得1111222n n a a -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；由于前8项和为761，所以187811111121()(12...2)842554761222122S a a a -⎛⎫⎛⎫=+⋅+++-⨯=+⨯-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得152a =．故答案为：52． 2．（2022·山西）已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+，11a =，则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+，设()13n n a x a x ++=+，则132n n a a x +=+，所以，722x =，可得74x =，所以，177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且171144a +=，由题意可知，对任意的n *∈N ，704n a +≠，则174374n n a a ++=+， 所以，数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，且该数列的首项为114，公比为3，所以，1711344n n a -+=⋅，因此，1117344n n a -=⋅-.故答案为：1117344n -⋅-. 3．（2021·全国·专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．164【答案】C【解析】由题意，12121n n n n a a a a ++==+，即+11112(1)n na a +=+，故111211n n a a ++=+， 又因为1112a +=，所以数列1{1}n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，从而561122a +=⨯，解得6163a =.故选：C. 4．（2022·黑龙江）已知数列{}n a 的通项公式为135a =，1321nn n a a a +=+求数列{}n a 的通项公式 .【答案】332nn na =+ 【解析】因为1321n n n a a a +=+，所以121121333n n n n a a a a ++==+，则1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又11213a -=，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，13为公比的等比数列，所以112121333n n n a --=⨯=， 所以1323n n n a +=，所以332nn na =+.。
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课时作业5 数列的递推公式(选学)
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．在数列{a n }中，a 1＝1
3，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－16
3 C ．－83
【答案】 B
【解析】 由a n ＝(－1)n
·2a n －1知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－4
3，a 4＝2a 3
＝－83，a 5＝－2a 4＝163.
2．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N ，数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的通项公式是( )
A ．a n ＝2n －1
B ．a n ＝n 2
C ．a n ＝n 2
n －12
D ．a n ＝n ＋12
n 2
【答案】 C
【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴两式相除，得a n ＝n 2
n －12
.
3．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N ＋，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.
【答案】 1 0
【解析】 考查数列的通项公式．
∵2 009＝4×503－3，∴a 2 009＝1， ∵2 014＝2×1 007，∴a 2 014＝a 1 007， 又1 007＝4×252－1，∴a 1 007＝a 4×252－1＝0.
4．已知数列{a n }，a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n
3－a n
，写出数列的前4项，并归
纳出该数列的通项公式．
【解析】 a 1＝0，a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋13
3－13＝1
2，a 4＝1＋a 33－a 3
＝1＋12
3－12
＝3
5. 直接观察可以发现，把a 3＝12写成a 3＝2
4， 这样可知a n ＝n －1
n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)．
当n ＝1时，1－1
1＋1＝0＝a 1，
所以a n ＝n －1
n ＋1
(n ∈N ＋)．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2)，则a 4＝( )
C ．－14
【答案】 C
【解析】 ∵a 1＝－14，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2)，
∴a 2＝1－1a 1
＝1－1
－14＝5，
a 3＝1－1a 2
＝1－15＝4
5，
a 4＝1－1a 3
＝1－145
＝1－54＝－1
4.
2．数列{a n }满足a 1＝13，a n ＝－1
a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 2 013＝( )
B ．－13
C ．3
D ．－3
【答案】 A
【解析】 由已知得，a 2＝－3，a 3＝1
3，a 4＝－3，所以a n ＝
⎩⎨⎧
13
，n 为奇数，－3，n 为偶数，
故a 2 013＝1
3，选A.
3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
【答案】 B
【解析】 代入验证得B.
4．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个
数列的第5项是( )
A ．6
B ．－3
C ．－12
D ．－6
【答案】 D
【解析】 a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n －a n ＋1＝－a n ，故a 5＝a 2＋3＝－a 2＝－6.
5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是( )
A ．40个
B ．45个
C ．50个
D ．55个 【答案】 B
【解析】 交点个数依次组成数列为1,3,6，即 2×12，2×32，3×4
2，由此猜想a n ＝nn －12(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴a 10＝10×9
2＝45.
6．在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＋1＝a n ＋4n －1(n ∈N ＋)，则通项a n 等于( )
A ．2n 2－3n
B ．2n 2－3n ＋6
C ．n 2－3n ＋6
D ．2n 2－3n ＋9
【答案】 B
【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝4n －1，
∴a2－a1＝4×1－1，a3－a2＝4×2－1，a4－a3＝4×3－1，…，a n－a n－1＝4(n－1)－1，累加上述各式，得a n－a1＝4(1＋2＋…＋n－1)－(n －1)，∴a n＝2n2－3n＋6.
7．已知{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2)，则a3
a5的值为()
A．－3 B．－4
【答案】C
【解析】由递推公式逐个求解．
8．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－3
3a n＋1
(n∈N＋)，则a2 013等
于()
A．0 B．－3
【答案】C
【解析】a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，T＝3，∴a2 013＝a3＝ 3.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设数列{a n}满足a1＝1，a n＝2＋1
a n－1
(n>1)，则a4＝________.
【答案】17 7
【解析】由递推公式a2＝2＋1
a1＝3，a3＝2＋1
a2＝
7
3，a4＝2＋
1
a3＝
17 7.
10．已知数列{a n }对任意p ，q ∈N ＋，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝1
9，则a 36＝________.
【答案】 4
【解析】 由已知得，a 2＝a 1＋1＝2a 1＝2
9； a 4＝a 2＋2＝2a 2＝49；a 8＝a 4＋4＝2a 4＝8
9； a 9＝a 1＋8＝a 1＋a 8＝19＋8
9＝1，a 36＝4a 9＝4.
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．已知数列{a n }的前n 项和S n 分别是：(1)S n ＝n 2＋n ＋1；(2)S n
＝2n －1，求通项a n .
【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n . ∵a 1不适合a n ，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝12n ，n ≥2.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1. ∵a 1适合a n ， ∴a n ＝2n －1(n ≥1)．
12．求满足下列条件的数列{a n }的通项公式． (1)已知{a n }满足a n ＋1＝a n ＋14n 2－1，且a 1＝12，求a n ；
(2)已知{a n }满足a n ＋1＝3n a n ，且a 1＝3，求a n .
【解析】 (1)由已知条件有
a n ＋1－a n ＝14n 2－1＝12(12n －1－1
2n ＋1
)，
∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12＋12[(1－13)＋(1
3－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝12＋12·(1－1
2n －1)＝4n －34n －2
. (2)由a n ＋1＝3n
a n ，得a n ＋1
a n
＝3n ，
∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1 ＝3·3·32·…·3n －1 ＝31＋1＋2＋…＋n －1 ＝3
n 2－n ＋2
2
.。