数列的递推公式练习

课时作业5 数列的递推公式(选学)

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．在数列{a n }中，a 1＝1

3，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－16

3 C ．－83

【答案】 B

【解析】 由a n ＝(－1)n

·2a n －1知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－4

3，a 4＝2a 3

＝－83，a 5＝－2a 4＝163.

2．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N ，数列的前n 项之积为n 2，则这个数列的通项公式是( )

A ．a n ＝2n －1

B ．a n ＝n 2

C ．a n ＝n 2

n －12

D ．a n ＝n ＋12

n 2

【答案】 C

【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴两式相除，得a n ＝n 2

n －12

.

3．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N ＋，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.

【答案】 1 0

【解析】 考查数列的通项公式．

∵2 009＝4×503－3，∴a 2 009＝1， ∵2 014＝2×1 007，∴a 2 014＝a 1 007， 又1 007＝4×252－1，∴a 1 007＝a 4×252－1＝0.

4．已知数列{a n }，a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n

3－a n

，写出数列的前4项，并归

纳出该数列的通项公式．

【解析】 a 1＝0，a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋13

3－13＝1

2，a 4＝1＋a 33－a 3

＝1＋12

3－12

＝3

5. 直接观察可以发现，把a 3＝12写成a 3＝2

4， 这样可知a n ＝n －1

n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)．

当n ＝1时，1－1

1＋1＝0＝a 1，

所以a n ＝n －1

n ＋1

(n ∈N ＋)．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1

a n －1(n ≥2)，则a 4＝( )

C ．－14

【答案】 C

【解析】 ∵a 1＝－14，a n ＝1－1

a n －1(n ≥2)，

∴a 2＝1－1a 1

＝1－1

－14＝5，

a 3＝1－1a 2

＝1－15＝4

5，

a 4＝1－1a 3

＝1－145

＝1－54＝－1

4.

2．数列{a n }满足a 1＝13，a n ＝－1

a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 2 013＝( )

B ．－13

C ．3

D ．－3

【答案】 A

【解析】 由已知得，a 2＝－3，a 3＝1

3，a 4＝－3，所以a n ＝

⎩⎨⎧

13

，n 为奇数，－3，n 为偶数，

故a 2 013＝1

3，选A.

3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )

【答案】 B

【解析】 代入验证得B.

4．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个

数列的第5项是( )

A ．6

B ．－3

C ．－12

D ．－6

【答案】 D

【解析】 a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n －a n ＋1＝－a n ，故a 5＝a 2＋3＝－a 2＝－6.

5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是( )

A ．40个

B ．45个

C ．50个

D ．55个 【答案】 B

【解析】 交点个数依次组成数列为1,3,6，即 2×12，2×32，3×4

2，由此猜想a n ＝nn －12(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴a 10＝10×9

2＝45.

6．在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＋1＝a n ＋4n －1(n ∈N ＋)，则通项a n 等于( )

A ．2n 2－3n

B ．2n 2－3n ＋6

C ．n 2－3n ＋6

D ．2n 2－3n ＋9

【答案】 B

【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝4n －1，

∴a2－a1＝4×1－1，a3－a2＝4×2－1，a4－a3＝4×3－1，…，a n－a n－1＝4(n－1)－1，累加上述各式，得a n－a1＝4(1＋2＋…＋n－1)－(n －1)，∴a n＝2n2－3n＋6.

7．已知{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2)，则a3

a5的值为()

A．－3 B．－4

【答案】C

【解析】由递推公式逐个求解．

8．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－3

3a n＋1

(n∈N＋)，则a2 013等

于()

A．0 B．－3

【答案】C

【解析】a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，T＝3，∴a2 013＝a3＝ 3.

二、填空题(每小题10分，共20分)

9．设数列{a n}满足a1＝1，a n＝2＋1

a n－1

(n>1)，则a4＝________.

【答案】17 7

【解析】由递推公式a2＝2＋1

a1＝3，a3＝2＋1

a2＝

7

3，a4＝2＋

1

a3＝

17 7.