构造函数利用导数解决函数问题

构造函数解决不等式问题

例：[2011·卷]函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2， 则f (x )＞2x ＋4的解集为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－∞，＋∞)

【解析】构造函数G (x )＝f (x )－2x －4，所以G ′(x )＝f ′(x )－2，由于对任意x ∈R ，f ’(x )>2， 所以G ′(x )＝f ′(x )－2>0恒成立，所以G (x )＝f (x )－2x －4是R 上的增函数， 又由于G (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，所以G (x )＝f (x )－2x －4>0， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. 训练：

1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成 立0.2

0.22

(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则a,b,c 的大小关系是

( ) A. b a c >> B.c a b >>

C.c b a >>

D.a c b >>

解：因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为

[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为

0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选A.

2. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有 A ．2013

(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f > B ．2013

(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < C ．2013

(2013)(0)e

f f ->，2013(2013)(0)f e f > D ．2013

(2013)(0)e

f f ->，2013(2013)(0)f e f <

解：构造函数()

(),x f x g x e

=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，

因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()

()x

f x

g x e =在R 上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，，即

20132013

(2013)(2013)

(0)(0)f f f f e e

--><，， 也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选D ． 6. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<

x f ，则2

1

2)(+

解集为（ ）A. {}11<<-x x B. {}1--

1>x x 解：构造新函数1()()()22x

F x f x =-+, 则11(1)(1)()11022

F f =-+=-=，

1'()'()2F x f x =-

，对任意x R ∈，有1

'()'()02

F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即21

2)(+

3.[2013·一模] 已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )

＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3

)，

b ＝(log π3)·f (log π3)，

c ＝)91

(log 2·f )9

1(log 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a >b >c

B ．c >a >b

C ．c >b >a

D ．a >c >b

解：因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )关于(0，0)中心对称为奇函数，所以函数g(x)=xf (x )为偶函数．又当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，故g(x)=xf (x )在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，

又⎪

⎪⎪⎪⎪⎪log 319>30.3>log π3>0，所以c >a >b . 例：巳知函数f （x ）=

13

ax 2

－b x －1nx ，其中a ，b ∈R 。（I ）当a=3，b=-1时，求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（e ，f(e ））处的切线方程为2x －3y －e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a ，b 的值；

（Ⅲ）当a>0，且a 为常数时，若函数h （x ）=x[f （x ）+1nx]对任意的x 1>x 2≥4，总有

1212

()()

1h x h x x x ->--成立，试用a 表示出b 的取值围；

【知识点】导数的综合应用

解：因为()()2

ln ,0,f x x x x x =+-∈+∞，所以()()()2111'21x x f x x x x

-+=+-

=， 令()1'0,12f x x ==

-得或，所以f(x)在102⎛⎫

⎪⎝⎭

，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，

上单调递增， 则f(x)在1

2

x =

处取得最小值为13

ln 224

f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）因为()()21212

','333

f x ax b f e ae b x e =

--=--=所以①， 又因为切点(e ，f(e))在直线2x －3y －e=0上，所以切点为,3e e ⎛⎫

⎪⎝⎭

， 所以()21133e f e ae be =

--=②，联立①②解得11,a b e e

==-.