构造函数利用导数解决函数问题

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构造函数解决不等式问题

例:[2011·卷]函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2, 则f (x )>2x +4的解集为( )

A .(-1,1)

B .(-1,+∞)

C .(-∞,-1)

D .(-∞,+∞)

【解析】构造函数G (x )=f (x )-2x -4,所以G ′(x )=f ′(x )-2,由于对任意x ∈R ,f ’(x )>2, 所以G ′(x )=f ′(x )-2>0恒成立,所以G (x )=f (x )-2x -4是R 上的增函数, 又由于G (-1)=f (-1)-2×(-1)-4=0,所以G (x )=f (x )-2x -4>0, 即f (x )>2x +4的解集为(-1,+∞),故选B. 训练:

1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成 立0.2

0.22

(2)a f =,log 3(log 3)b f ππ=,33log 9(log 9)c f =,则a,b,c 的大小关系是

( ) A. b a c >> B.c a b >>

C.c b a >>

D.a c b >>

解:因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为

[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为

0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选A.

2. 已知()f x 为R 上的可导函数,且x R ∀∈,均有()()f x f x '>,则有 A .2013

(2013)(0)e f f -<,2013(2013)(0)f e f > B .2013

(2013)(0)e f f -<,2013(2013)(0)f e f < C .2013

(2013)(0)e

f f ->,2013(2013)(0)f e f > D .2013

(2013)(0)e

f f ->,2013(2013)(0)f e f <

解:构造函数()

(),x f x g x e

=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==,

因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>,并且0x e >,所以()0g x '<,故函数()

()x

f x

g x e =在R 上单调递减,所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><,,即

20132013

(2013)(2013)

(0)(0)f f f f e e

--><,, 也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><,,故选D . 6. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ,且)(x f 的导函数21)('<

x f ,则2

1

2)(+

解集为( )A. {}11<<-x x B. {}1--

1>x x 解:构造新函数1()()()22x

F x f x =-+, 则11(1)(1)()11022

F f =-+=-=,

1'()'()2F x f x =-

,对任意x R ∈,有1

'()'()02

F x f x =-<,即函数()F x 在R 上单调递减,则()0F x <的解集为(1,)+∞,即21

2)(+

3.[2013·一模] 已知函数y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )

+xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数),若a =(30.3)·f (30.3

),

b =(log π3)·f (log π3),

c =)91

(log 2·f )9

1(log 2,则a ,b ,c 的大小关系是( )

A .a >b >c

B .c >a >b

C .c >b >a

D .a >c >b

解:因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称,所以f (x )关于(0,0)中心对称为奇函数,所以函数g(x)=xf (x )为偶函数.又当x ∈(-∞,0)时,f (x )+xf ′(x )<0成立,故g(x)=xf (x )在(-∞,0)上为减函数.由偶函数的性质得函数xf (x )在(0,+∞)上为增函数,

又⎪

⎪⎪⎪⎪⎪log 319>30.3>log π3>0,所以c >a >b . 例:巳知函数f (x )=

13

ax 2

-b x -1nx ,其中a ,b ∈R 。(I )当a=3,b=-1时,求函数f (x )的最小值;(Ⅱ)若曲线y=f (x )在点(e ,f(e ))处的切线方程为2x -3y -e=0(e=2.71828…为自然对数的底数),求a ,b 的值;

(Ⅲ)当a>0,且a 为常数时,若函数h (x )=x[f (x )+1nx]对任意的x 1>x 2≥4,总有

1212

()()

1h x h x x x ->--成立,试用a 表示出b 的取值围;

【知识点】导数的综合应用

解:因为()()2

ln ,0,f x x x x x =+-∈+∞,所以()()()2111'21x x f x x x x

-+=+-

=, 令()1'0,12f x x ==

-得或,所以f(x)在102⎛⎫

⎪⎝⎭

,上单调递减,在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,

上单调递增, 则f(x)在1

2

x =

处取得最小值为13

ln 224

f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; (Ⅱ)因为()()21212

','333

f x ax b f e ae b x e =

--=--=所以①, 又因为切点(e ,f(e))在直线2x -3y -e=0上,所以切点为,3e e ⎛⎫

⎪⎝⎭

, 所以()21133e f e ae be =

--=②,联立①②解得11,a b e e

==-.

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