构造函数利用导数解决函数问题

构造函数解决不等式问题例：[2011·卷]函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2， 则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)【解析】构造函数G (x )＝f (x )－2x －4，所以G ′(x )＝f ′(x )－2，由于对任意x ∈R ，f ’(x )>2， 所以G ′(x )＝f ′(x )－2>0恒成立，所以G (x )＝f (x )－2x －4是R 上的增函数， 又由于G (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，所以G (x )＝f (x )－2x －4>0， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. 训练：1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成 立0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则a,b,c 的大小关系是( ) A. b a c >> B.c a b >>C.c b a >>D.a c b >>解：因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选A.2. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有 A ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < C ．2013(2013)(0)ef f ->，2013(2013)(0)f e f > D ．2013(2013)(0)ef f ->，2013(2013)(0)f e f <解：构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()xf xg x e =在R 上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f e e--><，， 也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选D ． 6. 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为（ ）A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x 解：构造新函数1()()()22xF x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D.3.[2013·一模] 已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝)91(log 2·f )91(log 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b解：因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )关于(0，0)中心对称为奇函数，所以函数g(x)=xf (x )为偶函数．又当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，故g(x)=xf (x )在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 319>30.3>log π3>0，所以c >a >b . 例：巳知函数f （x ）=13ax 2－b x －1nx ，其中a ，b ∈R 。

（I ）当a=3，b=-1时，求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（e ，f(e ））处的切线方程为2x －3y －e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a ，b 的值；（Ⅲ）当a>0，且a 为常数时，若函数h （x ）=x[f （x ）+1nx]对任意的x 1>x 2≥4，总有1212()()1h x h x x x ->--成立，试用a 表示出b 的取值围；【知识点】导数的综合应用解：因为()()2ln ,0,f x x x x x =+-∈+∞，所以()()()2111'21x x f x x x x-+=+-=， 令()1'0,12f x x ==-得或，所以f(x)在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， 则f(x)在12x =处取得最小值为13ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）因为()()21212','333f x ax b f e ae b x e =--=--=所以①， 又因为切点(e ，f(e))在直线2x －3y －e=0上，所以切点为,3e e ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()21133e f e ae be =--=②，联立①②解得11,a b e e==-.（Ⅲ）由题意，对于任意124x x >≥，总有()()1122120h x x h x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-成立，令()()[)321,4,3p x h x x ax bx x x =+=-+∈+∞，则函数p(x)在x ∈[4，＋∞)上单调递增，所以()[)2'2104,p x ax bx =-+≥∈+∞在x 上恒成立.构造函数()()()10,0,F x ax a x x =+>∈+∞，则()22211'ax F x a x x -=-=，所以F(x)在0,a ⎛ ⎝⎭上单调递减,在,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.(1)当14016a a ><<即时，F(x)在4,a ⎛ ⎝⎭上单调递减，在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以F(x)的最小值为2F b b =≤≤⎝⎭所以得(2)1416a ≤≥即时F(x)在(4，＋∞)上单调递增，()11244,248b F a b a ≤=+≤+即，综上，当1016a <<时(b ∈-∞，当116a ≥时，1,28b a ⎛⎤∈-∞+ ⎥⎝⎦【思路点拨】本题主要考查的是利用导数求函数的最值及利用导数研究曲线的切线，利用导数求最值一般先判断函数的单调性，再结合单调性确定最值位置，对于由不等式恒成立求参数参数围问题通常转化为函数的最值问题解答. 变式练习：1.函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值围； （Ⅲ）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值围. 解：（Ⅰ）当1=a 时，xx x f x x x x f 132)(,ln 3)(2+-=+-=.………2分 因为2)1(,0)1('-==f f .所以切线方程是.2-=y …………4分 （Ⅱ）函数x x a ax x f ln )2(2)(++-=的定义域是），（∞+0. ………………5分当0>a 时，)0(1)2(21)2(2)('2>-+-=++-=x x x a ax x a ax x f 令0)('=x f ，即0)1)(12(1)2(2)('2=--=++-=xax x x x a ax x f ， 所以21=x 或ax 1=. ……………………7分 当110≤<a，即1≥a 时，)(x f 在［1，e]上单调递增， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ； 当e a <<11时，)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()1(-=<f af ，不合题意； 当e a≥1时，)(x f 在（1，e ）上单调递减， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意………………9分（Ⅲ）设x x f x g 2)()(+=，则x ax ax x g ln )(2+-=，只要)(x g 在），（∞+0上单调递增即可.…………………………10分 而xax ax x a ax x g 1212)('2+-=+-=当0=a 时，01)('>=xx g ，此时)(x g 在），（∞+0上单调递增；……………………11分 当0≠a 时，只需0)('≥x g 在），（∞+0上恒成立，因为),0(+∞∈x ，只要0122≥+-ax ax ， 则需要0>a ，对于函数122+-=ax ax y ，过定点（0，1），对称轴041>=x ，只需082≤-=∆a a ，即80≤<a . 综上80≤≤a . ………………………14分2. 函数()ln m f x x x =+，m R ∈（1）求函数的极值；（2）讨论()'()3x g x f x =-的零点的个数；（3）对()()0,1f b f a b a b a-∀>><-恒成立，求m 的取值围。