第八章 势流
重庆大学853流体力学考点勾画
重庆大学2022年城市建设与环境学院《流体力学》考研大纲第一章绪论：表面张力不考。
流体的内摩擦阻力计算题要考。
第二章流体静力学：浮体，潜体不考，本章的一些证明不考(如压强公式的证明)第三章*（重点章）一元流体动力学：1、考试重点章节，动量方程为重点。
2、水头线不考，气体部分的总压线和全压线不考。
气体能量方程（供暖，供热，供燃气，通风及空调工程考）。
3、恒定平面势流问题：关于应力和应变率的关系不考，关于微团的流动只需了解，需知道液体微团运动的意义，恒定平面势流中势流的叠加不考，流函数，势函数的关系重点(必考)。
4、不可压缩流体运动微分方程:方程的意义要会写，紊流的基本方程，要知道平均值，切应力如何产生要知道。
第四章流动阻力的能量损失：1、只考普朗特假设，粗糙雷诺数，层流底层厚度，局部阻碍相互干扰要了解比较透彻。
水击不考。
2、切应力计算公式(层流圆管切应力τ)需了解，紊流运动中了解概念，普朗特假设不考。
3、绕流阻力:什么叫绕流阻力，如何产生的？边界层分离的概念要考。
第五章孔口，管嘴，管路闸孔：计算一般不考(非重点，但需了解)1、孔口，管嘴环状管网，闸孔不考，但枝状管网，串，并联要考。
2、管网的水力计算:环状管网的水力计算不考，枝状管网需了解。
3、堰流、闸孔出流不考，水击不考。
4、气孔射流(稳定射流)计算不考，概念要考（如什么叫质量流速）。
第六章射流与扩散：重点掌握射流特征，其余不考。
1、射流计算不考（市政工程，供暖，供热，供燃气，通风及空调工程不用看射流，其他专业要了解它的概念）。
扩散不用看。
第七章不可压缩流体动力基础：1、微团运动不考，但微团的运动分为平动和转动和变形运动要记牢。
应力表示的运动方程不考，应力不考，应变率不考第八章绕流，平面势流*（重点章）：涡流运动的性质不考。
掌握判断势流的叠加，流函数和势函数必考计算题。
差分法不考。
第九章气体动力基础（除供暖，供热，供燃气，通风及空调工程，其他专业不用看）：等温管路不考，绝热管路不考，只考可压缩气体方程。
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
势流理论
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
M
2
x2
y y2
c
或
y x2 y2
c1
即
x2 y2 y 0
c1
配方后得: x2 ( y 1 )2 1
2c1
4c12
（６－14）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
（６－24）
压力系数:
Cp
p p0
1 2
V02
圆柱体上： Cp 1 4sin4
压力分布既对称于ｘ轴 也对称于ｙ轴。
在Ａ，Ｃ两点压力最大
在Ｂ，Ｄ两点压力最小
（６－25） （６-2６）
沿ψ＝０这条流线的压力变化为：
-处： Cｐ=０，压力渐大Ａ点达极大Cｐ＝１ Ａ分两支分别流向Ｂ，Ｄ点。
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δ x 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
y
dy
Vx dx
Vy
dy
V0 dx
积分得势函数： V0 x
积分常数不起作用，可省去。
（６-4）
流函数的全微分：d
x
dx
y
dy
Vydx Vxdy
第八章 理想流体有旋流动和无旋流动
y
y vy vx x
v x t
vy
v y x
x
vx
vx x
x
v y t
线变形运动
x方向的速度差
v B x vA x v x x x v C x v D x v x x x
y方向的速度差
vD yvA y v y y y vC yvB y v y y y
AB、DC在δt时间内伸长
y
vx
vx x
x
vx y
y
vy
vy x
x
vx
vx x
x
平移运动
矩形ABCD各角 点具有相同的速 度 分 量 vx 、 vy 。 导 致 矩 形 ABCD 平 移 vxδt, 上 移 vyδt, ABCD的形 状不变。
vy
vy y
y
vx
vx y
y
vy
v y x
x
v y y
y
vx
vx x
x
vx y
角变形速度的平均值
z
1 2
vy x
vx y
x
1 2
vz y
vy z
y
1 2
vx z
vz x
v x y t y
y
x
v y x t x
旋转运动
v x y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。
流体力学：第八章 理想不可压缩流体平面流动
因为：ac dy，cb dx，所以
dq udy vdx dy dx d
y x
积分， q
2 d
1
2
1
在论证流函数存在及说明其特性时，仅用了平面 流动的条件，故以上结论对任何平面流动都适用， 不论势流和涡流。
一、无旋流动（有势流动） 旋转角速度为零，通常称为势流。
x
1 ( w 2 y
v ) z
0,
或 w y
v z
y
1 ( u 2 z
w ) 0, x
或 u z
w x
z
1 2
( v x
u ) y
0,
或 v u x y
流体质点本身是否发生旋转，与流体微团 本身运动时的轨迹形状无关。
由数学分析知，上式是使udx vdy wdz为某一函数的
Cylinder with Circulation
引言
平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位 Why? Example
本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流 不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕 流物体的作用力。
§8–1 无旋流动和有旋流动
根据流体微团是否存在旋转，将流动分为两大类型： 无旋流动和有旋流动。 Two examples
涡线
涡线的表达式：
dx dy dz
x y z 通过微元断面的涡线组成涡束，涡束的表面称为涡管。 涡束断面面积和2倍旋转角速度的乘积称为涡通量，以 I表示，则微元涡通量为：
dI 2dA dA
2
速度环量：在流场中取一封闭曲线，流速沿该曲线的
积分称为沿 流线L的速度环量，用 表示：
全微分的必要充分条件。
势流理论笔记：01势流理论基础
势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。
所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。
如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。
格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。
格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。
现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。
流体力学第8、10、11章课后习题
第八章 边界层理论基础一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）22100y x x xy y x v pv v v v xy x y py v v x y νρ⎧∂∂∂∂+=-+⎪∂∂∂∂⎪⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂∂⎪+=∂∂⎪⎩其边界条件为：在0y =处，0x y v v == 在δ=y 处，()x v v x =（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以δ表示。
边界层的厚度δ顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度1δδδδ=-=-⎰⎰1001()(1)x x v v v dy dy v v2、动量损失厚度2δδρρ∞∞=-=-⎰⎰221()(1)x x x x v vv v v dy dy v v v（四）边界层的动量积分关系式δδρρδτ∂∂∂-=--∂∂∂⎰⎰200x x w Pv dy v v dy dx x x x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即P =常数。
这样，边界层的动量积分关系式变为δδτρ∞-=-⎰⎰200w x x d d v dy v v dy dx dx 二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算 根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。
第八章 理想不可压缩流体平面流动
ψ = 2 x 2 + xy − 2 y2 + c
积分常数 c对流函数的差值及速度 均无影响，忽略不计。
（1) 由速度场求旋转角速度
∂v − ∂u = ∂ (− y − 4x) − ∂ ( x − 4 y)
∂x ∂y ∂x
∂y
= −4 − (−4) = 0
∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y 也就是说，不可压缩流 体的平面流动是连续的 必 满足上式。对上式积分 ，得
∫ (udy − vdx) = ψ ( x, y)
ψ ( x , y )是积分结果，称为流函 数。
将上式微分，得 dψ = udy − vdx
ψ ( x, y)的全微分，得
dψ = ∂ψ dx + ∂ψ dy
∂x ∂y ∂z
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ , w = ∂ϕ
∂x
∂y
∂z
或 u = gradϕ
由于速度势存在的条件 是无旋流动，任何一种 具体的 无旋流动，总有一个而 且只有一个速度势，因 次无旋 流动也称为有势流，简 称势流。用速度势表示 流场比 用三个速度更简明。
二、有旋流动 旋转角速度不为零，统称为涡流。
2、流函数
对于平面势流：
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ
∂x
∂y
此时拉普拉斯方程为：
∇ 2ϕ
=
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y 2
=0
在不可压缩流体稳定平 面流动中，另一个描述 流场的 函数是流函数。 由流线微分方程可知， 对于平面流动：
dx = dy 或 udy − vdx = 0 uv
船舶流体力学第八章 波浪理论_OK
（8.1.17 ） 根据假设（２）（8.1. 4）可简化为
压差 静压力项 波动引起的压力项
17
§8.2 小振幅波速度势
........
（8.2.1 ）
18
分离变量法求解：令 ∴（8.2.2 ）式入拉氏方程 （
（8.2.2） 关于 Z 的待定函数 ）
通常
为二阶齐次常微分方程 （8.2.3 ）
永远无旋
7
∴解波浪问题 △φ =0 边界条件 φ
V 柯西 拉格朗日积分
P
8
§8.1.2 微振幅波边界条件
基本假设：
1）理想不可压重流体
2）运动是无旋的
3）波浪是微振幅波 二元的
λ ＞＞ h
波长
波高 h＝2A 波幅
基本思路：拉格朗日积分方程 动力学边界条件 波浪方程
运动学边界条件
9
1. 微幅波的拉格朗日方程 考虑重力作用时，不可压理想势流的 拉格朗日方程为
12
3. 自由面上运动学边界条件 自由面上液体质点永远在自由面上
x=f( a,b,t )
（8.1.8 ）
拉格朗日法 邻点
a,b 为t=0时该质点的坐标（为常数） (8.1.9)
z=h(a,b,t ) P 点恒在自由表面上 ∴
（8.1.10 ）
13
因为F(x, z,t) (x,t) z
x dz 0
0
+ A)2
2
dx -
1 r gLA2
2
代入式 8.2.9
V L rgA2 cos(kx t)dx L 1 rgA2[1 cos 2(kx t)]dx
0
04
∴V 1 rgLA2
4
C. 单位长度（Y 方向）平均能量
《流体力学》教学大纲
《流体力学》教学大纲第一章绪论了解流体力学的任务、与科学及工程技术的关系、在推动社会发展中的作用；了解流体力学的研究方法。
第二章流体及其物理性质理解质点、质元概念和连续介质假设；理解流体的主要物理性质，特别是易变形性和粘性；掌握牛顿粘性定律和粘度计算；了解无粘性流体与粘性流体、可压缩流体与不可压缩流体分类。
第三章流动分析基础理解描述流体运动的数学方法，理解描述流体运动的几何方法；掌握流线和迹线方程；掌握流体质点导数表达式；了解流体的变形特性；理解流体分类，掌握层流和湍流判别。
第四章微分形式的基本方程理解微分形式的连续性方程；理解作用在流体之上的力；理解N-S 方程及其意义；掌握静止重力流体中的压强分布规律及计算；了解运动流体中的压强分布特点。
第五章积分形式的基本方程掌握积分形式的连续性方程及其应用；掌握伯努利方程及其应用；掌握积分形式的动量方程及其应用；了解动量矩方程和能量方程。
第六章量纲分析与相似原理掌握量纲分析法及其应用；理解相似概念和相似原理；掌握重要的相似准则数及应用。
第七章流体的平衡掌握流体静力学基本方程；了解相对平衡问题；掌握静止流体对平壁和曲壁总压力计算；了解浮力和稳定性。
第八章不可压缩粘性流体平面势流了解无粘性流体无旋流动一般概念；掌握速度势、流函数概念和计算；理解平面势流和基本解；了解绕机翼和叶栅的平面势流。
第九章不可压缩粘性流体内流了解管道入口段流动；理解二元平板间粘性流动；掌握圆管泊肃叶公式及其应用；了解湍流概念；掌握圆管沿程损失计算；理解局部损失概念；了解明渠均匀流。
第十章不可压缩粘性流体外流理解边界层概念和普朗特边界层方程；掌握边界层厚度计算；掌握无压强梯度平板边界层近似计算；理解边界层分离概念；理解绕流物体阻力；了解自由湍流射流。
第十一章可压缩流体流动基础理解声速、马赫锥与激波概念；掌握等熵流伯努利方程和气动函数计算；理解一维变截面管定常等熵流动；了解摩擦与热交换等截面管道流；掌握正激波气动函数计算；了解二维超声速流动。
《流体力学》第八章绕流运动解析
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
同济大学流体力学(下) 朱立明 课件
等流函数线与流线的关系； 等势函数线代表“等高线”的概念，流速为等高 线的梯度(速度方向)； 流体是从“低处向高处”流动。
流网：等流函数线和等势函数线
两线正交（证明）
0
§8-2、平面无旋流动
流函数与流量的关系
dq ux dy u y dx d
结果一样
M u v0 (1 ) sin 2 r 2 v0 r
§8-4、势流叠加
圆柱表面的速度分布： 圆柱表面的压强分布：
u r 0 u 2v sin 0
po
cp
2
v p
2 0
2
v2
p p0 2
2 v0
有限元法(任意微分方程)
用”区域”平均满足方程代替”点”满足的方 程
有限简单基本解法(无旋流体)
势流叠加（未知数少）
补充
复数变换
有一变换将z平面变换到 平面
1 z z
如在z平面上有一圆（r=1）
1 1 1 re i (r ) cos i(r ) sin r r re
Q AB Q CD Q AB dx x
2 Px u x dy dx U u x dy dx x 0 x 0
K AB dx x
K AC QACU
§8-7、附面层动量方程
p Px dx o dx x
2 0
v u 0 x y
2 i 0
无旋流
存在速度势Φ
u ,v x y
平面势流
平面流 不可压缩
《化工传递过程基础》课程教学大纲
《化工传递过程基础》教学大纲一、说明（一）本课程的目的、要求《化工传递过程基础》课程是一门探讨自然现象和化工过程中动量、热量和质量传递速率的课程。
将化工单元操作（化工原理）的共性归纳为动量、热量和质量传递过程（"三传"）的原理系统地论述，将化学工程的研究方法由经验分析上升为理论分析方法。
本课程的教学目的是了解和掌握化工过程中三传现象的机理及其数学描述。
确定边界条件从而分别求出过程的解析、数值解或转化为准数关联式，培养学生分析和解决化学工程中传递问题的能力，为在工程上进一步改善各种传递过程和设备的设计、操作及控制过程打下良好的理论基础。
具体为包括动量传递、热量传递和质量传递过程、非牛顿流体中的传递现象、粘弹性及广义牛顿流体连续性方程和运动方程及其应用、边界层方程及其应用、湍流理论评价、能量方程、对流传热的解析、温度边界层、平壁和楔形强制层流传热的数学描述、湍流传热的解析计算、自然对流的传热过程等。
（二）内容选取和实施中注意的问题本课程总学时为32学时，理论课讲解时应注意对化工过程中"三传"的类似关系进行研究理解，使学生掌握化学工程专业中有关动量、热量和质量传递的共性问题，课后注意安排一定量的习题。
（三）教学方法本课程采用多种教学方式与教学手段相结合，以讲授为主，电化教学为辅，课堂教学的重点是强调基本理论和分析方法，如何根据具体过程建立其物理模型和数学模型，培养学生运用知识的能力。
（四）考核方式本课程为考试课，平时考勤及作业20%+期末考试成绩80%，满分100分。
二、大纲内容第一章流体流动导论1．牛顿型流体的粘度2．非牛顿型流体的类型3．圆管中的层流流动说明与要求：(1) 掌握牛顿型流体和非牛顿型流体得基本概念。
第二章动量、热量与质量传递导论1．动量、热量与质量的通量表达式2．总衡算方程3．微分衡算方程说明与要求：(1) 掌握总质量衡算方程、总能量衡算方程与总动量衡算方程(2) 单组分系统、多组分系统的微分质量衡算方程、微分能量衡算方程与微分动量衡算方程。
平面势流的叠加流动
沿包围圆柱体圆周的速度环量为
Γ
v ds
V r 1
r02 r2
2 sind
0
v
0
1 r
V1
r02 r2
sin
均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。
速度为v∞的均匀直线流绕半径为r0的圆柱体无环量的平 面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加 而成的平面组合流动来代替。
四、绕圆柱体无环量流动 均匀直线流与偶极流叠加
均匀直线流
V x V y
偶极流
M 2
x r2
M
2
x x2 y2
M
2
y r2
M
2
y x2 y2
流函数
M V y 2
y x2
y2
V
y
1
M 2V
1 x2
y2
流线方程
My
V y 2 x2 y2 C
C0
零流线方程
V
y 1
M
2V
1 x2
y2 0
y0
x2 y2 M 2V
y0
x2
y2
M 2V
r02
四、绕圆柱体无环量流动 均匀直线流与偶极流叠加
零流线方程
V
y 1
M
2V
1 x2
y2 0
y0
x2
y2
M 2V
r02
流函数
V
y1
r02 x2
y2
V 1
r02 r2
r
sin
势函数
V
x
M 2
x x2
V2
vr 0
v 2V sin
p
流体力学-知识点
第一章 流体的基本概念质量力：f X i Yj Z k =++表面力：0lim =limA A P T p AAτ∆→∆→∆∆=∆∆/w w g s γργγρρ== =/体积压缩系数：111dV d V dpdp Kρβρ=-==温度膨胀系数： 11dV d V dTdTραρ==-pRT ρ= =du du T Adydyμμτμνρ= =第二章 流体静力学欧拉平衡微分方程：()dp Xdx Ydy Zdz ρ=++0p p h γ=+ vv a v p p p p p h γ'=-=-=12sin A p l Kl A γα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭匀加速水平直线运动中液体的平衡：0arctan s a a ap p x z ax gz C z x g g g γα⎛⎫⎛⎫=+--+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=匀角速度旋转运动容器中液体的平衡：2222220222s r r rp p z z C z g g g ωωωγ⎛⎫=+--== ⎪⎝⎭静止液体作用于平面壁上的总压力：1．解析法：C c c D C C J P h A p A y y y Aγ===+2．图解法：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点即是压力中心D 。
第三章 流体运动学基础欧拉法：速度为()()(),,,,,,,,,x x y y z z u u x y z t u u x y z t u u x y z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩加速度为x x x x x xx y z y y y y y y x y z z z z z zz x y zdu u u u u a u u u dt t x y zdu u u u u a u u u dt t x y z du u u u u a u u u dt t x y z ∂∂∂∂⎧==+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪==+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂==+++⎪∂∂∂∂⎩()u a u u t ∂=+⨯∇∂0utu t⎧∂≠⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩非恒定流： 恒定流： ()()u u u u ⎧⨯∇≠⎪⎨⨯∇=⎪⎩非均匀流： 均匀流： 流线微分方程：xyzdx dy dz u u u ==迹线微分方程：xyzdx dy dz dt u u u ===流体微团运动分解：1．亥姆霍兹（Helmhotz ）速度分解定理 2．微团运动分解 （1）平移运动（2）线变形运动 线变形速度：x xy y z z u xu y u z θθθ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3）角变形运动 角变形速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=+⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=+⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=+⎪∂∂⎪⎝⎭⎩ （4）旋转运动 旋转角速度： 121212yz x x z y y x z u u y z u u z x u u x y εεε⎧∂⎛⎫∂=-⎪⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂⎪⎛⎫=-⎨ ⎪∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫∂⎪=-⎪∂∂⎪⎝⎭⎩3．有旋运动与无旋运动定义涡量：2xyzij k u xy z u u u ω∂∂∂Ω==∇⨯=∂∂∂有旋流：0Ω≠ 无旋流：0Ω= 即y z x z y xu u y z u u z x u u xy ∂⎧∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪∂⎪∂=⎪∂∂⎩ 或 000x y z ωωω⎧=⎪=⎨⎪=⎩平面无旋运动：1．速度势函数（简称势函数）(),,x y z ϕ （1）存在条件：不可压缩无旋流。
第八章 绕流问题
u
环流的速度分布规律
说明，纯环流中，任一包围原点的速度 环量等于常数。并称Γ为环流强度。
u rd
2
0
c rd 2c r
7
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（8－5）
（8－4）
式（8-5）称为拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称 为调和函数
3
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8.1.1 势函数和流函数
1 w v x 2 y z 1 u w y 2 z x 1 v u z 2 x y
在圆柱坐标系中，势函数为，且有：
2、源流和汇流 设想流体在单位时间内从源泉 点流出体积为 Q 的流体。如 果流体在间距为 1的平行平板 间向四周均匀扩散，这种流动 就称为源流。点称为源点，如 图所示。反过来，若流体从四 周向某汇合点集中，这种流动 称为汇流流动。点称为汇点。 由于流动是连续且对称的，任意点的速度为：
源流的势函数为 :
8.1.2 几种简单的平面势流 1、平行流（均匀直线流） 流场中各点的速度大小和方向都相同的流动称为平行流。 设x,y方向的速度分量分别为
8.1.2 几种简单的平面势流
显然，流线是一簇与轴成角的平行线，如 下图所示的实线。图中虚线为等势线，流 线和等势线正交。
ay bx ax by
y
2d
v
b dxc
dy
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称函数ψ为流函数。注意到Oxy平面的流动只有速度分量 ux和 uy，且它们都只是x和y的函数，由式(8.3a)知涡量 V 只有z方向的分量
17
第八章 势流
u x x y
(8.16b)
15
第八章 势流
速度势函数等于常数的曲线称为等势线。平面内由于x 和y的微小变化而引起的速度势函数φ=φ(x，y)的变化为
在等势线上φ等于常数，dφ =0，则有
d u x dx u y dy dx dy x y
0 u x dx u y dy
等势线斜率
V 0
即以速度势函数φ的梯度表示的速度场为势流场。
8
第八章 势流
将式(8.5)代入不可压缩流动的连续方程，▽· V= ▽· ▽ φ=0，即 2 0 0 (8.6) 或 在直角坐标系中上式可写为
2 2 2 0 2 2 2 x y z
V 0
(8.4)
2
第八章 势流
§8-1 势流
无旋流动或势流是指涡量等于零的流动。由式(8.3a)， 一个流体微元绕z轴的旋转角速度
1 1 u y u x z z 2 2 x y
上式的物理意义可理解为一个矩形流体微元的两个相互垂直 的边(分别平行于x轴和y轴)各自绕z轴的旋转角速度的算术平 均值(图3.13)，旋转就是物质线元随时间连续改变其空间朝 向或方位。一个流动是否有旋或涡量是否等于零，要看流体 微团在运动过程中是否改变其空间方位，而与流体微团的运 动轨迹无关。
c11 c22
也是方程(8.7)的解，式中c1和c2是不全为零的任意常数。
9
第八章 势流
在某些问题的求解中，应用圆柱坐标系比较方便。引 用式(3.11)，圆柱坐标系中速度势函数的梯度可表示为
势流速度分量
1 er e ez r r z
ux dy uy dx
(8.17)
16
第八章 势流
流函数
对于平面不可压缩流动，连续方程 u 0 可写为 u x u y 0 x y
仔细观察上式，启示我们定义一个函数ψ，令
ux , y uy x
(8.18)
则函数ψ将自动满足平面连续方程，这一点可以通过将上式 代入连续方程加以验证，即
13
n 上式中 n 是壁面的外法线单位矢量，U是壁面的运动
第八章 势流
§8-2 平面势流
平面流动指这样一种流动状态，即流场中各流体质点的 速度都平行于某一固定平面，并且速度和其他流场变量在此 平面的垂直方向上没有变化。如取该平面为Oxy平面，则在 垂直于Oxy平面的z轴上速度分量为零，且任一流场变量都不 依赖于z坐标，即
Vr 0, V cr, Vz 0
4
第八章 势流
以上三式中的a、b和c均为常数。对于(1)的平面简单剪切流 动，涡量可用式(8.3a)计算，得
u x z a x y
对于(2)和(3)，采用圆柱坐标下涡量的计算式比较方便，由 式(8.3b)得
u y
1 rV 1 Vr z r r r
在第3章通过对流体微团运动的分析知道，一个流体微 团的旋转角速度矢量等于速度矢量旋度的二分之一。称速度 矢量的旋度为涡量，即 如以 表示流体微团的旋转角速度矢量，则有 (8.2) 2
1
V
(8.1)
第八章 势流
涡量在直角坐标系中的表示式为
u z u y u x u z V y z i z x
在圆柱坐标系中
u y u x j x y k
(8.3)a
1 Vz V Vr Vz 1 rV 1 Vr ez er e z r r z r r r (8.3)b 无旋流动或势流即指涡量等于零的流动，即
引用兰姆-葛罗米柯方程(4. 13)，则有
等于零，重复第4章4.3节的推导过程，可得
V2 gz c 2 p
(8.11)
11
第八章 势流
上式称为势流伯努利方程，它与沿流线的伯努利式(4. 12b)在形式上是相同的，然而式(8. 11)右侧的c在全流场为 常数，可以对势流场内任意两点应用该式；而式(4.12b)右 侧的c只沿同一条流线为常数，该式只能应用于沿同一条 流线的两点；式(8. 11)只适用于无旋流动，而式(4.12b)既 可以应用于势流，也可应用于有旋流动。 注意式(8. 11)成立的条件：理想不可压缩定常势流， 质量力为重力，z轴铅垂向上。 势流问题的求解
u z u y 0, y z
即
u x u z 0, z x u x u z , z x
u y
u x 0 x y
u z u y , y z
u y
u x x y
7
第八章 势流
从数学上讲，上述诸式就是uxdx + uydy + uzdz成为某一标 量函数的全微分的充分和必要条件，设该标量函数为φ ， 则有 比较上式两侧，得
第八章 势流
第八章 势流
工程上遇到的绝大多数流动是复杂的三维流动问题， 即使对等密度流动，也需要确定ux、 uy 、 uz和p等4个变量， 它们通常是x，y，z和t的函数，寻求三维流动问题的解析解 是极其困难的。有一类流动，数学处理较为容易，常常可以 找到多维流动问题的解析解，这便是无旋流动，也称势流。
和
它们的涡量分别是
z 0
z 2c
5
第八章 势流
流体微团自身的旋转有一个重要的运动学特征，即在没 有受到力偶作用时，其旋转角速度，或者涡量，将保持不变； 而一个原来角速度为零的流体微团，除非受到力偶作用，不 会获得角速度而旋转起来。假设在流场中取一个球形流体微 团，对于在重力场作用下的等密度流动，作用在该流体微团 上的重力和压力对该流体微团无矩，因为重力作用线通过流 体微团的中心，而压强则垂直于流体微团表面，沿半径方向 指向球心。于是影响旋转角速度的只有球形微团表面的粘性 切向应力。如果再假设流动无粘，则流体微团将维持其角速 度不变。 以上结论是针对某一瞬时的球形流体微团推出的，但 由于总可以在任意时刻任一空间位臵定义类似的球形微团， 因此上述结论在所有时间对任一空间点成立。于是在某一 时刻无旋的流体微团，在此时刻以前或以后也是无旋的。 对于无旋流动，流体微团在运动过程中角速度始终保持为 零。 6
0, u z 0 z
(8.13)
此时只需考虑速度分量ux和uy，它们都只是x和y的函数。平 面流动是对工程领域和自然界普遍存在的三维流动的近似。 均匀来流垂直绕流长柱体，如对电线杆和烟囱的绕流，低速 机翼的飞行等，这些柱体的长度比其横向尺寸大得多。
14
第八章 势流
速度势函数 平面势流的速度势函数只是x和y的函数，φ=φ(x，y)， 速度分量ux和uy与φ的函数关系为 ux , uy (8.14)
第八章 势流
由上述结论可知，对于绕物体的理想不可压缩流动， 如果远离物体处流动均匀无旋，整个流场包括被绕流物体 周围也都将是无旋的；如果流动因物体在静止流体中开始 运动而引起，由于流动在初始时刻无旋，在以后时刻的整 个流场包括物体周围也将无旋。本章讨论的理想不可压缩 平面和轴对称流动，均为无旋流动。 速度势函数 式(8.3a)在直角坐标系中的分量形式为
2 2 2 2 2 2 2
或
2 0 (8.7)
式(8.7)称为拉普拉斯方程，简称拉氏方程。 x y z 为拉普拉斯算子。 拉氏方程是一个线性的齐次方程，它的一个非常有用 的性质是它的解的可叠加性，即如果φ1和φ2是方程(8.7)解， 则它们的线性组合
将式(8.18)代入上式
u y
x x y y
2 2 x 2 y 2
或
2 (8.19)
势流的基本控制方程包括式(8.6)和式(8.11)。先求解拉 普拉斯方程(8.6)得到速度势函数φ(x，y，z)，然后利用式 （8.5）求出速度矢量V(x，y，z)，再代入势流伯努利方程(8. 11)求解压强分布p(x，y，z)。
12
第八章 势流
为了求解方程(8.6)和(8.11)，还需给出适当的边界条件， 其中最重要的是给出固体壁面上的边界条件。对于粘性流 动，在固体壁面上既要求流体质点的法向速度与壁面的法 向速度相等，又要求流体质点无相对于壁面的切向滑移。 对于无粘流动，由于忽略了粘性影响，合理的边界条件应 该是允许流体质点沿壁面切向自由滑移，而保持对法向速 度的要求 (8.12) n U n n U 或 速度。当满足式(8.12)时，壁面上流体质点的速度矢量将 沿着壁面的切线方向这意味着壁面是流线(流面)；基于这 一点，流场中的流线需要时也可视为固体壁面。在无穷远 处的边界条件，如均匀流动的边界条件，不受无粘流动假 设的影响。
(8.8)
1 Vr , V , Vz r r z
拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的表示式则为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
(8.9)
拉氏方程(8.7)是在满足不可压缩流动连续方程和无旋的条 件下推出的，无旋流动通常为无粘流动，因此任一满足拉 氏方程的函数都可以用来描述理想不可压缩势流。
3
第八章 势流
考虑3个平面流动的实例：
(1)平面简单剪切流动，速度场为
u x ay, u y u z 0
(2)流体质点的运动轨迹是以z轴为中心的圆，采用圆柱 坐标系，速度场可表示为