实变函数试题库参考答案 (2)

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实变函数试卷及参考答案

考生答题2不得超此线5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积二. 填空题(3分×5=15分)1、设11[,2],1,2,n A n n n=-= ，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11______i i i i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑4、鲁津定理：_____________________________________________________________________________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________________________ _____________________________________________________________________________________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

实变函数试题库参考答案

《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。

实变函数第一章复习题及解答（2）

实变函数第⼀章复习题及解答（2）第⼀章复习题（⼆）⼀、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。

（× ）2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)PP P P P P ρρρ≥+。

（× ） 4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。

（√ ）5、设点P 为点集E 的外点，则P E ?。

（√ ）6、设点P 为点集E 的边界点，则P E ∈。

（× ）7、设点P 为点集E 的内点，则P 为E 的聚点，反之P 为E 的聚点，则P 为E 的内点。

（× ）8、设点P 为点集E 的聚点，则P 为E 的边界点。

（× ）9、设点P 为点集E 的聚点，且不是E 的内点，则P 为E 的边界点。

（√ ）10、设点P 为点集E 的孤⽴点，则P 为E 的边界点。

（√ ）11、设点P 为点集E 的外点，则P 不是E 的聚点，也不是E 的边界点。

（√ ）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。

（√ ）13、开集中可以含有边界点和孤⽴点。

（× ）14、E 是开集?E E =的内部（开核）。

（√ ）15、任意多个开集的并集仍为开集。

（√ ）16、任意多个开集的交集仍为开集。

（× ）17、有限个开集的交集仍为开集。

（√ ）18、闭集中的每个点都是聚点。

（× ）19、E '和E 都是闭集。

（√ ）20、E 是闭集?E E '?。

（√ ）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。

（√ ）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。

（× ）23、有限个闭集的并集仍为闭集。

（√ ）24、E 是开集?cE 是闭集。

（√ ）25、E 是完全集（完备集）?E E '=E ?是⽆孤⽴点的闭集。

（√ ）⼆、填空题1、设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=[0,1]；1E 的内部= 空集；1E =[0,1]。

实变函数本科试题及答案

实变函数本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 实变函数论主要研究的是：A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案：C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理？A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案：C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案：A4. 若函数f在区间[a,b]上连续，则以下哪个命题一定成立？A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义，则f在[a,b]上是______的。

答案：有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。

答案：1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。

答案：可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加，则f在[a,b]上是______的。

答案：可积三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。

答案：实变函数论主要研究实数域上的函数，关注的是函数的实值性质，如连续性、可积性等。

而复变函数论研究的是复数域上的函数，关注的是函数的解析性质，如解析延拓、复积分等。

2. 描述勒贝格积分的定义过程。

答案：勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间，然后选择每个子区间上的样本点，计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和，最后取这个和的极限，当这个极限存在时，就定义为函数的勒贝格积分。

3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。

答案：实变函数论在数学分析中的应用非常广泛，例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。

一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理，它在处理函数序列的极限问题时非常有用，特别是在概率论和统计学中，勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。

《实变函数》试卷及参考答案

《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。

实变函数习题解答(2)

第二章习题解答P ∈E '的充要条件是对任意含有0P 的邻域U(P ，δ)（不一定以0P 0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）。

而0P ∈0E 的充要条件则是有含0P 的邻域U(P ，δ)（同样，不一定以0P 为中心）存在，使U(P ，δ)⊂E 。

证明：（1）充分性，用反证法，若0P ∈E '，则0P 的某一邻域U(0P ，0δ)中至多有有限个异于0P 的点1X ，2X ，…，n X 属于E ，令ni ≤≤1min d(0P ，i x )=δ'，在U(0P ，δ')中不含异于0P 的点属于E ，这与条件矛盾。

必要性，设U(P ，δ)是任意一个含有0P 的邻域，则d(0P ，E )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )>0，则U(0P ，1δ)⊂U(P ，δ)。

因为0P ∈E '，所以，在U(0P ，1δ)中含于无穷多个属于E 的点，其中必有异于0P 的点1P ，即U(P ，δ)中有异于0P 的点1P 。

（20P 的邻域U(P ，δ)⊂E ，则d(0P ，P )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )，01)⊂U(P ，δ)，从而U(0P ，1δ)⊂E ，故0P ∈0E 。

2、设nR =R '是全体实数，1E 是[0，1]上的全部有理点，求1E '，01E ，1E 。

解：1E '=[0，1]，01E =φ，1E =[0，1] 。

3、设nR =2R 是普通的x o y 平面，2E ={(x ，y )|2x +2y <1}，求2E '，02E ，2E 。

解：2E '={(x ，y )|2x +2y ≤1}， 02E ={(x ，y )|2x +2y <1}， 2E ={(x ，y )|2x +2y ≤1}。

4、设n R =2R 是普通的x o y 平面，3E 是函数y =⎪⎩⎪⎨⎧=≠001sinx x x当当的图形上的点作成的集合，求3E '，03E 。

实变函数参考答案

习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。

四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。

2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。

同理可证第2个集合等式。

3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。

4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。

实变函数课后题答案第二章

习题2.11．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ．解 E =∅ ；[0,1][0,1]b E E E '===⨯。

2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ．解 E =∅ ；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤==3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．(1) 11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'= ⎪⎝⎭； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ； (4) B A B A =； (5) ︒︒︒=B A B A )(； (6) .)(︒︒︒=B A B A解 (1) 不一定。

如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1()n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞='=∅ 但是，总有11n n n n E E ∞∞=='⎛⎫'⊃ ⎪⎝⎭ 。

(2) 不一定。

如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=∅ 而.A B ''=R R =R(3) 不一定。

如设12={,,,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1n n E ∞===Q R , 而1.n n E ∞==Q 但是，总有11n n n n E E ∞∞==⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭ 。

(4) 不一定。

如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =∅ ，而{}A B b = 。

(5) 不一定。

如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b = , (,)B b c = ，而()(,)A B a c = ，(,)\{}A B a c b = .(6) 成立。

实变函数(复习资料,带答案).doc

《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。

中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。

实变函数答案(陕师大).

习题1.11．证明下列集合等式．(1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (cC B A A =)()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = .(2) cC B A A )(C \B)(=)()(c c C B C A ==)$)\(C A C A .(3) )(\C)\(B \cC B A A = c c C B A )( =)(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =.2．证明下列命题．(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂；(2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø；(3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A cc==== )()()()\(的充要条是：.A B ⊂(2) ccccB A B B B A B B A B B A ===)()()($(必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有cB A ⊂, 可得.∅=B A 反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与cB A ⊂矛盾.充分性. 假设∅=B A 成立, 则cB A ⊂, 于是有A B A c= , 即.\)(A B B A =(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()$ =, 即.\cC A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,cB x ∉ 于是,cB A x ∉ 但,B A x ∈ 与cC A B A =矛盾.充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A $()\( =. 3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意 ∞=∈1,n n A x 存在N 使得,NAx ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂ 又因为 ∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1∞=∞→⊂n n n n A A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ；(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→，则对任意实数c 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得nc x f 1)(+≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E(2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有nc x f 1)(+<, 于是 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E另一方面, 设 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<, 由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k kc k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ；另一方面, 设 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k nn k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0.由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有kc x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有kx f x f n 1|)()(|00<-. 取},max{21N N N =,则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+,从而kc x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ;综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E5．证明集列极限的下列性质．(1) cn n cn n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____；(2) c n ncn n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ；(4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ．证明 (1) cn n n nm c m n c n m m c n n m m cn n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____ .(2) c n n n n nm c m c n m m c n n m m cn n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛ . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n nm n n m cm cm n nm m n n A E A E A E A Ec n nm m n c nm m n nm cmA E A E AE )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞====∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n mA E AE .(4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m cm n nm n nm cm m n n A E A E A E A Ec n nm m n c nm m n n m cmA E A E AE )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞====∞=∞=∞→==1lim \\n nm n n mA E AE .6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且 (1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ； (3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim ．习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解令1111{,,,,}2345E =, 111{0,1,,,}234F =,(0,1)\D E =,则(0,1)ED =,[0,1]F D =.定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应.2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解定义::[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc adx x a c x x a b b a b a b aφ---=-+=+∀∈--- 可以验证::[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a b c d φ→为:;();(1,2.)2;.2d cbc ad x x D b a b a d c b ax c x a n n n b a c x a φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨+⎪-⎪=+⎪⎩可以验证::(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ?答不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R ．证明记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯. 任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =, 则得到单射:f A A A ⨯→. 因此由定理 1.2.2知A A A ⨯≤.若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤⨯. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯.对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ.6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==, \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+.则,A E D B F D ==. 定义: :A B φ→为:2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩可以验证::A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以A B ==ℵ.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ．证明对任意的,I J R ⊆，取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern定理知I =ℵ, 同理J =ℵ. 故I J ==ℵ. 习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集．证明因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集．证明对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q所以∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q .其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=- 且Q . 又因为Q Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ⊂，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=.其中)0(≥i E i 无限且不交.4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x .于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=，从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明定义映射}:)3,{(:E x dx E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有∅=)3,()3,(dy D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x dx ≤∈}:)3,{(，故a E ≤.习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么? 答直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q ],[. 2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明： (1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则⇔=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；(2) 公式)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π；(3) c b a C =],[．证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈∀，存在有理数列∞=1}{n n x ，使得x x n n =∞→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得)()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→.又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈∀，都有)()(x g x f =.(2) ],[,b a c g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即)),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.由(1)知：g f =. 故π为单射.(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ⊂R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明： (1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π；(2) ]1,0[⊂∀E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；(3) ],[b a F 的基数是c2．证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=，故π为单射.(2) ]1,0[,⊂∀F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射.(3) 由(1)知：cP b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c≤=，故c b a F 2],[=.4．证明：c n=C ．证明因为R R C ⨯~，而c =⨯R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n=C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．证明显然c E =⨯≤R R . 设00E x ∈，则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.第一章总练习题.1 证明下列集合等式．(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==； (2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为$)()()()()\c c c c c E EF E E F E E F E E E F E F ====,()\()()()\c c c EF F EF F E F F F E F ===.所以\\()()\E F E EF E F F ==.(2) 因为()\()()()($(\),c c c c E F G EF G EFG E G FG E G F G ====所以()()()G F G E G F E \\\ =..2 证明下列集合等式．(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ．证明 (1)1111$)()($ccn n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. (2)1111$)()($c c n n nn n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======.3．证明：22[][][]c cE f g c E f E g +≥⊂≥≥，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明若()()22c c x E f E g ∉≥≥, 则有()2c f x <且()2cg x <, 于是()()()()f x g x f g x c +=+<,故()x E f g c ∉+≥. 所以()()()22c cE f g c E f E g +≥⊂≥≥.4．证明：nR 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等．证明因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n=⨯⨯⨯=ℵ(推论1.3.1). 又因为0N =ℵ, 所以0Q n N ==ℵ, 故Q ~n N .5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？ 6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x于是.][Q ][Q 0∞==n n x x显然,Q ~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x =7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明记},R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x于是.][R ][R 0∞==n n x x显然,R~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．证明由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==n n A A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R cB A B ===9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明因为),()$),()\(B A A B B B A B A A ==又因为,)($(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A即.~B A10．证明：若,,D B B A <≤则D A <．证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <. 11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．证明假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =．证明同上.习题2.11．若E 是区间]1,0[]1,0[⨯中的全体有理点之集，求bE E E E ,,,'．解 E =∅；[0,1][0,1]bE E E '===⨯。

实变函数试卷2+答案

实变函数试卷2+答案一、判断题：（共26分，每小题2分）1．任何无限集合均含有可数子集。

（√ ） 2．集合E 的边界点一定属于E 。

（× ）3．若E 不是开集，则E 必为闭集。

（× ）4．任意多个开集之并仍为开集。

（√ ）5．零测集的任意子集是可测集。

（√ ） 6．设)(x f 在E 上L 可积, 则)(x f 在E 上有界。

（× ）7．若0=mE ，则E 一定是有限集或可数集。

（× ） 8．..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

（× ） 9．由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

（× ） 10．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则()f x 在E 上L 可积。

（× ） 11．设1G ，2G 是两个有界开集，且1G 是2G 的真子集，则12mG mG <。

（× ）12．设()f x 是区间[,]a b 上的有界变差函数，则()f x '在[,]a b 上L 可积。

（√ ） 13．设E 是可测集，{()}n f x 和()f x 都是E 上..a e 有限的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=..a e 于E ，则在E 上必有()()n f x f x ?。

（× ）二、单项选择题：（每小题3分，共15分）1. 设()f x 在可测集E 上L 可积且|()|0Ef x dx =?，则以下结论正确的是（ C ）A 、0mE =；B 、()0,f x x E =?∈；C 、()0,..f x a e =于E ；D 、以上答案都不对2. 设mE <∞，()f x 和1{()}n n f x ∞=都是E 上的可测函数，则()()n f x f x ?（在E 上）是()(),..n f x f x a e →于E 的 ( C ).A 、充分必要条件；B 、充分条件；C 、必要条件；D 、无关条件.3. 设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）A 、'[0,1]E = B 、 oE =? C 、E =[0，1] D 、 1mE =4. 下列说法不正确的是（ C ）A 、若B A ?，则B m A m **≤；B 、有限个或可数个零测度集之并集仍为零测度集；C 、可测集的任何子集都可测；D 、凡开集、闭集皆可测。

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。

2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。

3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。

4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。

5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。

6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。

7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。

8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。

9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。

实变函数测试题与答案

实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =, 则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂, 则E 为集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ⊂, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j n f x , 使得 .二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求1()f x dx ⎰.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦ 3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭; ∅.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉6. b a -.7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦ 10. ()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=⊄.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n =是一系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,使得E I ⊂, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ . 三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()SSS S S A B C A B CAB C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==, 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ,其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nP G n n n n nnn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+=⋅ =⋅=⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤⋅≤+++ 由于12x 在()0,1上非负可测，且广义积分1012dx x⎰收敛，则12x在()0,1上(L)可积，由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n xnx nx dx n x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）1.非可数的无限集为c势集2.开集的余集为闭集。

实变函数模拟试题及答案

实变函数模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是实变函数的基本概念？A. 极限B. 连续性C. 微分D. 积分答案：C2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有界但无界D. 无界答案：A3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，则下列哪个条件一定成立？A. f(a)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. f(a)=f'(a)答案：A4. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案：A5. 函数f(x)=sin(1/x)在x=0处：A. 连续B. 有界C. 不连续D. 无界答案：C6. 黎曼积分存在的条件是：A. 函数在积分区间上单调B. 函数在积分区间上连续C. 函数在积分区间上的不连续点构成一个零测集D. 函数在积分区间上的不连续点是可数的答案：C7. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的积分是：A. 0B. 1/4C. 1/3D. 2/3答案：A8. 若f(x)在[a,b]上可积，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在[a,b]上连续B. f(x)在[a,b]上单调C. f(x)在[a,b]上几乎处处连续D. f(x)在[a,b]上几乎处处有界答案：C9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的原函数是：A. x^3/3B. x^3C. 2x^3D. 3x^2答案：A10. 函数f(x)=x^(-1)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 无界答案：C二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上________。

答案：可积2. 函数f(x)=x^2的原函数是________。

答案：x^3/3 + C3. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的积分是________。

答案：无穷大4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分是________。

实变函数(复习资料,带答案)

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。

实变函数(复习资料_带答案)

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是nR 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数试题库参考答案

实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（）A 、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是（） A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测，B 是A 的真子集，则（）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是（） A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类，对运算（）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是（） A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。

实变函数习题二课后答案

实变函数习题二课后答案实变函数习题二课后答案1. 求下列函数的定义域：a) f(x) = √(4 - x^2)由于根号内的表达式必须大于等于0，所以4 - x^2 ≥ 0。

解这个不等式得到 -2 ≤ x ≤ 2。

因此，函数的定义域为闭区间[-2, 2]。

b) g(x) = 1 / (x - 3)由于分母不能为0，所以x - 3 ≠ 0。

解这个方程得到x ≠ 3。

因此，函数的定义域为实数集合中除去3的所有实数。

c) h(x) = log(x^2 - 5x + 6)由于对数函数的定义域要求x^2 - 5x + 6 > 0。

解这个不等式得到 x < 1 或 x > 5。

因此，函数的定义域为开区间(-∞, 1) 和(5, +∞)。

2. 求下列函数的值域：a) f(x) = x^2 + 2x + 1可以将函数进行完全平方，得到 f(x) = (x + 1)^2。

由于完全平方的结果必为非负数，所以函数的值域为[0, +∞)。

b) g(x) = 1 / (x - 3)由于分母不能为0，所以函数的值域中不存在0。

对于任意非零的y，可以解方程 1 / (x - 3) = y，得到 x = 3 + 1/y。

因此，函数的值域为实数集合中除去0的所有实数。

c) h(x) = log(x^2 - 5x + 6)由于对数函数的值域为实数集合，所以函数的值域为实数集合。

3. 求下列函数的奇偶性：a) f(x) = x^3 - x将函数进行变换，得到 f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。

由于 f(-x) = -f(x)，所以函数为奇函数。

b) g(x) = x^2 + 1将函数进行变换，得到 g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = g(x)。

由于 g(-x) = g(x)，所以函数为偶函数。

c) h(x) = sin(x)将函数进行变换，得到 h(-x) = sin(-x) = -sin(x)。

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《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||infi i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。

15、（×）理由: 因 C ==]2,0[]1,0[，但2]2,0[,1]1,0[==m m 16、（√）理由: 因 ∞=>=∞=1)()(n n f E f E 分17、（×）理由: 反例：]1,0(=E ，⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-∈=n nn n n n j i jj x jj x x f 2,,2,1]2,21(,0]2,21(,1)()( 把}{)(n j f 是按n 后按j 的顺序形成的函数列18、（×）理由: 因2S 的测度可能无限19、（√）理由: 因若1E （可测）E ⊂，则11)()(E a f E a f E >=>20、（×）理由: 反例：自然数集外测度为零。

21、（×）理由: 若1E 是E 的不可测集就不行。

22、（×）理由: 反例：),0(),,1(+∞=+∞=B A ，1)(=-A B m23、（√）理由: 因R c ∈∀，存在单调下降趋于c 的有理数列}{n r ，则有 ∞=>=>1)()(n n r f E c f E ，故可测。

24、（√）理由: 因mE E A m mE E A E m A E m =-+=-=)())(()(四、简答题1、答: 令f(2n) = 2n f(2n －1)＝－2（n －１）其中n=1, 2, 下面验证f 是{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射. （1）设m ∈{自然数全体}, n ∈{自然数全体}且f(m) =f(n)若f(m) =f(n)>0, 则m 、n 为偶数，f(m) =f(n)=m=n 若f(m) =f(n)≤ 0, 则m 、n 为奇数，f(m) =f(n)=1－m=1－n 即 m=n, 故而f 是单射。

（2）对于任意的m ∈{偶数全体}若m=0, 则有f(1)=0 ; 若m>0, 则有f(m)=m; 若m<0, 则有f(1－m)=m 故而f 是满射。

有（1）（2）得f 是一一映射。

2、答：令f(x)=tg(π(x －21))，下证f(x)是(0, 1)到R 的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单增连续函数，且 f((0, 1)) =R 所以f(x)是(0, 1)到R 的一一映射.3、答：令f(x)=tg(2π(１－x))，下证f(x)是(0, 1)到[0, ∞]的一一映射. 由三角函数的性质可知f(x)是(0, 1)上的严格单减连续函数，且f((0, 1)) = [0, ∞]所以f(x)是(0, 1)到[0, ∞]的一一映射.4、答：令f(3n)= n n = 1, 2, …下证f 是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射 (1) 对于任意的 3m, 3n ∈{能被3整数整除的正整数} 若f(3m)=f(3n) 则有 m=n, 所以f 是单射(2) 对于任意的n ∈{正整数全体}显然有3n ∈{能被3整数整除的正整数} 且 f(3n)=n 即f 是满射由（1）（2）得f 是{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射.5、答: 令f(x)= 2x 当x ∈(0,21) ; f(x)=2x+1 当x ∈(21, 1). 由 f(x) 的单调性, 易知f(x)是(0,1) 到(0, 1)⋃(2, 3) 的一一映射. 6、答: 令f(x)=x+1,显然，f(x)是{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射. 7、答：因对n ∀=,1σ。

有),[)1()1|(|+∞=≥=≥-n nxE f f E n 这样)(0)1|(|∞→→/∞=≥-n f f mE n ，故f f n ⇒/。

8、答： ,2,1=i S i，可测j i S S j i ≠Φ=,∑∞=∞==11)(i i i i mS S m9、答：因1°0=c 分2°0>c 时 )()(caf E a cf E >=> 3°0<c 时 )()(caf E a cf E <=> 故cf 在E 上可测。

10、答：设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使 E = F + N11、答：因⎪⎩⎪⎨⎧≥Φ<≤<=>1,10,]1,0[0],1,0[))(](1,0[c c Q c o x D而[0, 1]，Q ]1,0[，Φ均可测，故)(x D 可测。

12、答：有限集，可列集，康脱尔集。

分五、计算题1、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有x x f =)( 这样利用积分的性质得：⎰]1,0[)(dx x f ⎰=]1,0[xdx =21102211|==⎰x xdx 。

2、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有x e x f =)( 这样利用积分的性质得：⎰]1,0[)(dx x f ⎰=]1,0[dx e x =1|101-==⎰e e dx e x x 。

3、解：因为有理数集的测度为0，故在]1,0[上几乎处处有x x f sin )(= 。

这样利用积分的性质得：⎰]1,0[)(dx x f ⎰=]1,0[sin xdx =1cos 1|cos sin 101-=-=⎰x xdx 。

4、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x x f =)( 这样利用积分的性质得：⎰]1,0[)(dx x f ⎰=]1,0[xdx =21102211|==⎰x xdx 。

5、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x e x f =)( 这样利用积分的性质得：⎰]1,0[)(dx x f ⎰=]1,0[dx e x =1|101-==⎰e e dx e x x 。

6、解：因为00=mP ，故在]1,0[上几乎处处有x x f sin )(= 。

这样利用积分的性质得：⎰]1,0[)(dx x f ⎰=]1,0[sin xdx =1cos 1|cos sin 101-=-=⎰x xdx 。