蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究
勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题教案
《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学过程分析第一环节：情境引入创设情景：如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是上底面的直径。
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到C点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。
意图：创设引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：引导学生分析题意，明确已知信息，明确题目问题，引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论汇总方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，四种方案：A A A（1）（2）（3）（4）通过具体分析，得出最短路线，并计算出最短路线长。
让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念．就此问题的解决进行思路小结：将立体图形问题转化为平面图形问题，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，渗透了建模思想。
练习：1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？第三环节：拓展一：正方体内容：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到BBA渗透解题思路：即 1、展 -----（立体图形转为平面图形）2、找-----起点A，终点B或B′3、连-----最短路线AB和AB ′4、算-----利用勾股定理总结：对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。
初二数学蚂蚁绕圆柱问题
初二数学蚂蚁绕圆柱问题蚂蚁绕圆柱问题是一道经典的数学问题，可以用于帮助学生理解几何形体的性质和解决实际问题。
这个问题是这样的：假设我们有一个半径为r的圆柱体，蚂蚁位于圆柱的侧表面上，蚂蚁可以以固定的速度向上或向下爬行。
蚂蚁的速度足够慢，所以我们可以忽略重力的影响。
问题是，当蚂蚁从圆柱的侧表面出发，沿着圆柱的侧边爬行一圈，最后能够回到初始位置的最短时间是多少？为了解决这个问题，我们首先需要了解圆柱体的性质。
圆柱体由两个平行的圆面和一个侧表面组成。
当我们将圆柱体展开时，侧表面呈现为一个长方形，其中的长度等于圆周的长度，而宽度等于圆柱的高度。
所以，蚂蚁需要爬行的距离就等于这个长方形的周长。
现在，假设蚂蚁的速度为v，圆柱的半径为r，圆柱的高度为h。
我们知道周长等于2πr，所以蚂蚁需要爬行的总时间等于周长除以速度：2πr/v。
为了找到最短时间，我们需要确定速度的方向。
如果蚂蚁以速度v1向上爬行，可以定义向上为正方向，我们可以将速度表示为v1=|v|，即速度的绝对值。
那么，蚂蚁相对圆柱体运动的速度为v2=v1-2πr/t，其中t为蚂蚁绕圆柱体行走一圈需要的时间。
蚂蚁需要爬行的距离等于圆柱侧面的周长，所以蚂蚁相对圆柱体运动的时间为t=2πr/|v|。
将这个时间代入上一个公式中，我们可以得到蚂蚁相对圆柱体运动的速度为v2=|v|-2πr/(2πr/|v|)=|v|-|v|=0。
所以，蚂蚁相对圆柱体的运动速度等于0，即蚂蚁相对圆柱体保持静止。
这意味着蚂蚁绕圆柱体行走一圈的最短时间是0，因为蚂蚁只需要保持静止就可以回到初始位置。
这个问题的答案看起来有些奇怪，蚂蚁绕圆柱体行走一圈的最短时间竟然是0。
但这个答案是正确的，因为我们在问题的设定中忽略了重力的影响，并假设蚂蚁的速度足够慢，所以蚂蚁可以保持静止，而不会从圆柱体上掉下来。
这道题目给了我们一个启示：在解决数学问题时，我们需要仔细思考问题的设定和前提条件。
在这个问题中，我们忽略了可能存在的其他因素，如重力的影响，这导致了最终的答案可能与我们的直觉不一致。
勾股定理的应用(1)----蚂蚁爬行的最短路径
1 2
A
3
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多 少种情况？
(1)经过前面和上底面; 18 (2)经过前面和右面; 26 20 (3)经过左面和上底面 . 3
2 1 1 3 2 2
2
B
1 1
A
利用勾股定理解决问题，关键是 建立数学模型
找出问题中隐藏的直角三角形 或自己构造合适的直角三角形，
尝试把立体图形转换为平面图形。
9 15
B
B
Байду номын сангаас
B C
12
A
A
r=3,π=3
2πr =2×3×3=18
A
要把立体图形转化为平面图形哦！
拓展1
如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方 体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路 程又是多少呢？
B
A
10
B
B
10
A
10
A
10
10
C
拓展2
如果盒子换成如图长为3cm，宽为 2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个 相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口 的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程 是多少？ B B
0.3
0.2 0.3
0.2
0.3 0.2
A
2
A
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
小结
• 通过本节课的学习，你学会解决什么问 题？
选作： 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6, 求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
蚂蚁行程问题
蚂蚁行程问题模型1 立体图形展开的最短路径模型分析 上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬行一周。
到点B 的最短路径就是展开图中AB ′的长，22''''AB AA A B =+。
做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？例2．已知长方体的长、宽、高分别为30cm 、20cm 、10cm ，一只蚂蚁从A处出发到B 处觅食，求它所走的最短路径。
（结果保留根号）热搜精练1．有一个圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为。
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。
5．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？。
数学人教版九年级上册圆柱体表面蚂蚁爬行最短路线问题探讨
蚂蚁在圆柱表面爬行的最短路线问题的探究教学目标：（1）让学生学会转化，把空间问题转化为平面问题；（2）线段公理与勾股定理的应用；教学难点：如何把空间问题转化为平面问题；教学重点：线段公理与勾股定理的应用；教学设计探究一:请看题目：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺。
解题思路：要解决这道题首先应解决好缠绕一圈时最短长度是多少尺；探究二：有一圆柱，底面圆的周长为24cm，高为6cm，一只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽6cm处和长24cm 中点处，即AB长为最短路线.(如图)如果蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：探究三：如图，圆柱形容器高18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm。
设计意图：1、体会转化思想（1）把空间问题转化成平面问题（2）把复杂问题转化成简单问题2、提高综合利用数学知识能力如线段公理、勾股定理、对称的性质等3、体会三个探究问题中的联系与区别（1）探究一与探究二目的地不同，展开图对应点位置也不同。
（2）探究三是探究二的拓展。
蚂蚁行程问题
蚂蚁行程问题◐名师点金◑蚂蚁行程问题主要是讲蚂蚁沿立体图形表面行走的最短距离问题，解题技巧是将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助勾股定理等知识求出最短路程．模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬行一周。
到点B 的最短路径就是展开图中AB ′的长，22''''AB AA A B =+。
做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
类型1：圆柱中的最短问题例1.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A 爬到点B 处(点A,B 均在玻璃杯外部),如图所示,已知杯子高8cm,点B 距杯口3cm,杯子底面半径为4cm.蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程为多少(π取3)?拓展1：例1中的B 若改为在玻璃杯内部时，这时蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程又为多少(π取3)?例2.如图，圆锥体的高为8cm ，底面周长为4cm ，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A 点到B 点，路线如图，则最短路程为 。
类型2：长方体中表面的最短问题例3．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在外表面AB的中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．例4．有一个如图所示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长．八年级《蚂蚁行程问题》演练题1．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。
也说圆柱台表面蚂蚁爬行最短路径
直观简析蚂蚁爬行最短路径----- 几何画板应用案例探微江苏省扬州市高邮市司徒镇初级中学杨万元摘要：通过几何画板的动态效果直观反映探究内容，并利用其公式功能拓展问题本身关键词：建模函数质疑数学实验现代教育技术分类思想—.提出冋题：在与学生一起学习勾股定理相应章节时，遇到蚂蚁在圆柱体表面爬行的问题，总是心存疑虑。
出题者的本意，是关乎侧面的化曲为直，以及勾股定理的运用；可是将问题生活化了，就很难最贴切的仅仅化为侧面的事情。
不能总说，蚂蚁在没有上底的油桶，或没有上底纸筒上爬行，略嫌生活化不够。
一般会说在圆柱型木桩上，或是圆柱型石凳上。
但这样一来，蚂蚁到对应点就多了选择，可以经底面到达。
而有时，特别是圆柱较扁平时，经底面的路径，比单纯经侧面更短。
例如：圆柱的半径为1,高也为1•则单纯在侧面最短路径二\/彳2经c点的最短路径=3 进一步提问：什么情况下，什么样的路径是最短的?二•解析问题：为使问题简洁，可令圆柱的半径为单位 1.①高为h, E为上底边缘点，弧CE的长度为X, / COE的度数也为x （弧度制），最短路径长为y.则经E 点到最短路径二侧面上AE 的距离+底面上EB 的距离由此可知，在半径一定的情况下最短路径长 y 受x,h 两变量影响在几何画板中，建立直角坐标系，设立 h 为动画参数，②绘制函数图 像通过观察发现，在0-3.14160范围内，h 从小到大的变化过程中， 左点先是最低，后与右点相平，再后来右点一直最低。
也可通过创建此函数的导函数，③并绘制导函数图像。
图像在 x 轴上下的位置能帮助我们判定原函数的增减性，进一步印证其上感性B 为使核心问题在动态图形中体现出来，过图形与 y 轴交点作x 轴认识。
接下来，我们再来看看左右点相平这个关键点。
经反复实验， h 的值确定在1.5上下。
我们不妨推导一番。
左点的横坐标为0,则y=h+2右点的横坐标为，则y= ■. h 2 ~2左右相等，则h+2二h 2二22综上所述，当匕<4时，过c 点路径最短；r 4 当h = 4时，过C 点或单纯在侧面最短路径一样;r 4 2h 二 一 4即-= 4④解之得h=二2 -4 4当h> 4时，单纯在侧面路径最短r 4三•问题小结：与纯理论（高等数学）分析相比，虽显粗糙，却形象直观。
蚂蚁怎样走最近圆柱PPT课件
回顾与思考
A
从A到B的最短路径为 。
①
②
B
③
两点之间，线段最短。
圆柱的侧面展开图为 长方形 ，
且长方形的长等于 圆柱的底面周长 ；宽圆柱的高
为
。
回顾与思考
勾股定理：
形→数 Rt∆→ a²+b²=c²
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：
A
A
60
B ②把正面和上面展开成平面如图， 连接AB，由题意得：AC=60cm， BC=80cm
AB2=AC2+BC2=602+802=1002
B
∴蚂蚁爬行的最短路程为100厘米。
80
c
C A
B
③把左面和上面展开成平面如图， 连接AB，由题意得：AC=60cm， BC=80cm
B
AB2=AC2+BC2=402+1002=11600
60 ∴综上所述，蚂蚁爬行的最短路程为 100厘米。
40
A
c
40
1.有一只蚂蚁从一个正方体的顶点A沿表面 爬到顶点C，如果底面是一个边长为4厘米的 正方形，高为6厘米，则蚂蚁所爬的最短路 径是多少厘米？
C
A
D BC
A E BC
如图，长方体的长、宽、高分别为 3cm、2cm、4cm，点B离点C的1cm， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面 从点A爬到点B，需要爬行的最短路 程是多少？
x尺
x = 12
5尺
SUCCESS
THANK YOU
•
解：①把正面和右面展开成平面
D
如图，连接AB，由题意得：
圆柱体最短路径问题
圆柱体最短路径问题一、一个蚂蚁要从圆柱体的底面A点爬到顶面B点，且A、B两点在同一竖直线上，以下哪种路径最短？A. 直接沿圆柱侧面直线爬行B. 先沿底面圆周爬行一段，再竖直向上C. 先竖直向上爬行一段，再沿顶面圆周爬行到B点D. 将圆柱侧面展开，沿连接A、B的直线段爬行（在展开图中）（答案：D）二、在圆柱体上，有两点分别位于底面和顶面，且这两点连线与圆柱轴线成45度角，蚂蚁从一点到另一点的最短路径是？A. 沿圆柱侧面斜直线爬行B. 先沿底面圆周爬行到最近点，再竖直向上C. 沿连接两点的螺旋线爬行D. 将圆柱侧面按与轴线成45度角展开，沿连接两点的直线段爬行（在展开图中）（答案：D）三、圆柱体的高为h，底面半径为r，蚂蚁从底面边缘的一点到顶面边缘的同一直径上的另一点的最短路径长度是？A. hB. √(h2 + (2πr)2)C. √(h2 + r2)D. 无法确定，因为需要知道蚂蚁在底面和顶面的具体位置（答案：C）四、一个圆柱体的侧面被展开后形成一个正方形，蚂蚁从底面的一点到顶面对应点的最短路径是？A. 沿圆柱侧面斜线爬行B. 沿圆柱的高竖直爬行C. 沿底面圆周爬行到对应点正下方，再竖直向上D. 在展开的正方形中，沿连接两点的对角线爬行（答案：D）五、圆柱体上两点分别位于底面和顶面的不同位置，且这两点连线不与圆柱轴线平行，蚂蚁从一点到另一点的最短路径是？A. 沿圆柱侧面直线爬行B. 沿连接两点的螺旋线爬行C. 将圆柱侧面展开，沿连接两点的直线段爬行（在展开图中）D. 先沿底面圆周爬行到与轴线平行的点，再竖直向上（答案：C）六、圆柱体的高为10cm，底面半径为3cm，蚂蚁从底面圆心到顶面边缘的最短路径长度是？A. 10cmB. 3cmC. √(102 + 32)cmD. √(102 + (2π3)2)cm（答案：C）七、圆柱体上两点分别位于底面和顶面，且这两点连线与圆柱轴线垂直，蚂蚁从一点到另一点的最短路径是？A. 沿圆柱侧面直线爬行B. 沿底面圆周爬行到对应点正下方，再竖直向上C. 沿连接两点的螺旋线爬行D. 直接竖直向上爬行到顶面，再沿顶面圆周爬行到目标点（答案：B）八、一个圆柱体的底面半径为r，高为2r，蚂蚁从底面边缘的一点到顶面边缘的与底面点相距r的点的最短路径长度是？A. 2rB. √(5)rC. √(3)rD. 无法确定，因为需要知道蚂蚁在底面和顶面的具体位置（答案：B）九、圆柱体上两点分别位于底面和顶面的同一圆周上，且这两点连线与圆柱轴线成60度角，蚂蚁从一点到另一点的最短路径是？A. 沿圆柱侧面直线爬行B. 沿连接两点的螺旋线爬行，且螺旋线的升角为60度C. 将圆柱侧面按与轴线成60度角展开，沿连接两点的直线段爬行（在展开图中）D. 先沿底面圆周爬行到与轴线平行的点，再竖直向上（答案：C）十、圆柱体的高为h，底面半径为r，蚂蚁从底面边缘的一点到顶面边缘的与底面点相距πr/2的点的最短路径长度是？A. √(h2 + (πr/2)2)B. √(h2 + r2)C. √(h2 + (2r)2)D. 无法确定，因为需要知道蚂蚁在底面和顶面的具体位置（答案：A）。
圆柱(台)表面蚂蚁爬行最短路径分析
圆柱(台)表面蚂蚁爬行最短路径分析摘要：本文构建了圆柱和圆台表面最短路径的函数模型，给出了最短路径的几何解释，论证了圆柱表面最短路径问题，提出了一个基于数学实验的圆台表面最短路径的猜想．关键词：圆柱表面；圆台表面；最短路径；数学实验；数学猜想问题提出北师大版八年级数学教材上册，提供了一个利用勾股定理解决实际问题的应用背景：如图1，有一个圆柱，在圆柱下底圆周上的a 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与a点对应的b点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？然而在实际教学情境中，有学生会问，如果蚂蚁不沿着侧面而是圆柱表面爬行，蚂蚁爬行的最短路程应该是怎样的呢？作者费孝文在《探求蚂蚁爬行的最短线路》（《中学数学教学参考》2010年第1-2期）一文中叙述了该问题的课堂探究实录：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，①当hr时，沿着侧面对角线走路程最短，距离为；③当h=r时，两条路径距离相等．作者徐伟在《再谈蚂蚁爬行试探最短路程》（《中学数学》2010年第4期初中版）认为，解题过程不够严密，因为蚂蚁从点a出发沿着圆柱的表面爬行到b点的路程，除了以上两种外，应还存在许多从a到b的路程．如图1，设m是上底面圆周上一点，在路径a →m→b中，由m点的不确定性，决定了从a到b的爬行路径有很多种，到底哪一种走法路程最短？徐先生只是说通过《几何画板》也找到了最短路程，并指出几何画板终究是实验探究，它无法代替数学的最高权威——证明. 然而徐先生接着笔锋一转，谈起了教学反思三得，并未给出它的证明．笔者通过实物实验，肯定了以上两文的结果，但觉得意犹未尽，于是利用高等数学知识和数学软件，对这一问题做了以下尝试．问题解决虽然圆柱体表面在整体上并不光滑，但它由分片光滑可展曲面（平面与圆柱面）拼接成，局部范围内，平面上的短程线是直线段，圆柱面上的短程线是圆柱螺线，它们均可展成同一平面上的直线段．如图2，将圆柱半个侧面和上底展开成平面，使它们在m点处相切，侧面展开为矩形adbc，上底面圆为⊙o，圆周上和b，c对应的点为b′，c′．问题转化为求摆线弧b″b上点b′经点m到点a的折线段amb′的长度的最小值．为此，设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，∠c′om=x（0≤x≤π），则cm=rx．在△amc中，am=．在△omb′中，mb′=2rcos．设折线amb′的长为f（x），则f（x）=am+mb′=+2rcos（0≤x≤π）．f（x）在区间［0，π］上的导函数为f ′（x）=r－sin．（2．1）（１）f ′（x）在（0，π）内最多有一个零点首先，对（２．1）式变形，设x=tanθ．（2．2）其中θ=∠cam，由0≤x≤π知0≤θ≤arctan（（２）f（x）在区间（0，π）内若有稳定点，则是极大值点若存在x0∈（0，π），使得f ′（x0）=0，则有=sin，或者h=rx0cot．（2．5）如图3，在rt△acm中，sin∠cam==．在△omb′中，有∠omb′=．所以sin∠omb′=sin=sin∠cam. 因为∠cam、∠omb′均为锐角，所以∠cam=∠omb′，a，m，b′三点共线．由此得f ′（x0）=0的几何特征是a，m，b′三点共线．比较（2．2）与（2．5），此时θ=∠cam=．利用h=rx0cot，得f ″（x0）=－cos=3－cos=cot2sin3－cos=sincos2－cos=sinx0cos－cos=cos（sinx0-x0）．因为00，恒有f ″（x0）0，则h′（θ）r时，沿着侧面对角线（即图3中的直线段ab，此时点m在点b）走路程最短，距离为f（x）min=f（π）=；iii．当h=r时，两条路径距离相等．这样就解决了前面提出的问题．可以进一步对f（x）取得最大值进行讨论，其实际意义是蚂蚁在两分片光滑曲面（圆柱面和平面）上，由点a经点m到点b′沿测地线（圆柱螺线与直线）前进的最大距离．这要比较f（0），f（π），f（x0）（（x0≠0）为f（x）的稳定点），几何上看就是确定图3中三直线段acb″、amb′和ab的哪个长度最大．i．当k≥2即h≥2r>0时，f（x0）不存在，f（0）=2r+h>f（π）=，f（0）=h+2r是最大值．ii．当k0，联合解得k≥（≈1.1874），于是当≤k<2时，f（x0）是最大值．同理可判断当0<k<2时，f（0）始终不是最大值；当0<k≤时，f（π）是最大值．问题拓展如图4，有一个圆台，在圆台的下底圆周上的a点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与a点对应的b点处的食物，沿圆台表面爬行的最短路程是多少？我们可以通过建立路径函数研究其最值．设m是上底面圆周上一点，a→m→b是其中的一条路径，a→m的最短路径是侧面展开平面上a，m两点最短距离am，m→b的最短路径是上底面两点m，b之间最短的距离mb．如图5，将圆台半个侧面和上底展开成平面，使它们在m点处相切，半个侧面展开面为扇环adbc，扇环的圆心为g，上底面圆为⊙o，圆周上和b，c对应的点为b′，c′．设圆台母线长为h，上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为r，∠c′om=x（0≤x≤π），∠cgm=θ，则弧c′m=rx，弧cm=mθ．设gc=m，则==，得gc=m=，ga=m+h=．在△omb′中，mb′=2rcos．又由于mθ=xr，故θ=x=x．在△amg中，由余弦定理得am2=（h+m）2+m2－2（h+m）mcosθ，所以am=．令f（x）=am+mb′，则f（x）=+2rcos．（3．1）（1）函数（3．1）的自变量x的取值范围如图6，设ae与扇环上底弧cb切于点e，令∠age=θ0，则cos θ0===，所以θ0=arccos．设扇环adbc的中心角为θ′=π，为圆台侧面展开的扇环中心角的一半，所以0＜θ′＜π．自变量x的取值分以下两种情况：当θ′≤θ0时，0≤θ≤θ′≤θ0，即0≤x≤π≤arccos，得0≤x≤π≤arccos，这时线段am 在扇环adbc内；当θ′＞θ0时，0≤θ≤θ0＜θ′，得0≤x≤arccos＜π，这时线段am有一部分在扇环adbc外．当点m在弧eb上时，设点e对应于上底圆周上一点e′，am的最短路线应该是ae+e′m，这时f（x）=ae+e′m+mb′≥ae+e′b′，所以，只需要研究点m在弧ce上时f（x）的极小值即可．综上，0≤x≤minarccos，π．（２）函数（3.１）的稳定点分析由于f ′（x）=－rsin，若存在x0使得f ′（x0）=0，即=rsin，（３．２）或者=sin．在△amg中，由正弦定理得=，所以sin∠amg=sin=sin ∠gmb′，所以∠amg=∠gmb′或者∠amg+∠gmb′=180°．（3.2）的解是x0=2∠amg或2（π－∠amg）（取其中较小的一个）．i．当∠amg=∠gmb′时，gm平分∠amb′，如图7，若∠gmb′＜90°，则am有一部分在扇环adbc外，不在f（x）的定义范围内，舍去；若∠gmb′=90°，则m，b′，b重合，am与弧bc相切，θ′=θ0，即x0=arccos=π，属于f（x）的定义范围且是f（x）的一个稳定点．ii．当∠amg+∠gmb′=180°时，则a，m，b′三点共线，如图8．当x=0时，∠gmb′=0°，由于∠amg=180°，则x0=0也是f（x）的一个稳定点．（３）一个猜想由于f ″（x）=－－cos．若存在x0使得f ′（x0）=0，则=rsinx0csc，则f ″（x0）=cotx0sin－r2cscx0sin3－cos=2（r －r）rcosx0sin-2（r－r）rsin3-rhsinx0coscscx0．推到此处，有意判定f″（x0）＜0，说明f（x）在x0处取得极大值，可思考再三不得其解，希望有兴趣的读者继续研究．通过数学软件反复实验得如下猜想：函数f（x）在0＜x＜minarccos，π内最多有一个极值点，而且是极大值点，函数f（x）的极小值取x=0和x=minarccos，π时的函数值中的较小者．。
蚂蚁吃食物的数学题圆柱
蚂蚁吃食物的数学题圆柱在自然界中，蚂蚁是一种非常活跃的生物，它们常常为了获取食物而奔走。
而每当蚂蚁在圆柱形物体上找到食物时，它们会选择一条最短的路径将食物运回巢穴。
本文将探讨蚂蚁在圆柱形物体上寻找食物的数学问题。
首先，让我们思考一个简单的问题：当蚂蚁在圆柱形物体上寻找食物时，它应该选择直线路径还是曲线路径？为了回答这个问题，我们需要了解蚂蚁的行为习惯和角度的计算。
首先，蚂蚁通常会选择最短路径，以最小化其行进过程中的能量消耗。
在一个圆柱形物体上，最短路径是一条直线，因为直线路径足够短且无需额外的弯曲。
但是，蚂蚁的行进方向与物体的外侧是成一定角度的，这是由于蚂蚁无法像人类那样通过观察来判断出物体的形状。
因此，蚂蚁会选择与圆柱形物体的表面平行的路径来获取食物。
现在，让我们进一步探讨蚂蚁在圆柱形物体上寻找食物的数学问题。
假设圆柱形物体的半径为R，蚂蚁的身长为L，并且蚂蚁在圆柱形物体上的行进角度为α。
在这种情况下，我们需要计算蚂蚁的行进距离D。
为了解决这个问题，我们可以使用三角函数的知识来推导公式。
首先，我们可以用三角函数中的正弦函数计算蚂蚁与圆柱形物体的接触点之间的水平距离。
根据正弦函数的定义，该水平距离可以表示为R * sin(α)。
接下来，我们可以计算蚂蚁与圆柱形物体的接触点之间的垂直距离。
根据勾股定理，该垂直距离可以表示为sqrt(L^2 - (R - R * cos(α))^2)，其中sqrt代表开平方根。
最后，我们可以使用勾股定理计算蚂蚁的行进距离D。
根据勾股定理，蚂蚁的行进距离可以表示为sqrt((R * sin(α))^2 + (L - sqrt(L^2 - (R -R * cos(α))^2))^2)。
通过这个数学模型，我们可以计算蚂蚁在圆柱形物体上寻找食物的行进距离。
这个模型可以用于预测蚂蚁在不同形状的圆柱上寻找食物的策略，并为其他类似问题的研究提供了理论基础。
总结起来，蚂蚁吃食物的数学问题圆柱形是一个非常有趣的研究课题。
蚂蚁爬圆柱最短路径
蚂蚁爬圆柱最短路径你有没有想过，如果一只蚂蚁要从圆柱的底部爬到顶端，它会走多远呢？听起来好像是个小问题，可真要去想清楚，脑袋就有点大了。
哎，别急，咱们慢慢聊。
这个问题的意思就像是生活中有些看似简单的问题，放到眼前一看，却突然复杂了起来。
就好比你站在一个柱子旁边，望着蚂蚁在上面爬，光是想象那个场景，你就觉得自己突然变得好像特别小，站在那个柱子旁边就像站在一座大山前，心里不免有点愣住。
要想搞清楚蚂蚁怎么走最短，我们得想明白：蚂蚁的“世界”是圆柱的表面，换句话说，蚂蚁不能像人一样直接穿越柱子，得在圆柱外面爬。
这时候，如果咱们自己站在柱子旁边，俯视着它的表面，蚂蚁不就变成了一个在柱面上努力爬行的小小生物吗？它可能会先在圆柱的底部绕一圈，再向上爬，最后到达顶部。
可是，这样爬过去的距离，未必是最短的。
你看，圆柱的“皮”是可以展开的呀，咱们把它展开，想象一下，把圆柱的外表当作一张长方形的纸，把蚂蚁从底部开始的位置放在纸的最下方，再把它要到达的顶部放在纸的上方。
这样，蚂蚁的路径就不再是围着柱子一圈一圈地绕，而是可以直接沿着这张展开的纸走，穿越的路径就是一条笔直的线，短得多。
这就像是一个绕远路的故事，大家都知道，走小路不一定走得快，有时候大路一条，结果就是直接又快又方便。
你想想，蚂蚁想爬得又快又少费劲，当然选直线走！就像我们生活中，总喜欢选择直截了当的方式，哪怕你不一定理解其中的原理，大家心里都清楚，直线永远是最简单直接的路径。
想象一下，如果把圆柱的外皮展开成一张长方形的纸，那蚂蚁从底部到顶部的最短路径，就是沿着这张纸上的一条对角线走，心里一清二楚，一下子就能到达。
多省力啊！你知道，蚂蚁可是个很聪明的小家伙，应该不会选择绕弯路的。
否则，它干脆就可以直接去翻书写“路径规划”了。
再说了，这种“拆解”思路，跟我们生活中的许多事也有点相似。
比如，很多时候我们面对困难，都喜欢绕着走，结果越绕越远，最后才发现，原来最简单的办法就是直面它。
蚂蚁延圆柱侧面爬行的最短路径
蚂蚁延圆柱侧面爬行的最短路径
假设圆柱的高为$h$，半径为$r$，蚂蚁从圆柱侧面底部爬行至顶部。
蚂蚁爬行路径的最短路线应该是一个优化问题，可采用能量最小原理
求解。
考虑蚂蚁在圆柱表面爬行的过程中，由于重力的作用，其重心会向下
移动一定的距离，从而需要消耗一定的能量。
为了使蚂蚁到达圆柱顶部所
需的能量最小，需要使其路径尽可能靠近圆柱中心，从而减小其所需的爬
升高度，减少能量消耗。
因此，最短路径应该为圆柱侧面上，以其中心线为直线，且与底面重
合的直线，形成的螺旋线。
这条螺旋线在圆柱侧面的投影是一条等腰梯形，其长度为圆柱高$h$，宽为圆周长$2\pi r$。
根据勾股定理，可得蚂蚁爬
行的最短距离为$\sqrt{h^2+(2\pi r)^2}$。
勾股定理的应用——寻求蚂蚁爬行的最短距离
1
方法总结：侧面展开图 中两点之间的连线段即 最短路径。
三、合作探究之长方体
以小组为单位,研究蚂蚁在长方体的A点沿表面爬行 到G点的问题. 表面 A点爬行到G点？ 讨论：1、蚂蚁怎样沿长方体表面从 2、有最短路径吗？若有，那条最短？你是怎
一、问题情境
在一个圆柱石凳上， 若小明在吃东西时留下了一 点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息， 于是它想从A处沿石凳的侧 面爬向B处，你们想一想， 蚂蚁怎么走最近？
A
B
二、合作探究之圆柱
研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行到B点的问题. 讨论：1、蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2、有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎 样找到的？
H
E
G
D
F
4
2
CA1Fra bibliotekB例题变式：
H
E E
上
F 1 G
左
H
上
E
2 F 4
前
G
前
F
E 4 C
G
D
F
4
H
2
C
D
2
4 A
G
右
A
A 1
B
（3）
2
1
B
（1）
2 2
2
A
（2）
1
B
第一种： AE 2 (1 4) 29 第二种： AE 1 (2 4) 37
2 2 2
第三种： AE 4 (1 2) 25
么确定呢？H
F D A B
G
E
蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究
一类蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究一、请阅读下列材料：问题：如图(1)，一圆柱的底面半径、高均为5cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如下图(2)所示：设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+2=52+(5π)2=25+25π2路线2：高线AB+底面直径BC．如上图(1)所示：设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)＞0∴l12＞l22，∴l1＞l2所以要选择路线2较短．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：(2)路线1：l12=AC2=_____；(3)路线2：l22=(AB+BC)2=_____(4)∵l12_____l22，(5)∴l1_____l2(填＞或＜)(6)∴选择路线_____(填1或2)较短．(7)(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．二、如图所示，一圆柱高AB为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种方案：图1是方案一的示意图，该方案中的移动路线的长度为l1，则l1=5+2a（cm）；图2是方案二的示意图，设l2是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度，则l2=________cm（保留π）．计算探究①当a=3时，比较大小：l 1________ l 2（填“＞”“=”或“＜”）；② ②当a=4时，比较大小：l 1________ l 2（填“＞”“=”或“＜”）；③ 延伸拓展：④ 在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm ．高为hcm ．⑤ ①若l 12=l 22，求h 与r 之间的关系；⑥ ②假定r 取定值，那么h 取何值时，l 1＜l 2？⑦ ③假定r 取定值，那么h 取何值时，l 1＞l 2？三、1.有一圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .2.如图，已知圆柱体底面圆的半径为π4，高为1，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，(沿圆柱表面)爬行到点C ，则小虫爬行的最短的路线的长度是 （结果精确到0.01）.3.如图，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从圆柱侧面爬行到点C ，则小虫爬行的最短的路线的长度是 （结果保留根式）.。
中考复习之——_蚂蚁爬行的最短路径问题
蚂蚁爬行的最短路径问题
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm
和1cm，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到
B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是.
2.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.
3.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为. 4如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是.
第1题第2题
B 1A B A 11D
C
D 1C 124
5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 .
6. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .
7. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .
8. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .。
蚂蚁怎样走最近——与圆柱体形状有关
蚂蚁怎样走最近李春秋有这样一个有趣的问题：如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。
在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（的值取3）图1这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形（如图2所示），从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。
像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。
图2上面我们是规定蚂蚁必须沿圆柱的侧面从A到B，那么无论圆柱的形状如何，上述的走法路线一定是最短的。
但是，如果问题没有规定，结论就不一定了。
例如：我们把圆柱的形状加以改变：高是7厘米，底面半径为8厘米，此时从A到B的最短路线还是图2中的线段AB吗？我们可以很容易算得，但是，若从A沿着圆柱母线以上底面的C，再到B，这时蚂蚁所走过的距离为。
图2中的线段AB已经不是从A到B的最短路线了，为什么会这样呢？其实把圆柱展开，点B的对应点是不惟一的，如图3所示，都是圆柱上B点的对应点。
所以在把圆柱中由A到B这样一个曲面路线问题转化为平面上的路线问题时，应考虑到A，B两点间的线段是不惟一的，A，B间的最短路线问题，应通过比较的长度进而作出判断。
图3看来，这个“最短路线”与圆柱的形状有关，也就是说，圆柱的高h与底面半径r的大小关系会影响最短路线的选择。
下面我们作进一步的探讨：一般的，我们设圆柱的高为h，底面半径为r，则如果我们取，则其实，在这个问题中，对于AB2，大家不难想到，而对于AB2的考虑又能很好的巩固圆柱的表面展开图，发展大家的空间观念，更能使得问题的考虑变得全面。
下面我们把圆柱换成长方体，再来讨论“最短路线”的问题：例：如图4所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。
在点A’处有一只蚂蚁，它想吃到与点A’相对的C点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？图4若把长方体的6个面分别称为上面、下面、前面、后面、左面、右面。
中考数学复习满分突破(全国通用)：专题20 蚂蚁爬行模型(解析版)
专题20蚂蚁爬行模型蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。
如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B 蜂蜜处的最短距离。
模型四：蚂蚁爬楼梯问题模型五：蚂蚁爬圆锥问题问题示意图展开图最短距离如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A 位置，食物在母线BC 的中点点D 处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A 向点D 处爬行觅先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长食，路线如图所示，求最短距离【培优过关练】1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为4cm的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）cm．A．B．4C．D．6故选：C ．【点睛】本题考查的是平面展开 最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点A 是棱长为2的正方体的一个顶点，点B 是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A B ，两点间的距离为（）AB C D3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径3dm R ，母线5dm l ，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，150COB ，D 为VB 上一点，VD ，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C 爬到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A ．B ．C ．15dm 2D ．∵ 150351802BC，∴设弧BC 所对的圆心角的度数为∴552180n，4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC ，2cm DC ．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（）cm ．A．14B．12C．10D．85．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）AB CD ．10BC ＝6，AC 为底面半圆弧长，所以AB ＝226(2)36 故选：B ．6．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行（）cm ．A ．9B ．14CD ．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A． B C．D．2【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B是母线PA的中点，4PA ，∴2PB ，8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A cm B．13cm C．cm D．cm故选：B．【点睛】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．5D．3510．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D 处，则最短路线长为（）A ．B ．332C ．D ．211．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为93、和1,A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．8【答案】B【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为____．13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm ，底面周长为24cm ，在容器外侧距下底1cm 的点A 处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm 的点B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm ．∵底面周长为24cm ，∴12cm EC ，∵AF CD ，∴1AE CF cm ，故答案为：15．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高18 厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．【答案】30π厘米【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.【答案】61【详解】解:如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;如图③:AM2=52+(4+2)2=61.∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.故答案为:61.17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4厘米．若一只蚂蚁从A点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC的中点M处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行_____s．根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即∵P点为AD中点，∴AP=5，在Rt△APB中，2PB AP∵蚂蚁的速度为2cm/s，∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5即此时蚂蚁需要6.5s；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达∵底面圆的周长为24∴底面圆的直径AB=∵AP=5，∴此时蚂蚁行走的距离为19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．【答案】13m##13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，5AC ，9312BC ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC ，即222512169AB ，13AB ，故答案为：13m ．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B 出发，沿表面爬到CD 的中点E ，请你求出这条线路的最短路径．21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？如图2，当爬的长方体的长是如图3，爬的长方体的长是∵1099785，它需要爬行的最短路径是【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【答案】(1)50cm(2)300cm【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC的长，圆柱的高即为AB的长，求出BC的长即为葛藤绕树的最短路程．（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．【详解】（1）解：如图，23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm的正方形，高为20cm；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）将长方体的侧面沿AB展开，取A B 的中点则2为所求的彩带长，AM NB AM222∵，AM AA A M此时215CD 当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图，此时22202020CD 当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图，此时235CD 由上可知小刚所需要的彩带最短是【点睛】本题考查了平面展开用了数形结合思想．24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也就确定了，我们把这个比值记作 T A ，即 CT A A BC A A 的对边(底边)的邻边(腰)，当60A 时，如 601T ．(1) 90T ， 120T ， T A 的取值范围是；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径14PQ ，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据： 1400.53T ， 700.8735 1.66T T ，）25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为12cm ，B 为母线OC 的中点，点A 在底面圆周上， AC 的长为4cm ．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O 是圆锥的顶点，点A 在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l ，圆柱的高为h ．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设 AD的长为a，点B在母线OC上，OB b ．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．∴26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图4所示，且1120AOA ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．27．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？。
人教版初三数学上册圆柱体表面蚂蚁爬行最短路线问题探讨
蚂蚁在圆柱表面爬行的最短路线问题的探究教学目标：（1）让学生学会转化，把空间问题转化为平面问题；（2）线段公理与勾股定理的应用；教学难点：如何把空间问题转化为平面问题；教学重点：线段公理与勾股定理的应用；教学设计探究一：请看题目：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___________ 尺。
解题思路：要解决这道题首先应解决好缠绕一圈时最短长度是多少尺；探究二：有一圆柱，底面圆的周长为24cm,高为6cm，—只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形•根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽6cm处和长24cm 中点处，即AB 长为最短路线.（如图）亠----- B r12 B如果蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？分析：探究三：如图，圆柱形容器高18cm,底面周长为"cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蜂蜜设计意图：一,1、体会转化思想（1）把空间问题转化成平面问题（2）把复杂问题转化成简单问题2、提高综合利用数学知识能力如线段公理、勾股定理、对称的性质等3、体会三个探究问题中的联系与区别（1）探究一与探究二目的地不同，展开图对应点位置也不同。
（2）探究三是探究二的拓展。
蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm。
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一类蚂蚁在圆柱体上爬行的最短路径探究
一、请阅读下列材料：
问题：如图(1)，一圆柱的底面半径、高均为5cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC．如下图(2)所示：
设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+2=52+(5π)2=25+25π2
路线2：高线AB+底面直径BC．如上图(1)所示：
设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225
l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)＞0
∴l12＞l22，∴l1＞l2
所以要选择路线2较短．
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”继续按前面的路线
进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
(2)路线1：l12=AC2=_____；
(3)路线2：l22=(AB+BC)2=_____
(4)∵l12_____l22，
(5)∴l1_____l2(填＞或＜)
(6)∴选择路线_____(填1或2)较短．
(7)(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才
能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．
二、如图所示，一圆柱高AB为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种方案：
图1是方案一的示意图，该方案中的移动路线的长度为l1，则l1=5+2a（cm）；
图2是方案二的示意图，设l2是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度，则l2=________cm（保留π）．
计算探究
① 当a=3时，比较大小：l 1________ l 2（填“＞”“=”或“＜”）；
② ②当a=4时，比较大小：l 1________ l 2（填“＞”“=”或“＜”）；
③ 延伸拓展：
④ 在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm ．高为hcm ．
⑤ ①若l 12=l 22，求h 与r 之间的关系；
⑥ ②假定r 取定值，那么h 取何值时，l 1＜l 2？
⑦ ③假定r 取定值，那么h 取何值时，l 1＞l 2？
三、1.有一圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
2.如图，已知圆柱体底面圆的半径为π
4，高为1，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，(沿圆柱表面)爬行到点C ，则小虫爬行的最短的路线的长度是 （结果精确到0.01）.
3.如图，已知圆柱体底面圆的半径为π
2，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从圆柱侧面爬行到点C ，则小虫爬行的最短的路线的长度是 （结果保留根式）.。