一元二次方程复习创新题

一元二次方程复习创新题

近年来，中考试题更加灵活和开放，更加注重应用和创新，思路正更成熟、更开阔，正从立意、情境等方面努力，不仅使试题设计有更多的创新，也通过试题更好地鼓励学生创新现以一元二次方程中的创新题为例加以说明。

1.定义新运算型

例1 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为：a b a b *=

+11，根据这一规则，方程x x *()+=

132的解是 （ ） A.x =2

3 B. x =1 C. x x 12231=-=或 D. x x 1223

1==-或 解析：通过阅读理解定义运算规则，学会在变化了的情境中运用“双基”解决问题，着眼于发展能力，这是考查学生素质的一种新题型。

2.完形选择填空型

例2 先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答。

（1）如果a 是关于x 的方程x b x a 20

++=的根，并且a ≠0，求________的值。 ①ab ②b a ③a b + ④a b -

（2）已知751222

x y x y +=，且xy ≠0，求________的值。 ①xy ②x y ③x y + ④x y -

解析：留空回填，完善试题，类似英语中的完形填空题，是中考题中新的亮点，解答这类问题应着眼于题设条件，看能推出何种结果。

3. 阅读理解型

例3 阅读下列例题：解方程x x 220--=||

解：（1）当x ≥0时，

原方程化为x x 220

--= 解之，得x x 12

21==-，（不合题意，舍去） （2）当x<0时，

原方程化为x x 220

+-=， 解之，得x x 12

21=-=，（不合题意，舍去） ∴==-原方程的解是，x x 12

22. 请参照例题解方程x x 2110

---=||，则此方程的根是____________。 解析：以例题的形式给出阅读材料，并在解题过程中暗示解题的思路技巧：通过分类、讨论，去掉绝对值符号，将含绝对值的方程转化为一元二次方程。

例4 阅读理解：符号“

”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：=ad-bc ，例如的计算方法为=3×4-2×5=12-10=2. 请根据阅读理解求满足下列条件的a 值：

.

4.判断改错型 例5 已知关于x 的方程()()k x k xk -+-++=12310

2有两个不相等的实根x x 12、。 （1）求k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，得

∆=---+()()()

234112k k k =-+-+=-+>412944

1213022k k k k

∴<

12，即当时，方程有两个不相等的实数根 （2）存在。如果方程的两实根互为相反数

则有x x k k 12

2310+=---=， 解得k =3

2，

检验知，k =

3

2是---=2310k k 的解， 所以当k =3

2时，

方程的两实数根x x 12、互为相反数。

当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案。

解析：这是一道查找解题过程是否有错误的阅读理解题，命题者有意设计的求解过程，正是抓住了学生的思维漏洞：当一元二次方程二次项的系数为字母代数式时，同学们在运

用根的判别式时易忽略字母代数式不为零这一条件（即k -≠10）；运用根与系数的关系定

理时，又易忽略方程必须存在实数根，即∆≥0这一前提条件，上面的解法正是错在这两个方面。

5、推陈出新的计算题

例6 已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：

x 2

-1=0 <1>

x 2+x-2=0 <2>

x 2+2x-3=0 <3>

……

x2+（n-1）x-n=0

（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>……；

（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.

点评本题以一元二次方程为载体，考查同学们的观察能力，从测试的角度看，本题可检测不同思维层次的学生.本题只要把握住等号左边可分解因式的二次三项式的特征即可解决.

6.自编应用型

例7编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答。

编题要求：①题目完整，题意清楚；②题意与方程的解都要符合实际。

解析：这类考题，一方面让学生参与编题活动，另一方面旨在考查学生的逆向思维能力，它能培养学生的创新实际能力。首先确定一个与增长率有关的一元二次方程，其次依据方程就可编拟符合实际意义的应用题。

7、时代气息浓郁的应用型

例8某工厂从今年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长.

经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计收入可达91万元；3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平.

（1）求出投资治污后，2月、3月每月生产收入增长的百分率；

（2）如果把利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的罚款额，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）

【分析】求解（2）时可在（1）的基础上先算出3月份的生产收入，然后再设出未知数求解.其中如果不投资治污每月收入22万元，但要受到环保部门罚款2万元，相当于每月收入20万元.