5.1 定积分的概念与性质-习题
第5.1节 定积分的概念及性质
§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。
注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。
5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。
第5章定积分95525
第五章定积分一、基本内容(一)基本概念1.定积分的定义:设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2 <••• < x n_^ < x^ b .把区间［a,b］分成n个小区间［x ij X i］称为子区间，其长度记为△X i =X i —X i」(i =1,2，…,n)在每个小区间［X i^X i］上任取一点q(X i」＜X i)，得相应的函数值f(E i)，作乘f GM X i (i =1,2,…,n)把所有这些乘积加起来，得和式nZ f(©i)心X i，i =1如果不论区间［a,b］分成n个小区间［X i」,X i］的分法如何及点©怎样取法，当分点无限增多(记作n T K)而每个小区间长度无限缩小(h=max{A x i}T 0)，此和n式的极限存在，即设I “im S f^JA X i，贝U称函数f(x)在［a,b］可积，并将此极b限值I称为函数f (X)在［a,b］上的定积分。
记作/ f (x)dx，即L aa f(x)dx=i f G)i X i.(二)定积分的计算1.变上限积分X定义如果函数f(x)在［a,b］上连续，则①(x) = J f(t)dt, xFa,b］是积分上限XaX的函数，称f f(t)dt为变上限的定积分.“a2.牛顿-莱布尼兹公式设函数f(x)在［a,b］上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则b baf(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) .3. 定积分换元积分公式设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有b Paf(x)dx =『 伴(t))®'(t)dt在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则bbau(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分-be b 驭a f(x)dx. blim f f (x)dx .c a ^If g dx +J %! f (x)dx .2 .无界函数的广义积分(1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 UX —j a十b baf(x)dx =绞^+［七f(x)dx .⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝UX —j b —bb一名［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3)设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X TbCb［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dxc Yb=lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx .二、练习题5. 1计算下列定积分：丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX⑴［f(x)dx=bb (2) J f(x)dx =a 二-be⑶ Lcf(x)dx =b- av(x)du(x).1dx上 2”e%x.所以原式=-In | e 」+ Je^x -1『2 +山—e 2x (4) 『|sinx - cosx| dx .JI解：原式 =『(cosx - sin X)dx + g(sin x - cosx) dx4=sinx]# +cosx|4-cosx|2—sinx|24=返+2^_1+返 _1+返=2(血-1).2a⑸ Lx[f(x) + f(—x)]dx.aa解：原式=L xf (x)dx + xf (-x)dx ,解：原式= "2COS 2|f\sec 2xd- 今 2 2解：原式=f 6 dx= .016J x + 9 詈 |(2|063x 2 16j xdx+[于 dx|?=12.16解 :原式上21 -e 2xJn 2J 1 - e 2x_ln 2 dx= 0= dx- 訴-e 2xJn 2e2x兀_x edx£上2 de 2xL 2xP 1 -e上2 de^J e ^x _1丄 1 /n2d(1-e 2x )2^由于dx=In | X + J x 2 -1 | + C .『2 —In(2+7l)+¥XCM_xL| —co I 00+ co u」X—L)Xpx+L +CML | CM+ co _cL | COIIL I oq oT —X-I CM+ -1 CM+CO _c-I 00II■ I00IIXCMXCM VX L I CJ_P¥3n-x —L3X—L。
5.1 定积分的定义
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
5.1 定积分的概念与性质
【案例5.1】曲边梯形面积如何计算?
【分析】
须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局 部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出 曲边梯形面积。
下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割
在区间 [a,b]内任意插入 n 1 个分点
对于函数的可积性，我们有下列重要结论：
定理 5.1
如果 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且最多有有限个
间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上一定可积。
注意：
b
a f (x)dx
的值与区间 [a, b]
的分法以及点 i
的取法无关。
因为定积分
b
a
f
(x)dx
是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，
0
2
2
例5.1.2 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值。
（2） 1 1 x 2 dx 1
解：
（2）因为定积分
1
1
1 x2 dx 就是单位圆在
x
轴上方部分
的面积（如图5.6（2）所示），
所以 1 1 x2 dx 1 12
1
2
2
5.1.4 定积分的简单性质
性质1 两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，
即
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和。即
b
a
f1
(
x)
f2 (x)
§5.1 定积分的概念与性质
2. 若函数 f (x) 在[a , b]上连续, 则 f (x) 在[a , b]上可积.
3. 若函数 f (x) 在区间[a , b]上有界, 且只有有限个间断点,
则 f (x) 在[a , b]上可积.
例1. 利用定积分定义计算 1 x2dx 0
y
解 f (x) x2 C[0,1] 1 x2dx存在. 0
b
此极限值为函数f (x)在[a ,b]上的定积分. 记作: f (x)dx a
即
b f (x)dx lim
n
f (i )xi
a
x0 i1
积分号;
f ( x) 被积函数;
f ( x)dx 被积表达式;
x 积分变量.
[a,b] ——称为积分区间 a ——积分下限
b 积分上限
xi xi xi1 (i 1,2,n); 任取 i [xi1, xi ] (i 1,2,, n) n
作和
i1
f
(i )xi ; 记
n
x
பைடு நூலகம்
max{xi},
1in
若极限 lim x0
i 1
f (i )xi
存在, 且此极限值与区间 [a, b]
的分法以及点 i 的取法无关，则称函数 f (x) 在[a ,b]上可积,
若函数f (x)在[a ,b]上连续, 则至少存在一点 [a,b], 使
f
(
)
1 ba
b
f (x)dx
a
(a b)
证 设 f (x) 在[a , b]上取得最小值 m 与最大值 M, y
由性质6知
m
1 ba
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
定积分的定义与性质 -李飞
A= lim f ( ) x . i i x 0
i =1
n
y
y = f ( x)
A
o a
b
x
二、定积分的问题举例 2.变速直线运动的路程 以不变代变
已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t0<t1<t2< <tn1<tn=T2, ti=titi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
i=1 b n
.
•定积分各部分的名称 ————积分符号, f(x) ———被积函数, f(x)dx ——被积表达式, x ————积分变量, a ————积分下限, b ————积分上限, [a, b]———积分区间，
f (i )xi ———积分和.
i =1
n
三、定积分的定义
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A = a f (x)dx . 变速直线运动的路程为 S = T v(t)dt .
ΔAi f (i )Δxi
(i = 1,2,，n)
f (1)x1 f (2)x 2
A1
A
y = f ( x)
B
A 2
=x o= a b x x x x x x 1 xn i 1 3 n 1 i x0 2
1 2
i
n
A n f (n)x n
二、定积分的问题举例
a
b
直角梯形的面积可用矩形面积计算.
5.1 定积分的概念与性质
lim ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为
න ()d
第一节 定积分的概念与性质
定积分
第五章
即
积分上限
定积分
积分和
න ()d = = lim ( )Δ
积分下限
→0
=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]
( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )
证
∵ ≤()≤,
∴ න d≤ න ()d≤ න d ,
( − )≤ න () d≤( − ).
第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使
න ()d = ( )( − )
证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,
1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ( )
=
lim ( ) ⋅
→∞
− →∞
故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为
§5.1 定积分的概念与性质
τi
ti −1 ti
n
T2
t n −1
t
(3) 作和： s =
∑ Δs ≈ ∑ v(τ )Δt
i i =1 i =1 i
1≤i ≤ n
n
S = lim
i
n
∑ f (ξi )Δxi Δx → 0
i =1
(4) 取极限：记 Δt
= max{Δti }, s = lim ∑ v(τ i )Δti
Δt →0 i =1
2 2 1
∫
2
1
（2）因为在[1, 2]上,
2 1 1
∴ ∫ ln xdx > ∫ (ln x) 2 dx
14
a a
b
b
(3). 规定:
∫
b
a
f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ;
b
a
∫
a
a
f ( x)dx = 0
1. 若函数 f (x) 在[a,b]上可积, 则 f (x) 在[a,b]上有界. 2. 若函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则 f (x) 在[a,b]上可积. 3. 若函数 f (x) 在区间[a,b]上有界, 且只有有限个间断点, 则 f (x) 在[a,b]上可积.
m(b − a ) ≤
∫
b
a
f ( x)dx ≤ M (b − a )
(估值定理)
11
性质7. (积分中值定理) 若函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则至少存在一点 ξ ∈ [ a, b], 使
1 b f ( x)dx (a ≤ ξ ≤ b) f (ξ ) = b−a ∫a
证 设 f (x) 在[a,b]上取得最小值 m 与最大值 M, y
5.1定积分的概念和性质
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,, xn xn xn1
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; y 每个小曲边梯形的面积为 Ai 曲边梯形的面积
Ai
xi 1
o a x1
xi
2) 取近似. 在第i 个小曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得
b
a
a
a
f ( x)dx 0
2.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 y 0 a
y
a
0
b
b x
曲边梯形面积的负值
y
A1 a c
b
A3 A2
d
e
A4
A5 f b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
y
o a x1
xi 1
i
xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A Ai
i 1
( a b)
8. 积分中值定理 则至少存在一点
使
a f ( x) dx f ( )(b a)
b
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
定积分的概念和性质(Concept
第五章定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质( Concept of Definite Integral and its Properties )一、定积分问题举例( Examples of Definite Integral )设在y = f x区间[a,b 1上非负、连续，由x = a , x=b , y =0以及曲线y二f x所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Let f x be continuous and nonnegative on the closed interval 〔a,bL Then the region bounded bythe graph of f x , the x -axis, the vertical lines x 二a, and x = b is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义(Definition of Riemann Sum)设f x是定义在闭区间l.a,b 1上的函数，厶是l.a,b 1的任意一个分割，a=冷：：：X i ：：： | || :::人」：：：x n = b，其中Ax是第i个小区间的长度，G是第i个小区间的任意一点，那么和nZ f (Cj)A x，x iJL^c 兰洛i V称为黎曼和。
Let f x be defined on the closed interval !a,b l, and let : be an arbitrary partition of l.a,b I,a =怡：％III ex*」vx n =b, where A x is the width of the i th subinterval. If c i is any point in the i th sub in terval, the n the sumnJ f ( c H x i ，x i —x i ,i TIs called a Riema nn sum for the partiti on二、定积分的定义( Definition of Definite Integral )定义定积分(Definite Integral)设函数f x在区间！a,b丨上有界，在〔a,b丨中任意插入若干个分点a =怡：::为：：：川：:：人4 ::: X n =b，把区间'a,b 1 分成n个小区间：仪0必1, I.x1,x2 1JH, l-x n4,x n],各个小区间的长度依次为二咅=%-乂0，二屜=灭2-為，…，^X n^Xn-xn/。
5.1定积分的概念与性质
b b
证 ∵ m ≤ f ( x) ≤ M
—定积分的估值性质 定积分的估值性质
b
∴
∫a mdx ≤ ∫a f ( x )dx ≤ ∫a Mdx
O
a
y = f ( x)
A= ?
b
x
3
定积分的概念与性质
采取下列四个步骤来求面积A. 采取下列四个步骤来求面积 (1) 分割 任意用分点 [ ∆Ai 表示 xi−1 , xi ]上对应 a = x0 < x1 < x 2 < ⋯ < x n −1 < x n = b,
的窄曲边梯形的面积
y
把区间 [a , b] 分成 n个 小区间 [ xi −1 , xi ]， 长度为 ∆ x i = x i − x i −1 ;
∫0 x dx = lim ∑
2
λ → 0 i =1
1
n
1 1 1 1 ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = n→ ∞ 6 n n 3
2
于是得
1 ∫0 x dx = 3 .
1 2
16
定积分的概念与性质
五、定积分的性质
对定积分的补充规定 对定积分的补充规定
* * * 问题举例 定积分的定义 定积分的几何意义和物理意义 关于函数的可积性 定积分的性质 小结 作业
定 积 分
2
定积分的概念与性质
一、问题举例
1.曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 曲边梯形 求由连续曲线 y = f ( x ) > 0及
y
直线 x = a , x = b和y = 0 所围成
的曲边梯形的面积 A .
2. 变速直线运动的路程 . 设某物体作直线运动, 设某物体作直线运动 已知速度 v = v (t ) 是时间间隔 [T1 , T2 ]上t 的一个连续函数 且v ( t ) ≥ 0, 的一个连续函数, 求物体在这段时间内所经过的路程. 求物体在这段时间内所经过的路程
第5章定积分及其应用
第5章 定积分及其应用§5.1 定积分的概念习 题 5－11.填空题：（1）函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx ⎰＝（ ）.（2）定积分的值只与（ ）及（ ）有关，而与（ ）的记法无关. （3）区间[,]a b 的长度的定积分的表示是（ ）. （4）被积函数()f x 在区间[,]a b 上连续是定积分()baf x dx ⎰存在的（ ）.（5）定积分的几何意义（ ）. 2.利用定积分的定义计算下列积分： （1）2baxdx ⎰； （2）1x e dx ⎰.3.利用定积分的定义计算由抛物线21y x =+，直线x a =、x b =（b a >）及x 轴所围成的图形的面积.4.利用定积分的几何意义，证明下列等式： （1）1310x -=⎰； （2）sin 0xdx ππ-=⎰；（3）4π=⎰； （4）11arctan 0xdx -=⎰；（5）11124x dx xdx -=⎰⎰ ； （6）2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰.5.利用定积分的几何意义求a⎰(0)b >的值.6. 将下列极限表示成定积分： （1）()201lim3nii i i x λξξ→=-∆∑，λ是[]7,5-上的分割；（2）01limni i x λ→=，λ是[]0,1上的分割.7.将下列和式的极限表示成定积分：（1）111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （2）112lim p p p p n n n +→∞+++（0p >）；（3）)221limn n n →∞+； （4）n .8.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下（图5-1-8）.试用梯形公式求此河横截面积的近似值.图5-1-8§5.2 定积分的性质习 题 5－21. 证明定积分的性质： （1）()()bb aakf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数）； （2）1b baadx dx b a ⋅==-⎰⎰. 2. 估计下列积分值：（1）421(2)x dx +⎰； （2）3244(1sin )x dx ππ+⎰； （3）arctan x xdx ；（4）21x edx ⎰； （5）2211x dx x +⎰； （6）20sin x dx x π⎰. 3. 设()f x 及()g x 在[],a b 上连续，证明： (1) 若在[],a b 上，()0f x ≥，且()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上，()0f x ≡；（2）若在[],a b 上，()0f x ≥，且()f x 不恒等于零，则()0baf x dx >⎰；（3）若在[],a b 上，()()f x g x ≤，且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则在[],a b 上，()()f x g x ≡．4. 根据定积分性质及第3题的结论，比较下列每组积分的大小：（1）320sin xdx π⎰，220sin xdx π⎰； （2）221x dx ⎰，231x dx ⎰；（3）21ln xdx ⎰，221(ln )x dx ⎰； （4）10x e dx ⎰，21x e dx ⎰；（5）1xe dx ⎰，()101x dx +⎰； （6）20xdx π⎰，20sin xdx π⎰；（7）20sin xdx π⎰，02sin xdx π-⎰； （8）2cos xdx π-⎰，20cos xdx π⎰；（9）10xdx ⎰，()01ln 1x dx +⎰ （10）()01ln 1x dx +⎰，011xdx x+⎰；. 5. 利用积分中值定理求下列极限： （1）sin limn pnn x dx x+→∞⎰； （2）120lim 1nn x dx x →∞+⎰； （3）10lim 1n xx n x e dx e →∞+⎰.6. 设()f x 在[],a b 上连续，()0baf x dx =⎰．证明：()f x 在[],a b 上在[],a b 内至少存在一个零点．7. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰．证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．8. 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且存在(),c a b ∈，使得()()()caf x dx f b c a =-⎰．证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．§5.3 微积分基本公式习 题 5-31. 设0()cos xx t tdt ϕ=⎰，求(0)ϕ'，4πϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭. 2．求下列函数的一阶导数： （1）0()sin xtx e dt ϕ=⎰； （2）223()t xx e dt ϕ-=⎰；（3）2()x x ϕ=⎰； （4）2x y =；（5）32x xy =⎰； （6）()cos 2sin ()cos xxx t dt ϕπ=⎰；（7）22x txy t e dt -=⎰； （8）2()xe xy f t dt =⎰．3. 求下列函数的二阶导数：（1）()330sin xy t x tdt =-⎰； （2）258sin ()xy t f x dt dy t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰．4. 利用洛必达法则，求下列极限：（1）20cos limxx t dt x→⎰； （2）201lim arctan xx tdt x+→⎰；（3）202limsin 2x t x x e dt x x→-⎰； （4）()2202002sin limln 1x x xt dtt t dt→⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（5）121ln 1lim (1)xx tdtt x →-⎰＋； （6）232lim(sin )x x x t dtt t t dt→-⎰⎰；（7）22201lim ()x t x x t t edt x -→+∞+⎰； （8）()222020lim xt xx t e dt te dt→⎰⎰．5. 设函数()y y x =由方程00cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰所确定，求dydx． 6. 设函数()y y x =由方程20cos y x x y tdt -+=⎰所确定，求dy dx．7. 设0sin t x udu =⎰，0cos t y udu =⎰，求dydx.8．设20()(1)xt f x t t e dt -=-⎰，问x 为何值时，()f x 有极值？9. 求函数0()(4)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值.10. 计算下列各定积分： （1）24211()x dx x+⎰； （2）()13213x x dx --⎰； （3）332(21)x dx --⎰； （4）1(21)xe dx +⎰； （5）12111dx x -+⎰； （6）240tan xdx π⎰；（7）10⎰； （8）21201x dx x +⎰； （9）20cos 2x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； （10）41dx ⎰； （11）420213311x x dx x -+++⎰； （12）211e dx x ---+⎰； （13）20sin x dx π⎰； （14）设21,01()1,10x x f x x x ⎧+ ≤≤=⎨+ -≤<⎩，求11()f x dx -⎰． 11. 设()f x 连续，若()f x 满足1()()x f xt dt f x xe =+⎰，求()f x ．12. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求()f x 与10()f x dx ⎰． 13. 设0ln(1)()(0)xt f x dt x t+=>⎰，求1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 14. 设1sin ,0()20,0x x f x x x ππ⎧ ≤≤⎪=⎨⎪ <>⎩或，求0()()x x f t dt ϕ=⎰在(,)-∞+∞内的表达式．§5.4 定积分的换元积分法与分部积分法习 题 5－41. 用换元积分法求下列定积分： （1）122(115)dxx --+⎰； （2）101xx e dx e +⎰； （3）220sin cos x xdx π⎰； （4）022122dx x x -⎰＋＋； （5）1⎰； （6）2120t te dx -⎰； （7）1221xe dx x ⎰； （8）35201x dx x +⎰； （9）2502353x x dx x +-+⎰；(10)6e e⎰； （11）21e ⎰； (12)320sin cos d πθθθ⎰；(13)1(14)；(15)ax ⎰；(16)3⎰(17)⎰；（18）0；(19) 0⎰； (20)； (21)3122(1)xdx -+⎰；(22)1；(23)41⎰；(24)1⎰－；(25)⎰； (26)2⎰； (27)-⎰； (28)()223min 2,x dx -⎰（29）2sin sin cos xdx x xπ+⎰；（30）0π⎰. 2. 用分部积分法求下列定积分： （1）ln 2x xe dx ⎰； （2）1ln e x xdx ⎰；（3）41⎰； （4）1arctan x xdx ⎰； （5）220sin x xdx π⎰； （6）324sin xdx xππ⎰； （7）220cos x xdx π⎰； （8）1530ln x xdx ⎰ ；（9）230x e dx ；(10)22(1)x - ； (11)220cos x e xdx π⎰； (12)1sin(ln )ex dx ⎰ ；(13)22ln (1)e exdx x -⎰； (14)12(1)ln (1)e x x dx -++⎰；(15)221log x xdx ⎰；(16)20sin x x dx π⎰； (17)1ln eex dx ⎰ ； (18)()242sec 1tan x xdx x π+⎰；(19)161⎰； (20)122(1)m xdx -⎰(m 为自然数).3. 利用积分区间的对称性以及函数的奇偶性，计算下列定积分：（1）22sin cos 2x xdx ππ-⎰；（2）22ππ-⎰；（3）6sin x xdx ππ-⎰；（4）1⎰； （5）x dx ； （6）221cos xdx x ππ-+⎰；（7）522cos xdx ππ-⎰； （8）325425sin 21x xdx x x -+⎰＋； （9）)sin x x dx ππ-⎰＋.（10）244cos 1x xdx e ππ--+⎰.4.已知()f x 是连续函数，证明 （1）1()()[()]baf x dx b a f a b a x dx =-+-⎰⎰；（2）200()[()(2)]aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰；（3）()2321()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰（0a >）．5. 设()f x 是连续函数，证明 (1) 当()f x 是偶函数时，则0()()xx f t dt ϕ=⎰为奇函数；（2）当()f x 是奇函数时，则0()()xx f t dt ϕ=⎰为偶函数．6. 证明：220()2()aaax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰，其中()x ϕ为连续函数.7. 证明：110(1)(1)m n n m x x dx x x dx ϕϕ-=-⎰⎰.8. 证明：20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.9. 证明：112211111xx dx dx x x =++⎰⎰（0x >）. 10. 设31sin ()x t f x dt t =⎰，求120()x f x dx ⎰.若1sin ()n x t f x dt t=⎰，求110()n x f x dx -⎰.11. 若()f x ''在[0,]π连续，(0)2f =，()1f π=，证明：[()()]sin 3f x f x xdx π''+=⎰.12. 当0x >时，()f x 可导，且满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰， 求()f x .§5.5 广义积分习 题 5－51 计算下列瑕积分.(1)41dx x +∞⎰； (2)0e +∞⎰； （3）2122dx x x +∞-∞++⎰； （4）211(1)dx x x +∞+⎰； (5)1+∞⎰； (6) 0sin px e xdx ω+∞-⎰(0,0p ω>>)；(7)21arctan xdx x+∞⎰；(8) 1⎰(9)1e⎰（10）10⎰；（11）21⎰；（12）()22011dx x -⎰.2. 求当k 为何值时，瑕积分()21ln kdx x x +∞⎰收敛？当k 为何值时，该瑕积分发散？又当k 为何值时，该瑕积分取得最小值？3. 计算瑕积分0n x n I x e dx +∞-=⎰（n 为自然数）.4. 求c 为何值时，使2lim xc tx x c te dt x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰. 5.求2+∞⎰.6. 计算下列式子：（1）(7)2(4)(3)ΓΓΓ； （2）3(3)()29()2ΓΓΓ； （3）40x x e dx +∞-⎰； （4）2220x x e dx +∞-⎰. 7. 用Γ函数表示下列积分，并指出积分的收敛范围.（1）nxe dx +∞-⎰（0n >）； （2）101ln pdx x ⎛⎫⎪⎝⎭⎰； （3）22x dx +∞--∞⎰；(4)mn x x edx +∞-⎰； (5)10⎰； (6)311dx x +∞+⎰. §5.6 定积分的几何应用习题5-6１. 求由下列各组曲线所围成平面图形的面积：（１）1xy =，y x =，2x =; （2）x y e =，xy e -=，1x =; （3）2y x =，2x y +=; （4）3y x =，1y =，2y =，0x =;（5）0y =，1y =，ln y x =，0x =; (6)22x y =，228x y +=;(7) ln y x =,y 轴,ln y a =,ln y b =( 0b a >>)；(8) 23y x =+，2y x =. 2. 直线x k =平分由2y x =，0y =，1x =所围之面积，求k 之值． 3. 求抛物线243y x x =-+-及在点(0,3)-和(3,0)处切线所围成图形的面积. 4. 求抛物线22y px =及其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线所围成的图形的面积. 5. 求曲线33cos ,sin x a t y a t ==，).0(>a 所围成图形的面积. 6. 求曲线2cos r a θ=).0(>a 所围成图形的面积.7. 求曲线2(2cos r a θ=＋）).0(>a 所围成图形的面积. 8. 求对数螺线r ae θ=（0a >，πθπ-≤≤）及射线θπ=所围成图形的面积.9. 计算阿基米德螺线r a θ= (0a >)上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形(如图5-6-22)的面积.图5-6-22 图5-6-2310.求由下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. (1) 3cos r θ=及1cos r θ=+；(2) r θ=及2cos 2r θ=.11. 圆1r =被心形线1cos r θ=+分割成两部分，求这两部分的面积. 12.设sin y x =，02x π≤≤.问：为t 何值，图5-6-23中阴影部分的面积1s 与2s 之和最小？最大？13.求由下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转而成的旋转体的体积.（1）2xy a =，0y =，x a =，2x a =（0a >），绕x 轴. （2）22(2)1x y +-=，绕x 轴.（3）ln y x =，0y =，x e =，绕x 轴和y 轴. （4）224x y +=，24(1)x y =--，0y >，绕x 轴. （5）5xy =，6x y +=，绕x 轴.（6）cos y x =，0x =，x π=，x 轴，绕y 轴.14. 求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（02t π≤≤，0a >）的一拱与0y =所围成的图形绕直线2y a =旋转而成的旋转体的体积.15. 由心形线4(1cos )ρθ=+和直线0θ=及2πθ=所围成图形绕极轴旋转而成的旋转体的体积.16. 一个棱锥体的底面是长为2a 的正方形，高为h ，求此棱锥体的体积 (如图5-6-24).图5-6-24 图5-6-2517.设直线y ax b =+(0a >，0b >)与直线0x =，1x =及0y =所围成的梯形面积等于A ，试求a 、b ，使这个梯形绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.18.在由椭圆域2214y x +≤绕y 轴旋转而成的椭球体上，以y 轴为中心轴打一个圆孔，使剩下的部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径.19.设有一锥体，其高为h ，上、下底都为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 与2A 、2B ，求这锥体的体积.20.作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时，其体积V 最小？求出此最小值(如图5-6-25).21.把星形线232323x y a +=所围成的图形绕x 轴旋转(图5-6-26)，计算所得旋转体的体积.图5-6-26 图5-6-27 22.用积分的方法证明图5-6-27所示球缺的体积为2()3H V H R π=-. 23.求圆盘222x y a +≤绕x b =-(0b a >>)旋转而成的旋转体的体积.24.证明：由平面图形x a =，x b =，0a b ≤<，0()y f x ≤≤绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为2()baV xf x dx π=⎰.25.利用24题的结论，计算sin y x =(0x π≤≤)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积.习题5－71. 已知边际成本'2()25309C q q q =+-，固定成本为55，试求总成本()C q ，平均成本与变动成本.2. 已知边际收入为'()30.2R q q =-，q 为销售量，求总收入函数()R q ，并确定最高 收入的大小.3. 某产品生产q 个单位是总收入R 的变化率为'()200100qR q =-，求： （1）生产50个单位时的总收入；（2）在生产100个单位的基础上，再生产100个单位时总收入的增量.4. 已知某商品每周生产q 个单位时，总成本变化率为'()0.412C q q =-（元/单位），固 定成本500，求总成本()C q . 如果这种商品的销售单价是20元，求总利润()L q ，并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？图5-7-56. 设某城市人口总数为F ，已知F 关于时间t （年）的变化率为dF dt =，假设在计算的初始时间(0)t =，城市人口数为100（万），试求t 年中该城市人口总数.7. 若边际消费倾向在收入为Y 时为1232Y -，且当收入为零时总消费支出070c =.（1）求消费函数()c Y ；（2）求收入由100增加到196时消费支出的增加数.8. 设储蓄边际倾向（即储蓄额S 的变化率）是收入y 的函数 '()0.3S y =， 求收入从100元增加到900元时储蓄的增加额.9. 如果需求曲线为2()500.025D q q =-，并已知需求量为20个单位，试求消费者剩余CS .10. 假设某国某年洛伦兹曲线近似地由3y x =（01x ≤≤）表示，试求该国的基尼系数.11. 某投资项目的成本为100万元，在10年中每年可收益25万元，投资率为5%，试 求这10年中该项投资的纯收入的贴现值.12. 一位居民准备购买一栋别墅，现价为300万元，如果以分期付款的方式，要求每年 付款21万元，且20年付清，而银行贷款的年利率为4%，按连续复利计息，请你帮这位购5. 某新产品的销售率由下式给出()10090x f x e -=-，式中x 是产品上市的天数，前四天的销售总数是曲线()y f x =与x 轴在之间的面积（如图5-7-5），求前四天总的销售量.房者作一决定：是采用一次付款合算还是分期付款合算？总习题五1．求下列极限：(1) limnn k →∞=. (2) 21lim inni n i nen ne→∞=+∑；（3）11lim n n i n →∞= （4）112lim p p p p n n n +→∞+++（0p >）； （5）lim n →∞2．利用积分中值定理求下列极限： （1）sin lim0n pnn xdx x +→∞=⎰； （2）222lim n x n n x dx e+→∞⎰．3．求下列极限：（1）101lim (1sin 2)xtx t dt x →+⎰； （2）lim ()x a x a x f t dt x a →-⎰（其中()f x 连续）；（3）()2arctan lim xx t dt→＋ (4) ()2210limxt t x e dt→+∞⎰．4．（已知[]02()1()1xf t dt f x -=-⎰，求(0)f '．5． 已知()2021,0()0,x t e dtx f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=0⎩⎰，求(0)f '． 6．设()f t 在0t ≤≤+∞上连续，若220()(1)x f t dt x x =+⎰，求(2)f ．7． 求函数0()(3)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值．8. 证明：111ln(1)11ln 23n n n+=++++<+． 9. 设()f x 、()g x 在区间[,]a b 上均连续，证明：（1）()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰（柯西－施瓦茨不等式）；（2）[]()()()111222222()()()()bbba aaf xg x dxf x dxg x dx +≤+⎰⎰⎰（闵可夫斯基不等式）.10. 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，且()0f x >，证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ⎡⎤≥⎢⎥--⎣⎦⎰⎰. 11. 设()f x 在[0,]a （0a >）上有连续导数，且(0)0f =，证明：2()2aMa f x dx ≤⎰，其中0max ()x aM f x ≤≤'=.12. 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，试证：对任何(0,1)a ∈，有1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.13. 设()x ϕ在[,]a b 上连续，()()()xaf x x b t dt ϕ=-⎰，证明：必存在(,)a b ξ∈，使得()f ξ'=0.14.设()f x 在区间[,]a b 上连续，()g x 在区间[,]a b 上连续且不变号.证明至少存在一点[,]a b ξ∈，使下式成立()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰（积分第一中值定理）.15. 计算下列定积分：（1）3(1sin )x dx π-⎰； （2）e ；（3）⎰； （4）0ax ⎰ (0a >)；（5）20sin 1cos x xdx xπ++⎰； （6）40ln(1tan )x dx π+⎰；（7）a⎰(0a >)； （8）；（9）121(21)x x dx -++⎰； （10）sin )x x dx ππ-⎰（11）42213||||1x x dx x -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰； （12）设2,01()2,12x x f x x x ⎧ ≤≤=⎨-<<⎩，求20()f x dx ⎰.16.利用函数的奇偶性计算定积分121(x dx -+⎰. 17. 利用函数的周期性计算定积分2(sin 2)(tan 1)a ax x dx π++⎰.18. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，并满足条件()sin xu f x u e du x -=⎰，求()f x .19. 计算下列各题： （1）设(5)2f =，5()3f x dx =⎰，求5()xf x dx '⎰．（2）已知2()tan f x x =，求40()()f x f x dx π'''⎰.20. 证明()[()()]aaaf x dx f x f x dx -=+-⎰⎰，并求下列定积分：（1）441sin dx x ππ-+⎰； （2）244sin 1x x dx e ππ--+⎰； （3）244cos 1nxx dx e ππ--+⎰（n 为正整数）. 21. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 关于2a bx +=对称的点处取相同的值.证明： 2()2()a b baaf x dx f x dx +=⎰⎰.22. 证明：112211111xx dt dt t t =++⎰⎰（0x >）. 23. 判断下列瑕积分的敛散性：(1)1+∞⎰；(2)2+∞⎰；(3)2cos ln xdx x+∞⎰；(4) 0+∞⎰；(5)3(1)(2)dxx x x +∞--⎰；(6)1+∞⎰；(7)120ln 1xdx x -⎰； (8)1ln 11eex dx x --⎰.24. 已知sin 2x dx x π+∞=⎰，求220sin x dx x+∞⎰. 25. 求介于直线0x =，2x π=之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的平面图形的面积.26. 求椭圆22113x y +=和22113x y +=的公共部分的面积. 27. 求曲线x y e =及该曲线的过原点的切线和x 轴的负半轴所围成的平面图形的面积. 28. 设曲线21:1L y x =-(01)x ≤≤、及x 轴和y 轴所围成的区域被曲线21:L y ax =分为面积相等两部分，其中a 是大于零的常数，试确定a 的值.29. 求由柱体222x y a +≤与222x z a +≤(0a >)的公共部分所围成图形的体积.30.将曲线r =绕x 轴旋转而成的旋转体的体积. 31. 将抛物线2y x ax =-在横坐标0与c （0c a >>）之间的弧段绕x 轴旋转，问c 为 何值时，所得旋转体体积V 等于弦OP （P 为抛物线与x c =的交点）绕x 轴旋转所得锥体体积.32. 设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，且当[0,1]x ∈时，0y ≥.试确定a b c 、、 的值，使得该抛物线与直线1x =，0y =所围成图形的面积为13，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.33.一位居民准备购买一栋别墅价值为300万元，若首付为50万元，以后分期付款，每年付款数目相同，10年付清，而银行贷款的年利率为6%，按连续复利计息，每年应付款多少？（0.60.5448e-≈）34. 某公司投资2000万建成一条生产线，投产后，在t 时刻的追加成本和追加收益分别为23()52g t t =+ （百万/年）23()17t t ϕ=- （百万/年）试确定该生产线在何时停产可获得最大利润？最大利润是多少？.35.生产某种产品的固定成本为50万元，边际成本与边际收益分别为216100=-+（万元/单位产品）MC Q Q=-（万元/单位产品）MR Q894试确定工厂应将产量定为多少个单位时，才能获得最大利润？并求最大利润.。
5.1定积分概念
a x0 x1 x2 xn1 xn b
y
作以 [ xi 1 , xi ] 为底 ,
f ( i ) 为高的小矩形,
窄曲边梯形面积
o a x Ai f ( i )x i ( x i xi xi 1 )
1
x i 1 i xi
xn1 b
x
3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1
n
n
i 1
4) 取极限. 令
y
A lim
Ai 0
i 1 n
n
lim
f ( i )xi o 0 i 1
a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
实例2. 变速直线运动的路 程 速度 求该时间段内路程
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 2) 取点. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ x i 1 , x i ]
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
演示矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
例 4 设 f ( x )可导，且 lim f ( x ) 1，求
5-1 定积分的概念与性质
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
证
m(b a ) a f ( x )dx M (b a )
a f ( x )dx a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论： （ 2）
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
证
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
A?
o
a b x
x b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间 [a,b]内插入若干
个分点， a x0 x1 x 2 xn1 xn b,
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 确定的极限 在区间[a , b] 上的定积分， 记为
积分上限
积分和
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
5.1定积分的概念与性质
5.1定积分的概念与性质1．利⽤定积分的定义计算下列积分：⑴baxdx ?（a b <）；【解】第⼀步：分割在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =- ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a a k a k n n--+-+，（12,,k n = ），每个⼩区间的长度均为k b an-?=，取每个⼩区间的右端点k b ax a k n-=+，（12,,k n = ），第⼆步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==??∑1n k k k x ==??∑1()nk b a b aa k n n=--=+∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+-1+-=--?第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--? ()(0)22b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ?222b a -=。
⑵1xe dx ?。
【解】第⼀步：分割在区间[0,1]中插⼊1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =- ），将区间[0,1]分为n 个等长的⼩区间1[,]k k n n -，（12,,1k n =- ），每个⼩区间的长度均为1k n ?=，取每个⼩区间的右端点k kx n=，（12,,k n = ），第⼆步：求和1()nn k k k S f x ==??∑1knx k k e ==??∑11k nnk e n ==?∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e 为等⽐数列，其⾸项为11n x e =，公⽐为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnnn nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==??∑11kn n k e n ==∑111(1)1ne -=?-111(1)1n n e n e e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x x e →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11xe dx e =-?。
第5章 定积分 习题 5- (1)
第一节
定积分
定积分的概念及性质
习题 5-1
1.
利用定积分的定义计算由曲线 y = x 2 + 1 和直线 x = 1 、 x = 3 及 x 轴所围成
的图形的面积. 解 所求的面积为
S = ∫ ( x 2 + 1)dx = lim ∑ f (ξi )Δxi
1
3
n
λ →0
i =1
= lim ∑ (ξi2 + 1)
∫0
1 x
e dx = lim ∑ f (ξi )Δxi = lim ∑ eξi Δxi
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= lim ∑ e n ⋅
n →∞ i =1
n
i
1 n
1 2
i 1 （其中 ξi = , Δxi = ） n n
n
n 1 = lim ∑ (e n + e n + L + e n ) n →∞ i =1 n
c2 c1
a
c2
矛盾, 于是 f (ξ ) > 0 不成立, 得证. (2)
b
因为在 [ a, b] 上, f ( x) ≥ 0 , 所以 ∫ f ( x)dx ≥ 0 , 亦即或者 ∫ f ( x)dx > 0, 或
b b a a b a
者 ∫ f ( x)dx = 0 . 若 ∫ f ( x)dx = 0 , 则由(1) 的证明知 f ( x) ≡ 0, 但这与条件 f ( x) ≠ 0
5
反证法. 设 ∃ξ ∈ [a, b] 使 f (ξ ) > 0 , 因为 f ( x) 在 [ a, b] 连续, 所以由极限的局部保号性定 理 , 必有含有 ξ 的区间 [c1 , c2 ] 存在 , 使得 [c1 , c2 ] 上 f ( x) > 0 , 从而 ∫ f ( x)dx > 0 .
5.1_定积分的性质
1
0
x dx
2
1
0
x dx
3
yx
2
x x
2
3
(0 x 1) (0 x 1)
x x
2
3
yx
3
1
例2
解
比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
x
2
2
e x,
x
x [2, 0]
0
2 e
0
x
dx xdx , 2
- 0 e dx > x
y
几何解释
f ( )
f ( x)
f ( )(b a)
a
b
x
性质 7 （积分中值定理） 若函数 f(x) 在闭区间[a, b]上连续，则 存在一点，使得
证
b
a
f ( x)dx f ( )(b a) (a b)
m f ( x ) M ( a x b)
3
0
1 1 1 dx dx dx , 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
性质 7 （积分中值定理） 若函数 f(x) 在闭区间[a, b]上连续，则 存在一点，使得
b
a
f ( x)dx f ( )(b a) (a b)
5.1 定积分的性质
Properties of definite integrals
两个补充规定
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1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴baxdx ⎰（a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b aa k a k n n--+-+，（1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b an-∆=，取每个小区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =）， 第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==⋅∆∑1n k k k x ==⋅∆∑1()nk b a b aa k n n=--=+⋅∑ 1()n k b a b aa k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+⋅ ^1()[(1)]2b a b a a n -=-+⋅-1()()22b a b a b a a n --=-+-⋅1()()22b a b a b a n+-=--⋅第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--⋅ ()(0)22b a b ab a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ⎰222b a -=。
⑵1xe dx ⎰。
【解】第一步：分割在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为1k n∆=， }取每个小区间的右端点k k x n=，（1,2,,k n =），第二步：求和对于函数()xf x e =，构造和式1()nn k k k S f x ==⋅∆∑1knx k k e ==⋅∆∑11k nnk e n ==⋅∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，其首项为11n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==⋅∆∑11kn n k e n ==∑111(1)1nn e e n e -=⋅-111(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑111lim (1)1n n ne n e e →∞=--1x n=0(1)lim 1xx x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)limx x xx e xe e e →+--01=(1)lim 1x xe →+-- \=(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-⎰。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴121xdx =⎰；【证明】定积分12xdx ⎰的几何意义是由直线2y x =，1x =及x 轴围成的三角形的面积，如图可见即知，12OAB xdx S ∆=⎰2AB OB ⋅=2112⨯==。
证毕。
⑵12014x dx π-=⎰；【证明】定积分1201x dx -⎰的几何意义是由圆弧21y x =-与x 轴及y 轴所围成的四分之一圆形的面积，如图可见)12220111()1444x dx S OA πππ-===⨯=⎰半圆。
证毕。
⑶sin 0xdx ππ-=⎰；【证明】定积分sin xdx ππ-⎰的几何意义是由正弦曲线sin y x =在[,]ππ-上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如图可见图形由两块全等图形组成，12sin xdx SS ππ-=+⎰，其中1S 位于x 轴下方，2S 位于x 轴上方，显见12S S =-， 从而22sin 0xdx SS ππ-=-+=⎰，证毕。
⑷2202cos 2cosxdx xdx πππ-=⎰⎰。
【证明】定积分22cos xdx ππ-⎰的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[,]22ππ-上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如左图所示，为22cos xdx ππ-⎰12SS =+,】而定积分20cos xdx π⎰的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[0,]2π上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如右图所示，为20cos xdx π⎰2S =,由于曲线cos y x =关于y 轴对称，可知12S S =，亦即1222S S S +=，即知2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰。
证毕。
3．已知101ln 21dx x =+⎰，试用矩形法公式（），求出ln 2的近似值（取10n =，计算时取4位小数）。
【解】矩形法公式（）为011()()bn ab af x dx y y y n--≈+++⎰，其中()i i y f x =（0,1,,1i n =-），而i x （1,,1i n =-）为区间[,]a b 的1n -个等分点。
于是，在区间[0,1]插入1n -个等分点i ix n =，（1,,1i n =-）， 对于1()1f x x =+，求出1()1i i f x x =+11i n=+n n i =+，（0,1,,1i n =-）， 于是，当10n =时，101ln 21dx x =+⎰110101010101010101010()1010111213141516171819≈+++++++++ 111111111110111213141516171819=+++++++++】0.10.090910.083330.076920.071430.06667≈+++++0.062500.058820.055560.05263++++0.718770.7188=≈。
4．证明定积分性质： ⑴()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰；【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k x ，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为k ∆，对于函数()()F x kf x =，有：()bakf x dx ⎰()baF x dx =⎰ ---- ()()F x kf x =1lim ()nk k n k F x →∞==⋅∆∑ ---- 定积分()baF x dx ⎰的定义1lim ()nk k n k kf x →∞==⋅∆∑ ---- ()()F x kf x =…1lim ()nk k n k k f x →∞==⋅∆∑ ---- 加法结合律()k a b ka kb +=+1lim ()nk k n k k f x →∞==⋅∆∑ ---- 极限运算法则lim ()lim ()cf x c f x =()bak f x dx =⎰ ---- 定积分()baf x dx ⎰的定义⑵1b baadx dx b a ⋅==-⎰⎰。
【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax a k n-=+，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为k b an-∆=， 对于函数()1f x =，构造和式1()nk k k f x =⋅∆∑11n k k ==⋅∆∑1nk b a n =-=∑11n k b a n =-=∑b an n -=⋅b a =-，即由定积分定义得1badx ⋅⎰1lim 1nkn k →∞==⋅∆∑lim()n b a →∞=-b a =-。
再由上⑴的结论()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰，即得11bbbaaadx dx dx ⋅=⋅=⎰⎰⎰。
综上得：1bb aadx dx b a ⋅==-⎰⎰，证毕。
—5．估计下列积分的值： ⑴221(2)x dx -⎰；【解】函数2()2f x x =-在区间[1,2]上，有'()20f x x =-<恒成立，知2()2f x x =-在区间[1,2]上单调减少，于是有(2)()(1)f f x f ≤≤，亦即2221x -≤-≤， 从而得 2212(21)(2)1(21)x dx --≤-≤-⎰，亦即2212(2)1x dx -≤-≤⎰。
⑵5244(1sin )x dx ππ+⎰；【解】函数2()1sin f x x =+1cos 212x -=+31cos 222x =-， 由544x ππ≤≤得5222x ππ≤≤，而知1cos21x -≤≤， 从而111cos 2222x ≥-≥-，即知3131312cos 21222222x =+≥-≥-=，~亦即211sin 2x ≤+≤，从而得 5244551()(1sin )2()4444x dx ππππππ-≤+≤-⎰，亦即5244(1sin )2x dx ππππ≤+≤⎰。
⑶arctan xdx ；【解】函数()arctan f x x x =在区间上，有2'()arctan 01x f x x x =+>+恒成立，知()arctan f x x x =在区间上单调增加， 于是有()f f x f ≤≤， 亦即arctan x x ≤≤ 整理得arctan x x ≤≤从而得arctan xdx ≤≤， (亦即2arctan 93xdx ππ≤≤。
⑷22xxe dx -⎰。
【解】注意到2220222()x xx xx xedx edx edx ---=-=-⎰⎰⎰，函数2()xxf x e -=-在区间[0,2]上，有21'()2()2x xf x x e-=--，得唯一驻点12x =，无不可导点，对比0(0)1f e =-=-，1114241()12f e e --=-=->-，422(2)f e e -=-=-，知在区间[0,2]上有2124x xe e e ---≤-≤-，于是有 21224(20)()(20)x xe edx e ----≤-≤--⎰，亦即 21024222x xe edx e ---≤≤-⎰。
6．设()f x 及()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明： ⑴若在[,]a b 上，()0f x ≥，且()0baf x dx =⎰，则在[,]a b 上()0f x ≡；;【证明】反证法：设有[,][,]c d a b ⊂，使()0f x ≡不成立，则由题设在[,]a b 上，()0f x ≥，不妨设[,]x c d ∈时()0f x >， 于是，由于()f x 在[,][,]c d a b ⊂上连续，知()f x 在[,]c d 上可积， 即由曲边梯形面积定义知，()0dcf x dx >⎰，但由于在[,]a b 上，()0f x ≥，即知在[,]a c 和[,]d b 上，有()0f x ≥， 于是由定积分性质知，有()0caf x dx ≥⎰，()0bdf x dx ≥⎰，从而由已知()0baf x dx =⎰亦即()()()0c d bacdf x dx f x dx f x dx ++=⎰⎰⎰，得到()[()()]0dcbcadf x dx f x dx f x dx =-+≤⎰⎰⎰，这与上面的()0dcf x dx >⎰相矛盾，从而假设不成立，即使命题得证成立。