5.1 定积分的概念与性质-习题
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1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴
b
a
xdx ⎰
（a b <）；
【解】第一步：分割
在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a
x k n
-=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a
a k a k n n
--+-+，
（1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a
n
-∆=，
取每个小区间的右端点k b a
x a k n
-=+，
（1,2,,k n =）， 第二步：求和
对于函数()f x x =，构造和式
1
()n n k k k S f x ==⋅∆∑1
n k k k x ==⋅∆∑1
()n
k b a b a
a k n n
=--=+
⋅∑ 1()n k b a b a
a k n n =--=+∑1
()n
k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)
[]2
b a b a n n na n n ---=+⋅ ^
1()[(1)]2b a b a a n -=-+
⋅-1
()()22b a b a b a a n --=-+-⋅
1
()()22b a b a b a n
+-=--⋅
第三步：取极限
令n →∞求极限
1
lim lim ()n
n k k n n k S f x →∞
→∞
==⋅∆∑1
lim()(
)22n b a b a b a n
→∞
+-=--⋅ ()(0)22
b a b a
b a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，
即得
b
a
xdx ⎰
22
2
b a -=。
⑵
1
x
e dx ⎰。
【解】第一步：分割
在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n
=
，（1,2,,1k n =-）
，将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[
,]k k
n n
-，
（1,2,,1k n =-）
，每个小区间的长度均为1
k n
∆=， }
取每个小区间的右端点k k x n
=，（1,2,,k n =），
第二步：求和
对于函数()x
f x e =，构造和式
1
()n
n k k k S f x ==⋅∆∑
1k
n
x k k e ==⋅∆∑1
1k n
n
k e n ==⋅∑11k
n n k e n ==∑
由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等比数列，其首项为1
1n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为
1111
[1()]1k n
n
n n n
k n
e e e e
=-=
-∑11(1)1n
n
e e e
-=
-，于是
1
()n
n k k k S f x ==⋅∆∑
1
1k
n n k e n ==∑111(1)1n
n e e n e -=⋅-1
1
1(1)1n n
e n
e e =-- 第三步：取极限
令n →∞求极限
1
lim lim ()n
n k k n n k S f x →∞
→∞
==⋅∆∑
1
11lim (1)1n n n
e n e e →∞=--1
x n
=0(1)lim 1x
x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim
x x x
x e xe e e →+--01=(1)lim 1x x
e →+-- \
=(1)(1)1e e --=-，
即得
1
1x e dx e =-⎰
。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴
1
21xdx =⎰；
【证明】定积分
1
2xdx ⎰的几何意义是由直线2y x =，1x =及x 轴围成的三角形的面积，
如图可见
即知，
1
2OAB xdx S ∆=⎰
2AB OB ⋅=
21
12
⨯==。证毕。 ⑵
1
20
14
x dx π
-=
⎰
；
【证明】定积分
1
20
1x dx -⎰
的几何意义是由圆弧21y x =-与x 轴及y 轴所围成的四分之
一圆形的面积，
如图可见
)
1
2220
111()1444
x dx S OA π
ππ-===⨯=⎰
半圆。证毕。
⑶
sin 0xdx ππ-
=⎰；
【证明】定积分
sin xdx π
π-
⎰的几何意义是由正弦曲线sin y x =在[,]ππ-上的一段与x 轴所
围成的图形的面积，
如图可见
图形由两块全等图形组成，
1
2sin xdx S
S π
π-
=+⎰，
其中1S 位于x 轴下方，2S 位于x 轴上方，显见12S S =-， 从而
2
2sin 0xdx S
S π
π-
=-+=⎰，证毕。