菱形的判定定理

2、下列哪些平行四边形是菱形?为什么?
13cm 12cm 5cm 5cm 5cm
（1） 答案（1）
（2）
是，因为AC⊥BD 判定1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
答案（2）
是，因为 A B = A D 定义 ：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
3. 在菱形ABCD中，不一定成立的（
A 、 四边形ABCD是平行四边形 B 、 AC⊥BD C、 △ABD是等边三角形 D 、 ∠CAB＝∠CAD
菱形）
菱形判定
• 菱形的判定定理1： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． D 符号语言:
A
O
C
B
∵
ABCD， AC⊥BD （已知）
∴
ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
判断题，对的画“√”错的画“×” (1).对角线互相垂直的四边形是菱形（×） (2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱 形（ ×） √） (3) .对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ (4).对角线相等的四边形是菱形（ ×） (5).有一组邻边相等的四边形是菱形 （ ×）
AD=AB ABCD是菱形
已知： ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD D 求证：平行四边形ABCD是菱形
A
证明： B ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ， AC⊥BD （已知） O
C
∴ OB=OD, ∠AOD= ∠AOB
又∵ AO=AO（公共边） ∴ △ABO≌△ADO （SAS） ∴ AB=AD （ 全等三角形的对应边相等 ） ∴四边形ABCD是 是菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做
判断题，对的画“√”错的画“×” (1).对角线互相垂直且邻边相等的四边形 是菱形（ ×） (2).邻边相等的四边形是菱形（×） (3).邻角相等的四边形是菱形 （ ×） (4).对角线互相平分且邻边相等的四边形 是菱形（ √） (5).两组对边分别平行且一组邻边相等的 四边形是菱形 （√ ）
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菱形判定
C
）
4.菱形的对角线长分别是16cm、12cm，周长是 . 40cm
5.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱 形的为（A）
①AC⊥BD； ②∠BAD＝90°； ③AB＝BC； ④AC＝BD. A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
课后思考： 1.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 边AB、BC、CD、DA的中点．请你添加一个条 件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是
课后反思
菱形的判定方法除了以上三种之外还有哪些 判定方法？ 如： 1、对角线相互垂直且平分的四边形是菱形 2、每条对角线平分一组对角的平行四边形是 菱形 3、对角线垂直的矩形叫菱形 4、………………
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
命题1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知： ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD 求证：求证： 证明： A ABCD是菱形 D O B C △ABO≌△ADO ABCD AC⊥BD
OB=OD, ∠AOD= ∠AOB
定义 请你把这个命题的已知，求证 以及证明过程写下来。
情境2：
李亚同学先画两条等长的线段AB、AD， 然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧， 得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到 了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
猜想： 四条边相等的四边形是菱形
命题2:四条边相等的四边形是菱形
已知：四边形ABCD, AB=
BC=CD =DA
AB= BC=CD =DA AB= CD，BC =DA ABCD
求证：四边形ABCD是菱形 证明：
定义
ABCD ，AB=AD
请你把这个命题的已知，求证 四边形 ABCD是菱形 以及证明过程写下来。
已知：四边形ABCD, AB= BC=CD =DA 求证：四边形ABCD是菱形
证明： ∵ AB= BC=CD =DA ， ∴ AB=CD ， BC =DA ， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， 又∵ AB=AD ， ∴ 四边形ABCD是是菱形．
回顾反思 类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
菱形的 定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
D
A
菱形的 性质 C O 菱形的 判定
对角线互相垂直且平分每一组对角 菱形的四条边都相等
B
？
你的想法正确吗？ 如何证明你的猜想？
情境1：
小明同学提出：用一长一短的两根细木 条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一 个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如 下图），做成一个四边形，转动木条，这个 四边形什么时候变成菱形？
(1)定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是 菱形。
(3)判定定理2：四条边相等的四边形是菱形。
应用拓展
例4： □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AB＝5，AO＝4，BO＝3。 求证：□ ABCD是菱形。
方法1：一组邻边相等的平行四边形 是菱形（定义） 方法2：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 (判定定理1）
.
EF=EH
2.已知：如图，顺次连接 A 矩形ABCD各边中点，得 F 到四边形EFGH， 求证：四边形EFGH是菱形。
B
E
D H C
G
如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点， EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使 PE=EB，连接FP． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不 再另外添加辅助线） （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行 四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形， 请说明理由；
方法3：四条边相等的四边形 是菱形。（判定定理2） 交流：你用的是哪 一种方法？你认为 哪一种方法最好？
独立思考：你用哪一种方法？
例4： □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AB＝5，AO＝4，BO＝3。 求证：□ ABCD是菱形。
证明：∵AB=5，AO＝4，BO＝3 ∴
AB2 AO2 BO2
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ．你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的 定义
A D
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
具有平行四边形的所有性质
矩形的 性质 对角线相等
O
四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
B
C
矩形的 判定
对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形
§菱形的判定定理
平行四边形
• 学习目标： 1．掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条 件，选择适当的判定定理进行推理和计算； 2．经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想， 体会研究图形判定的一般思路． • 学习重难点： 1、重点：菱形判定条件的探索及证明． 2、难点：菱形的判定定理的应用．
回顾反思 类比猜想
（1）易得△BFE是等边三角形，PE=EB， ∴EF=BE=PE=BF； （2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形； ∵E是BC的中点， ∴EC=BE， ∵PE=BE， ∴PE=EC， ∵∠C=60°， ∴△PEC是等边三角形， ∴PC=EC=PE， ∵EF=BE， ∴EF=PC， 又∵EF∥CP， ∴四边形EFPC是平行四边形， ∵EC=PC=EF， ∴平行四边形EFPC是菱形；
• 菱形的判定定理2： 四条边相等的四边形是菱形。
符号语言:
∵ AB=BC=CD=DA
（已知）
∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形。）
判定一个四边形是菱形应具备几个条件？
判定一个四边形是菱形， 应具备两个条件。 既可以从菱形定义证明，也可以从判定定理证明。
一组邻边相等的平行四边行 ①对角线互相垂直的平行四边形 ②四条边相等的四边形
∴ △AOB是直角三角形 ∴ AC⊥BD ∴ □ ABCD是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
1、填空。 (1)如图，若AD=8cm, 那么当 8 8 cm, AB=______ cm，BC= _____ 8 cm时，四边形ABCD是菱形. CD= ___
(2)如图，若AO=8cm, OD=6cm， 10 cm,则□ABCD是菱形. 则当AD=____