离散数学00-课程的说明
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程名称（中文/英文）：离散数学/Discrete mathematics课程编码：07442501 课程类型：专业限选课课程性质：专业基础课适用范围：03地理信息系统学分数：3 先修课程：高等数学、线性代数学时数：54 其中：实验/实践学时：0考核方式：考试制订日期：2003年制订单位：广州大学理学院地理系审核者：夏丽华执笔者: 王芳一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务离散数学是现代数学的一个重要的分支，是计算机科学与技术的理论基础，所以又称为计算机数学。
离散数学是计算机科学与技术的核心、骨干课程。
一方面，它给后继课，如数据结构、编译系统、操作系统、数据库原理和人工智能等，提供必要的数学基础；另一方面，通过学习离散数学，培养和提高了学生的抽象思维和逻辑推理能力，为学生今后继续学习和工作，参加科学研究，攀登科技高峰，打下坚实的数学基础。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习，使学生熟悉和习惯抽象的符号表示及演算形式，培养和训练学生掌握使用数学语言或者符号系统，处理问题的基本方法。
由于离散数学是由多门数学分支组成，每一分支可以作为一门独立学科并从不同角度出发，研究各种离散量之间数与形的关系。
要求学生掌握集合论、关系、函数、命题逻辑、谓词逻辑、图论、代数系统等基本知识。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学方法注重理论性和应用性和计算机知识相结合，注重培养和提高学生的抽象和逻辑推理能力，讲练结合，通过作业考察学生的掌握程度。
（四）课程与其它课程的联系本课程的先修课程主要有：高等数学、线性代数后续课程主要有：数据结构、操作系统、数据库原理、人工智能、算法分析（五）教学参考书教材：倪子伟等《离散数学》科学出版社 2002年1月教学参考书：李盘林等《离散数学》高等教育出版社 2002年2月左孝凌等《离散数学》上海科学技术文献出版社，1982耿素云《集合论与图论》北京大学出版社，1998屈婉玲《代数结构与组合数学》北京大学出版社，1998二、课程的教学内容、重点和难点第一篇数理逻辑第一章命题逻辑1.1 命题与联结词1.2 命题公式、编译和真值表1.3 公式分类与等价公式1.4 对偶式与蕴涵式1.5 连结词的扩充与功能完全组1.6 公式标准型----范式1.7 公式的主范式1.8 命题逻辑的推理理论重点：联结词、命题公式、编译和真值表、公式分类与等价公式、对偶式与蕴涵式、公式标准型----范式难点：公式标准型----范式、公式的主范式、对偶式与蕴涵式第二章谓词逻辑2.1 谓词逻辑中基本概念与表示2.2 谓词公式与翻译2.3 约束变元与自由变元2.4 谓词逻辑的解释与自由变元2.5 真与逻辑有效2.6 谓词逻辑的等价公式2.7 变换规则2.8 谓词逻辑的蕴涵式2.9 谓词逻辑中的公式范式2.10 谓词逻辑的推理理论重点：谓词公式与翻译、谓词逻辑的解释与自由变元、变换规则难点：谓词逻辑的推理理论、第二篇集合论第三章集合论的公理系统3.1 公理导出和基本概念3.2 外延公理与子集公理3.3 集合表示法3.4 偶集公理与联集公里3.5 极小元与正则公理3.6 无穷公理3.7 幂集公理第四章关系与函数4.1 有序对4.2 笛卡儿积4.3 二元关系及其矩阵表示4.4 关系的性质4.5 等价关系与划分4.6 函数4.7 序关系4.8 代换公理第五章序数与基数5.1序数5.2基数重点：外延公理与子集公理、集合表示法、幂集公理、函数、二元关系及其矩阵表示、序数难点：幂集公理、等价关系与划分、序关系第三篇代数结构第六章代数结构基本概念及性质6.1 代数结构的定义与例6.2 代数机构的基本性质6.3 同态与同构6.4 同余关系6.5 商代数6.6 积代数重点：代数结构的定义与例、代数机构的基本性质、同态与同构难点：同态与同构、商代数第七章半群与群7.1 半群和独异点的定义及性质7.2 半群和独异点的同态与同构7.3 积半群7.4 群的基本定义与性质7.5 置换群和循环群7.6 子群与陪群7.7 群的同态与同构重点：半群和独异点的定义及性质、半群和独异点的同态与同构、积半群、群的同态与同构难点：半群和独异点的同态与同构、置换群和循环群、群的同态与同构第四篇图论第八章图的基本概念及矩阵表示8.1 图的基本概念8.2 链与圈8.3 图的矩阵表示第九章几类重要的图9.1 欧拉图与哈密尔顿图9.2 二部图9.3 树9.4 平面图重点：图的基本概念、欧拉图与哈密尔顿图、图的矩阵表示、树难点：树、哈密尔顿图三、学时分配。
《离散数学》-课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲英文：《Discrete Mathematics》一、课程基本信息课程代码：16046404课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics课程类别：学科基础学时：64学分： 4适用对象: 计算机实验班、计算机科学与技术、软件工程考核方式：闭卷先修课程：无二、课程简介中文简介离散数学主要介绍计算机科学与技术中的基本离散结构，重点是这些结构的数学定义、在计算机科学中广为使用的证明方法及其应用。
课程包括的基本内容：数理逻辑初步、证明方法、归纳、良序、集合、关系、图论基础、排列与组合、计数等。
课程还包括若干可选内容：递归定义与结构归纳法、状态机与不变式、递归等。
英文简介Elementary discrete mathematics for computer science and engineering. Emphasis on mathematical definitions and proofs as well as on applicable methods. Topics: formal logic notation, proof methods; induction, well-ordering; sets, relations; elementary graph theory; integer congruences; asymptotic notation and growth of functions; permutations and combinations, counting principles; discrete probability. Further selected topics such as: recursive definition and structural induction; state machines and invariants; recurrences.三、课程性质与教学目的离散数学是计算机类各专业的专业基础课，是计算机科学的基础理论，离散结构的基础知识和逻辑思维的形式化是信息技术类学生的基本功，离散数学的基本概念是理科专业学生进行信息类课程学习的重要基础。
离散数学大纲
离散数学教学大纲第一部分大纲说明一.课程的性质与任务《离散数学》是现代数学的一个重要分支，也是计算机计算机科学与技术一级学科及其相关专业必修的基础理论的核心课程。
它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。
该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此《离散数学》充分描述了计算机学科离散性的特点。
它是一门理论性较强，应用性较广的课程。
掌握集合论、数理逻辑、图论、整数、群、环、域、格、布尔代数以及语言与有限自动机等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。
并通过这些知识的学习进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机相关的理论研究与应用提供必要的描述工具和理论基础。
二《离散数学》的特点作为计算机科学与技术一级学科的一门课程，《离散数学》有与其他课程相同相似的地方，当然也有它自身的特点：1、义与定理多。
《离散数学》是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理与性质。
2、法性强。
《离散数学》的许多证明题中，方法性是非常强的，如果知道题的证明方法，很容易就可以证出来，反之则事倍功半。
所以在学习该课程中要善于总结，勤于思考，这也是培养分析问题解决问题抽象思维能力的一个过程。
三与其他相关课程的关系先修课程：高等数学（包括数学分析、线性代数）后续课程：数据结构、数据库、编译原理等四课程的主要内容与基本要求本课程分为九部分：集合论基础、命题逻辑、谓词逻辑、图与网络、数论基础、群与环、多项式与有限域、格与布尔代数以及语言和有限自动机。
（一）集合论基础：在整个《离散数学》的知识体系中，集合论处于基础的地位，对于其所包含知识的掌握程度，直接关系到是否能学好图论和抽象代数问题。
本章主要讲述集合、关系和映射。
1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。
《离散数学》课程教学大纲.doc
《离散数学》教学大纲一、课程的性质和任务课程性质：离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是与信息网络及多媒体技术专业的一门必修课。
主要任务：使学生掌握离散数学的基本理论、基本知识；培养学生的抽象思维和慎密概括的能力。
二、课时分配序号课题教学时数小计讲课习题课及单元测验—-命题逻辑2102谓词逻辑12102三集合862四关系12102五图论20182六机动4总计685410三、课程教学内容第一章命题逻辑理解命题与命题公式概念；掌握命题联结词概念及真值表；会求命题公式真值表；掌握等价重言式和蕴含重言式；理解对偶与对偶原理；掌握命题演算的揄规则和证明方法；会求命题公式的标准形式。
重点：命题与命题公式概念；命题联结词；重言式；对偶；命题演算的推理规则和证明方法；命题公式的标准形式。
难点：重言式；命题演算的推理规则和证明方法；命题公式的标准形式。
第二章谓词逻辑掌握个体、谓词与命题函数概念；掌握量词概念；理解谓词公式概念，能进行自然语言与符号语言间的翻译；掌握谓词演算的推理理论和推理方法。
重点：个体、谓词与命题函数；量词；谓词公式与翻译；谓词演算。
难点：谓词演算。
第三章集合掌握集合基本概念；掌握集合的运算与运算定律；掌握集合对称美；理解集合的划分与覆盖；理解容斥原理，会利用容斥原理解决实际问题。
重点：集合基本概念；集合的运算与运算定律；对称差；容斥原理的应用。
特点：幕集；对称差；集合的划分与覆盖；容斥原理的应用。
第四章关系掌握序偶与笛卡尔积概念；掌握关系，关系矩阵和关系图；掌握关系的；掌握关系的性质；掌握关系的闭包运算；理解等价关系与等价类；理解偏序概念，会作哈斯图。
重点：序偶与笛卡尔积；关系；关系的运算；关系的性质；关系的闭包运算; 等价关系，偏序及哈斯图。
难点：关系概念；关系的运算、性质、闭包运算；偏序及哈斯图。
第五章图论理解图的基本概念；理解路与圈和连通性；了解图的矩阵表示；理解有向图与可达性矩阵；了解欧拉图与哈密尔顿图；掌握树的概念；掌握根树及其应用；了解平面图概念，掌握欧拉公式。
00离散数学概述
课程名称
离散数学
Discrete Mathematics
课程简介
离散数学， 现代数学的一个重要分支， 离散数学，是现代数学的一个重要分支， 的一个重要分支 计算机科学与技术一级学科的核心课程 核心课程， 计算机科学与技术一级学科的核心课程， 是整个计算机学科的专业基础课 专业基础课。 是整个计算机学科的专业基础课。 离散数学是以研究离散量 离散量的结构和相互间 离散数学是以研究离散量的结构和相互间 的关系为主要目标， 的关系为主要目标，其研究对象一般地是 有限个或可数个元素， 有限个或可数个元素，因此它充分描述了 计算机科学离散性的特点 的特点。 计算机科学离散性的特点。 离散数学是随着计算机科学的发展而逐步 建立的，它形成于七十年代初期， 建立的，它形成于七十年代初期，是一门 新兴的工具性学科 工具性学科。 新兴的工具性学科。
为什么要学离散数学
计算机求解的基本模式是： 计算机求解的基本模式是： 实际问题 ⇒ 数学建模 ⇒ 算法设计 ⇒ 编程实现 离散数学为数学建模打下知识基础、 离散数学为数学建模打下知识基础、为算法设计 提供具体指导。 提供具体指导。 离散数学结构实际上就是通用的抽象的模式的集 合。告诉你各种模式的本质特征和它们之间的关 以及选用它们的策略； 系，以及选用它们的策略；告诉你哪些问题是可 解的，哪些是当前在图灵机模型上无（最优） 解的，哪些是当前在图灵机模型上无（最优）解 哪些是可以得到近似/较优解的 较优解的。 的，哪些是可以得到近似 较优解的。 简而言之， 简而言之，离散数学的作用就在于训练运用离散 结构作为问题的抽象模型、构造算法、 结构作为问题的抽象模型、构造算法、解决问题 的能力。 的能力。
数理逻辑简介
一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商， 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商 ， 有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些， 有两人前来应聘 ， 这个商人为了试试哪个更聪明些， 就把两 个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说： 个人带进一间漆黑的屋子里 ， 他打开灯后说： “ 这张桌子上 有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在， 有五顶帽子 ，两顶是红色的 ， 三顶是黑色的， 现在 ， 我把灯 关掉，而且把帽子摆的位置弄乱， 关掉 ， 而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一 顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 顶帽子戴在自己头上 ，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头 上戴的帽子是什么颜色的。 说完后，商人将电灯关掉， 上戴的帽子是什么颜色的。 ”说完后 ， 商人将电灯关掉 ， 然 后三人都摸了一顶帽子戴在头上， 后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽 子藏了起来，接着把灯打开。这时， 子藏了起来 ， 接着把灯打开 。 这时， 那两个应试者看到商人 头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿，其中一个人便喊道： 头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿 ， 其中一个人便喊道 ： 我戴的是黑帽子” “我戴的是黑帽子”。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程名称：离散数学课程代码：11285003适用对象：计算机科学与技术专业学时、学分：72学时，4学分一、说明1、课程的性质、地位和任务课程的性质：离散数学是数学学科的一门专业教育课，是计算机专业的专业基础课。
本课程的目的是传授给学生数理逻辑、集合论、代数结构与图论等方面的知识。
预修课程为：线性代数。
课程的地位：离散数学是计算机科学基础理论的核心课程，是计算机科学技术专业本、专科生的必修专业基础课。
通过本课程的学习，能培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，是一个科学工作者和教育工作者所必备的。
课程任务：课程的任务是使学生比较系统地掌握离散数学的基础知识并能比较灵活地加以运用；培养学生独立分析问题与解决问题能力，掌握离散数学在计算机中的应用为后续课程打下良好的基础。
2、课程教学的基本要求(1)掌握离散数学的基本概念，特别是数理逻辑、集合论和图论的基本内容，是离散数学的主要组成部分。
(2)在讲授基本理论的过程中，应注意引入离散数学的在计算机科学中的应用实例。
3、教法特点说明讲授和实验相结合，采用多媒体辅助教学，重在上机实验。
二、学时分配本课程理论教学时数：72学时三、理论教学大纲内容第1章命题逻辑（学时：12）l、本章教学目的要求（1）讲授命题符号化及联结词。
明确命题符号化及联结词在离散数学的地位。
（2）讲授命题公式及分类,明确等值演算公式的重要意义，（3）讲授真值表，明确真值的作用与意义。
（4）掌握命题公式的主析取范式和合取范式，掌握命题逻辑的推理理论。
2、教学内容及要求（注明掌握内容A，理解内容B，了解内容C）(1)理解命题符号化及联结词 B(2)掌握命题公式及分类 A(3)掌握24个基本等值式及其应用 A(4)了解联结词全功能集、对偶 C(5)掌握命题公式的主析取范式和合取范式 A(6)掌握命题逻辑的推理理论 A3、重点、难点重点：1、命题公式及分类2、命题公式的主析取范式和合取范式3、命题逻辑的推理理论难点：命题逻辑的推理理论4、教学方法教学手段说明讲授、自学讨论，理论和实践密切结合。
《离散数学》教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程编号：课程中文名称：离散数学课程英文名称：Discrete mathematics课程类型：考查课课程性质：专业技术基础课总学时： 54学时理论授课学时： 46学时实验（实践）学时：8学时学分：3分适用对象：信息管理与信息系统、信息工程本科先修课程：高等数学线性代数一、编写说明（一）制定大纲的依据依据我系信息管理与信息系统、信息工程专业学科体系和特色化人才培养目标的要求，制定编写了该教学大纲，在内容上突出了《离散数学》课程的基本理论、基本知识和基本技能，反映现代科学技术的发展趋势，体现了我系的特色化人才培养模式。
（二）课程简介离散数学，是现代数学的一个重要分支，是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素。
《离散数学》内容主要包括: 数理逻辑中命题演算、谓词演算等形式逻辑的推理规律；集合的概念、运算及应用，集合内元素间的关系以及集合之间的关系,无限集的特性；抽象代数的基本理论和应用,格与布尔代数图论学科的基本概念、欧拉图、哈密尔顿图、最小路径算法、中国邮路问题、树及平面图的基本理论；通过该课程可以培养学生的抽象思维和慎密的概括能力，该课程主要适用于自动控制、电子工程、管理科学等有关专业，是计算机专业的必修课。
（三）课程性质、目的和任务《离散数学》课程是为计算机科学与技术专业的学生开设的一门专业基础课程。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
是学习后续专业课程不可缺少的数学工具，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。
离散数学介绍
2015年5月13日星期三
DS
反映美国的一个学校的孩子的友谊关系的 一个复杂星期三
DS
离散数学与信息安全
纠错编码 前缀码 公钥密码 安全性理论 ～代数学、图论、数论、组合学
DS
离散数学与运筹
最短路径问题 关键路径问题 中国邮路问题(管梅谷,1960) 货郎担问题 ～图论、算法
2015年5月13日星期三
DS
8.如果你的孩子被宠坏了，打他屁股会使他发怒；如果 他没有被宠坏，打他屁股会使你懊悔。但是要么是被宠 坏了，要么是没有宠坏。所以， 打他屁股要么会使你懊悔，要么使他发怒。 打他屁股也许对他没有什么好处。
9.正方形是有角的图形，这个图形没有角，所以， 这个图形是个圈。 无确切的结论。 这个图形不是正方形。
2015年5月13日星期三
DS
数学基础论与悖论
说谎者悖论 伊壁孟德:“所有的克里特人都是撒谎者” 我正在说谎 不准涂写 唐吉诃德悖论 鳄鱼与小孩 诉讼师
DS
唐· 吉诃德悖论是指记载在唐· 吉诃德小说中的一个涉及悖论的 故事。
桑丘· 潘萨在他治理的岛上颁布一条法例，规定过 桥的旅客必需诚实地表示自己的目的，否则就会 被绞死。 有一个旅客在见到桥上的告示后，宣称自 己过桥是要被绞死的。 这使执法者感到为难： 如果该人的言论为真，则他应被释放，但如此一来其言论 即变为假。 如其言论为假，则他会被绞死，但如此一来其言论即变为 真。 该旅客被带到桑丘面前，而桑丘最后把他释放。
☆Discrete Structures include important material from such area as set theory,logic,graph and combinatorics.
离散数学课程教学大纲
离散数学课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的性质、目的与任务离散数学是中央广播电视大学电子信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程。
该课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑等。
离散数学是计算机科学与技术专业的基础核心课程。
通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。
本课程是一门理论性较强的课程，要求在完成基础知识教学任务的同时，通过适当的实际应用的介绍，提高学生的实际应用能力的培养。
二、与相关课程的衔接、配合、分工后续课程：数据结构、数据库应用技术、操作系统等课程。
三、课程的基本教学要求本课程是计算机科学与技术专业的基础核心课程，教学内容以基本概念、结论、算法、推理与证明方法，以及一般应用方法的介绍为主，课程内容突出简明扼要、体系结构清楚为原则。
本课程主要内容包括集合论、图论与数理逻辑等三个方面的内容。
具体要求为：1.了解离散数学的主要组成部分，各个部分所涉及的基本内容，及其在计算机科学与技术领域中的应用；2.理解离散数学的的基本概念、结论、算法、应用方法及适用范围；3.掌握离散数学的的基本推理与证明过程、基本算法及应用方法。
四、课程的教学方法和教学形式建议1.根据课程特点，建议采用多种教学媒体讲解、应用事例介绍等教学手段相结合的教学模式进行教学。
2.保证提供一定的教学辅导手段与途径，及时解答学生的疑问，同时注意培养学生独立思考问题和解决问题的能力。
3.充分利用网络教学技术进行授课、答疑和讨论。
五、教学要求的层次课程的教学要求分为了解、理解和掌握三个层次。
了解：要求学生能正确判别有关概念、结论和方法。
理解：要求学生能正确理解有关概念、结论、算法和方法的含义，并且能进行一定的逻辑推理与数学证明。
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理发师悖论
著名的理发师悖论是伯特纳德· 罗素提出的。 一个理发师的招牌上写着：
告示: 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，
我也只给这些人刮脸。
谁给这位理发师刮脸呢？
如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自 己来刮。
2020/4/15
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理发师悖论
如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸 的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。 因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何 人能给这位理发师刮脸了！
伯特纳德· 罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关 于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某 些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹 果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然 是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是 它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本 身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。
这就直接导致人们认识上的危机，从而导致了西方数 学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
2020/4/15
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第一次数学危机的解决
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多
克索斯建立起一套完整的比例论。
欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑
上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而
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第一次数学危机的解决
直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是 无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起 来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地 中才真正扎下了根。
无理数在数学中合法地位的确立： ➢一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数， ➢另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学 危机。
Pythagoras 的一生
五十岁左右，Pythagoras回到Samos岛，在短暂地 到 Crete 岛学习法律，并在Samos岛建立一个短 命学派后，
他在两年之后到意大利南边的Croton建立了影响重 大的毕氏学派，这是一个哲学宗教团体，以数学的 秘密知识为中心。
它的核心圈称为mathematikoi，有点像今日所谓的 僧团，必须放弃财产、持戒、素食，另外还有像是 居士的外围团体。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下 了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插 棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析 问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许 多重要定理。冯· 诺易曼奠基了博弈论。最受大众 欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发 明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏 和数学谜的书。
解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克
索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接
出现无理数而实现的。这就生硬地理数的使用只有在几何中
是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻
辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单
纯符号，而不被当作真正的数。
2020/4/15
种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达
哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。 据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，
而杀牛百只以示庆贺。 因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：
“百牛定理”。 神奇的毕达哥拉斯学派.
2020/4/15
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尽管这样，克莱因夫人还是对的。
2020/4/15
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圆周率π中的数字结构
π的排列无规则，可是让我们看从第710154个数 以下的数字是怎样排列的：一连串排有7个3。
π的数字从它是随机产生的这一点来讲，它不是没 有规律的，可是从它的数字排列规律是“无章可循” 这一点来讲，又是没有规律的。数学家对π的小数 位不断增加作了很多试 验，看是有什么“规律性”， 可是毫无结果。π的小数位 数字就像一个旋转圆盘可以 旋到0至9任何一个数字那样 毫无规律。
布朗：呣……三年前，我曾漫游未来的30年后，并 在这颗树上刻下了我的名字。27年以后，当我到了 我过去曾经到过的地方时，将会出现什么情景呢？ 什么树也没有了。我要把名字刻在其上的树从哪儿 来呢？
2020/4/15
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神秘的悖论
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个 组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这 就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大 数学家都看不起“趣味数学”问题。
2020/4/15
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时间机器
布朗教授刚刚返回到了30年前，他正注视着还是婴 儿的自己。
布朗：假定我把这婴儿杀死，那他不会有长大起来 而变成布朗教授！我会突然消失吗？
现在布朗教授又跑到未来30年后。他正在他实验室 外的橡树上刻他的名字。
教授又回到离去的那个时间。几年以后，他决定砍 掉他那颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊 的著名数学家与哲学家。他曾创立 了一个合政治、学术、宗教三位一 体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学 派。由毕达哥拉斯提出的著名命题 “万物皆数”是该学派的哲学基石。 而“一切数均可表成整数或整数之 比”则是这一学派的数学信仰。然 而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯 建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达 哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
悖论定义
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人们 直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我 们惊讶无比。
悖论主要有三种形式： ➢1、一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对 的（佯谬）； ➢2、一种论断看起来好象肯定对了，实际却错了 （似是而非）； ➢3、一系列理论看起来好象无懈可击，却导致逻辑 上自相矛盾。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达 哥拉斯学派为之大为恐慌。
2020/4/15
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希帕索斯悖论与第一次数学危机
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量， 在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今 天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外 是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常 识的论断居然被小小的sqrt(2)的存在而推翻了！这 应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前 所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒 谬人们竟然毫无办法。
之一。 它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，
同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在 我国. 最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了 关于这一定理的初步认识。
2020/4/15
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毕达哥拉斯学派
不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。 一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕 索斯考虑了一个问题： ➢边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？ ➢他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表 示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 sqrt(2)的诞生。小小sqrt(2)的出现，却在当时的 数学界掀起了一场巨大风暴。
2020/4/15
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Pythagoras 毕达哥拉斯
Pythagoras （约-569～？） ，生于Samos岛， 卒于意大利。毕氏学派的创始人。由于他「万物皆 数」的信念，为希腊数学的昌盛奠下基本的思想质 素。
Pythagoras生于爱琴海东岸靠近安那托利亚半岛的 Samos岛，母亲是本岛人，父亲则是来自于地中海 东岸Tyre的商人。
2020/4/15
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神秘的悖论
什么是悖论？
笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理 的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛 盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假， 则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的 一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对 数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛 的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还 会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下， 悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。
而教主就是Pythagoras。
2020/4/15
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Pythagoras 学派的信念
宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。 实在最深刻的本性是数学。 哲学可以使精神纯净。 灵魂可以与上天契合。 符号有神秘的力量。
2020/4/15
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Pythagoras一生的事迹由于历史久远，近于传奇， 在事件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的 时间，
2020/4/15
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Pythagoras 毕达哥拉斯
2020/4/15
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Pythagoras 毕达哥拉斯
2020/4/15
2020/4/15
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不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身， 当晚七点到达山顶。他在山顶做了一夜的考察工作， 第二天早晨七点沿同一条小路下山。
那天晚上七点钟，他到达山脚。在那里，他遇到了他 的拓扑学老师克莱因夫人。
克莱因：帕特！你可曾知道你今天下山时走过这样一 个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过 这点的时刻完全相同？帕特：您一定是在开我的玩笑！ 这绝对不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭 和休息。
按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出 现了三次这样的数学危机。
2020/4/15
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希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。 因此，我们从勾股定理谈起。