离散数学00-课程的说明

毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕 索斯考虑了一个问题： ➢边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？ ➢他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表 示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 sqrt(2)的诞生。小小sqrt(2)的出现，却在当时的 数学界掀起了一场巨大风暴。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
各种各样的悖论
说谎者悖论 我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最
简单的形式。
这句话是错的
上面这个句子对吗? 如果是对的，这句话就是错的！ 如果这句话是错的，那这个句子就对了！ 像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
2020/4/15
而教主就是Pythagoras。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 学派的信念
宗派弟兄必须绝对的忠实与守密。 实在最深刻的本性是数学。 哲学可以使精神纯净。 灵魂可以与上天契合。 符号有神秘的力量。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
尽管这样，克莱因夫人还是对的。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
圆周率π中的数字结构
π的排列无规则，可是让我们看从第710154个数 以下的数字是怎样排列的：一连串排有7个3。
π的数字从它是随机产生的这一点来讲，它不是没 有规律的，可是从它的数字排列规律是“无章可循” 这一点来讲，又是没有规律的。数学家对π的小数 位不断增加作了很多试 验，看是有什么“规律性”， 可是毫无结果。π的小数位 数字就像一个旋转圆盘可以 旋到0至9任何一个数字那样 毫无规律。
Pythagoras 的一生
五十岁左右，Pythagoras回到Samos岛，在短暂地 到 Crete 岛学习法律，并在Samos岛建立一个短 命学派后，
他在两年之后到意大利南边的Croton建立了影响重 大的毕氏学派，这是一个哲学宗教团体，以数学的 秘密知识为中心。
它的核心圈称为mathematikoi，有点像今日所谓的 僧团，必须放弃财产、持戒、素食，另外还有像是 居士的外围团体。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
神秘的悖论
什么是悖论？
笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理 的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛 盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假， 则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的 一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对 数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛 的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还 会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下， 悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
时间机器
布朗教授刚刚返回到了30年前，他正注视着还是婴 儿的自己。
布朗：假定我把这婴儿杀死，那他不会有长大起来 而变成布朗教授！我会突然消失吗？
现在布朗教授又跑到未来30年后。他正在他实验室 外的橡树上刻他的名字。
教授又回到离去的那个时间。几年以后，他决定砍 掉他那颗橡树。他砍完以后，一下变得困窘起来。
之一。 它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，
同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在 我国. 最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了 关于这一定理的初步认识。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
毕达哥拉斯学派
不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。 一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊 的著名数学家与哲学家。他曾创立 了一个合政治、学术、宗教三位一 体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学 派。由毕达哥拉斯提出的著名命题 “万物皆数”是该学派的哲学基石。 而“一切数均可表成整数或整数之 比”则是这一学派的数学信仰。然 而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯 建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达 哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克
索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接
出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开
来。
在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中
是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻
辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单
纯符号，而不被当作真正的数。
2020/4/15
布朗：呣……三年前，我曾漫游未来的30年后，并 在这颗树上刻下了我的名字。27年以后，当我到了 我过去曾经到过的地方时，将会出现什么情景呢？ 什么树也没有了。我要把名字刻在其上的树从哪儿 来呢？
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
神秘的悖论
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个 组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这 就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大 数学家都看不起“趣味数学”问题。
这就直接导致人们认识上的危机，从而导致了西方数 学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
第一次数学危机的解决
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多
克索斯建立起一套完整的比例论。
欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑
上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而
Pythagoras一生的事迹由于历史久远，近于传奇， 在事件的年代考证差别颇大，不过若不计较确定的 时间，
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 毕达哥拉斯
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 毕达哥拉斯
2020/4/15
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达 哥拉斯学派为之大为恐慌。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
希帕索斯悖论与第一次数学危机
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量， 在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今 天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外 是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常 识的论断居然被小小的sqrt(2)的存在而推翻了！这 应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前 所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒 谬人们竟然毫无办法。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
理发师悖论
如果另外一个Hale Waihona Puke Baidu来给他刮脸，那他就是不自己刮脸 的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。 因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何 人能给这位理发师刮脸了！
伯特纳德· 罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关 于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某 些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹 果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然 是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是 它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本 身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。
gcfeng@bjtu.edu.cn
理发师悖论
著名的理发师悖论是伯特纳德· 罗素提出的。 一个理发师的招牌上写着：
告示: 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，
我也只给这些人刮脸。
谁给这位理发师刮脸呢？
如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自 己来刮。
卅岁后，Pythagoras到埃及待了约十年，他四处拜 访神庙僧侣，研究宗教仪式，许多埃及宗教的特色 与戒律，后来在毕氏学派的生活里都可以看得出来。
后来波斯入侵埃及，Pythagoras 被俘，送往巴比 伦，他在这里学习了算术、音乐与其它数学。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。 伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪
几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具 为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。 这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多 多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。 但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理 论都是不严格的。 两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作 为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
悖论定义
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人们 直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我 们惊讶无比。
悖论主要有三种形式： ➢1、一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对 的（佯谬）； ➢2、一种论断看起来好象肯定对了，实际却错了 （似是而非）； ➢3、一系列理论看起来好象无懈可击，却导致逻辑 上自相矛盾。
gcfeng@bjtu.edu.cn
第一次数学危机的解决
直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是 无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起 来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地 中才真正扎下了根。
无理数在数学中合法地位的确立： ➢一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数， ➢另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学 危机。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下 了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插 棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析 问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许 多重要定理。冯· 诺易曼奠基了博弈论。最受大众 欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发 明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏 和数学谜的书。
按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出 现了三次这样的数学危机。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。 因此，我们从勾股定理谈起。
勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。 天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠
种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达
哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。 据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，
而杀牛百只以示庆贺。 因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：
“百牛定理”。 神奇的毕达哥拉斯学派.
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 毕达哥拉斯
Pythagoras （约-569～？） ，生于Samos岛， 卒于意大利。毕氏学派的创始人。由于他「万物皆 数」的信念，为希腊数学的昌盛奠下基本的思想质 素。
Pythagoras生于爱琴海东岸靠近安那托利亚半岛的 Samos岛，母亲是本岛人，父亲则是来自于地中海 东岸Tyre的商人。
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 毕达哥拉斯
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 毕达哥拉斯
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
Pythagoras 的一生
青年时期的Pythagoras随商人父亲四处游历，到过 叙利亚游学，也到过意大利。他的教育良好，有三 个 影 响 他 很 大 的 老 师 ： Pherekydes 、 Thales 、 Anaximander，后者尤其在数学、几何、天文上对 他多有启发。
2020/4/15
gcfeng@bjtu.edu.cn
不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路向山顶进发。他早晨七点动身， 当晚七点到达山顶。他在山顶做了一夜的考察工作， 第二天早晨七点沿同一条小路下山。
那天晚上七点钟，他到达山脚。在那里，他遇到了他 的拓扑学老师克莱因夫人。
克莱因：帕特！你可曾知道你今天下山时走过这样一 个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过 这点的时刻完全相同？帕特：您一定是在开我的玩笑！ 这绝对不可能。我走路时快时慢，有时还停下来吃饭 和休息。