运筹学课件第二章 线性规划灵敏度分析
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第02章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析 《运筹学》PPT课件
x1, x2 ,, xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
minW b1y1 b2 y2 bm ym
对
s.t.
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
am1 y1 c1
am2
y2
c2
amn ym cn
偶 问 题
y1, y2 ,, ym 0
max Z CX
用5h设备A,2h设备B及1h调试可 生产一件家电Ⅱ，赢利1元
该公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，即：
min z 15y1 24y2 y3
问 题 的 导 出
例2-1
综上所述，
（LP2） min w 15y1 24y2 y3
6 y2 y3 2
s.t.5 y1 2 y2 y3 1
的
x1, x2,, xn 0
对
minW b1y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
偶 问 题
a12y1
a22 y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym符号不限
对
例2－3
称
minZ 4x1 2x2 3x3
[B-1A,B-1I]=[B-1B,B-1N,B-1I]=[I,B-1N,B-1] •若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代后为 Pj′，则有Pj′=B-1Pj •当B为最优基时，表中应有
CN-CBB-1N≤0,-CBB-1≤0
例2-5
对
偶
参看例2-1中的原问题和对偶问题，并分别加上松 弛变量和剩余变量，如下：
23 3
运筹学基础PPT(线性规划2)
单纯形法
单纯形法的基本思想
从可行域的某一个顶点开始，判断此顶点 是否是最优解，如不是，则再找另一个使 得其目标函数值更优的顶点，再判断此点 是否最优。这个过程，称之为迭代。直到 找到使得目标函数值最优的解，或者能判 断出线性规划问题无最优解为止。
若干基本概念
基：已知A是约束条件的m*n系数矩阵，其秩为m。若B 是A中的m*n阶非奇异子矩阵（可逆矩阵，即|B|≠0）， 则称B是线性规划问题的一个基。
iii资源限制300台时400千克250千克设备原料a原料b112101灵敏度分析????单纯形法?单纯形法的一般步骤?将线性规划问题转化成标准形?写出初始单纯形表?对检验数进行检验若检验数均为非负数则得到最优单纯形表
线性规划 II
(Linear Programming, Part II)
图解法的灵敏度分析
1 0 0 1 1 1 0 1 0 和 2 1 0 都是该线性规划的一个基。 0 0 1 0 1 0
1 1 1 0 ，它有三个基向量： 1 0 1 1 1 2 ， 1 ， 0 0 0 1
基向量：基B中的一列称之为基向量。
1 对于B= 2 0
O
灵敏度分析的概念
灵敏度分析 的意义
例子 某工厂在计划期内要安排I、II两种产品的生产，已知 生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，以及资源的限制，如下表。该工厂每生产一单位 产品I可获利50元，每生产一单位产品II可获利100元。 问工厂应生产多少个产品I和产品II才能使工厂获利最 大？
设备 原料A 原料B
I 1 2 0
II 1 1 1
资源限制 300台时 400千克 250千克
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
运筹学-线性规划灵敏度分析_图文
在目前计算机普及率很高的情况下，通常的方法是程序 中修改A后重新计算成即可。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
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2
2
20
200
3
3
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1ห้องสมุดไป่ตู้
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2
2
30
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可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
第二章线性规划的灵敏度分析精品PPT课件
0
2
0
14
0 1 0
4
由最优单纯形表可知： B1
2
1 2
1
则
1 1
2
8
0
X' B1b' B1 b Δb B1b B1 Δb X B1 Δb
0 1 0
4 4 2
2 1
2
4 1
2 1
8
01
4 0 0
4 4 2
0 -8 2
40 4-8 22
x1 2x2 8
s.t
4x1 16 4x2 12
x1,x2 0
求c2在什么范围
内变动时，原最 优解保持不变。
下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化
Ci
2
CB
XB
x1
2
x1
1
0
x5
0
3
x2
0
σj
0
3
0
0
x2
x3
x4
0
0
1/4
0
-2
1/2
1
1/2
-1/8
0
-3/2
-1/8
0
B-1b
4 -4 4
将b’代入原最优单纯形表中，运用对偶单纯形法计算最优解。
Ci
2
3
0
0
0
B-1b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
1
0
0
1/4
0
4
0
x5
0
0
-2
1/2
1
-4
3
x2
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
第二章线性规划灵敏度分析
Chapter 2 灵敏度分析 然而在一般线性规划问题中遇到非对称形式时我们的处理 如下： 非对称形式的对偶规划——一般称不具有对称形式的一对 线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对 于其中的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （2）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划 中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制； （3）若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问 题中与此变量对应的那个约束为等式。
Chapter 2 灵敏度分析
单纯形法矩阵 的描述
单纯形法的矩阵描述？ maxZ=CX
标准型
AX=b 已知：A、b、c
A=(NB) X0
B=E
Chapter 2 灵敏度分析
用非基变量表示基变量 Z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN XB =B-1 b-B-1 NXN CBB-1b CN - CBB-1 N O
对偶问题提出
问题一：某公司在计划期内要安排生产I II两种产品 已知生产单位产品所需的设备台时及A B两种原材 料的消耗如表所示，该工厂每生产一件产品I可获 利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应该如 何安排计划使该工厂获利最多？
如何安排方案？
有哪些 方面可以 考虑呢？
Chapter 2 灵敏度分析
约束条件右端项
Chapter 2 灵敏度分析
小练习
写出下列问题的对偶问题
1. m i nZ 2 x1 2 x 2 4 x 3 2 x1 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0 2 .m i nZ 3 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x4 0 x 2 3 x 3 4 x 4 5 2 x1 3 x 2 7 x 3 4 x4 2 x 0，x 0, x 、x 无约束 2 3 4 1
运筹学第二章 线性规划灵敏度分析课件
第2章 线性规划 灵敏度分析
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
东北财经大学工商管理学院
第1页，此课件共33页哦
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
第23页，此课件共33页哦
2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
东北财经大学工商管理学院
电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
第25页，此课件共33页哦
2.9 影子价格
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
东北财经大学工商管理学院
第1页，此课件共33页哦
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
第23页，此课件共33页哦
2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
东北财经大学工商管理学院
电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
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2.9 影子价格
第2章 线性规划(灵敏度分析)
• 从而最优解可写成： XBi+Δbkd’ik 0 • 因此，bk的允许变动范围是：
xBi xBi 0 bk min 0 max | dik | dik i i dik dik
• 如果bk超过上述范围，则新得到的解为不 可行解。但由于bk的变化不影响检验数， 故仍保持所有的检验数I 0 ，即满足对偶 可行性，这时，可在原最优表的基础上， 换上改变后的常数及相应的Z值，用对偶单 纯形法迭代，以求出新的最优解。
• 例：P6，例１中，最终单纯形表为： cj CB 0 3 4 zj zj-cj XB b x5 200 x2 600 x1 200 2600 4 x1 0 0 1 4 0 3 x2 0 1 0 3 0 0 x3 0 x4 0 x5 1 0 0 0 0
0.5 -0.4 1 -0.4 -0.5 0.4 1 1 0.4 0.4
200 600 200 max , b1 min 3 1,2 1 0.5 0.5
400 b1 400
• 如果b1’=1800；最优解不变，直接求X’B X’B=B-1b’ • 如果b1’=2200 cj
CB
0 3 4
zj zjБайду номын сангаасcj
x2
0 1 0
x3
0.5 1 -0.5
x4
-0.4 -0.4 0.4
x5
1 0 0
行变换(这里并没有进行换基迭代) cj CB
0 3 4
zj zj-cj
4 x1
0 0 1
4 0
3 x2
0 1 0
3 0
0 x3
1 2 -1
2 2
0 x4
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学线性规划对偶理论与灵敏度分析ppt课件
2020/2/21
2020/2/21
一、单纯形法计算的矩阵描述
本节以对称形式的原始-对偶问题为讨论的基础， 除非特别需要，一般不再专门说明。
P. max z = CX AX≤b
D. min w = Yb YA≥C
X≥0
Y≥0
原问题通过加入松弛变量 Xs 可以化为标准形式：
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
max z = x1－2 x4 + x5 － x6
x1 － x4 － x5 + x6 ≤ 2 x1－ x4 － x5 + x6 ≤ - 1 x1 + x4 + x5 － x6 ≤ 1 2x1+ x4 － x5 + x6 ≤- 2 x1 , x4 , x5 , x6 ≥0
（2）写出上述 对称形式线性规 划问题的对偶。
a12y1+ a22y2 + … + am2ym ≥ c2 ……
a1ny1+ a2ny2 + … + amnym ≥ cn y1 , y2 , …, ym ≥0
2020/2/21
原问题：
max z = C X AX ≤ b X ≥0
Y=(y1,y2,…,ym) 对偶问题： min w = Y b YA≥C Y≥0
max z =c1x1+ c2x2 +… + cnxn
a11x1+ a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
st.
a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1+ am2x2 + … + amnxn ≤ bm
2020/2/21
一、单纯形法计算的矩阵描述
本节以对称形式的原始-对偶问题为讨论的基础， 除非特别需要，一般不再专门说明。
P. max z = CX AX≤b
D. min w = Yb YA≥C
X≥0
Y≥0
原问题通过加入松弛变量 Xs 可以化为标准形式：
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
max z = x1－2 x4 + x5 － x6
x1 － x4 － x5 + x6 ≤ 2 x1－ x4 － x5 + x6 ≤ - 1 x1 + x4 + x5 － x6 ≤ 1 2x1+ x4 － x5 + x6 ≤- 2 x1 , x4 , x5 , x6 ≥0
（2）写出上述 对称形式线性规 划问题的对偶。
a12y1+ a22y2 + … + am2ym ≥ c2 ……
a1ny1+ a2ny2 + … + amnym ≥ cn y1 , y2 , …, ym ≥0
2020/2/21
原问题：
max z = C X AX ≤ b X ≥0
Y=(y1,y2,…,ym) 对偶问题： min w = Y b YA≥C Y≥0
max z =c1x1+ c2x2 +… + cnxn
a11x1+ a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
st.
a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 ……
am1x1+ am2x2 + … + amnxn ≤ bm
第2章 运筹学课件图解法
4x2 12
x2
A
可行域
B
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x 0 1 2
最优解（4，2）
x1
x1 16
x1 2x2 8
结论： 可行域一定是凸集 若最优解存在，则最优解一定 在凸集的顶点达到
上例中求得 问题的解是唯一的， 但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况： 1、无穷多最优解（多重解）
若将上例中的目标函数 max z 2x1 4x2 改为则表示目标函数中以参数的等值线 与约束条件的边界平行，当值由小变大 时，将与此边界重合，线段AB上的所有 点都是最优解。
向量Pj 对应的决策变量是x j
T
用矩阵表述：
max z CX ( LP4 ) s.t AX b X 0
其中
A (aij )mn ( p1, p2 pn )
0 (0,0,0)
T
max z CX s.t AX b X 0
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线
性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论
上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特 别是在计算机能处理成千上万个约束条件和 决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经 常采用的基本方法之一。
§2.1 问题的提出 §2.2 线性规划的图解法 §2.3 图解法的灵敏度分析
2. 存在一定的约束条件，这些约束都可 以用一组线性等式或线性不等式表示。
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决 策变量的线性函数来表示。按问题的 不同要求，目标函数实现最大化或最
第02章线性规划的对偶理论与灵敏度分析
3 40
2
Z1=π1b=(0,2)6090
(3)
310 1 3
σN=C N-π1N =(c2,c4)-π1(P2P4)=(2,0)-(0,2)11=(2,
-) 2
2 4
C=(3,2,0,0)
A=12
1 1
1 0
0
1
b
=
40
6
0
1 B1=(P3,P1)=0
1 2
X
B
=B1-1b=
10 30
(4) 选择 换x 2 入变量
1 B1-1P2
0
1 1
2 1 2
1 1
2
1 2
0
(5)
m in B B 1 1 1 1 P b 23 3, B B 1 1 1 1 P b 21 1 1 1 /0 2,1 3 /0 2 1 1 /0 2
选择 换x 3 出变量,主元素＝
b
=
60
m axZ=3x1+2x 2
x1+x2+x3 =40
2
x
1
+
x
2
+x 4 =60
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0
（１）观察法确定
1 0
B0=(P3 P4)=0 1 ， x 3 , x 4 为基变量 x 1 , x 2 为非基变量
B - 0 1 1 01 0 , X B = B 0 - 1 b = 1 01 0 6 4 0 0 = 6 4 0 0 , X 0 ( 0 ,0 ,4 0 ,6 0 ) T
-1P k
≤０
m in ((B B -1 -1 P bk))ii /(B-1Pk)i>0 =((B B -1 -1 P bk))ll
运筹学课件第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
第二章 线性规划对偶理论与灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题 若例1工厂的决策者不生产产品，有另一企业租赁 其所有资源。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握 资源的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否 做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是
CX Yb
推论1 极大化原问题任意一个可行解的目标函数值 是其对偶问题目标函数值的下界。反之极小化问 题任意一个可行解的目标函数值是其原问题目标 函数值的上界。
推论2 若原问题(对偶问题)具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
推论3 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题 （原问题）无可行解，则其对偶问题（原问题） 目标函数值无界。
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
二、对称形式对偶问题
根据上述例题可见，对于对称形式的线性规划问题 ，
我们可以马上得出它的对偶问题：
Max Z C X
Min w Y 'b
AX b
X
0
A'Y C Y 0
三、非对称形式对偶问题
原问题（对偶问题）
约束条件系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中价格系数向量
重复步骤2-4。
若 br 0，而对所有j，有aij 0，则原问题无可行解。
第四节 对偶单纯形法
例题：P61
练习题： minω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3 ≥3 2x1– x2+3x3 ≥4 x1 , x2 , x3 ≥0
第五节 灵敏度分析
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题 若例1工厂的决策者不生产产品，有另一企业租赁 其所有资源。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握 资源的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否 做出抉择。 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是
CX Yb
推论1 极大化原问题任意一个可行解的目标函数值 是其对偶问题目标函数值的下界。反之极小化问 题任意一个可行解的目标函数值是其原问题目标 函数值的上界。
推论2 若原问题(对偶问题)具有无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。
推论3 若原问题(对偶问题)有可行解而其对偶问题 （原问题）无可行解，则其对偶问题（原问题） 目标函数值无界。
我们称这个线性规划问题为例1线性规划问题（我们 称为原问题）的对偶问题。
二、对称形式对偶问题
根据上述例题可见，对于对称形式的线性规划问题 ，
我们可以马上得出它的对偶问题：
Max Z C X
Min w Y 'b
AX b
X
0
A'Y C Y 0
三、非对称形式对偶问题
原问题（对偶问题）
约束条件系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中价格系数向量
重复步骤2-4。
若 br 0，而对所有j，有aij 0，则原问题无可行解。
第四节 对偶单纯形法
例题：P61
练习题： minω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+ x3 ≥3 2x1– x2+3x3 ≥4 x1 , x2 , x3 ≥0
第五节 灵敏度分析
运筹学对偶理论与灵敏度分析幻灯片PPT
C* X Y * A* X Y * b
必有
Y*X s0 ,Y sX *0
19
松约束:某一可行点〔如X*和Y*〕处的严格不等式约束〔包 括对变量的非负约束〕
紧约束:严格等式约束
例2.5
minZ3x14x22x35x49x5
x2x35x43x52 x1x2x3 x42x53 x1,,x50
试通过求LD的最优解来求解LP的最优解。
解：对偶问题为
max W 2 y1 3 y 2
x23x5 2 x1x22x5 3 化简为
xx12
1x5 23x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
(2)
y1 y 2 2
(3)
5
y1
y2 5
(4)
3 y1 2 y2 9
(5)
y1 , y 2 0
21
x1 1x5 x2 23x5
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥〞的不等式，可 以两边同乘“－1〞，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进展适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
归纳-----表2.2
7
表2.2
Max 约束条件数=m 第i个约束条件 “≤” “≥” “=”
9
例2.4 写出下述线性规划问题的对偶问题
minZ 3x12 x2 4 x3 x4
x1 x2 3x3 x4 10
2 s.t.
x1
2 x3 x4 8
x2 x3 x4 6
x1 0, x2, x3 0, x4无约束
maxW 10y1 8y2 6y3
y1 2 y2
3
必有
Y*X s0 ,Y sX *0
19
松约束:某一可行点〔如X*和Y*〕处的严格不等式约束〔包 括对变量的非负约束〕
紧约束:严格等式约束
例2.5
minZ3x14x22x35x49x5
x2x35x43x52 x1x2x3 x42x53 x1,,x50
试通过求LD的最优解来求解LP的最优解。
解：对偶问题为
max W 2 y1 3 y 2
x23x5 2 x1x22x5 3 化简为
xx12
1x5 23x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
(2)
y1 y 2 2
(3)
5
y1
y2 5
(4)
3 y1 2 y2 9
(5)
y1 , y 2 0
21
x1 1x5 x2 23x5
6
对于一般情况下线性规划问题如何写出对偶问题。对于等 式约束可以把它写成两个不等式约束，对于“≥〞的不等式，可 以两边同乘“－1〞，再根据对称形式的对偶关系写出对偶问题 ，然后进展适当的整理，使式中出现的所有系数与原问题中的 系数相对应。
归纳-----表2.2
7
表2.2
Max 约束条件数=m 第i个约束条件 “≤” “≥” “=”
9
例2.4 写出下述线性规划问题的对偶问题
minZ 3x12 x2 4 x3 x4
x1 x2 3x3 x4 10
2 s.t.
x1
2 x3 x4 8
x2 x3 x4 6
x1 0, x2, x3 0, x4无约束
maxW 10y1 8y2 6y3
y1 2 y2
3
运筹学第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
现在换个角度分析这个问题。假若由于 某种原因，该企业（称为甲方）打算放弃 这些生产项目，而另一家企业（称为乙方）
希望收购这些资源。那么，如何确定三种
资源的转让价格，在自己方不受损失的前
提下、又要乙方愿意接受，使买卖能够成
交？
设三种资源的定价分别为y1，y2，y3 （单位：百元）。对甲方来说，企业甲利用 1吨原料A和5吨原料B，生产一单位甲产品， 收入2百元。转让这些原料的收入不能低于2
对偶问题的特点
•若原问题目标是求极大化，则对偶问 题的目标是极小化，反之亦然 •原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵 •极大化问题的每个约束对应于极小化 问题的一个变量，其每个变量对应于对 偶问题的一个约束。
一 般 线 性 规 划 问 题 的 对 偶 问 题
对偶问题对应表
max z CX AX b X 0
这个性质说明，原问题与对偶问题是 相互对偶的。
定理2（弱对偶定理） 设
X ( x1 , x2 ,, xn )T
与 Y ( y1 , y2 ,, ym ) 分别是（ 2.3）与（2.4） 的可行解，则
C X Yb
。
推论1 极大化问题的任意一个可行解所 对应的目标函数值是其对偶问题最优目标 函数值的一个下界。 推论2 极小化问题的任意一个可行解所对 应的目标函数值是其对偶问题最优目标函 数值的一个上界。
i 1
m
m aij yi c j i 1 y 0 i
j 1,2,, n i 1,2,, m
（2.4）
我们称线性规划（2.4）为线性规划（2.3） 的对偶规划。
写成矩阵形式，原问题
max z CX AX b X 0 它的对偶问题
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用敏感性报告进行分析 百分之百法则:如果目标函数系数同时 变动，计算出每一系数变动量占该系 数允许变动量（允许的增量或允许的 减量）的百分比，而后，将各个系数 的变动百分比相加，如果所得的和不 超过100%，则最优解不会改变；如果 超过100%，则不能确定最优解是否改 变，只能通过重新规划求解来判断了
450 300 500 400 2 ( )( ) 66.67% 450 300 3
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
但是变动百分比之和超过100%并不一 定表示最优解会改变。例如，门和窗 的单位利润都减半
( 300 150 500 250 )( ) 133% 300 300
最优解
(2,5.5,1）,
最大利润 是3750元。 可见新产 品为工厂 增加了利 润
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2.8 增加一个约束条件
第2章 线性规划 灵敏度分析
比如工厂关心电力供应限制(例2.2 假定生产两种 新产品每件需要消耗电力分别为20kw、10kw，工厂 总供电最多为90kw),最优解是否会发生变化? 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
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2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
图解法（直观）
可以看到，
0 c1 750
最优解（2，6） 保持不变
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2.3 多个目标函数系数同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
假如，以前把门的单位利润（300元）估 计得太低了，现在把门的单位利润定为 450元；同时，以前把窗的单位利润（500 元）估计得过高了，现在定为400元。这 样的变动，是否会导致最优解发生变化呢 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解） 方法2：运用敏感性报告进行分析（百分 之百法则）
变动百分比超过了100%， 但从右图看最优解还是（2， 6），没有发生改变。这是 由于这两个单位利润同比 例变动，等利润直线的斜 率不变，因此最优解就不 变。
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2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个约束右端值变动对目标值的影响 如果车间2的可用工时增加1个小时， 总利润是否会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解） 方法2：从敏感性报告中获得关键信 息（影子价格）；
可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6), 总利润也相应 的下降为3450 元。
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2.9 影子价格
第2章 线性规划 灵敏度分析
（1）影子价格是根据资源在生产中作 出的贡献而做的估价。它是一种边 际价格，其值相当于在资源得到最 优利用的生产条件下，资源（约束 右端值）每增加一个单位时目标函 数值的增加量；
2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
下面讨论在假定只有一个系数cj改变，其他 系数均保持不变的情况下，目标函数系数 变动对最优解的影响。 如果当初对门的单位利润估计不准确，如 把它改成500元，是否会影响求得的最优解 呢？ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 规划求解） 方法2：运用敏感性报告寻找允许变化范围
第2章 线性规划 灵敏度分析
多个约束右端值同时变动对目标值的 影响 将1个小时的工时从车间3移到车间2 ，对总利润所产生的影响 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解） 方法2：运用敏感性报告进行分析（ 百分之百法则）
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2.5 多个约束右端值同时变动
所以，总利润的变化量为
(15 12) 150 (18 15) 100 150
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2.6 约束条件系数变化
第2章 线性规划 灵敏度分析
如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原 来的2小时下降到1.5小时, 最优解是否会发 生改变？总利润是否会发生变化？ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
第2章 线性规划 灵敏度分析
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第2章
线性规划灵敏度分析
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第2章 线性规划 灵敏度分析
本章内容要点
线性规划灵敏度分析的概念和内容
使用Excel进行灵敏度分析 影子价格的经济意义和应用
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本章节内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 线性规划灵敏度分析 单个目标函数系数变动 多个目标函数系数同时变动 单个约束右端值变动 多个约束右端值同时变动 约束条件系数变化 增加一个新变量 增加一个约束条件 影子价格
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2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法1：使用电子表格进行分析（重新运行规划求解） 可以借助电子表格互动地展开灵敏度分析。当模型参数发 生改变时，只要改变电子表格模型中相应的参数，再通过 重新运行Excel“规划求解”功能，就可以看出改变参数对 最优解的影响。 需要一 个一个 地进行 尝试， 效率略 显低下
13 12 18 17 1 ( )( ) 33.3% 6 6 3
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2.5
第2章 线性规划 多个约束右端值同时变动 灵敏度分析
在影子价格有效范围内，总利润的变化量 可以直接通过影子价格来计算。 比如将车间3的3个工时转移给车间2，由于
15 12 18 15 ( )( ) 100% 6 6
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管理问题
第2章 线性规划 灵敏度分析
1.模型参数估计错误，最优解如何变化? 2.约束改变了，最优解如何变化？ 3.管理政策决策改变，会带来什么影响？
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
在第1章的讨论中，假定以下的线性规划 模型中的各个系数cj、 bi 、 aij是确定的常 数，并根据这些数据，求得最优解。
Max(Min) z c j x j
j 1
n
n aij x j ( , ) bi ( i 1, 2, L , m) s.t. j 1 x 0 ( j 1, 2, L , n) j
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
4 x1 2 x2 12 s.t. 3 x1 2 x2 18 x1 , x2 0
（车间1） （车间2） （车间3） （非负）
最优解为（2，6）， Max z＝3600 东北财经大学工商管理学院
2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
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2.4 单个约束右端值变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解）
总利润为3750元， 增加了：37503600=150元。由于 总利润增加了，而 目标函数系数不变， 所以最优解一定会 发生改变，从图中 可以看出，最优解 由原来的（2，6） 变为（1.667，6.5）
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第2章 线性规划 灵敏度分析
本章主要内容框架图
第2章 线性规划 灵敏度分析
单个 目标函数系数变动 多个 单个 约束右端值变动 多个 影子价格 内容 约束条件系数变化 灵敏度分析 增加新变量 增加新约束条件 影子价格的经济意义和应用 重新运行规划求解 方法 运用敏感性报告
其实，系数cj、bi、aij都有可能变化， 因此，需要进行进一步的分析，以决 定是否需要调整决策。
灵敏度分析研究的另一类问题是探讨 在原线性规划模型的基础上增加一个 变量或者一个约束条件对最优解的影 响
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
对例1.1进行灵敏度分析 Max z 300 x1 500 x2
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2.2 单个目标函数系数变动
生成“敏感性报告” 读懂相应的信息
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用敏感性报告寻找允许变化范围
0 c1 750
[0,750]
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2.2 单个目标函数系数变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
结果： 最优解没有发生改变，仍然 是（2，6） 由 于 门 的 单 位 利 润 增 加 了 200元，因此总利润增加了 （500－300） × 2＝400元。
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2.4析
图解法（直观）
可以看到，
6 b2 18
在这个范围内，每 次车间的约束右端 值增加（或减少） 1，交点的移动就 使利润增长（或减 少）影子价格的数 量（150元）
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解）
总利润增 加了36503600=50 （元）， 影子价格 有效。
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2.5 多个约束右端值同时变动
第2章 线性规划 灵敏度分析
方法2：运用敏感性报告进行分析 百分之百法则：如果约束右端值同时变动， 计算每一变动占允许变动量（允许的增量或 允许的减量）的百分比，如果所有的百分比 之和不超过100%，那么，影子价格依然有效 ，如果所有的百分比之和超过100％，那就 无法确定影子价格是否依然有效，只能通过 重新进行规划求解来判断了