平方根与立方根及实数知识点总结

“平方根”与“立方根”知识点小结

一、知识要点 1、平方根：

⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作

“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平

。 2、立方根：

⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作

（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方

根，这个立方根的符号与原数相同。

3

有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴

)2=a （a ≥0）

=（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2

)3(-； （3）49

15

1

； ⑷ 2

1(3)- 例2 求下列各式的值

（1）81±； （2）16-； （3）

25

9

； （4）2)4(-.

（5）44.1，（6）36-，（7）49

25

±（8）2)25(-

例3、求下列各数的立方根：

⑴ 343； ⑵ 10

2

27

-； ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x

的立方根.

练习：已知,21221+-+

-=x x y 求y x 的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，

而.0)()(=-++a a

例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的

平方的相反数的立方根.

练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.

四、巧解方程

例6、解方程（1）（x+1）2

=36 （2）27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a

的非算术平方根.

练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。 ②已知

互为相反数，求a ，b 的值。

六、实数

1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：

①按属性分类： ②按符号分类

2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算． 3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、

等．

思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道是一个无理数，那么

－1在哪两

个整数之间？

(3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________； (5)下列各数：

3

3

5，π，0.28，04，3.14159，

0.121121112，3-，

22

7

．其中无理数有（ ）个 七、实数大小比较的方法 一、平方法 比较

2

3

和3的大小

二、移动因式法 比较32和23的大小

三、求差法 比较2

1

5-和1的大小

四、求商法 比较53

4

和11的大小

练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-；②3和23-；③15和5

4

3；

④7-

和－2.45。

八、解答题（每题4分，共8分） 1、当2

1

≤

a 时，化简|12|4412-++-a a a

2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图， 化简b a ++2

)1(+-b a

b

10

a -1