纳什均衡应用举例

古诺寡头竞争模型

有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数.

我们用q i ∈[0,∞)代表第i 个企业的产量,C i (q i )代表成本函数,P =P (q 1+q 2)代表逆需求函数(P 是价格;Q (P )是原需求函数).第i 个企业的利润函数为:

2,1),()()(21=-+=i q C q q P q q i i i i π

(*2*1

,q q )是纳什均衡产量意味着 )()(),(max arg 11*211*211*1q C q q P q q q q -+=∈π

)()(),(max arg 222*12*12*21

q C q q P q q q q -+=∈π 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.

0)()()(1,121,12111=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 0)()()(2,221,2212

2=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数

)(21*1

q R q = )(12*2

q R q = 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉

点就是纳什均衡),(**2*1

q q q =.

为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位成本,即:c q q C c q q C 222111)(,)(==,需求函数取如下线性形式:P=a-(q 1+q 2).那么,最优化的一阶条件分别为:

0)(0)(221221211

1=--+-=∂∂=--+-=∂∂c q q q a q c q q q a q ππ

就是说,j 每增加1个单位的产量,i 将减少1/2单位的产量.

解两个反应函数,我们得到纳什均衡为:

)(3

1*2*1c a q q -== 每个企业的纳什均衡利润分别为:

2*2*12*2*11)(9

1),(),(c a q q q q -==ππ 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:

)(c Q a Q Max Q

--=π 容易算出,垄断企业的最优产量为)(3

2)(21*2*1*c a q q c a Q -=+<-=; 垄断利润为22)(9

2)(41c a c a m ->-=π. 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题.

例1:

设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q 1,厂商2的产量q 2,则市场总产量为Q=q 1+q 2.设P 是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P 是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q .再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C 1=C 2=2,即它们分别生产q 1和q 2产量的成本分别为2q 1和2q 2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.

上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u 老表示,即各自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为

212111*********)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=

222122212222262)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=

两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量).

本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概

念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合),(**2*1q q q =,只要其中*1q 和*2q 相互是对方策略

的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是

博弈的解.因此本博弈, (*2*1,q q )的纳什均衡的充分必要条件是*2*1q q 、的最大值问题:

)6(max 21*2111q q q q q --和)6(max 22*1222

q q q q q --的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此*1q 和

*2q 只要能使它们各自对q 1和q 2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值.

026*1*2

=--q q 026*2*1

=--q q 联立上两式,解得*1q =*2q =2,并且这是唯一的一组解.因此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略

组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2⨯(8-4)-2⨯2=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.

上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?

如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益

U=QP(Q)-2Q=6Q-Q 2

很容易求得使总得益最大的总产量3*=Q ,最大总得益9*=u .

将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。换句话说，如果两个厂商可以合作，联合起来决定产量，找出使总利益最大的产量后各自生产时更高的利益的一半（1.5），则各自可分享到比双方不合作，只考虑自己利益而独立决策时更高的利益（4.5>4）。但是独立决策、缺乏协调机制的企业之间，这种合作并不容易实现，即使双方认识到了合作的好处，达成了一定的协议，这种协议也往往缺乏足够的强制力，最终时很难维持上述对双方都真正最有利的产量，原因主要是因为各生产一半产量实现最大利润的总产量的策略组合(1.5,1.5)不是纳什均衡，也就是说，在这个策略组合（产量组合）下，双方都可以通过独自改变（增加）自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破限额1.5的冲动，在缺乏有足够强制力的协议等限制手段的情况下，这种冲动注定了它们不可能维持限额，最终是大家都增产，直至达到纳什均衡水平(2,2) ，实现将遵守限额还是突破限额作为两家厂商面临的选择，则可用古诺模型博弈矩阵表示这个博弈

伯特兰德模型

模型中厂商所选择的是价格而不是产量.