纳什均衡应用举例
好的纳什均衡例子(一)
好的纳什均衡例子(一)好的纳什均衡什么是纳什均衡？纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈参与者之间形成的一种稳定和平衡的策略选择状态。
在纳什均衡下，任何一个参与者都无法通过改变自己的策略来获得更大的利益。
好的纳什均衡指的是存在多个纳什均衡时，其中某些纳什均衡比其他纳什均衡更为理想。
例子一：囚徒困境囚徒困境是博弈论中最经典的例子之一。
假设有两个犯人，他们因为涉嫌合谋犯罪被捕，警察只有有限的证据。
警察与每个犯人分别进行单独审讯，并给他们提供了合作和背叛两个选项，这两个选项对应于认罪和抵赖。
如果两个人都选择合作，即认罪，则每个人都会被判刑2年；如果两个人都选择背叛，即抵赖，则每个人都会被判刑5年；如果一个人选择合作而另一个选择背叛，则合作的人会被判刑6年，而背叛的人会被判刑1年。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：互相背叛和互相合作。
然而，互相合作是更为理想的纳什均衡，因为如果两个人都选择合作，他们的总刑期将会最短，只有2年。
例子二：拍卖拍卖是另一个常见的博弈场景。
假设有两个竞拍者A和B，他们在一个拍卖会上竞价购买一件物品。
物品的最低价格为100元。
竞拍者A知道他的估值是200元，而竞拍者B知道他的估值是150元。
他们每次可以按照一定幅度加价，但不能超过自己的估值。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：A出价200元，B不出价；B 出价150元，A不出价。
然而，对于卖家来说，A出价200元，B不出价是更好的纳什均衡，因为这样卖家可以以更高的价格售出物品。
例子三：价格战价格战是市场竞争中常见的博弈情景。
假设有两家公司A和B，它们在同一个市场上销售类似的产品。
它们可以根据自己的利润目标制定价格。
如果两家公司的价格相等，则它们将平分市场份额；如果一家公司的价格比另一家低，则它将获得更大的市场份额。
在这个案例中，存在两个纳什均衡：价格相等和一家公司的价格低于另一家。
然而，价格相等是更好的纳什均衡，因为这样两家公司可以共享更多的市场份额，并且避免因为价格战而导致的利润下降。
纳什均衡举例4公地悲剧
纳什均衡举例4：公地悲剧
（1）基本假设：
一个村庄有n个农民和一块公共草地．每个农民都有在草地上放牧、养羊的自由。
用g i∈{0，∞}代表第i个农民饲养的数量，
G＝∑g i，代表n个农民饲养的总数量；
V代表每只羊的平均价值,是G的函数,V＝V(G)。
公地最大可牧羊量为G mx：当G＜Gmx时，V(G)＞0；当G≥G mx时，V(G)=0。
同时，。
即平均收益和边际收益都递减。
（2）公地产权不清下的个体决策行为
在这个博弈里，每个农民的问题是选择g以最大化自己的利润。
假定购买一只羊羔的价格为c，那么，第i个农户养羊的利润函数为：
最优化的一阶条件是：
这是一个公地产权没有界定条件下，个人得益最优的一阶条件。
上述n个一阶条件定义了n个反应函数：
n个反应函数的交叉点就是纳什均衡:
将n个一阶条件相加，我们得到：
（3）公地产权清晰下的决策行为
现在假设公地由一家农户享有所有权，其最优的目标是最大化如下定义的总剩余价值：
这里，G**一是其最优的饲养量。
（4）两种情况的比较与结论
公地悲剧的例子表明，一个资源如果没有排他性产权，就会导致资源的过度使用。
像公海捕鱼、中国一些地区的小煤窑的过度发展等。
精选最新生活中纳什均衡例子
首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义：所谓纳什均衡，指的是参与人的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。
换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。
大家可以现有一个简单的印象，结合下面的案例再回来看这个定义。
案例一、智猪博弈猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。
猪圈的一边有个踏板，每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。
如果有一只猪去踩踏板，另一只猪就有机会抢先吃到另一边落下的食物。
当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物;若是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。
那么，两只猪各会采取什么策略?答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边;而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。
原因何在?因为，小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。
对小猪而言，无论大猪是否踩动踏板，不踩踏板总是好的选择。
反观大猪，已明知小猪是不会去踩动踏板的，自己亲自去踩踏板总比不踩强吧，所以只好亲力亲为了。
案例二、囚徒困境(1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。
)假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。
警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年;如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪(因已有证据表明其有罪)再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。
如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。
囚徒困境博弈A╲B坦白抵赖坦白-8，-80，-10抵赖-10，0-1，-1关于案例，显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判1年。
纳什均衡的应用案例分析
实际请况的概念抽象
情景： 情景： 如果给你两个师的兵力，有你来当“司令” 如果给你两个师的兵力，有你来当“司令”，任务 是攻克“敌人”占据的一个城市， 是攻克“敌人”占据的一个城市，而敌军的守备力量 是三个师。通往城市的道路只有甲乙两条。 是三个师。通往城市的道路只有甲乙两条。 （1）当你发起进攻的时候，占领城市就判定胜利。 ）当你发起进攻的时候，占领城市就判定胜利。 （2）你的兵力超过敌人，你就获胜；你的兵力比敌 ）你的兵力超过敌人，你就获胜； 人的守备兵力少或者相等，你就失败。 人的守备兵力少或者相等，你就失败。 （3）规定双方的兵力只能整师调动。 ）规定双方的兵力只能整师调动。 问：你将如何制定攻城方案？你获胜的几率是多少？ 你将如何制定攻城方案？你获胜的几率是多少？
基于纳什均衡的思路分析
两个个前提： 两个个前提：
一、信息是完全的。 信息是完全的。 二、师与师之间没有差别。 师与师之间没有差别。
基于纳什均衡的思路分析
分析： 分析：
攻城部队可以有三种部署方案： 攻城部队可以有三种部署方案： 敌人有四种部署方案： 敌人有四种部署方案： A.集中兵力从甲方向进攻； 三个师都驻守甲方向； 三个师都驻守甲方向； a.集中兵力从甲方向进攻； 集中兵力从甲方向进攻 B.兵分两路，一个师甲，一师乙； 两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向； 两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向； b.兵分两路，一个师甲，一师乙； 兵分两路 C.集中兵力从乙方向进攻。 一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向； 一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向； c.集中兵力从乙方向进攻 集中兵力从乙方向进攻。 D. 三个师都驻守乙方向。 三个师都驻守乙方向。
守 A a 攻 b c B + C +
2+ — 3
纳什均衡简单例子
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猜谜游戏等博弈
扑克对色游戏
两人博弈，每人从自己的扑克牌（已抽出大鬼 、小鬼）中抽一张出来，一起翻开。如果颜色一样 ，甲输给乙一根火柴；如果颜色不一样，甲赢得乙 一根火柴。
同理，若储户乙选择提前取款，此时甲的相对 优势策略是选择提前取款；若储户乙选择到期取 款，此时储户甲的相对优势策略也是选择到期取 款。
当一个储户有提前取款的动向，另一个为了自 己的利益不受损失，一定马上跟进，这就导致了 银行挤兑现象的发生。
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三 婆媳关系
婆媳关系一直是家庭中普遍存在的问题，婆媳关系看似 是两个女人之间的游戏，却是现实生活中最常见的一种人际 关系博弈。而婆媳博弈，就是基于直接相互作用的环境条件， 参与者（婆婆和媳妇）依靠他们所掌握的信息，选择各自的 策略（行动），以实现利益最大化和风险成本最小化的过程。 见如下模型：
，荣荣的相对优势策略也会是芭蕾。
即有（羽毛球，羽毛球），（芭蕾，芭蕾）都 分别为一个纳什均衡。这种博弈与欧亨利的小说
《麦琪的礼物》的结果类似。
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4
二 银行挤兑现象
假定有一个银行，银行的全部资金就是甲、乙这两个 储户的存款。每个储户存了100万元的定期存款，银行拿总 数为200万元的这笔钱去做投资，项目完成投资收回，银行 可以拿出240万元偿还给储户，每个储户都可得到120万元。
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7
若婆婆选择斗争，根据博弈矩阵，媳妇此时的相对优势 策略也会是斗争，因为婆婆选择斗争之后，媳妇对应的斗 争支付是-3，忍让支付是-4；若婆婆选择的是忍让，根据 相对优势策略媳妇的同样会选择忍让。
两个纳什均衡的例子
两个纳什均衡的例子
例子一：
假设有两家公司A和B竞争某一物品的售价。
公司A设定物品的
售价为12元，公司B设定物品的售价为10元。
由于物品的品质和需
求相同，消费者将选择购买价格更低的物品。
因此，在这种情况下，
公司B的销售量将高于公司A，从而获得更高的利润。
对于公司A来说，降低价格将导致利润下降，而提高价格将导致销量减少。
因此，这种
情况下的纳什均衡是公司B设定售价为10元，公司A设定售价为12元。
例子二：
假设有两个国家A和B争夺某一资源的开发权。
国家A选择全面
开发该资源，从而带来经济发展和利益增加，但同时对环境产生巨大
破坏。
而国家B选择保护环境，限制资源开发，从而减少环境破坏，
但也丧失了资源开发所能带来的经济利益。
如果国家A单方面全面开发，国家B将面临环境恶化的问题，而国家A将无法享受到经济发展
所带来的最大利益。
因此，这种情况下的纳什均衡是国家A选择限制
资源开发，保护环境，而国家B也选择限制资源开发，从而实现环境
保护和资源合理利用的共同利益。
生活中纳什均衡例子
生活中纳什均衡例子
纳什均衡是博弈论中的一个概念，指在双方或多方进行博弈时，
当每个参与者都选择了最优策略后，游戏的结果已经达到了一个稳定
状态。
生活中，我们可以看到很多纳什均衡的例子。
1.超市降价促销：当超市降价促销时，消费者可以选择是抢购或
等待。
如果大多数人都抢购，那么超市就会获得更多的销售额；如果
消费者等待，那么超市可以考虑再次降价吸引消费者购买。
2.交通拥堵：在道路狭窄且车流量大的情况下，司机们可以选择
是慢行还是超车。
如果每个司机都选择了超车，那么道路的拥堵就会
更加严重；如果司机们都选择慢行，那么车流量就会更加平缓。
3.竞拍：在竞拍中，每个竞拍者都会选择自己认为是最高的出价。
如果竞拍者们都认为这个物品的价值很高，那么竞拍的价格就会越来
越高。
如果有人放弃竞拍，价格就会下降，直到达到平衡。
4.恋爱：在恋爱中，每个人都希望自己的感情得到回报。
如果两
个人都对对方很有感情，那么他们就会在一起；如果只有一个人喜欢
对方，那么他们就不会在一起。
这是一个常见的纳什均衡例子。
总之，纳什均衡是在人与人之间相互影响，相互制约下的一种结果。
只有当每个人都选择自己认为最优的策略，才能形成稳定的状态。
纳什均衡例题
纳什均衡的经典案例是“囚徒困境”。
在这个例子里，有两个小偷A和B联合犯事，被警方抓住并分别关在不同的房间里进行审讯。
警方对每个犯罪嫌疑人给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，那么证据确凿，两人都被判有罪。
如果另一个犯罪嫌疑人也坦白了罪行，那么两人各被判刑8年。
这个案例中，无论A还是B，最优策略都是坦白。
因为如果A选择坦白，B的最优策略也是坦白；如果A选择不坦白，B的最优策略也是坦白。
反之亦然。
因此，两人的最优策略是一致的——坦白。
这就是纳什均衡的一个体现。
在更复杂的情况下，例如狮群博弈中，总数是奇数和偶数时，狮子的策略会发生变化。
这同样可以通过纳什均衡来解释。
当狮子总数为奇数时，每只狮子都有可能成为狩猎者，因此它们会选择大胆去吃睡着的狮子；而当狮子总数为偶数时，没有狮子会成为狩猎者，因此它们会选择谨慎地不去吃睡着的狮子。
这也是纳什均衡的一个应用。
希望这个例子能够帮助你理解纳什均衡的概念和实际应用。
博弈论2纳什均衡及应用举例
房地产开发博弈
需求大的情况 开发商A 开发 不开发 需求小的情况 开发 开发商A 开发商B 开发 不开发
4000，4000 8000，0
0，8000
0，0
开发商B 开发 不开发
-3000，-3000 0，1000 1000，0 0，0
不开发
房地产开发博弈
若双方同时决策 若市场需求已知 若市场需求未知，是否开发依赖于 (1)各自在多大程度上认为需求是大的， (2)对方是否开发
Complete and Perfect ——完全信息与完美信息
如房地产开发博弈中，如果至少有一个 参与人不知道市场需求的大小，信息是 不完全的也是不完美的 如果两个参与人都知道市场需求是大的 还是小的，信息是完全的，但如果A不知 道B选择了什么行动，那么A的信息是不 完美的。
支付Payoff
房地产开发博弈
需求大的情况 开发商A 开发 不开发 需求小的情况 开发 开发商A 开发商B 开发 不开发
4000，4000 8000，0
0，8000
0，0
开发商B 开发 不开发
-3000，-3000 0，1000 1000，0 0，0
不开发
市场进入博弈
高
N
低
[P]
不进入
进入者
进入 不进入
[1-P]
有限策略与无限策略同时存在一个博弈问题中
零和博弈
零和博弈： 社会总得益，即各博弈方得益之和总是为 0 猜硬币方
正面 正 面 反 面 反面
盖 硬 币 方
-1，1
1，-1
1，-1
-1，1
零和博弈
零和博弈的特点：
纳什均衡的原理与应用
纳什均衡的原理与应用1. 纳什均衡的定义纳什均衡，又称为纳什平衡，是博弈论中的一个概念，由美国数学家约翰·纳什于1950年提出。
它是博弈论研究中的一个重要成果，揭示了多方参与的博弈中可能存在的平衡点。
2. 纳什均衡的原理纳什均衡的原理基于参与者在博弈中追求个人利益的假设，即每个参与者都会尽力追求自己的利益最大化。
在纳什均衡中，没有任何一个参与者可以通过改变自己的策略来提高自己的利益，而其他参与者保持不变。
3. 纳什均衡的应用纳什均衡具有广泛的应用领域，尤其在经济学、社会科学和工程领域中有重要的地位。
以下是一些纳什均衡的应用实例：• 3.1 经济学–拍卖机制：在拍卖中，卖家和买家之间的竞争决定了最终的价格。
纳什均衡理论可以帮助分析卖家和买家的策略选择，以及最终的价格形成。
–垄断定价：在垄断市场中，垄断者面临价格选择的问题。
纳什均衡可以帮助垄断者确定最优的价格策略。
• 3.2 社会科学–博弈论研究：纳什均衡是博弈论中的核心概念，用于描述多方博弈中的平衡点。
社会科学研究中，纳什均衡被广泛应用于对人类行为和决策的建模和原理研究。
–合作与竞争：纳什均衡理论可以帮助分析合作与竞争的关系。
在合作环境中，纳什均衡可以帮助确定最优的合作策略。
• 3.3 工程领域–交通流控制：纳什均衡理论可以用于交通流控制系统的设计，帮助优化交通流的分配和调度。
通过分析交通参与者的决策行为，可以建立交通流动的纳什均衡模型，从而提高交通系统的效率。
–电力市场：电力市场中的供求关系影响着电力价格的形成。
纳什均衡理论可以用于分析电力市场中各个参与者的策略选择，从而优化电力价格的形成。
4. 总结纳什均衡作为博弈论的重要成果，以其理论和应用的价值在经济学、社会科学和工程领域得到广泛的应用。
将纳什均衡理论应用于实际问题的分析中，可以帮助我们更好地理解和解决多方参与的博弈问题，从而提高决策的质量和效率。
以上是对纳什均衡的原理与应用的简要介绍，纳什均衡作为一个重要的博弈论概念，深入研究它的理论和应用，有助于我们更好地理解和改善现实生活中的各种博弈情境。
纳什均衡案例
..假定北京市的房地产市场需求有限;A、B两个开发商都想开发一定规模的房地产;但是市场对房地产的需求只能满足一个房地产的开发量;而且;每个房地产商必须一次性开发这一定规模的房地产才能获利..在这种情况下;无论是对开发商A还是开发商B;都不存在一种策略完全优于另一种策略;也不存在一个策略完全劣于另一个策略..因为;如果A选择开发;则B的最优策略是不开发；如果A选择不开发;则B的最优策略是开发；类似地;如果B选择开发;则A的最优策略是不开发；如果B选择不开发;则A的最优策略是开发..这样就形成了一个循环选择..根据纳什均衡含义就是：给定你的策略;我的策略是最好的策略；给定我的策略;你的策略也是你最好的策略..即双方在对方给定的策略下不愿意调整自己的策略..这个博弈的纳什均衡点不止一个;而是两个：要么A选择开发;B不开发；要么A选择不开发;B选择开发..在这种情况下;A与B都不存在优势策略;也就是A和B不可能只要选择某一个策略而不考虑对方的所选择的策略..实际上;在有两个或两个以上纳什均衡点的博弈中;其最后结果难以预测..在房地产博弈中;我们无法知道;最后结果是A开发B不开发;还是A不开发B开发..再来看这样一个警察捉小偷博弈的例子..某个村庄上只有一名警察;他要负责整个村的治安..小村的两头住着两个全村最富有的村民A和B;A、B 分别需要保护的财产为2万元、1万元..整个小村某一天来了个小偷;要在村中偷盗A和B的财产;这个消息被警察得知..因为分身乏术;警察一次只能在一个地方巡逻；而小偷也只能偷盗其中一家..若警察在某家看守财产;而小偷也选择了去该富户家;就会被警察抓住；若警察没有看守财产的富户家而小偷去了;则小偷偷盗成功..一般人会凭着感觉认为;警察当然应该看守富户A家财产;因为A有2万元的财产;而B只有1万元的财产..实际上;对于警察的一个最好的做法是;警察抽签决定去A家还是B家..因为A家的财产是B家的2倍;小偷自然光顾A家的概率要高于B家;不妨用两个签代表A家;比如如果抽到1、2号签去A家;抽到3号签去B家..这样警察有2／3的机会去A家做看守;1／3的机会去B家做看守..而小偷的最优选择是：以同样抽签的办法决定去A家还是去B家实施偷盗;只是抽到1、2号签去A家;抽到3号签去B家;那么;小偷有l／3的机会去A家;2／3的机会去B家..这些数值是可以通过联立方程准确计算出的;笔者这里就不给出具体的数学计算过程了..细心的读者会发现;警察捉小偷博弈与前面所举的两个博弈案例有一个很大的差别;就是用到了概率的知识;警察与小偷没有一个一定要选择某个策略的纳什均衡;而只有选择某个策略是多少几率的纳什均衡..婆媳关系一直是家庭中普遍存在的问题;婆媳关系看似是两个女人之间的游戏;却是现实生活中最复杂的一种人际关系博弈..而婆媳博弈;就是基于直接相互作用的环境条件;参与者婆婆和媳妇依靠他们所掌握的信息;选择各自的策略行动;以实现利益最大化和风险成本最小化的过程..首先;媳妇刚娶进门的时候;婆媳两人间的关系确立;婆媳两人由于在婆媳关系确立之前都是独立的个体;双方也没有进行沟通和了解;由于生活习惯和家庭文化背景的差异;婆媳的生活观念和处理问题的方式方法都截然不同;婆媳之间就会开始出现摩擦..此时;彼此都不了解对方的性格脾气和行事作风等以及处于初始相处阶段;在该阶段博弈中;参与人婆婆和媳妇所选择的策略是斗争或者是选择忍让..如如下模型：左边为媳妇;上方为婆婆在初次阶段接触中;每一参与人婆婆和媳妇都有一个优势策略..婆婆并不知道媳妇会选择的是什么行动;但是若媳妇选择是：斗争;支付为-1;或忍让;支付为0..而若婆婆选择了忍让;则媳妇面对的抉择时：斗争;支付为-5;或忍让;支付为-3..在上面两种情况下;媳妇选择忍让策略优于斗争策略;同样;婆婆选择忍让的策略也优于斗争策略..此时的模型中存在占优策略;优势策略均衡是忍让;忍让;均衡支付是-3;-3..意味着婆媳双方可能是为了面子问题或是为了进一步掌握对方的本性;或者是外界对他们家庭和谐与否的言论;她们相应地都会采取忍让态度;或是暂时伪装自己原有的本性来消除外界的非议;维护自己的面子和形象.. 当婆媳两人有一段相处过程后;双方都掌握了对方一定量的信息;假如婆婆掌握的信息是：媳妇是个刁蛮任性的大小姐脾气;容易得寸进尺、颐指气使的人；而媳妇了解到夫家和所在生活地区非常看重道德伦理;尤其是孝;而婆婆又是个明理宽容贤惠的人..此时;如果婆婆和媳妇都从自己的角度出发看问题;并寻求自我利益的最大化;而不关心另一参与者的利益;这样;婆婆、媳妇各自为政;为了争夺家庭控制权明争暗斗..这时;婆媳的博弈策略所要支付的结果就不同了..左边为媳妇;上方为婆婆在该阶段;两个参与人都没有优势策略;但使用弱优势策略;仍然可以找到合理的均衡..婆婆的忍让策略弱劣于斗争策略;因为婆婆选择斗争策略的支付时绝不会小于忍让..但对于媳妇来说;没有任一策略是弱劣的..因而;媳妇可以断定婆婆是不会在生活中对她忍让的;故媳妇就会把婆婆选择忍让的策略排除考虑之外;此时;媳妇有一个强优势策略：选择斗争..此时模型中的策略组合是斗争;斗争;支付为2;-2..一旦婆婆一方选择放弃斗争的时候;媳妇一方就会变得更加地任性刁蛮;婆婆就不能放弃合理的策略选择..但是;婆媳关系并没有本质上的对错之分;也没有胜负..既然是一场关系博弈;那么利益的最大化和风险的最小化才是最重要的..所以现实生活;婆媳进行博弈时都不要放弃合理的策略选择..倘若双方都能站在对方的立场上考虑问题;对于差异各自妥协一下;采取彼此宽容、和谐共存的态度;就可以营造和谐的家庭关系..但是;若一方选择了宽容;而另一方就可能变得更加无理苛刻;因此在生活中;相互作用的环境条件发生变化时;双方要适时调整策略选择..四博弈论视角下的大学生群体性事件1、大学生群体性事件——学生与校方的博弈从某方面来说;大学生群体性事件其实就是学生与校方等相关方的博弈过程..一方面;校方的某些政策损害了学生的既得利益;而另一方面;学生方面的抵触也在一定程度上损害了校方的利益；为了维护双方各自的利益;双方在这一事件的过程中的相持以至于不能高效而又快速的解决;进而导致了事件不断向负面发展..通俗的讲;大学生群体性事件就是大学生群体与校方及相关方就各自利益而展开的博弈..2、对大学生群体性事件的博弈分析在这里我们可以用一个矩阵模型来描述博弈的3个基本要素;并应用它来分析学生与校方的博弈假设该事件是学生与学校之间的事件..先来看一下该矩阵模型如下图;在图中;大学生的两种策略写在左边;校方的两种策略写在右边..图中的每一格表示对应于大学生、校方的一个策略组合的一个支付组合;每格中的第一个数字表示大学生的利益;第二个数字表示校方的利益..例如;图中的第一格当大学生采取合作策略;校方也采取合作策略时;大学生的利益是10;校方的利益也是10.仔细分析一下矩阵模型可发现;如果大学生、校方都选择合作的策略;则总利益最大为20;双方都得10；如双方中有一方选择合作而另一方选择不合作;则不选择合作的一方可得12;而选择合作的一方只得6；如果双方都选择不合作的策略;则总利益最小为16;双方都得8.从上面的分析可以看出;一方想获得最大利益;那么他必须选择不合作;而同时另一方必须选择合作..大学生爆发群体性事件和校方对抗就是抱着这种侥幸的心理;企图通过己方的这种大规模的、严重的不合作来逼迫校方合作;以实现己方利益的最大化..校方。
纳什均衡案例
纳什均衡案例纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，由约翰·纳什提出，用于描述博弈参与者之间的一种策略选择状态。
在这种状态下，每个参与者都知道其他参与者的策略选择，并且没有动机单方面改变自己的策略。
纳什均衡是一种稳定状态，当所有参与者都采取最优策略时，任何一方都没有动机改变自己的策略。
下面我们通过一个案例来具体了解纳什均衡的概念。
假设有两家冰淇淋店A和B，它们位于同一条街上，销售的冰淇淋口味和质量都是一样的。
每天下午4点，顾客会同时到两家店购买冰淇淋。
店家可以选择提高或降低价格，而顾客会选择到价格更便宜的店购买冰淇淋。
在这种情况下，我们来分析一下店家的最优策略选择。
首先，我们假设店家A提高了价格，而店家B保持不变，那么顾客肯定会选择到店家B购买冰淇淋，因为价格更便宜。
同理，如果店家B提高了价格，而店家A保持不变，顾客也会选择到店家A购买冰淇淋。
这说明在任何一家店提高价格的情况下，另一家店都会获得更多的顾客。
接着，我们假设店家A降低了价格，而店家B保持不变，那么顾客肯定会选择到店家A购买冰淇淋。
同理，如果店家B降低了价格，而店家A保持不变，顾客也会选择到店家B购买冰淇淋。
这说明在任何一家店降低价格的情况下，另一家店都会失去更多的顾客。
因此，我们可以得出结论，在这种情况下，店家A和店家B都会选择保持自己的价格不变，因为任何一家店单方面改变价格都无法获得更多的顾客，反而会失去顾客。
这种状态就是纳什均衡，即当每个参与者都知道其他参与者的策略选择，并且没有动机单方面改变自己的策略。
通过这个案例，我们可以更好地理解纳什均衡的概念。
在博弈论中，纳什均衡是一种重要的策略选择状态，它描述了参与者之间的稳定状态，当所有参与者都采取最优策略时，任何一方都没有动机改变自己的策略。
纳什均衡的概念不仅在经济学领域有着重要的应用，也在其他领域有着广泛的影响，如政治、生物学等领域都可以看到纳什均衡的身影。
总之，纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，通过案例分析可以更好地理解其内涵和应用。
纳什均衡的例子
纳什均衡的例子
纳什均衡是博弈论中一种重要的概念，最早由约翰·福纳什提出。
它描述了在多方参与的竞争中，每个参与者根据其他人的策略选择了一种最优策略，使得再改变个体策略时，其他人已经无法获得更好的结果。
一个经典的例子是“囚徒困境”。
在这个例子中，有两个嫌疑犯被警方逮捕，并被关在不同的监狱。
检察官只有足够的证据起诉他们合谋犯罪，而不能成功起诉单独一个人。
如果两人都保持沉默，不揭发彼此，那么他们只会因为小罪名被判入狱一年。
如果其中一个人选择供出另一个人，而另一个人保持沉默，那么供出者将被免于刑罚，而另一个人将被判处十年监禁。
如果两人都选择供出对方，那么他们将被判处三年入狱。
在这个案例中，每个嫌疑犯面临着两个策略选择：合作（保持沉默）或者背叛（供出对方）。
无论对方选择什么策略，每个嫌疑犯都可以通过背叛来获得更轻的刑罚。
然而，当两人都背叛时，他们的总刑期最长。
这导致了一个纳什均衡：在这个案例中，两人都会背叛，因为无论对方选择什么策略，自己背叛都会获得更轻的刑罚。
这个例子揭示了纳什均衡的重要思想，即每个参与者都在预期其他人的行为的基础上做出最优的决策，以达到自己的最大利益。
纳什均衡在经济学、生物学、国际关系等领域都有广泛的应用，对于分析人类行为和决策提供了有力的理论基础。
3 纳什均衡应用举例
悲剧的根源：外在性
1、当前的外在作用：一个人的使用可能减少其他人使用 的利益； 2、未来的外在作用，如环境问题，公司把有害的化学物 质排放到河流中，节省了公司的处理成本，但流域的居 民要为污染的河流付出更大的成本，只是被人人分摊了
找纳什均衡,就是求函数极大值问题：对利 润函数求导,并令其等于零：
∂π 1 = P(q1 + q2 ) + q1 P′(q1 + q2 ) − C1′(q1 ) = 0 ∂q1
∂π 2 ′ = P (q1 + q2 ) + q2 P′(q1 + q2 ) − C2 (q2 ) = 0 ∂q2
以上两个方程都是两企业产量的函数，即反映出 两企业产量间的关系——称做反应函数。
商店1 a 消费者 x 图1.3-3 商店2
b
D2 ( p1 , p2 ) = 1 − x = b +
p1 − p2 1− a − b + 2 2t (1 − a − b)
* 1
纳什均衡为：
a −b p (a, b) = c + t (1 − a − b)(1 + ) 3 b−a * p2 (a, b) = c + t (1 − a − b)(1 + ) 3
* * 1 * 2
1 π 1 (q , q ) = π 2 (q , q ) = (a − c) 2 9
* 1 * 2 * 1 * 2
4
9
寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每 个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本 企业利润的影响，而忽视对另一企业的外部负 效应。这是典型的囚徒困境。 为什么在奇瑞、吉利、长城以及比亚迪等中国 自主车出现后，国外品牌的汽车价格下降很多。 如以前一辆捷达就要20多万，现在性能车型差 20 不多的长城腾翼C30，奇瑞A3等就7~9万，而 一旦中国的SUV，如长城的哈弗被市场认可后， 外国品牌的的SUV就不断降价？经常看到的本 田CR-V，要20万，自主品牌在安全性还要好 的情况下，也就14万左右。说明了有了竞争之 后，价格下降，产量上升。
1.3 纳什均衡应用举例
反应函数为：
1 q = R1 (q2 ) = (a − q2 − c) 2
* 1
1 * q2 = R2 (q1 ) = (a − q1 − c) 2
就是说一个企业每增加一个单位的产量，另一个 企业将减少1/2单位的产量。 返回斯坦克 1 * 尔伯格模型 故： q1* = q2 = (a − c) 3 （一）每个企业的纳什均衡利润分别为： （二）计算垄断企业的最优产量和均衡利润 x 1、利润函数： Ma Q π = Q(a − Q − c) 1 2 Q = (a − c) < q + q = (a − c) 2、最优产量： 2 3 3、垄断利润： π m = 1 (a − c)2 > 2 (a − c) 2
找纳什均衡,就是求函数极大值问题：对利 润函数求导,并令其等于零：
∂π 1 = P(q1 + q2 ) + q1 P′(q1 + q2 ) − C1′(q1 ) = 0 ∂q1
∂π 2 ′ = P (q1 + q2 ) + q2 P′(q1 + q2 ) − C2 (q2 ) = 0 ∂q2
以上两个方程都是两企业产量的函数，即反映出 两企业产量间的关系——称做反应函数。
* 2
a+b p =p = (0 < b < 2) 2−b
* 1 * 1
由此得均衡产量：
纳什均衡利润为：
(a − c + bc)2 π1 ( p , p ) = π 2 ( p , p ) = (2 − b) 2
* 1 * 2 * 1 * 2
1.3-5 公共问题
公共问题如牧场、海洋、大气、煤、石油等，他 们都存在两个关键特征：
* 价格组合 ( p1* , p2 ) 是纳什均衡价格，必须满足：
好的纳什均衡例子
好的纳什均衡例子纳什均衡是博弈论中的概念，描述了一种博弈参与者在给定其他参与者策略的情况下，无法通过单方面改变自己策略来获得更好结果的状态。
下面我将介绍一个好的纳什均衡的例子。
假设有两个企业A和B，在同一个市场上销售某种商品。
他们可以选择定价高或者定价低两种策略。
下面是他们的收益矩阵：定价高定价低定价高 (5, 5) (0, 6)定价低 (6, 0) (3, 3)在这个例子中，每个元组（a, b）表示企业A选择定价策略a，企业B选择定价策略b时的收益情况。
例如，如果企业A选择定价高（a=定价高），企业B选择定价高（b=定价高），则企业A和企业B的收益分别为5。
我们可以通过分析这个收益矩阵来找到纳什均衡。
纳什均衡是指在给定其他参与者策略的情况下，每个参与者无法通过改变自己的策略来获得更好结果的状态。
首先，我们看到当企业A选择定价高时，企业B的最佳策略是选择定价高，因为收益为5，而选择定价低只能获得3的收益。
同样地，当企业A选择定价低时，企业B的最佳策略也是选择定价低，因为收益为6，而选择定价高只能获得0的收益。
因此，无论企业A选择定价高还是定价低，企业B都会选择定价低。
同样地，企业B的最佳策略也是选择定价低。
如果企业B选择定价高，企业A的最佳策略是选择定价高，因为收益为5，而选择定价低只能获得0的收益。
因此，无论企业B选择定价高还是定价低，企业A都会选择定价高。
综上所述，（定价高，定价低）是这个博弈的纳什均衡。
在这个均衡状态下，两家企业都无法通过改变自己的策略来获得更好的收益。
这个例子展示了纳什均衡的概念和应用。
在博弈论中，纳什均衡是一种重要的分析工具，可以帮助我们理解和预测各种博弈情景下不同参与者的策略选择和结果。
在实际应用中，纳什均衡可以用于分析市场竞争、决策制定、资源分配等各种博弈情况。
纳什均衡案例
纳什均衡案例
纳什均衡是指博弈论中的一种平衡状态，它是指在博弈中每个参与者都选择了最佳的策略并且没有人愿意改变自己的策略。
下面是几个纳什均衡的案例：
1. 餐馆竞争：假设有两家在同一地区经营相同类型餐馆的商家，他们都可以选择提供更好的餐饮服务或者降低价格来吸引更多的顾客。
如果两家商家都选择提供更好的餐饮服务，那么他们就会处于纳什均衡状态，因为如果其中一家降低价格，顾客可能会前往该店，但是该店会失去利润。
2. 囚徒困境：在这个案例中，两个囚犯被逮捕并被分开审讯。
如果他们都选择拒绝认罪，那么他们将面临较轻的刑罚，但如果其中一个人认罪并作证控告另一个人，那么被控告的人将面临更严重的刑罚。
在这种情况下，如果每个囚犯都选择认罪，那么他们就处于纳什均衡状态，因为即使其中一个人拒绝认罪，他也可能面临更严重的刑罚。
3. 投标竞争：在这个案例中，几个公司竞标一个项目，他们必须决定如何投标以获得合同。
如果所有公司都选择报一个高价，那么他们将失去竞标的机会，但如果所有公司都选择报一个较低的价格，那么获得合同的公司将无法盈利。
在这种情况下，如果每个公司都选择中等价格的投标，那么他们就处于纳什均衡状态，因为这样可以最大限度地获得合同并保持盈利。
- 1 -。
纳什均衡应用举例
古诺寡头竞争模型有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数.我们用q i ∈[0,∞)代表第i 个企业的产量,C i (q i )代表成本函数,P =P (q 1+q 2)代表逆需求函数(P 是价格;Q (P )是原需求函数).第i 个企业的利润函数为:2,1),()()(21=-+=i q C q q P q q i i i i π(*2*1,q q )是纳什均衡产量意味着 )()(),(max arg 11*211*211*1q C q q P q q q q -+=∈π)()(),(max arg 222*12*12*21q C q q P q q q q -+=∈π 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.0)()()(1,121,12111=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 0)()()(2,221,22122=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数)(21*1q R q = )(12*2q R q = 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉点就是纳什均衡),(**2*1q q q =.为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位成本,即:c q q C c q q C 222111)(,)(==,需求函数取如下线性形式:P=a-(q 1+q 2).那么,最优化的一阶条件分别为:0)(0)(2212212111=--+-=∂∂=--+-=∂∂c q q q a q c q q q a q ππ就是说,j 每增加1个单位的产量,i 将减少1/2单位的产量.解两个反应函数,我们得到纳什均衡为:)(31*2*1c a q q -== 每个企业的纳什均衡利润分别为:2*2*12*2*11)(91),(),(c a q q q q -==ππ 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:)(c Q a Q Max Q--=π 容易算出,垄断企业的最优产量为)(32)(21*2*1*c a q q c a Q -=+<-=; 垄断利润为22)(92)(41c a c a m ->-=π. 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题.例1:设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q 1,厂商2的产量q 2,则市场总产量为Q=q 1+q 2.设P 是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P 是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q .再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C 1=C 2=2,即它们分别生产q 1和q 2产量的成本分别为2q 1和2q 2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u 老表示,即各自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为212111*********)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=222122212222262)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量).本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合),(**2*1q q q =,只要其中*1q 和*2q 相互是对方策略的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是博弈的解.因此本博弈, (*2*1,q q )的纳什均衡的充分必要条件是*2*1q q 、的最大值问题:)6(m a x 21*2111q q q q q --和)6(max 22*1222q q q q q --的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此*1q 和*2q 只要能使它们各自对q 1和q 2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值.026*1*2=--q q 026*2*1=--q q 联立上两式,解得*1q =*2q =2,并且这是唯一的一组解.因此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2⨯(8-4)-2⨯2=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益U=QP(Q)-2Q=6Q-Q 2很容易求得使总得益最大的总产量3*=Q ,最大总得益9*=u .将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。
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古诺寡头竞争模型有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数.我们用q i ∈[0,∞)代表第i 个企业的产量,C i (q i )代表成本函数,P =P (q 1+q 2)代表逆需求函数(P 是价格;Q (P )是原需求函数).第i 个企业的利润函数为:2,1),()()(21=-+=i q C q q P q q i i i i π(*2*1,q q )是纳什均衡产量意味着 )()(),(max arg 11*211*211*1q C q q P q q q q -+=∈π)()(),(max arg 222*12*12*21q C q q P q q q q -+=∈π 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.0)()()(1,121,12111=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 0)()()(2,221,22122=-+++=∂∂q C q q P q q q P q π 上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数)(21*1q R q = )(12*2q R q = 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉点就是纳什均衡),(**2*1q q q =.为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位成本,即:c q q C c q q C 222111)(,)(==,需求函数取如下线性形式:P=a-(q 1+q 2).那么,最优化的一阶条件分别为:0)(0)(2212212111=--+-=∂∂=--+-=∂∂c q q q a q c q q q a q ππ就是说,j 每增加1个单位的产量,i 将减少1/2单位的产量.解两个反应函数,我们得到纳什均衡为:)(31*2*1c a q q -== 每个企业的纳什均衡利润分别为:2*2*12*2*11)(91),(),(c a q q q q -==ππ 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:)(c Q a Q Max Q--=π 容易算出,垄断企业的最优产量为)(32)(21*2*1*c a q q c a Q -=+<-=; 垄断利润为22)(92)(41c a c a m ->-=π. 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题.例1:设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q 1,厂商2的产量q 2,则市场总产量为Q=q 1+q 2.设P 是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P 是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q .再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C 1=C 2=2,即它们分别生产q 1和q 2产量的成本分别为2q 1和2q 2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u 老表示,即各自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为212111*********)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=222122212222262)](8[)(q q q q q q q q q C Q P q u --=-+-=-=两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量).本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合),(**2*1q q q =,只要其中*1q 和*2q 相互是对方策略的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是博弈的解.因此本博弈, (*2*1,q q )的纳什均衡的充分必要条件是*2*1q q 、的最大值问题:)6(max 21*2111q q q q q --和)6(max 22*1222q q q q q --的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此*1q 和*2q 只要能使它们各自对q 1和q 2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值.026*1*2=--q q 026*2*1=--q q 联立上两式,解得*1q =*2q =2,并且这是唯一的一组解.因此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2⨯(8-4)-2⨯2=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益U=QP(Q)-2Q=6Q-Q 2很容易求得使总得益最大的总产量3*=Q ,最大总得益9*=u .将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。
换句话说，如果两个厂商可以合作，联合起来决定产量，找出使总利益最大的产量后各自生产时更高的利益的一半（1.5），则各自可分享到比双方不合作，只考虑自己利益而独立决策时更高的利益（4.5>4）。
但是独立决策、缺乏协调机制的企业之间，这种合作并不容易实现，即使双方认识到了合作的好处，达成了一定的协议，这种协议也往往缺乏足够的强制力，最终时很难维持上述对双方都真正最有利的产量，原因主要是因为各生产一半产量实现最大利润的总产量的策略组合(1.5,1.5)不是纳什均衡，也就是说，在这个策略组合（产量组合）下，双方都可以通过独自改变（增加）自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破限额1.5的冲动，在缺乏有足够强制力的协议等限制手段的情况下，这种冲动注定了它们不可能维持限额，最终是大家都增产，直至达到纳什均衡水平(2,2) ，实现将遵守限额还是突破限额作为两家厂商面临的选择，则可用古诺模型博弈矩阵表示这个博弈伯特兰德模型模型中厂商所选择的是价格而不是产量.产品有一定差异是指两家厂商的产品在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类商品。
因此伯特兰德中厂商的产品之间有很强的替代性，但不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。
这种情况可用当厂商1和厂商2价格分别为P 1和P 2时，它们各自需求函数211112111),(P d P b a P P q q +-==和122222122),(P d P b a P P q q +-==来表示，其中d 1,d 2>0表示两个厂商产品有一定替代性的替代系数。
我们同样假设两家厂商无固定成本，边际生产成本分别为C 1和C 2。
最后，仍强调两厂商是同时决策的。
在该博弈中，两博弈方为厂商1和厂商2；它们各自的策略空间为],0[max 11P S =和],0[max 22P S =,其中max 1P 和max 2P是厂商1和厂商2还能卖出产品价格的最高价格；两博弈方的得益是它们各自的利润，即销售收入减去成本，都是双方价格的函数。
))((),(211111*********P d P b a C P q C q P P P u u +--=-==))((),(122222222222122P d P b a C P q C q P P P u u +--=-==我们利用反应函数的概念解博弈。
利用上述得益函数在偏导数为0时有最大值，很容易解得两厂商对对方策略（价格）的反应函数，分别为)(21)(211111211P d C b a b P R P ++== )(21)(122222122P d C b a b P R P ++== 纳什均衡（*2*1,P P ）必是两个反应函数的交点，即)(21*211111*1P d C b a b P ++= )(21*122222*2P d C b a b P ++=解此方程组，得：)(42)(41112121222221211*1C b a d d b b b C b a d d b b d P +-++-= )(42)(42222121111121212*2C b a d d b b b C b a d d b b d P +-++-= （*2*1,P P ）为博弈唯一的纳什均衡，将*2*1,P P 代入两得益函数则得两厂商的均衡得益如果2,5.0,1,2821212121========C C d d b b a a ，则可得20*2*1==P P ，且324*2*1==u u .本例是有产品的两寡头之间价格决策的伯特兰德模型，且仅仅是伯特兰德中较简单的一种特例。
更一般的情况是有n 个寡头的价格决策，并且产品也可以是完全无差别的。
对产品无差别的情况，则必须考虑消费者对价格的敏感性，如果所有的消费者对价格都非常敏感，则两厂商对其他厂商价格的反应函数，然后解出它们的交点即可。
值得一提的是，这种价格模型与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的结果更佳。
豪泰林(Hotelling )价格竞争模型在古诺模型中,产品是同质的.在这个假设下,如果企业的竞争战略是价格而不是产量, 伯特兰德证明,即使只有两个企业,在均衡情况下,价格等于边际成本,企业的利润为零,与完全竞争市场均衡一样.这便是所谓的伯特兰德悖论. 解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性.如果不同企业生产的产品是有差异的,替代弹性就不会是无限的,此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好,价格不是他们感兴趣的唯一变量.在存在产品差异的情况下,均衡价格不会等于边际成本.产品差异有多种形式.我们现在考虑一种特殊的差异,即空间上的差异,这就是经典的豪泰林模型.在豪泰林模型中,产品在物质性能上是相同的,但在空间位置上有差异.因为不同位置上的消费者支付不同的运输成本,他们关心的是价格与运输成本之和,而不单是价格.假定有一个长度为1的线性城市,消费者均匀地分布在[0,1]区间里,分布密度为1.假定有两个商店,分别位于城市的两端,商店1在x=0,商店2在x=1,出售物质性能相同的产品.每个商品提供单位产品的成本为c ,消费者购买商品的旅行成本与离商店成比例,单位距离的成本为t .这样,住在x 的消费者如果在商店1采购,要花费tx 的旅行成本;如果在商店2采购,要花费t(1-x).假定消费者具有单位需求,即或者消费1个单位或者消费0个单位.消费者从消费中得到的消费剩余为s ’.我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡. 假定两个商店同时选择自己销售的销售价格.为了简单起见,我们假定s ’相对于购买总成本(价格加旅行费用)而言足够大从而所有消费者购买一个单位的产品.令p i 为商店i 的价格,D i (p 1,p 2)为需求函数,i=1,2.如果住在x 的消费者在两个商店之间是无差异的,那么,所有住在x 左边的将在商店1购买,而住在x 右边的将商店2购买,需求分别为D 1=x,D 2=1-x .这里x 满足:p 1+tx=p 2+t(1-x)解上式得需求函数分别为:tt p p x p p D 2),(12211+-== tt p p x p p D 21),(21212+-=-= 利润函数分别为: ))((21),()(),(1212111211t p p c p t p p D c p p p +--=-=π ))((21),()(),(2122122212t p p c p tp p D c p p p +--=-=π 商店i 选择自己的价格p i 最大化利润πi ,给定p j ,两个一阶条件分别是:02121=-++=∂∂p t c p p i π 02212=-++=∂∂p t c p p i π 二阶条件是满足的.解上述两个一阶条件,得最优解为(注意对称性):t c p p +==*2*1每个企业的均衡利润为:221t ==ππ 我们把消费者的位置差异为产品差异,这个差异进一步解释为消费者购买的旅行成本.旅行成本越高,产品的差异就越大,均衡价格从而均衡利润也就越高.原因在于,随着旅行成本的上升,不同商店出售的产品之间的替代性下降,每个商店对附近的消费者的垄断力加强,商店之间的竞争更接近于垄断价格.另一方面,当旅行成本为0时,不同商店的产品之间具有完全的替代性,没有任何一个商店可以把价格定得高于成本,我们得到伯特兰德均衡结果.在以上的分析中,我们假定两个商店分别位于城市的两个极端.事实上,均衡结果对于商店的位置是敏感的.考虑另一个极端的情况,假定两个商店位于同一位置x.此时,他们出售的是同质的产品,消费者关心的只是价格,那么, 伯特兰德均衡是唯一的均衡:0,2121====ππc p p更为一般地,我们可以讨论商店位于位置的情况.假定商店1位于a ≥0,商店2位于1-b (这里b ≥0).为不失一般性,假定1-a-b ≥0(商店1位于商店2的左边).如果旅行成本为二次式,即旅行成本为td 2,这里d 是消费者到商店的距离,那么,需求函数分别为:)1(221),(12211b a t p p b a a x p p D ---+--+== )1(2211),(21212b a t p p b a b x p p D ---+--+=-= 需求函数的第一项是商店自己的”地盘”(a 是住在商店1左边的消费者,b 是住在商店2右边的消费者),第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半,第三项代表需求对价格差异的敏感度.纳什均衡为:)31)(1(),(*1b a b a t c b a p -+--+= )31)(1(),(*2a b b a t c b a p -+--+= 当a=b=0时,商店1位于0,商店2位于1,我们回到前面讨论的第一种情况:t c p p +==)1,0()1,0(*2*1当a=1-b 时,两个商店位于同一位置,我们走到另一个极端:c a a p a a p =-=-)1,()1,(*2*1多人博弈的霍特林模型(1)N=2既有两台冷饮售卖机时，挤在中点（1/2，1/2）(2)N=3 这个博弈没有稳定的对局，更没有纳什均衡(3)N=4 两台挤在1/4处 两台挤在3/4处为纳什均衡。