广东省2019_2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷22
2019-2020学年广东省佛山市新高考高一数学下学期期末学业水平测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132c =,则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>2．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 3．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒ 4．如果直线直线n ，且平面，那么n 与的位置关系是 A ．相交B ．C ．D ．或5．某几何体三视图如图所示，则该几何体中的棱与面相互平行的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如下表所示． 分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90] 人数234951据此估计允许参加面试的分数线大约是( ) A ．90 B ．85 C ．80D ．757．已知向量()2,0,1,1a b a b =⋅=-=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．π3D ．2π38．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．99．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ ） A ．110B ．310C ．710D ．91010．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-1111．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()4n n a S n N *+=∈，则4S的值为（ ） A ．3 B ．72C ．154D ．不确定12．若数列的前n 项的和32nn S =-，那么这个数列的通项公式为( )A ．13()2n n a -=B ．113()2n n a -=⨯C ．32n a n =-D ．11,1{23,2n n n a n -==⋅≥二、填空题：本题共4小题13．在等比数列{}n a 中，12a =，24a =，则4S =________.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若b·cosC=c·cosB ，且cosA ＝23，则cosB 的值为_____．15．若cos 4m πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______（用m 表示）. 16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行，则实数a 的值为______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟试卷5套
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（一）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）设集合{1A =，2，3}，{2B =，3，4}，则(A B = )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{2，3，4}D ．{1，3，4}2．（4分）复数2iz i+=的共轭复数是( ) A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．（4分）三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为( ) A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．（4分）等差数列{}n a 中，已知22a =，58a =，则9(a = ) A ．8B ．12C ．16D ．245．（4分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( ) A ．1y x=B ．3y x =-C ．1()2x y =D ．||y x =-6．（4分）在ABC ∆中，已知5a =，53b =．30C =︒，则角C 的对边c 的长为( ) A ．513B ．511C ．57D ．57．（4分）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S 等于( ) A ．11B ．5C ．8-D ．11-8．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )A ．38cmB ．312cmC ．3323cm D ．3403cm9．（4分）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = )A ．43-B ．34-CD ．210．（4分）已知偶函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，则满足(21)f x f -<（1）的x 取值范围是( ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)-11．（4分）正方体的内切球和外接球的表面积之比为( ) A ．3:1B ．3:4C ．4:3D ．1:312．（4分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为()A ．100B ．150C ．200D ．25013．（4分）直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行，则a 的值是( ) A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或214．（4分）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)(f =)A ．13B ．3C ．13-D ．3-15．（4分）点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43CD ．4二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）16．（4分）若(2,3)a =与(4,)b y =-共线，则y = ．17．（4分）在边长为2的正三角形ABC 中，以AAB ，AC 于D ，E ．若在ABC ∆这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是 ．18．（4分）已知实数x ，y 满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 ．19．（4分）函数1()5(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必过定点 ．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）20．（12分）已知设函数()log (12)log (12)(0a a f x x x a =+-->，1)a ≠． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 的取值范围．21．（12分）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，23AD SD ==，4BA BS ==．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）设集合{1A =，2，3}，{2B =，3，4}，则(A B = )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{2，3，4}D ．{1，3，4}【解答】解：{1A =，2，3}，{2B =，3，4}，{1AB ∴=，2，3，4}故选：A ． 2．（4分）复数2iz i+=的共轭复数是( ) A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【解答】解：由22(2)12i i i z i i i +-+===--， 得复数2iz i+=的共轭复数是：12i +． 故选：A ．3．（4分）三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为( ) A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【解答】解：0.70331a =>=，3000.70.71b <=<=，33log 0.7log 10c =<=，c b a ∴<<．故选：D ．4．（4分）等差数列{}n a 中，已知22a =，58a =，则9(a = ) A ．8B ．12C ．16D ．24【解答】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由22a =，58a =，得11248a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =， 91816a a d ∴=+=．故选：C ．5．（4分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( ) A ．1y x=B ．3y x =-C ．1()2x y =D ．||y x =-【解答】解：A ．1y x=是奇函数，则定义域内不具备单调性，不满足条件． B ．3y x =-是奇函数，则(,)-∞+∞上是减函数，满足条件．C ．1()2x y =是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．||y x =-是偶函数，不满足条件．故选：B ．6．（4分）在ABC ∆中，已知5a =，b =30C =︒，则角C 的对边c 的长为( ) A．B．C．D ．5【解答】解：5a =，b =30C =︒， 由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-．可得：22575225c =+-︒⨯=． 5c ∴=．故选：D ．7．（4分）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S 等于( ) A ．11B ．5C ．8-D ．11-【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q ≠ 由题意可得42511880a a a q a q +=+=，解得2q =-， 故5155522212(1)11(2)111(1)11(2)1a q S q q a q S q q-----====------ 故选：D ．8．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )A ．38cmB ．312cmC ．3323cm D ．3403cm 【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：33132222233cm +⨯⨯⨯=．故选：C ．9．（4分）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = ) A ．43-B ．34-C 3D ．2【解答】解：圆2228130x y x y +--+=的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10ax y +-=的距离211d a ==+，解得：43a =-，故选：A ．10．（4分）已知偶函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，则满足(21)f x f -<（1）的x 取值范围是( ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)-【解答】解：根据题意，()f x 为偶函数，则(21)f x f -<（1）(|21|)f x f ⇒-<（1）， 又由函数在区间[0，)+∞上单调递增， 则(|21|)f x f -<（1）|21|1x ⇒-<， 解可得：01x <<， 故选：B ．11．（4分）正方体的内切球和外接球的表面积之比为( )A ．3:1B ．3:4C ．4:3D ．1:3【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a ．2a r =内切球，2ar =内切球2r =外接球，r =外接球，:r r ∴=内切球外接球．∴正方体的内切球和外接球的表面积之比为1:3．故选：D ．12．（4分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为()A ．100B ．150C ．200D ．250【解答】解：分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=， ∴样本容量1500010050n =⨯=． 故选：A ．13．（4分）直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行，则a 的值是( ) A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或2【解答】解：直线70x ay +-=与直线(1)2140a x y ++-=互相平行12(1)0a a ∴⨯-+= 220a a ∴+-=2a ∴=-或1a =当2a =-时，直线270x y --=与直线2140x y -+-=互相平行； 当1a =时，直线70x y +-=与直线22140x y +-=重合，不满足题意； 故2a =- 故选：B ．14．（4分）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)(f =)A ．13B ．3C ．13-D ．3-【解答】解：根据题意，42log 9log 30=>，当0x <时，()2xf x =，则21342211(log 9)(log 3)()233log f f f log -=-===；则441(log 9)(log 9)3f f =--=-；故选：C ．15．（4分）点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．43C D ．4【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>渐近线的距离为1，∴1=，2224a b b ∴+=，222233()a b c a ∴==-2243a c ∴=，即2a ，c e a ∴===， 故选：C ．二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）16．（4分）若(2,3)a =与(4,)b y =-共线，则y = 6- ． 【解答】解：若(2,3)a =与(4,)b y =-共线，则23(4)0y -⨯-= 解得6y =- 故答案为：6-17．（4分）在边长为2的正三角形ABC 中，以A AB ，AC 于D ，E ．若在ABC ∆这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是． 【解答】解：已知如下图示：122ABC S ∆=⨯阴影部分的扇形面积，26033602S ππ=⋅=扇， 则豆子落在扇形ADE 内的概率3263ABC S P S ππ∆===扇， 故答案为：36π．18．（4分）已知实数x ，y 满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值为 7 ．【解答】解：根据约束条件2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩画出可行域如图，得到ABC ∆及其内部，其中(5,3)A ，(1,3)B -，(2,0)C 平移直线:2l z x y =-，得当l 经过点(5,3)A 时，Z ∴最大为2537⨯-=．故答案为：7．19．（4分）函数1()5(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必过定点 (1,6) ． 【解答】解：由10x -=，得1x =．此时()6f x =．∴函数1()5(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必过定点(1,6)．故答案为：(1,6)．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）20．（12分）已知设函数()log (12)log (12)(0a a f x x x a =+-->，1)a ≠． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 的取值范围．【解答】解：（1）要使函数有意义，则120120x x +>⎧⎨->⎩，得1212x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即1122x -<<，所以()f x 的定义域为11(,)22-．（2）定义域为11(,)22-，关于原点对称又因为()log (12)log (12)()a a f x x x f x -=--+=-所以()f x 为奇函数． （3）()0log (12)log (12)0log (12)log (12)a a a a f x x x x x >⇒--+>⇒->+， 当1a > 时，原不等式等价为：12120x x x +>-⇒>， 当01a << 时，原不等式等价为：12120x x x +<-⇒<，又因为()f x 的定义域为11(,)22-，所以使()0f x > 的x 的取值范围，当1a > 时为1(0,)2；当01a << 时为1(,0)2-．21．（12分）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==4BA BS ==．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：ADB ∆中，由余弦定理可得2BD =，222BD AD AB ∴+=，AD BD ∴⊥．取SD 的中点E ，连接DE ，BE ，则DE SA ⊥，BE SA ⊥， DEBE E =，SA ∴⊥平面BDE ，SA BD ∴⊥， SAAD A =，BD ∴⊥平面SAD ；（Ⅱ）解：点C 到平面SAB 的距离=点D 到平面SAB 的距离h ． SAD ∆中，30SAD =︒，23AD SD ==，1323233322SAD S ∆∴=⨯⨯⨯=， SAB ∆中，4BA BS ==，6SA =，16169372SAB S ∆∴=⨯⨯-=，由等体积可得113323733h ⨯⨯=⨯，2217h ∴=．2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（二）一、选择题：本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2(a b -= )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)2．（4分）复数123ii-+在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（4分）公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．（4分）已知集合{|1}A x x =>，{|1}B x ax =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．[0，1)5．（4分）函数()f x =的定义域是( )A ．4(,)3+∞B ．5(,)3-∞C ．45(,)33D ．45(,]336．（4分）已知直线l ，m ，平面α，β，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则//αβ； ③若αβ⊥，则//l m ； ④若//l m ，则αβ⊥ 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．37．（4分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4；5:5:6，则应从一年级本科生中抽取( )名学生． A ．60B ．75C ．90D ．458．（4分）在ABC ∆中，sin :sin :sin 4A B C ，则角C 的大小为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒9．（4分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．（4分）指数函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数图象过点(4,2)，则(a = ) A ．3B ．2C ．9D ．411．（4分）若1tan 2θ=，则2cos sin 2(θθ+= ) A ．45 B ．65 C ．85D ．212．（4分）函数5()sin sin()2f x x x π=-的最小正周期为( ) A ．πB ．23π C ．2π D ．π13．（4分）若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >14．（4分）函数sin(2)3y x π=+的图象( )A ．关于点(3π，0)对称 B ．关于直线4x π=对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3x π=对称15．（4分）函数2()log f x x x =+的零点所在区间为( )A ．1[0,]8B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]2二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）16．（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ． 17．（4分）若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为 ． 18．（4分）经过点(1,1)且与圆222x y +=相切的直线的方程是 ．19．（4分）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，则当0x <，()f x = ．三、解答题：本大题共2个小题，每个小题12分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20．（12分）已知函数2()f x x bx c=++的图象过点(1,3)-，且关于直线1x=对称（Ⅰ）求()f x的解析式；（Ⅱ）若3m<，求函数()f x在区间[m，3]上的值域．21．（12分）设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,4)离心率为35．（1）求C的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段中点坐标．2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2(a b -= ) A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)【解答】解：由(2,4)a =，(1,1)b =-，得：22(2a b -=，4)(1--，1)(4=，8)(1--，1)(5=，7)． 故选：A ． 2．（4分）复数123ii-+在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：1(1)(23)151523(23)(23)131313i i i i i i i i -----===--++-， ∴复数123i i -+在复平面内对应的点的坐标为15(,)1313--，位于第三象限． 故选：C ．3．（4分）公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设数列的公差为d 则 13513a d +=①1a 、2a 、5a 成等比数列2111()(4)a d a a d ∴+=+② ①②联立求得2d = 故选：B ．4．（4分）已知集合{|1}A x x =>，{|1}B x ax =>，若B A ⊆，则实数a 的取值范围( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．[0，1)【解答】解：已知集合{|1}A x x =>，{|1}B x ax =>， 若B A ⊆，则A 集合包含B 集合的所以元素， 解B 集合时，当0a <时，不满足题设条件， 当0a =时，x 无实数解，B 集合为空集，满足条件，当0a >时，1x a >，则11a，1a ，即01a <， 综上则实数a 的取值范围为：[0，1]， 故选：C ．5．（4分）函数()f x =的定义域是( )A ．4(,)3+∞B ．5(,)3-∞C ．45(,)33D ．45(,]33【解答】解：函数()f x =令0.5log (34)0x ->， 解得0341x <-<， 即4533x <<； 所以函数()f x 的定义域是4(3，5)3．故选：C ．6．（4分）已知直线l ，m ，平面α，β，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则//αβ； ③若αβ⊥，则//l m ； ④若//l m ，则αβ⊥ 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解；①l α⊥，//αβ，l β∴⊥，又m β⊂，l m ∴⊥，①正确． ②由l m ⊥推不出l β⊥，②错误．③当l α⊥，αβ⊥时，l 可能平行β，也可能在β内，l ∴与m 的位置关系不能判断，③错误．④l α⊥，//l m ，m α∴⊥，又m β⊂，αβ∴⊥ 故选：C ．7．（4分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4；5:5:6，则应从一年级本科生中抽取( )名学生．A ．60B ．75C ．90D ．45【解答】解：采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的，该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++．故选：A ．8．（4分）在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:4:31A B C =，则角C 的大小为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：sin :sin :sin 3:4:31A B C =， ∴由正弦定理知::3:4:31a b c =，不妨设3a d =，则4b d =，31c d =，则由余弦定理可得：222222316313cos 22234a b c d d d C ab d d+-+-===-⨯⨯，(0,180)C ∈︒︒，150C ∴=︒．故选：A ．9．（4分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是23 ∴1244+=， ∴圆锥的侧面积是248ππ⨯⨯=，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4， ∴圆柱表现出来的表面积是2222420πππ⨯+⨯⨯= ∴空间组合体的表面积是28π，故选：C ．10．（4分）指数函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数图象过点(4,2)，则(a = ) A ．3B ．2C ．9D ．4【解答】解：指数函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数图象过点(4,2)， 根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点(2,4)， 可得，24a =， 解得：2a =； 故选：B ． 11．（4分）若1tan 2θ=，则2cos sin 2(θθ+= ) A ．45B ．65C ．85D ．2【解答】解：若1tan 2θ=，则22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ+++===++，故选：C ．12．（4分）函数5()sin sin()2f x x x π=-的最小正周期为( ) A ．πB ．23π C ．2π D ．π【解答】解：函数51()sin sin()sin cos sin 222f x x x x x x π=-==， ()f x 的最小正周期为22T ππ==． 故选：A ．13．（4分）若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【解答】解：方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，∴0404m m m m >⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得：02m <<． 故选：B ．14．（4分）函数sin(2)3y x π=+的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4x π=对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3x π=对称【解答】解：令23x k ππ+=得126x k ππ=-，对称点为1(26k ππ-，0)()k z ∈， 当1k =时为(3π，0)，故选：A ．15．（4分）函数2()log f x x x =+的零点所在区间为( )A ．1[0,]8B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]2【解答】解：因为函数2()log f x x x =+，在0x >时函数是连续增函数， 且有21111()308888f log =+=-<，21111()204444f log =+=-<，21111()102222f log =+=-<，f （1）10=>， 可得()f x 在1[,1]2存在零点．故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）16．（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为12． 【解答】解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况： 甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁， 因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为12． 故答案为：12． 17．（4分）若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为 16 ． 【解答】解：x ，0y >，且131x y+=， 13333(3)()1010616y x y x y x y x y x y x ∴+=++=+++，当且仅当31x y +=，y xx y=即14x y ==取等号． 因此3x y +的最小值为16． 故答案为16．18．（4分）经过点(1,1)且与圆222x y +=相切的直线的方程是 20x y +-= ． 【解答】解：因为点(1,1)在圆222x y +=上，所以切线的斜率为：10110--=-- 切线的方程为：1(1)y x -=--，即：20x y +-= 故答案为：20x y +-=19．（4分）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，则当0x <，()f x =(1)x x - ．【解答】解：设0x <，则0x ->，依题意，()(1)(1)f x x x x x -=--+=-，()f x 为偶函数，()()(1)(0)f x f x x x x ∴=-=-<．故答案为：(1)x x -．三、解答题：本大题共2个小题，每个小题12分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20．（12分）已知函数2()f x x bx c =++的图象过点(1,3)-，且关于直线1x =对称 （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若3m <，求函数()f x 在区间[m ，3]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数2()f x x bx c =++的图象过点(1,3)-，且关于直线1x =对称，∴(1)1312f b c b -=-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2b =-，0c =，2()2f x x x ∴=-．（Ⅱ）当13m <时，2()()2min f x f m m m ==-， ()max f x f =（3）963=-=，()f x ∴的值域为2[2m m -，3]；当11m -<时，()min f x f =（1）121=-=-， ()(1)123max f x f =-=+=，()f x ∴的值域为[1-，3]．当1m <-时，()min f x f =（1）121=-=-，2()()2max f x f m m m ==-，()f x ∴的值域为[1-，22]m m -．。
2019-2020学年广东省佛山市数学高二下期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年广东省佛山市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()(ln )()xe f x k x x k R x=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是 A ．(]0,1 B ．(],1-∞C ．(],e -∞D ．[),e +∞2．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数4．若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ） A ．2b =，5c = B ．2b =-，5c = C ．2b =-，5c =-D ．2b =，1c =-5．设x ∈R ，则“28x <”是21x -<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．336007．若实数x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4 B ．5 C ．8D ．129．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1610．64个直径都为4a 的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则（）A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲=V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲=V 乙且S 甲=S 乙11．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,212．给出以下命题，其中真命题的个数是( )①若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题 ②命题“若a b 5+≠，则a 2≠或b 3≠”为真命题③已知空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若111OP OA OB OC 632=++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面； ④直线()y k x 3=-与双曲线22x y 145-=交于,A B 两点，若AB 5=，则这样的直线有3条；A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在1，2，3，…，80这八十个数中，随机抽取一个数作为数a ，将a 分别除以3，5，7后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数b ，例如，22a =时，121;33b a ==时，035b =．若140b =，则a =_____.14．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.15．椭圆2214y x +=绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________．16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3577,13,a a S ===_____；三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=. （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值.19．（6分）已知函数()12f x x a x a =-+-+. (1)若(2)0f ≥，求实数a 的取值范围；(2)若存在x ∈R 使得不等式()0f x ＜成立，求实数a 的取值范围. 20．（6分）已知函数关系式：()sin()f x A t ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求A ，ω，ϕ的值； （2）设函数()()4g x f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间． 21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 在1C 上，点N 在2C 上，求MN 的最小值及此时M 的直角坐标.22．（8分）已知函数32()3f x x ax x =--在1x =处取到极值.（1）求实数a 的值，并求出函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值与最小值及相应的x 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：求函数()f x 的导函数，并化简整理，结合函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数()f x 的定义域为(0, +∞)∴()()()22111x x x x e kx xe e f x k x x x ---⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()'0fx >，则1x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意； ②当0k >时，1x =Q 时()'0fx =，又函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值.从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立， 构造函数()(),xh x e g x kx ==，()x h x e '=，设()g x kx =与()xh x e =相切的切点为()00,x x e，则切线方程为()000x x y ee x x -=-，因为切线过原点，则()00000xx e e x -=-，解得01x=，则切点为()1,e 此时k e =. 由图可知：要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤. 综上所述：(],k e ∈-∞. 故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点． 2．A 【解析】 【分析】 先作的图象与直线的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得解． 【详解】 设，则，则在为增函数，在为减函数，则的图象与直线的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示，由图可知，当有三个零点，则的取值范围为：，故选：．【点睛】本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属于中档题． 3．B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
2019年广东省高中学业水平测试模拟考试(数学)
高中学业水平模拟考试（数学）考试时间为90分钟，试卷满分为100分一、选择题(本题共15个小题，每小题4分，共60分）1.设集合Ｐ＝｛0，1，2，｝，Ｑ＝｛1，2，3｝，则Ｐ∩Ｑ＝ A.｛０｝ Ｂ.｛６｝ Ｃ.{1，2} Ｄ.｛0，1，2，3｝ 2．“0=a”是“0=ab ”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分又不必要条件3.函数213)(+++=x x x f 的定义域是 A.{}3|-≥x x B.{}2|≠x xC.{}2,3|≠-≥x x x 且 D.{}2,3|-≠-≥x x x 且4.函数xx y 1+=A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.有无奇偶性不能确定5.两个球的体积之比是8：27，那么两个球的表面积之比为（ ） A 2：3 B 4：9 C 3:2 D 27:86. 数列{}n a 满足()131n n a a n +=-≥且17a =，则3a 的值是A.1B.4C.－3D.67.若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是A.ba 11< B.1<ab C. b a22> D.0)lg(>-b a8.已知向量)1,2(=)2,1(-=,则a 与b 的夹角为A. 0°B. 45°C. 90°D. 180°9.经过点P （2，1）且与直线 0132=+-y x 平行的直线的方程是 A.0132=--y x B.0823=-+y x C.0432=+-y x D.0723=-+y x 10.圆0204222=-+-+y x y x 被直线0443=+-y x 截所得弦长为A ． 3B ．6C ． 8D ． 1011.不等式210x ax ++≥在区间[1,)x ∈+∞上恒成立，则a 的取值范围是A.2a =-B.2a =C.2a ≥-D.2a ≤12．如图，D 是△ABC 的边AB 的三等分点，则向量CD 等于A. 23CA AB +B. 13CA AB + C. 23CB AB +D. 13CB AB + 13.从３个男生和２个女生中选出2人参加一项活动，既有男生又有女生参加的概率为A.109B. 54C. 107D. 5314.右图是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是A. 31B. 32C. 34D. 3815．如果执行 右面的程序框图，那么输出的S 等于A. 45B. 55C. 90D. 110开始 S =0 k ≤10 S = S +k k = k +1结束 输出S 是 否k =1 CADB班别 座号 姓名 成绩 .二．填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）16.一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为 _17.经过点P （-2，3）且倾斜角 45=α的直线的方程是_____ _18.方程2260x y x m +-+=表示一个圆，则m 的取值范围为____ __19.已知函数2(4)()(1)(4)xx f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为 .三、解答题：(每题12分,共24分). 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 20.(本小题满分12分)在ABC △中，角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,且3=a ，2π+=A B , 36cos =A ,(1) 求B sin ； (2) 求的b 值；(3)求三角形ABC 的面积.21．（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，41==BB AB ，5=BC ， D 为BC 的中点， (1)求证：C A AB 1⊥； (2)求证：11//A C AB D 平面； (3)求三棱锥ABD B -1的体积。
2019-2020年高考(学业水平考试)数学试卷 含答案
2019-2020年高考（学业水平考试）数学试卷 含答案xx.1 一．填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.复数3+4i （i 为虚数单位）的实部是 ；2.若=3，则x= ；3.直线y=x-1与直线y=2的夹角为 ；4.函数=的定义域为 ；5.三阶行列式121004531--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6.函数的反函数的图像经过点（2,1），则实数a= ；7.在中，若A=，B=，BC=，则AC= ；8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 。
（结果用数值表示）9.无穷等比数列的首项为2，公比为，则的各项和为 ；10.若2+i （i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程的一个虚根，则a= ； 11.函数y=在区间[0,m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是 ； 12.在平面直角坐标系xOy 中，点A,B 是圆上的两个动点，且满足|AB|=，则的最小值为 ；二．选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）13.满足且的角属于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14．半径为1的球的表面积为 （ ）A. B. C.2 D.415.在的二项展开式中，的系数是（ ）A.2B.6C.15D. 2016.幂函数的大致图象是（ ）17.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.1B. 2C.（1，0）D.（0，2）18.设直线l 与平面平行，直线m 在平面上，那么（ ）A.直线l 平行于直线mB.直线l 与直线m 异面C.直线l 与直线m 没公共点D.直线l 与直线m 不垂直19.用数学归纳法证明等式)(223212*∈+=++++N n n n n 的第（ⅱ）步中，假设n=k 时原等式成立，那么在n=k+1时，需要证明的等式为（ ）A.)1()1(22)1(2232122+++++=++++++k k k k k kB.)1()1(2)1(223212+++=++++++k k k kC.)1()1(22)1(2)12(232122+++++=++++++++k k k k k k kD.)1()1(2)1(21223212+++=++++++++k k k k k ）（20.关于与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A.焦距相等，渐近线相同B.焦距相等，渐近线不同C.焦距不相等，渐近线相同D.焦距不相等，渐近线不相同21.设函数y=的定义域为R ，则“f （0）=0”是“y=f （x ）”为奇函数的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（ ）A. B.C. D.23.设单位向量和既不平行也不垂直，则非零向量，，有结论：①若，则；②若，则；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立24.对于椭圆：),0,(12222b a b a by a x ≠>=+，若点（）满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆内或上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部三．解答题：（本大题共5小题，共8+8+8+12+12=48分）25.如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为3，求异面直线与AC 所成角的大小；26.已知函数=，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值是x 的值。
广东省2019_2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷1
广东省2019-2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷1(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．4C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2.] 2．下列函数中，与函数y ＝1x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝x －2D ．y ＝ln xD [函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D.]3．复数z ＝21－i ＋2＋i 的虚部是( )A ．3B ．2C ．2iD ．3iB [依题意z ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋2＋i ＝1＋i ＋2＋i ＝3＋2i ，故虚部为2，所以选B.]4．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为sin 30°＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是12，故“sin A ＝12”不是“A ＝30°”的充分条件．故“sin A ＝12”是“A ＝30°”的必要不充分条件．]5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6C [因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3.] 6．若点A (2,22)在抛物线C ：y 2＝2px 上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.24 B.423 C ．2 2 D.223C [将A 坐标代入抛物线方程得(22)2＝2p ·2，p ＝2，故焦点坐标F (1,0)，直线AF 的斜率为22－02－1＝22，故选C.]7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3D [a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.]8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于直线y ＝－x 对称A [由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A.] 9．三个数a ＝0.62，b ＝log 20.6，c ＝20.6之间的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC [易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .]10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1B [S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.]11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A.]12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C [r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.] 13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8 B．m >8 C ．m ≤8 D．m <8 C [x ＋4x －4＝x －4＋4x －4＋4≥2(x －4)×4x －4＋4＝8，故m ≤8.] 14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2A [f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.]15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )789⎪⎪⎪94 4 6 4 73A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.6D [平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率为________．2 [由于双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，故b a ＝ 3.所以双曲线离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.]17．函数f (x )＝12－cos 2π4－x 的单调递增区间是________．k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [f (x )＝12－cos 2π4－x ＝12－1＋cos π2－2x2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间． ∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．]18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．25[基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25.]19．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．12 [不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点的坐标为(c,0)，上顶点的坐标为(0，b )，则l ：x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由bc b 2＋c 2＝14×2b ，得3c 2＝b 2. 又b 2＝a 2－c 2，所以a ＝2c ，故e ＝12.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0， (1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状．[解] (1)由正弦定理a sin A ＝bsin B 得a sin B ＝b sin A ≠0， 又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1， 即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ， ∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值，∴△ABC 是直角三角形．21．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ； (2)平面PDC ⊥平面PAD .[证明] (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD 的中位线，∴EO ∥PB .又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC .(2)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD . 而PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . 又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD .。
2019-2020学年人教A版广东省普通高中学业水平数学试卷(12月份) 解析版
2019-2020学年广东省普通高中学业水平数学试卷一、选择题1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝（）A．M B．N C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2} 2．复数（1+i）i＝（）A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）A．94 B．93 C．92 D．914．直线x﹣2y﹣1＝0的斜率是（）A．B．C．2 D．﹣25．下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x+3 B．f（x）＝x2﹣2 C．f（x）＝x3D．6．若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角7．函数的定义域是（）A．（0，4）B．[0，4]C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）8．在等差数列{a n}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，则a20＝（）A．﹣20 B．﹣5 C．0 D．59．已知函数，设f（1）＝a，则f（a）＝（）A．2 B．C．D．10．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣611．设a＝log23，b＝log0.32，c＝log32，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a12．直线l：x+y﹣2＝0被圆C：x2+y2＝3截得的弦长为（）A．B．2 C．D．113．已知命题p：∃x0∈[0，+∞），ln（1+x0）＝x0，则￢p为（）A．∃x0∉[0，+∞），ln（1+x0）＝x0B．∀x∉[0，+∞），ln（1+x）＝xC．∃x0∈[0，+∞），ln（1+x0）≠x0D．∀x∈[0，+∞），ln（1+x）≠x14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（）（参考公式：球的表面积公式为S＝4πR2，其中R是球的半径）A．3πB．4πC．8πD．12π15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分）16．设向量，若，则m＝．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S2＝3，则S3＝．18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是．19．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于A，B两点，若△AF1B 为等边三角形，则该椭圆的离心率为．三、解答题（每小题12分）20．已知函数f（x）＝sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）若θ满足，求的值21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点．（1）证明：DE∥平面ACC1A1；（2）若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE．参考答案一、选择题（每小题4分）1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝（）A．M B．N C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2}【分析】进行并集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，∴M∪N＝{﹣1，0，1，2，3}．故选：C．2．复数（1+i）i＝（）A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，求得结果．解：复数（1+i）i＝i+i2＝﹣1+i，故选：A．3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）A．94 B．93 C．92 D．91【分析】评委打出的最低分为83，最高分为96，去掉最高分和最低分，其余得分为91，91，94，94，95，求出平均数．解：评委打出的最低分为，83，最高分为96，去掉最高分和最低分，其余得分为91，91，94，94，95，故平均分为＝93．故选：B．4．直线x﹣2y﹣1＝0的斜率是（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】若Ax+By+c＝0，B≠0，则斜率为k＝﹣，可解出．解：直线斜率为斜率为k＝﹣＝．故选：A．5．下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x+3 B．f（x）＝x2﹣2 C．f（x）＝x3D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选修：对于A，f（x）＝x+3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x2﹣2，为二次函数且其对称轴为y轴，是偶函数，符合题意，对于C，f（x）＝x3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D，f（x）＝，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选：B．6．若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案．解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选：B．7．函数的定义域是（）A．（0，4）B．[0，4]C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足x2﹣4x≥0，解出x的范围即可．解：要使f（x）有意义，则x2﹣4x≥0，解得x≤0或x≥4，∴f（x）的定义域是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故选：D．8．在等差数列{a n}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，则a20＝（）A．﹣20 B．﹣5 C．0 D．5【分析】由等差数列的性质a n﹣a m＝（n﹣m）d，得a10﹣a5＝5d，求出公差d，及a20．解：等差数列{a n}中，若a5＝﹣15，a10＝﹣10，a10﹣a5＝5d，d＝＝＝1，所以a20＝a5+15d＝﹣15+15×1＝0，故选：C．9．已知函数，设f（1）＝a，则f（a）＝（）A．2 B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，即可得a的值，进而结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数，则f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由f（1）＝a，即a＝﹣1，则f（a）＝f（﹣1）＝（）﹣1＝2；故选：A．10．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求最值即可．解：由z＝x﹣2y得y＝，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝由图象可知当直线y＝过点C（﹣1，2）时，直线的截距最大，此时z最小，代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝﹣1﹣2×2＝﹣5．∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣6．故选：C．11．设a＝log23，b＝log0.32，c＝log32，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：a＝log23∈（1，2），b＝log0.32＜0，c＝log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：D．12．直线l：x+y﹣2＝0被圆C：x2+y2＝3截得的弦长为（）A．B．2 C．D．1【分析】求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．解：∵圆C：x2+y2＝3的圆心（0，0）到直线l：x+y﹣2＝0的距离d＝，圆C的半径r＝，∴直线l：x+y﹣2＝0被圆C：x2+y2＝3截得的弦长为．故选：B．13．已知命题p：∃x0∈[0，+∞），ln（1+x0）＝x0，则￢p为（）A．∃x0∉[0，+∞），ln（1+x0）＝x0B．∀x∉[0，+∞），ln（1+x）＝xC．∃x0∈[0，+∞），ln（1+x0）≠x0D．∀x∈[0，+∞），ln（1+x）≠x【分析】否定：否定两次，否定结论．解：否定：否定两次，否定结论．故命题p：∃x0∈[0，+∞），ln（1+x0）＝x0，则￢p为∀x∈[0，+∞），ln（1+x）≠x．故选：D．14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（）（参考公式：球的表面积公式为S＝4πR2，其中R是球的半径）A．3πB．4πC．8πD．12π【分析】利用球的直径为其内接正方体的体对角线，即可求解．解：由于正方体的顶点均在同一球的球面上，即其体对角线为球的直径：2R＝；∴；∴球的表面积公式为S＝4πR2＝12π；故选：D．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，b＝4，且△ABC的面积为2，则a＝（）A．B．C．D．【分析】利用面积公式求出c，再利用余弦定理求出a．解：由，c＝，a2＝16+2﹣2×＝18﹣8＝10，故a＝，故选：B．二、填空题（每小题4分）16．设向量，若，则m＝﹣6 ．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得1×m＝3×（﹣2），变形可得m的值，即可得答案．解：根据题意，向量，若，则有1×m＝3×（﹣2），即m＝﹣6；故答案为：﹣6．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S2＝3，则S3＝7 ．【分析】根据题意，分析可得a2＝S2﹣S1＝S2﹣a1＝2，进而可得等比数列的公比，求出a3的值，又由S3＝a1+a3+a3，计算可得答案．解：根据题意，等比数列中a1＝1，S2＝3，则a2＝S2﹣S1＝S2﹣a1＝3﹣1＝2，则其公比q＝＝2，故a3＝a2q＝4，则S3＝a1+a2+a3＝1+2+4＝7；故答案为：7．18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是．【分析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率．解：从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张共有6种情况，则所取2张卡片上的数字之积为奇数共有（1，3），1种情况，故从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率为．故答案为．19．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于A，B两点，若△AF1B为等边三角形，则该椭圆的离心率为．【分析】设点P在x轴上方，坐标为（c，），根据题意可知|PF2|＝，△AF1B为等边三角形，求得a和c的关系，求得离心率．解：设点P在x轴上方，坐标为（c，），∵△AF1B为等边三角形，∴2a＝3，即2a2＝3（a2﹣c2）故椭圆的离心率e＝＝．故答案为：．三、解答题（每小题12分）20．已知函数f（x）＝sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）若θ满足，求的值【分析】（1）利用三角函数的性质直接求解即可；（2）依题意，，再利用二倍角公式即可得解．解：（1）函数f（x）＝sin2x，则f（x）的最小正周期是，f（x）的最大值是1；（2）由，得，所以．21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点．（1）证明：DE∥平面ACC1A1；（2）若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE．【分析】（1）由线面平行的判定定理，只要证明DE∥A1C，就可证明DE∥平面ACC1A1．（2）因为BB1⊥平面ABC，由线面垂直的性质定理得，BB1⊥AD，因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BC⊥AD，所以AD⊥平面B1BCC1，所以AD⊥C1D，有勾股定理得C1D⊥DB1，结合线面垂直的判定定理得C1D⊥平面ADE．【解答】证明：（1）连接A1B，A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，因为点E是AB1的中点，所以点E是A1B的中点，又因为点D是BC的中点，所以DE∥A1C，因为DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1．（2）连接B1D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BC⊥AD，又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，又C1D⊂平面B1BCC1，所以AD⊥C1D，由BC＝2，得BD＝1，又BB1＝CC1＝1，所以，所以，所以C1D⊥DB1，DB1∩AD＝D，所以C1D⊥平面ADB1，即C1D⊥平面ADE．。
广东省2019-2020学年高中毕业班理数学业水平考试试卷
广东省2019-2020学年高中毕业班理数学业水平考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）设复数(其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A . 2iB . 0C . -10D . 22. （1分） (2020高三上·石家庄月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .3. （1分） (2018高二上·桂林期中) 命题：中，若，则；命题：若，则方程一定无实根，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .4. （1分） (2017高二下·咸阳期末) 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（）A . =1.5x+2B . =﹣1.5x+2C . =1.5x﹣2D . =﹣1.5x﹣25. （1分） (2016高一上·沙湾期中) 已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2 ， n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A . ， 2B . ， 4C . ， 2D . ， 46. （1分） (2020高二上·遂宁期末) 若实数，满足，则的最小值是（）A . 0B . 1C .D . 97. （1分） (2020高一上·溧阳期中) Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 ( 的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）(注：为自然对数的底数， )A . 60B . 62C . 66D . 698. （1分）(2018·重庆模拟) 已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（）A .B .C .D .9. （1分） (2017高二上·正定期末) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 210. （1分） (2016高一下·武城期中) 4cos50°﹣tan40°=（）A .B .C .D . 2 ﹣111. （1分） (2020高二上·台州期末) 如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （1分）如图：正方体，棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（）A . 1B .C .D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·中山月考) 若在的展开式中，第4项是常数项，则 ________14. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知，，则与的夹角的余弦值为________．15. （1分） (2016高一上·徐州期中) 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，若存在x∈[t2﹣1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是．________．16. （1分） (2018高一下·四川期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，BC边上的高与BC 边长相等，则的最大值是________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分）(2017·芜湖模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S9=81，a3+a5=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，若{bn}的前n项和为Tn ，证明：Tn＜．18. （2分） (2016高三上·宜春期中) 如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．19. （2分）(2019·昌平模拟) 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表. 规定：数据≥ ，体质健康为合格.等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀良好及格不及格以下总计--(I)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；(II)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（III）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）20. （2分） (2016高二上·友谊期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA•kOB=﹣，求证：△AOB的面积为定值．21. （2分）(2021·榆林模拟) 已知函数 .（1）设，求的单调区间；（2）求证：存在恰有2个切点的曲线的切线.22. （2分） (2015高三上·日喀则期末) 在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2 ，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．23. （2分）(2017·黄石模拟) 已知函数的定义域为R．（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共14分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
广东省湛江市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
广东省湛江市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题*:p x R ∀∈，1ln x x -≥，则p ⌝为（ ）A ．*0x R ∃∈，001ln x x -≥ B ．*0x R ∃∈，001ln x x -≥C ．*0x R ∃∈，001ln x x -<D ．*0x R ∀∈，1ln x x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，*000,:1ln p x R x x ∃∈-<∴⌝.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.2．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7?k =B ．6?k ≤C ．6?k <D ．6?k >【答案】D 【解析】分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S 的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件． 详解：框图首先给累加变量S 赋值1，给循环变量k 赋值1． 判断1＞6，执行S=1+1=11，k=1﹣1=9； 判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8； 判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7； 判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6； 判断6≤6，输出S 的值为35，算法结束．所以判断框中的条件是k ＞6？． 故答案为:D.点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．3．已知函数x y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．(),0-∞ C ．()0,1D ．1(0,)e【答案】A 【解析】 【分析】两个函数图象的交点个数问题，转化为方程有两个不同的根，再转化为函数零点问题，设出函数，求单调区间，分类讨论，求出符合题意的范围即可． 【详解】解：函数xy me =的图象与直线2y x m =+有两个交点可转化为函数()e 2xf x m x m =--有两个零点，导函数为()e 1xf x m '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点； 当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，函数在(),ln m -∞-上单调递减，在,)ln (m -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-. 令()()1ln 20g m m m m =+->， 则1()2mg m =-'，所以()g m 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减.所以max 1()()ln 202g m g ==-<. 所以()f x 的最小值()ln 0f m -≤，则m 的取值范围是(0,)+∞. 故选：A 【点睛】本题考查函数零点问题，利用方程思想转化与导数求解是解决本题的关键，属于中档偏难题． 4．函数3()2ln =---f x x x x的单调递增区间是（） A ．(0,)+∞B ．(3,1)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间. 【详解】依题意，函数的定义域为()0,∞+，()()()2'2223123231x x x x f x x x x x+---+=--+==-，故当01x <<时，()'0fx >，所以函数的单调递增区间为(0,1)，故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.5．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A BC D ．【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，由3AF =得1(2,(,2A B 或1(2,(2A B -所以12AOB A B S OF y y ∆=⨯⨯-1122=⨯⨯=C ． 考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．6．己知1F ，2F 是椭圆2211612x y +=的左右两个焦点，若P 是椭圆上一点且23=PF ，则在12F PF ∆中12cos F PF ∠=（ ）A ．35B ．45C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出a 、c ，即可求出1PF 、12F F ，再根据余弦定理计算可得；解：因为2211612x y +=，所以4a =，2c =，2124F F c ==又因为23=PF ，2128PF PF a +==，所以15=PF ，在12F PF ∆中，由余弦定理12211212222cos 2F F PF F PF PF PF P F =∠+-⋅⋅，即2212243c 5o 2s 35F PF =+-∠⨯⨯，1235cos F PF ∴=∠， 故选：A 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题. 7．已知函数()252ln f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞B ．(0,1)和(2,)+∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞ D ．()1,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x 的范围，继而得到函数的单调递增区间． 【详解】函数f(x)＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x －5＋2x ＝2252x x x -+＝()()221x x x--＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f(x)的单调递增区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，，(2，＋∞)． 故选C 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题． 8．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位后，得到()y g x =为偶函数，则m 的最小值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】利用三角函数恒等变换，可得11()sin(2)264y f x x π==-+，11()()sin(22)264g x f x m x m π=-=--+，利用其为偶函数，得到,26k m k Z ππ=+∈，从而求得结果.【详解】 因为()sin sin()3y f x x x π==+1sin (sin )22x x x =+21cos sin 22x x x=+12(1cos 2)4x x =+-11sin(2)264x π=-+，所以1111()()sin[2()]sin(22]264264g x f x m x m x m ππ=-=--+=--+， 因为()g x 为偶函数，所以262m k πππ+=+，所以,26k m k Z ππ=+∈， 所以m 的最小值为6π，故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.9．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为6，当[3,3)x ∈-时，1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()22log 3log 12f f -+=（ ）A ．373B ．403C ．433D ．463【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及[3,3)x ∈-时的解析式结合22log 31-<-<-，23log 124<<可得()22log 34log 3f -=+，()()22log 126log 12f f =-+利用对数的运算性质，化简可得答案．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 的周期为6，当[3,3)x ∈-时，1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又∵22log 31-<-<-，23log 124<<∴()22log 3log 322221log 3log 312log 314log 32f -⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭，()()23log 162222231316log 126log 12log log 1log 35162163f f f ⎛⎫⎛⎫=-+==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()2243log 3log 123f f -+=，故选C.【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题. 10．若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()()2312P X P x ≥=≤≤，()3P X <=（ ） A ．13B ．56 C ．16D ．23【答案】B 【解析】设(3)P X x ≥=，则(12)2P X x ≤≤=，根据对称性，(23)2P X x ≤≤=， 则(2)3P X x ≥=0.5=，即1(3)6P X ≥=，故5(3)6P X <= 故选：B ． 11．已知,若.则实数的值为( )A ．-2B ．2C ．0D ．1【答案】C 【解析】 【分析】 由函数，将x ＝1，代入，构造关于a 的方程，解得答案．【详解】 ∵函数，∴f （﹣1）＝ ，∴f[f （﹣1）]1，解得：a ＝0， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．12．已知函数f(x)＝a x ，其中a>0，且a ≠1，如果以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x 1)·f(x 2)等于( ) A ．1 B ．aC ．2D ．a 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得120x x +=，再根据指数运算性质得解. 【详解】因为以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以120x x +=. 因为f(x)＝a x ，所以f(x 1)·f(x 2)=121201x x x x a a a a +⋅===. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 二、填空题：本题共4小题 13．化简022436201820182018201820181(3332C C C C -+-10082016100920182018201833)C C +⋅⋅⋅+-=__________． 【答案】12- 【解析】分析：利用二项式逆定理即可. 详解：022436100820161009201820182018201820182018201820181333 (332)C C C C C C ⎡⎤-+-++-⎣⎦)))))2462016201802462016201820182018201820182018201820181 (2)C C C C C C ⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦()20182018112=（展开式实部） 2018201812cos sin 233i ππ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（展开式实部）20182018120182cos 23π=⋅⋅ 12=-.故答案为：12-. 点睛：本题考查二项式定理的逆应用，考查推理论证能力.14．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A C 和11B D 所成角的大小为________【答案】2π. 【解析】分析：连接11A C ，三角形11C A C 是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接11A C ，三角形11C A C 是直角三角形，根据正方形的性质得到1111A C B D ，1C C ⊥11B D ，而1C C11A C 于点1C ，故11B D 垂直于面11C A C ，进而得到111B D A C .故两者夹角为2π. 故答案为2π. 点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.15．底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________【答案】642+ 【解析】 【分析】根据三视图,画出空间几何体,即可求得表面积. 【详解】根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:该三棱柱的高为2,上下底面为等腰直角三角形,2 所以上下底面的面积为212222⨯⨯=侧面积为222222442⨯+⨯+⨯=+ 所以该三棱柱的表面积为2442642++=+ 故答案为: 642+ 【点睛】本题考查由三视图还原空间结构体,棱柱表面积的求法,属于基础题. 16．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为______.【答案】72 【解析】 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S i ，的值，可得当9i = 时不满足条件8i ＜，退出循环，输出S 的值为72. 【详解】模拟程序的运行，可得10,i S ==， 满足条件8i ＜，执行循环体，39;i S ==，满足条件8i ＜，执行循环体，524i S ==， ； 满足条件8i ＜，执行循环体，745i S ==， ; 满足条件8i ＜，执行循环体，9i =，72S =； 不满足条件8i ＜，退出循环，输出S 的值为72, 故答案为72 【点睛】本题考查循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年广东省普通高中高二1月学业水平二模考试数学试卷及解析
2019-2020学年广东省普通高中高二1月学业水平二模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=（ ）A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =,所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5,7）,故选A.2.复数123i i-+在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】 利用复数的除法可得1152313i i i ---=+,从而得到该复数对应的点在复平面中的位置. 【详解】因为()()()()12311523232313i i i i i i i -----==++-,故复数123i i-+在复平面内对应的点的坐标为15,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭,它在第三象限, 故选：C.3.公差不为零的等差数列{}n a 中,12513a a a ++=,且1a 、2a 、5a 成等比数列,则数列{}n a 的公差等于（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设公差为d,则由12513a a a ++=和1a 、2a 、5a 成等比数列知211113513,()(4)a d a d a a d +=+=+,11135(2)13,1,2a a a d ∴+=∴==.4.已知集合{|1}A x x =>,{|1}B x ax =>,若B A ⊆,则实数a的取值范围（ ） A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1]D. [0,1)【答案】C【解析】就0,0,0a a a =><分类讨论后可得实数a 的取值范围.【详解】当0a =时,B =∅,此时B A ⊆,故0a =满足. 当0a >时,1{|}B x x a=>,因为B A ⊆,故11a ≥即01a <≤. 当0a <时,1{|}B x x a=<,此时B A ⊆不成立, 综上,01a ≤≤.故选：C.5.函数()f x =的定义域是（ ） A. 4(,)3+∞ B. 5(,)3-∞ C. 45(,)33D. 45(,]33 【答案】C【解析】 根据解析式有意义可得自变量满足的不等式组,其解集即为所求的定义域.【详解】由题设可得0.5log (34)0340x x ->⎧⎨->⎩,解得4533x <<,故函数的定义域为45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2（*,2n N n ∈≥,n偶数）中,0a ≥；。
广东省2019-2020学年度高中学业水平考试数学模拟试卷(无答案)
广东省2019——2020学年度高中学业水平考试数学模拟试卷一、选择题1．已知集合{}2468A =，，，，B={|x y =，则A B ⋂=（ ）A. {}2B. {}2,4C. {}2,4,6D. ∅2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i3．已知向量))(,6(),3,2(R m m b a ∈-=-=，若=⊥m b a 则,（ ） A.-4 B. 4 C. -3 D. 34．已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a = ( ) A. 1± B. -1 C. 1,0 D. -1,05．为了得到函数x y 3sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin πx y 的图象上所有的点 A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位 6．已知ln πx =， 51log 2y =， 12e z -=，则（ ）． A. x y z << B. z x y << C. z y x << D. y z x <<7．已知cos α=﹣，且α是钝角，则tan α等于（ ） A．B．C．﹣D．﹣8．已知实数满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≥+02222x y x y x ,则x y 的最小值为( )A.B.C.D.9. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．710．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x11.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )图 1A ．)421sin(2)(π+=x x f B ．)4321sin(2)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f12. 若命题“∃x 0∈R,x 20＋(a －1)x 0＋1<0”的否定是假命题,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞,－1]∪[3,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)13.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1 的前n 项和为( ).A.2(1)n n +B.12(1)n n +C.2(1)n n +D.21nn +14.f （x ）=e x ﹣x ﹣2在下列那个区间必有零点（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）15.圆22220x y x y +--=上的点到直线20x y ++=的距离最大为（ ）A B ．．．2+ 二、填空题 16.函数f （x ）=的定义域为 ．17. 若函数()()log 1(0a f x x m a =++>,且1a ≠)恒过定点()2,n , 则m n +的值为 .18.已知C ∆AB 中，角A .B .C 的对边分别为a .b .c ，且2a =，135∠B =，C 4S ∆AB =，则b = ． 19.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
2019-2020学年广东省清远市高考数学学业质量监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A B C ．12D2．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3D ．{}32x x -≤<3． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．4．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，则双曲线C 的焦距为（ ）A．3B ．C ．6D ．5．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-8．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④10．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d = B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-11．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省湛江市2019-2020学年高考数学学业水平测试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，已知E、F、G分别是线段11A C上的点，且11A E EF FG GC===.则下列直线与平面1A BD平行的是（）A．CE B．CF C．CG D．1CC2．复数12z i=+，若复数12,z z在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12zz等于（）A．345i+-B．345i+C．34i-+D．345i-+3．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（）A．2z i i⋅=-B．复数z的共轭复数是12i-C．||5z=D．13122zii=++4．已知0x>，0y>，23x y+=，则23x yxy+的最小值为（）A．322-B．221C21D215．已知函数()y f x=在R上可导且()()f x f x'<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．3(3)(0)f e f>、2018(2018)(0)f e f>B．3(3)(0)f e f<、2018(2018)(0)f e f>C．3(3)(0)f e f>、2018(2018)(0)f e f<D．3(3)(0)f e f<、2018(2018)(0)f e f<6．已知函数()f x的定义域为[]0,2，则函数()()282xg x f x=-）A．0,1B．[]0,2C．[]1,2D．[]1,37．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3B ．2C ．4D ．58．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3109．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．6π B ．6π C ．32π D ．23π 10．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞11．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．212．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019_2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷2
广东省2019-2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷2(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{2,4,6,8}，则M ∩N ＝( )A ．{2,4}B ．{2,4,8}C ．{1,6}D ．{1,2,4,6,8}B [由M ＝{1,2,4,8}，N ＝{2,4,6,8}，得M ∩N ＝{1,2,4,8}∩{2,4,6,8}＝{2,4,8}．故选B.]2．已知cos α＝12，那么cos(－2α)等于( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32B [∵cos α＝12，∴cos(－2α)＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.] 3．lg 0.001＋ln e ＝( ) A.72 B ．－52 C ．－72 D.52B [原式＝lg 10－3＋ln e 12＝－3＋12＝－52.] 4．若a 为实数且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4D [因为2＋a i 1＋i＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，故a ＝4，选D.] 5．设x ∈R ，则“x >3”是“x 2－2x －3>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [x 2－2x －3>0⇔x >3或x <－1.由于{x |x >3}是{x |x >3或x <－1}的真子集，∴“x >3”是“x 2－2x －3>0”的充分不必要条件．]6．已知点(m,1)(m >0)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为1，则m ＝( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1C [由题意知|m －1＋2|2＝1，∴|m ＋1|＝2，解得m ＝2－1或m ＝－2－1.又m >0，∴m ＝2－1.故选C.]7．如果正△ABC 的边长为1，那么AB →·AC →等于( )A ．－12B.12 C ．1 D ．2B [∵正△ABC 的边长为1，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝1×1×cos 60°＝12.] 8．对于不同直线a ，b ，l 以及平面α，下列说法中正确的是( )A ．如果a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．如果a ⊥l ，b ⊥l ，则a ∥bC ．如果a ∥α，b ⊥a 则b ⊥αD ．如果a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD [对于A 选项，b 可能属于α，故A 选项错误．对于B 选项，a ，b 两条直线可能相交或异面，故B 选项错误．对于C 选项，b 可能平行于α或属于α，故C 选项错误．对于D 选项，根据线面垂直的性质定理可知，D 选项正确，故选D.]9．如图，给出了奇函数f (x )的局部图象，那么f (1)等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4B [根据题意，由函数的图象可得f (－1)＝2，又由函数为奇函数，则f (1)＝－f (－1)＝－2.]10．已知函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [∵连续函数f (x )＝log 2x ＋x －2在(0，＋∞)上单调递增，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝2－2＋log 22＝1>0，∴f (x )＝x －2＋log 2x 的零点所在的区间为(1,2)，故选B.]11．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝－2，S 3＝－6，且公比q ≠1，则a 3＝( )A ．－2B ．2C ．－8D ．－2或－8C [依题意⎩⎪⎨⎪⎧ S 1＝a 1＝－2，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得q ＝－2(q ≠1)，故a 3＝a 1q 2＝－2×(－2)2＝－8.]12．直线y ＝ax ＋1与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化B [∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．]13．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x A [由题意知y 22－x 22＝1，故渐近线方程为y ＝±x .] 14．某几何体示意图的三视图如图示，已知其正视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．16πC [由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2r ＋2l ＝8⇒r ＋l ＝4，又S 侧＝πrl ≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋l 22＝4π(当且仅当r ＝l 时“＝”成立)．] 15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( ) A ．80 B ．4 5 C ．25 D.172A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．圆C 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0，则圆的半径是________．5 [依题意(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5，故圆的半径为 5.]17．函数y ＝sin ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2 [由T ＝2πω＝π，得ω＝2.] 18．一组数据为84,84,84,86,87，则这组数据的方差为________．1．6 [依题意，该组数据的平均数＝15×(84＋84＋84＋86＋87)＝85，∴这组数据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.] 19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．30 [设y 为一年的总运费与总存储费用之和，则y ＝600x·6＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240. 当且仅当3 600x＝4x ， 即x ＝30时，y 取最小值．]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．[解] (1)cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12. 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.21．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)若AC 1⊥平面A 1BD ，求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)在(2)的条件下，设AB ＝1，求三棱锥B A 1C 1D 的体积．[解] (1)证明：连接AB 1交A 1B 于E ，连接ED .∵ABC A 1B 1C 1是三棱柱，且AB ＝BB 1，∴侧面ABB 1A 1是一正方形，∴E 是AB 1的中点．又已知D 为AC 的中点，∴在△AB 1C 中，ED 是中位线，∴B 1C ∥ED .又∵B 1C ⊄平面A 1BD ，ED ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明：连结AC 1，∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴AC 1⊥A 1B .又∵侧面ABB 1A 1是一正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1∩AB 1＝A ，AC 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1.又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥B 1C 1.又∵A 1B ∩BB 1＝B ，A 1B ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)连结DC 1，∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面DC 1A 1，∴BD 就是三棱锥B A 1C 1D 的高．由(2)知B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AB ，∴△ABC 是等腰直角三角形． 又∵AB ＝BC ＝1，∴BD ＝22， ∴AC ＝A 1C 1＝2，∴三棱锥B A 1C 1D 的体积 V ＝13·BD ·S △A 1C 1D ＝13·22·12·A 1C 1·AA 1＝16.。
2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,1,2,3,M N =-=则M N ⋃=（ ） A ．M B ．NC ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,2【答案】C【解析】根据集合的并集运算可得答案. 【详解】因为集合{}{}1,0,1,2,1,2,3,M N =-= 所以M N ⋃={1,0,1,2,3}-. 故选:C 【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题. 2．设i 是虚数单位，则复数()1i i +=（ ） A ．1i -+ B ．1i +C ．1i --D ．1i -【答案】A【解析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()1i i +=2(1)1i i i i +=+-=-+.故选:A 【点睛】本题考查了复数的乘法运算,属于基础题.3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（ ） A ．94 B ．93C ．92D ．91【答案】B【解析】去掉96和83后剩下5个数的和除以5可得答案. 【详解】去掉一个最高分96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,它们的平均数为:9191949495935++++=.故选:B 【点睛】本题考查了利用平均数的定义求平均数,属于基础题. 4．直线210x y --=的斜率是（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式,可得斜率. 【详解】由210x y --=得1122y x =-, 所以210x y --=的斜率为12.故选:A. 【点睛】本题考查了由直线方程的斜截式求斜率,属于基础题. 5．下列函数为偶函数的是（ ） A ．()3f x x =+ B ．()22f x x =-C ．()3f x x =D ．()1f x x=【答案】B【解析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案. 【详解】当()f x =22x -时,22()()22()f x x x f x -=--=-=,所以2()2f x x =-为偶函数,()3f x x =+为非奇非偶函数函数,3()f x x =与1()f x x=为奇函数. 故选:B 【点睛】本题考查了用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.6．（2015秋•河西区期末）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案． 解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角． 故选：B ．【考点】三角函数值的符号． 7．函数()f x = ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()(),04,-∞+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】D【解析】利用被开方大于等于0列式,解一元二次不等式可得答案. 【详解】 由函数()f x =,可得240x x -≥, 解得4x ≥或0x ≤. 故选:D. 【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域,一元二次不等式的解法,本题属于基础题. 8．在等差数列{}n a 中，若51015,10,a a =-=-则20a =（ ） A ．20- B ．5-C ．0D ．5【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知条件列方程组,解得首项和公差,从而可得20a .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则11415910a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ ,解得1191a d =-⎧⎨=⎩, 所以2011919190a a d =+=-+=. 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.9．已知函数()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，设()1f a =，则()f a =（ ） A ．2 B ．12C ．12-D ．32-【答案】A【解析】由(1)f a =求得1a =-,再根据分段函数解析式求得(1)f -即可得到答案. 【详解】因为()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩, 所以(1)121f =-=-,所以1a =-, 所以11(1)()22f --==.故选:A 【点睛】本题考查了根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.10．设,x y 满足约束条件201010y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．2-B ．3-C ．5-D ．6-【答案】C【解析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得z 的最小值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数2z x y =-化为斜截式得122z y x =-, 由图可知,最优解为2()1,M -,所以当1x =-,2y =时,min 1225z =--⨯=-. 故选:C 【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键. 11．设20.33log 3,log 2,log 2a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数的性质以及单调性可比较大小. 【详解】因为22log 3log 21a =>=,0.30.3log 2log 10b =<=,33log 2log 31c =<=,33log 2log 10c =>=,所以b c a <<. 故选:D 【点睛】本题考查了利用对数的性质以及单调性比较大小,属于基础题. 12．直线:20+-=l x y 被圆22:3C x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2CD ．1【答案】B【解析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】由22:3C x y +=可知圆心为(0,0),,所以圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==由勾股定理可得弦长为2=. 故选:B 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.13．已知命题[)()000:0,,ln 1,p x x x ∃∈+∞+=则p ⌝为 （ ） A ．[)()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞+= B ．[)()0,,ln 1x x x ∀∉+∞+= C ．[)()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞+≠ D ．[)()0,,ln 1x x x ∀∈+∞+≠【答案】D【解析】先否定存在量词,改为全称量词,再否定结论. 【详解】因为命题[)()000:0,,ln 1,p x x x ∃∈+∞+= 所以p ⌝为: [)()0,,ln 1x x x ∀∈+∞+≠. 故选:D 【点睛】本题考查了含有一个存在量词的命题的否定,属于基础题.14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（ ）（参考公式：球的表面积公式为24S R π=，其中R 是球的半径） A ．3π B ．4πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据正方体的对角线是其外接球的直径,可得球的半径,进而可得球的表面积. 【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体的外接球的直径2R ==,所以R =,所以该球的表面积244312S R πππ==⨯=. 故选:D 【点睛】本题考查了正方体与球的组合体,考查了正方体的对角线长定理,考查了球的表面积公式,属于基础题.15．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知4A π=,4b =，且ABC ∆ 的面积为2，则a =（ ）A ．BC ．D【答案】B【解析】根据面积公式可求得c =再根据余弦定理可求得a =【详解】根据三角形的面积公式可得12sin 2bc A =,所以124sin 24c π=⨯⨯,所以c =由余弦定理可得2222cos 1622410a b c bc A =+-=+-⨯=,所以a =. 故选:B 【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.二、填空题16．设向量(1,3),(2,),a b m ==-，若//b a ，则m =_____ 【答案】6-【解析】根据向量共线的坐标表示列方程可解得. 【详解】因为//b a ,所以13(2)0m ⨯-⨯-=, 解得6m =-. 故答案为:-6 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,本题属于基础题.17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，23S =，则3S =_____ 【答案】7【解析】根据121,3a S ==列方程可解得公比q ,再根据等比数列的前n 项和公式可求得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =, 由2123S a a =+=,得13q +=,所以2q =,所以3313(1)127112a q S q --===--. 故答案为:7 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的基本量的计算,属于基础题. 18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是____ 【答案】16【解析】利用组合知识求得基本事件种数和所求事件包含的事件种数后,利用古典概型的概率公式可得答案. 【详解】从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张,总共有246C =种抽法, 所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有221C =种抽法, 根据古典概型的概率公式可得所求概率为16. 故答案为:16【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,关键是求出积为奇数时的抽法种数,属于基础题. 19．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则该椭圆的离心率为____【解析】利用三角形1AF B ∆为等边三角形可得2||3AF =,1||AF =,再根据椭圆的定义列式可得离心率. 【详解】因为1AF B ∆为等边三角形,所以126AF F π∠=,所以212||||33AF F F c ==,12||2||3AF AF c ==, 又由椭圆的定义可知12||||2AF AF a +=,所以233c a +=,a =,所以离心率3c e a ==.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的几何性质:离心率,利用正三角形的性质求出1||AF 和2||AF 后,再用椭圆定义列等式是答题关键,属于基础题.三、解答题20．已知函数()sin 2f x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期和最大值； (2)若θ满足325f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，求4f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【答案】(1)()f x 的最小正周期是π,最大值是1 (2)725【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式2||T πω=直接求出周期,根据正弦函数的最大值可求得函数的最大值;(2)利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得答案. 【详解】解：(1)函数()sin 2f x x =，则()f x 的最小正周期是22T ππ== ()f x 的最大值是1(2)由325f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3sin 5θ=所以27sin(2)cos 212sin 4225f ππθθθθ⎛⎫+=+==-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,正弦函数的最大值,诱导公式,二倍角的余弦公式,属于基础题.21．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是1,BC AB 的中点.(1)证明：//DE 平面11ACC A ； (2)若11BB =,证明：1C D ⊥平面ADE 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】(1) 连接11,A B A C ,根据中位线可得1//DE A C ,根据线面平行的判定定理可得//DE 平面11ACC A ;(2)根据直棱柱可得1BB AD ⊥,根据等边三角形可得BC AD ⊥,根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面11B BCC ,再根据性质定理可得1AD C D ⊥,根据勾股定理22211111DB C D B C +=可得11C D DB ⊥,最后根据线面垂直的判定定理可得1C D ⊥平面ADE .【详解】证明：(1)连接11,A B A C ，如图所示:第 11 页 共 11 页 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，因为点E 是1AB 的中点，所以点E 是1A B 的中点又因为点D 是BC 的中点，所以1//DE A C ,因为1AC ⊂平面11ACC A ,DE ⊄平面11ACC A , 所以//DE 平面11ACC A(2)连接1B D ，如图所示:在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以 1BB AD ⊥又因为底面ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥，又1BC BB B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，又1C D ⊂平面11B BCC所以1AD C D ⊥由2BC =，得1BD =，又111BB CC ==所以11DB C D ==所以22211111DB C D B C +=，所以11C D DB ⊥1DB AD D ⋂=，即1C D ⊥平面ADE【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,直线与平面垂直的判定定理以及性质定理,利用勾股定理22211111DB C D B C +=证明11C D DB ⊥是答题关键.。
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广东省2019-2020学年高中数学学业水平测试学考仿真卷2(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{2,4,6,8}，则M ∩N ＝( )A ．{2,4}B ．{2,4,8}C ．{1,6}D ．{1,2,4,6,8}B [由M ＝{1,2,4,8}，N ＝{2,4,6,8}，得M ∩N ＝{1,2,4,8}∩{2,4,6,8}＝{2,4,8}．故选B.]2．已知cos α＝12，那么cos(－2α)等于( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32B [∵cos α＝12，∴cos(－2α)＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.] 3．lg 0.001＋ln e ＝( ) A.72 B ．－52 C ．－72 D.52B [原式＝lg 10－3＋ln e 12＝－3＋12＝－52.] 4．若a 为实数且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4D [因为2＋a i 1＋i＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，故a ＝4，选D.] 5．设x ∈R ，则“x >3”是“x 2－2x －3>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [x 2－2x －3>0⇔x >3或x <－1.由于{x |x >3}是{x |x >3或x <－1}的真子集，∴“x >3”是“x 2－2x －3>0”的充分不必要条件．]6．已知点(m,1)(m >0)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为1，则m ＝( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1C [由题意知|m －1＋2|2＝1，∴|m ＋1|＝2，解得m ＝2－1或m ＝－2－1.又m >0，∴m ＝2－1.故选C.]7．如果正△ABC 的边长为1，那么AB →·AC →等于( )A ．－12B.12 C ．1 D ．2B [∵正△ABC 的边长为1，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝1×1×cos 60°＝12.] 8．对于不同直线a ，b ，l 以及平面α，下列说法中正确的是( )A ．如果a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB ．如果a ⊥l ，b ⊥l ，则a ∥bC ．如果a ∥α，b ⊥a 则b ⊥αD ．如果a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD [对于A 选项，b 可能属于α，故A 选项错误．对于B 选项，a ，b 两条直线可能相交或异面，故B 选项错误．对于C 选项，b 可能平行于α或属于α，故C 选项错误．对于D 选项，根据线面垂直的性质定理可知，D 选项正确，故选D.]9．如图，给出了奇函数f (x )的局部图象，那么f (1)等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4B [根据题意，由函数的图象可得f (－1)＝2，又由函数为奇函数，则f (1)＝－f (－1)＝－2.]10．已知函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [∵连续函数f (x )＝log 2x ＋x －2在(0，＋∞)上单调递增，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝2－2＋log 22＝1>0，∴f (x )＝x －2＋log 2x 的零点所在的区间为(1,2)，故选B.]11．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝－2，S 3＝－6，且公比q ≠1，则a 3＝( )A ．－2B ．2C ．－8D ．－2或－8C [依题意⎩⎪⎨⎪⎧ S 1＝a 1＝－2，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得q ＝－2(q ≠1)，故a 3＝a 1q 2＝－2×(－2)2＝－8.]12．直线y ＝ax ＋1与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化B [∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．]13．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x A [由题意知y 22－x 22＝1，故渐近线方程为y ＝±x .] 14．某几何体示意图的三视图如图示，已知其正视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．16πC [由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2r ＋2l ＝8⇒r ＋l ＝4，又S 侧＝πrl ≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋l 22＝4π(当且仅当r ＝l 时“＝”成立)．] 15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( ) A ．80 B ．4 5 C ．25 D.172A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．圆C 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0，则圆的半径是________．5 [依题意(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5，故圆的半径为 5.]17．函数y ＝sin ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2 [由T ＝2πω＝π，得ω＝2.] 18．一组数据为84,84,84,86,87，则这组数据的方差为________．1．6 [依题意，该组数据的平均数＝15×(84＋84＋84＋86＋87)＝85，∴这组数据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.] 19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．30 [设y 为一年的总运费与总存储费用之和，则y ＝600x·6＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240. 当且仅当3 600x＝4x ， 即x ＝30时，y 取最小值．]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．[解] (1)cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12. 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.21．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)若AC 1⊥平面A 1BD ，求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)在(2)的条件下，设AB ＝1，求三棱锥B A 1C 1D 的体积．[解] (1)证明：连接AB 1交A 1B 于E ，连接ED .∵ABC A 1B 1C 1是三棱柱，且AB ＝BB 1，∴侧面ABB 1A 1是一正方形，∴E 是AB 1的中点．又已知D 为AC 的中点，∴在△AB 1C 中，ED 是中位线，∴B 1C ∥ED .又∵B 1C ⊄平面A 1BD ，ED ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明：连结AC 1，∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴AC 1⊥A 1B .又∵侧面ABB 1A 1是一正方形，∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1∩AB 1＝A ，AC 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1.又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥B 1C 1.又∵A 1B ∩BB 1＝B ，A 1B ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)连结DC 1，∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面DC 1A 1，∴BD 就是三棱锥B A 1C 1D 的高．由(2)知B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AB ，∴△ABC 是等腰直角三角形． 又∵AB ＝BC ＝1，∴BD ＝22， ∴AC ＝A 1C 1＝2，∴三棱锥B A 1C 1D 的体积 V ＝13·BD ·S △A 1C 1D ＝13·22·12·A 1C 1·AA 1＝16.。