《概率论与数理统计》典型例题
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
概率论与数理统计1-8 典型例题
P( A0 )P(B P(B)
A0 )
0.8 0.903
0.886.
7 8
;
1
P( A1
A)
2 7
4 ;正确选项(D) 7
8
(D) 4 7
第一章 随机事件及其概率
例1.8.6
钥匙丢了，丢在宿舍的概率为40%，这种情况下找到 的概率为0.90；丢在教室里的概率为35%，这种情况下找 到的概率为0.30；丢在路上的概率为25%，这种情况下找 到的概率为0.10，求找到钥匙的概率。
解 (1)设Ai “此箱玻璃杯含i只次品”（i=0.1.2)，B=“顾客买此箱玻璃杯”.
P(B) P( A0 )P(B A0 ) P( A1)P(B A1) P( A2 )P(B A2 )
0.8 0.1 C119 0.1 C149 0.903.
C210
C240
(2)P( A0
B)
P( A0B) P(B)
第一章 随机事件及其概率
例1.8.2
P( A) 0.7, P( A B) 0.3,则P( AB) ___ .
解法1
因为P( A B) P( AB) P( A)P(B A) P( A)[1 P(B A)] 又1 P(B A) P( A B) 3
P( A) 7 从而P(B A) 1 3 4
第一章 随机事件及其概率
第八节 典型例题
1.8 典型例题
例1.8.1
设A B, P(A) 0.1，P(B) 0.5，则P(AB) ____, P(A B) ____ .
解：因为A B,所以AB A，A B B, A B AB，故P( AB) P( A) 0.1; P( A B) P( AB) 1 P( AB) 1 0.1 0.9
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
(完整版)概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
概率论与数理统计典型例题与解析(期末考试与考研必备的超强资料)
概率论与数理统计典型例题分析（期末考试与考研必备）1.在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？(3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立．2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？ 解 由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+=== ()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？3.设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题 怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示 利用事件的关系与运算导出．4.设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解 由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===5.某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解 设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 6.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解 这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P7.设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析 这是一个条件概率问题．解 因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 8.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解 设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P9.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解 这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P 所以 ⋅=⨯=514154)(2A P10.设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}． 试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证 根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．11.加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．12.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率． 答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或． 13.用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的概率是0.6，试问：(1)用两门高射炮分别射击一次击中飞机的概率是多少？(2)若有一架敌机入侵，至少需要多少架高射炮同时射击才能以99％的概率命中敌机？分析 本题既可使用加法公式，也可使用乘法公式．解 (1)令B i ＝{第i 门高射炮击中敌机}(i ＝1，2)，A ＝{击中敌机}．在同时射击时，B 1与B 2可以看成是互相独立的，从而21,B B 也是相互独立的，且有P (B 1)＝P (B 2)＝0.6，.4.0)(1)()(121=-==B P B P B P方法1(加法公式)由于A ＝B 1＋B 2，有P (A )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)－P (B 1)P (B 2)＝0.6＋0.6－0.6×0.6＝0.84．方法2(乘法公式) 由于21B B A =，有,16.04.04.0)()()()(2121=⨯===B P B P B B P A P于是 .84.0)(1)(=-=A P A P(2)令n 是以99％的概率击中敌机所需高射炮的门数，由上面讨论可知，99％＝1－0.4n 即 0.4n ＝0.01，亦即.026.53979.024.0lg 01.0lg ≈--==n 因此若有一架敌机入侵，至少需要配置6门高射炮方能以99％的把握击中它．14.设某人从外地赶来参加紧急会议．他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是31110510、、及52，如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为41、⋅12131、试问：(1)他迟到的概率；(2)此人若迟到，试推断他是怎样来的可能性最大？ 解 令A 1＝{乘火车}，A 2＝{乘轮船}，A 3＝{乘汽车}，A 4＝{乘飞机}，B ＝{迟到}．按题意有：,103)(1=A P ,51)(2=A P ,101)(3=A P ,52)(4=A P,41)|(1=A B P ,31)|(2=A B P ,121)|(3=A B P .0)|(4=A B P (1)由全概率公式，有⋅=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=203052121101315141103)|()()(41i i i A B P A P B P (2)由逆概率公式 ),4,3,2,1()|()()|()()|(41==∑=i A B P A P A B P A P B A P jj j i i i得到.0)|(,181)|(,94)|(,21)|(4321====B A P B A P B A P B A P 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大．15.三人同时向一架飞机射击，设他们射中的概率分别为0.5，0.6，0.7．又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一人击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁．求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率．解 设A i ＝{第i 个人射中}(i ＝1，2，3)，有P (A 1)＝0.5， P (A 2)＝0.6， P (A 3)＝0.7．又设B 0＝{三人都射不中}，B 1＝{只有一人射中}，B 2＝{恰有两人射中}，B 3＝{三人同时射中}，C ＝{飞机坠毁}．由题设可知,0)|(0=B C P ,2.0)|(1=B C P ,6.0)|(2=B C P ,1)|(3=B C P并且.06.03.04.05.0)()()()()(3213210=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P同理)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29；P (B 2)＝0.44；P (B 3)＝0.21．利用全概率公式便得到)|()()(30i i i B C P B P C P ∑==＝0.06×0＋0.29×0.2＋0.44×0.6＋0.21×1＝0.532．由上面的讨论可以看出，在使用全概率公式和逆概率公式解题时，“分析题目，正确写出题设，找出(或计算)先验概率和条件概率”是十分重要的．练习：两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率；又：如果任意取出的零件经检查是废品，求它是由第二台机床加工的概率．答案是：0.973；0.25．16.某类电灯泡使用时数在1000 h 以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000 h 以后最多只坏一个的概率．解 这是一个n ＝3，p ＝0.8二项概型问题P 3(μ≤1)＝P (μ＝0)＋P (μ＝1)．17.袋中有10个球，其中2个为白色，从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白球的概率．解 方法1 设A ＝{恰有2个白球}，由古典概型，有310=n , 8232⨯⨯=m ，因此 ⋅⨯⨯=3210823)(A P 方法2 由二项概型，有⋅⨯⨯====321223310823)108()102()2()(C P A P μ18.袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．分析 设A i ＝{第i 次取到白球}，根据古典概型，我们有⋅==104)(110141C C A P 由于 ,)(212111222A A A A A A A ΩA A +=+==并且,94106)|()()(,93104)|()()(1212112121⨯==⨯==A A P A P A A P A A P A P A A P 因此 ⋅=⨯⨯+⨯=1049104634)(2A P 同理 ⋅=104)(5A P 19.有一批产品，其中正品有n 个，次品有m 个，先从这批产品中任意取出l 个(不知其中的次品数)，然后再从剩下的产品中任取一个恰为正品的概率为( )．方法1 设A k ＝{前l 次中恰有k 个正品}，k ＝q ，q ＋1，…，p ；其中q ＝max(l －m ，0)，p ＝min(n ，l )．又设B ＝{第l ＋1个恰为正品}，有,)(,1nm k l m k n k p q q C C C A P ΩA A A +-+==+++ 而 ,)|(11ln m k n C C A B P l n m k n k -+-==-+- 由全概率公式有⋅+==∑=nm n A B P A P B P k k p q k )|()()( 举例说明：(1)n ＝3，m ＝5，l ＝4，这时k ＝0，1，2，3．⋅=+++=8)4/()0306015()(48C B P⋅=+++=8)4/()5609020()(48C B P 方法2 利用抓阄问题的讨论，直接得到⋅+n m n 方法3 前l ＋1次取到正品的概率减去前l 次取到正品的概率(有条件限制，有时使用起来不一定方便)方法4 (全排列方法)令第l ＋1个位置上为正品，由于有n 个正品，故有n 种方法，于是⋅+=+-+=nm n n m n m n B P )!()!1()( 方法5 将第l ＋1次看成第1次，于是⋅+==+nm n C C B P n m n 11)( 20.袋中有5个球，其中1个是红球，每次取1个球，取出后不放回，前3次取到红球的概率为( )．分析 设A ＝{前3次取到红球}，根据古典概型，有⋅==53)(352411C C C A P说明 利用这一结论，可以计算第3次取到红球的概率：P {第3次取到红球}＝P {前3次取到红球}－P {前2次取到红球}⋅=-=-=515253251411352411C C C C C C 注意 这里实际用到了互斥情况下的加法公式．21.设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝∅，P (A )＝P (B )＝P (C )＜21,并且169)(=++C B A P ，求事件A 的概率． 分析 设P (A )＝p ．由于ABC ＝∅，有P (ABC )＝0，根据三个事件两两独立．．．．情况下的加法公式，有P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (A )P (B )－P (B )P (C )－P (A )P (C )＋P (ABC )， 即 ,1690332=+-p p 亦即 ,01632=+-p p 解得 41=p 或43(由题意舍去)．于是 ⋅=41)(A P 说明 (1)三个事件两两独立，不能推出三个事件相互独立．(2)由ABC ＝⇒∅P (ABC )＝0，反之不真．22.设P (A )＞0，P (B )＞0，证明(1)若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥．(2)若A 与B 互斥，则A 与B 不独立．分析 (1)由于事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，因此P (AB )＝P (A )P (B )＞0．可见，AB ≠∅，即事件A 与B 不互斥(相容)．(2)由于事件A 与B 互斥，即AB ＝∅，因此P (AB )＝0，而P (A )＞0，P (B )＞0，故P (AB )≠P (A )P (B )，即事件A 与B 不可能相互独立．说明 (1)事件之间相互独立，并不意味着它们互斥，反之亦然．(2)在P (A )＞0，P (B )＞0的条件下，两个事件独立与否，是在它们相容情况下讨论的．(3)事件的“互斥”与“相互独立”是没有关系的两个“关系”．23.设A ，B 是两个随机事件，且0＜P (A )＜1，P (B )＞0，)|()|(A B P A B P =，则P (AB )＝P (A )P (B )．分析 由公式()()()(|),(|),()()1()P AB P AB P AB P B A P B A P A P A P A ===- 由题设 ),|()|(A B P A B P =即,)(1)()()(A P B A P A P AB P -= 于是，有 ()()(()())()()()(),P AB P A P AB P AB P A P AB AB P A P B =+=+=即A 、B 相互独立．说明 (1) )|()|(A B P A B P =是A ，B 独立的一个充要条件．(2)若此题换成下述选择题：设……，则______ (A)).|()|(B A P B A P = (B)(|)(|).P A B P A B =/(C)P (AB )＝P (A )P (B )． (D )P (AB )≠P (A )P (B )．时，能否认为(A )与(B )，或(C )与(D )之中必有一个成立．24.设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为41，仅有B 发生的概率为41，则 P (A )＝______，P (B )＝______．分析 方法1 因为P (A )＞0，P (B )＞0，且A 与B 相互独立，所以AB ≠∅(想一想为什么)．一方面P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )； (1－6)另一方面).()(21)()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A P +=++=+ (1－7) 由于)()(B A P B A P =，有 ),()()()(B P AB B A P AB B A P A P =+=+=于是由式(1－6)，式(1－7)有,))((21))(()(222A P A P A P +=- 即 ⋅===-21)(,21)(,41))(()(2B P A P A P A P 方法2 因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立．由于)()(B A P B A P =，有P (A )＝P (B )，于是,41))(1)(())(1)(()()()(=-=-==A P A P B P A P B P A P B A P 因此 ⋅==21)()(B P A P 问题 比较上述两种方法，哪个更简单一些，还有没有其他方法？25.设随机事件A 与B 的和事件的概率为0.6，且积事件B A ⋅的概率为0.3，则事件A 的概率P (A )＝( )．分析 因为B A B A +=⋅，所以.4.06.01)(1)()(=-=+-=+=⋅B A P B A P B A P又因为,)(B A B A B B A ΩA A +=+==故 .7.04.03.0)()(=+=+=B A B A P A P26.甲、乙两封信随机地投入标号是1，2，3，4，5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只投入一封信的概率为( )．分析 这是一个古典概型问题，有1422,5C m n ⨯==，因此P (A )＝0.32．问题 (1)如何将信投入信箱转化为在信封上写号问题？ (2)本题是否可用(有放回)摸球问题来解决？27.袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球．从中任取3个，求这3个球中至少有1个是白球的概率．分析 这一个古典概型问题，样本空间中样本点的总数为⋅=310C n方法1 设A ＝{至少有1个白球}，有⋅=++=65)(310063416242614C C C C C C C A P 方法2 设B ＝{取出的全是红球}，有⋅-=-=3104361)(1)(C CC B P A P方法3 先从4个白球中任取一个，然后再从剩下的9个球(有红球又有白球)中任取2个，因此⋅=3102914)(C CC A P问题 上述三种方法都对吗，为什么？28.一批产品共100件，对产品进行不放回地抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有一件是废品．如果在该批产品中有5件是废品，求该批产品被拒绝接收的概率．解 设A i ＝{被检查的第i 件产品是废品}，i ＝1，2，3，4，5；B ＝{该批产品被拒绝接收}．方法1 由于,54321A A A A A B ++++=于是1234512345()1()1()P B P A A A A A P A A A A A =-++++=-1213124123512341()(|)(|)(|)(|),P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A =-而 ,9893)|(,9994)|(,10095)(213121===A A A P A A P A P ⋅==9691)|(,9792)|(432153214A A A A A P A A A A P因此 .23.09691979298939994100951)(=⨯⨯⨯⨯-=B P方法2 .23.01)(1)(5100595=-=-=C C B P B P29.由以往记录的数据分析，某船只在不同情况下运输某种物品，损坏2％，10％，90％的概率分别为0.8，0.15和0.05．现在从中随机地取三件，发现这三件全是好的，试分析这批物品的损坏率为多少？分析 设B ＝{三件都是好的}，A 1＝{损坏率为2％}， A 2＝{损坏率为10％}，A 3＝{损坏率为90％}，则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1∪A 2∪A 3＝Ω．已知P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.15，P (A 3)＝0.05，且3198.0)|(=A B P ， 3290.0)|(=A B P ， 3310.0)|(=A B P ．由全概率公式可知)()|()(31i i i A P A B P B P ∑==05.01.015.090.08.098.0333⨯+⨯+⨯= 8624.0≈．由贝叶斯公式，这批物品的损坏率为2％，10％，90％的概率分别是,8731.08624.08.098.0)()()|()|(3111≈⨯==B P A P A B P B A P,1268.08624.015.090.0)()()|()|(3222≈⨯==B P A P A B P B A P.0001.08624.005.01.0)()()|()|(3333≈⨯==B P A P A B P B A P由于P (A 1|B )比P (A 2|B )，P (A 3|B )大得多，因此可以认为这批货物的损坏率为2％．30.掷两枚匀称的骰子，X ＝{点数之和}，求X 的分布． 答案是：⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡36/136/236/11232~ X 31.设⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=,0,0,0,11)(2x x x x f f (x )是否为分布密度函数？如何改造？解 由于,2πd )(=⎰+∞∞-x x f 所以f (x )不是分布密度函数．令⎪⎩⎪⎨⎧≤>+⋅==.0,0,0,11π2)(π2)(2x x x x f x p则p (x )是分布密度函数．32.设随机变量X 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,)(其他x Cx x p求(Ⅰ)常数C ；(Ⅱ)P (0.3≤X ≤0.7)；(Ⅲ)P (－0.5≤X ＜0.5)．解 (Ⅰ)由p (x )的性质，有,21|2d d )(110210C x C x Cx x x p =⋅===⎰⎰∞+∞-所以C ＝2．(Ⅱ).4.0|d 2)7.03.0(7.03.027.03.0===≤≤⎰x x x X P(Ⅲ).25.0|d 2d 0)5.05.0(5.0025.0005.0==+=≤≤-⎰⎰-x x x x X P问题 若连续型随机变量X 的分布密度函数p (x )为不可求积函数，如何计算P (X ∈D )呢？33.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个，求抽得的次品数X 的分布列和分布函数，并求⋅≤<)2521(X P 解 先求X 的分布列，X 的所有可能取值为0，1，2，由古典概型的概率计算公式知3122113213213323151********(0),(1),(2)353535C C C C C P X P X P X C C C =========⋅ 故X 的分布列为四个区间．当x ＜0时，F (x )＝P (X ≤x )＝0．当10<≤x 时，⋅===3522)0()(X P x F 当12x ≤<时，⋅==+==3534)1()0()(X P X P x F 当x ≥2时，F (x )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1． 综上有X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,3534,10,3522,0,0)(x x x x x F由分布函数可求出⋅=-=-=≤<351335221)21()25()2521(F F X P 34.设连续型随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-,0,0,0,e )(22x x B A x F x求系数A 和B ．解 由lim ()1n F x →+∞=，知A ＝1．再由F (x )在x ＝0处的连续性可知,)e(lim )(lim 02200B A B A x F x x x +=+==-+→→故 B ＝－A ＝－1．35.设连续型随机变量X 的分布函数为()1xAF x e-=+， +∞<<∞-x ， 求(Ⅰ)常数A ． (Ⅱ)X 的分布密度函数p (x )． (Ⅲ)P {X ≤0}．答案是：(Ⅰ)A ＝1．(Ⅱ)2)e 1(e )(x xx p --+= +∞<<∞-x ． (Ⅲ)⋅==<21)0()0(F X P 问题 (1)离散型随机变量的概率分布与分布函数之间有什么关系？(2)连续型随机变量的概率分布密度与分布函数之间有什么关系？ (3)如何利用分布函数计算P (X ∈D )？其中D ＝(a ，b ]． (4)如何确定分布函数中的待定常数？36.设X 服从指数分布，则Y ＝min{X ，2}的分布函数( )．(A)连续． (B)至少有两个间断点． (C)阶梯函数． (D)恰有一个间断点． 答案是：D ．分析 方法1 由题设可知X ～E (λ)，有⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(x x x p x λλ 令X 1＝X ，X 2＝2，则⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧>-≤=-.2,1,2,0)(;0,e 1,0,0)(21x x x F x x x F xλ于是，Y ＝min{X ，2}＝min{X 1，X 2}的分布函数为))(1))((1(1)(21y F y F y F ---=○一⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=-.2,1,20,e 1,0,0y y y y λ 可见它只有一个间断点y ＝2．方法2 从图2－1中，容易看出它只有一个间断点y ＝2．图2－137.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数．解 X 的可能取值为3，2，1．,106/)1(,103/)2(,101/)3(352435233522=========C C X P C C X P C C X P 即X 的分布阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101103106321, 从而X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,109,21,106,1,0)(x x x x x F38.设X ～U (a ，b )，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0,,1)(其他b x a a b x p则⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.,1,,,,0)(b x b x a a b a x a x x F 其图形是一条连续的曲线，见图2－3．图2－339.设X ～N (0，1)，求P (X ＜2.35)，P (X ＜－1.25)以及P (|X |＜1.55)． 解 P (X ＜2.35)＝Ф(2.35)查表0.9906．P (X ＜－1.25)＝Ф(－1.25)＝1－Ф(1.25)＝1－0.8944＝0.1056．P (|X |＜1.55)＝P (－1.55＜X ＜1.55)＝Ф(1.55)－Ф(－1.55)＝2Ф(1.55)－1＝2×0.9394－1＝0.8788．40.设X ～N (1，22)，求P (0＜X ≤5)． 解 这里μ＝1，σ＝2，β＝5，α＝0，有.5.0,2--=-σμασμβ 于是P (0＜X ≤5)＝Ф(2)－Ф(－0.5)＝Ф(2)－[1－Ф(0.5)]＝Ф(2)＋Ф(0.5)－1＝0.9772＋0.6915－1＝0.6687．41.若X ～N (μ，σ2)，求(Ⅰ)P {μ－σ＜X ＜μ＋σ}； (Ⅱ)P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}； (Ⅲ)P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}． 解 (Ⅰ)由于X ～N (μ，σ2)，故)()(}{σμσμσμσμσμσμ----+=+<<-ΦΦX P ＝Ф(1)－Ф(－1)＝2Ф(1)－1＝0.6826≈0.68．同理有：(Ⅱ) P {μ－2σ＜X ＜μ＋2σ}＝2Ф(2)－1＝0.9545≈0.95． (Ⅲ) P {μ－3σ＜X ＜μ＋3σ}＝2Ф(3)－1＝0.9973≈0.99．42.设X ～N (2，32)，求：(Ⅰ)P {－1≤X ≤8}；(Ⅱ)P {X ≥－4}；(Ⅲ)P {X ≤11}． 解 由于X ～N (2，32)，即μ＝2，σ＝3，因此 (Ⅰ)P {－1≤X ≤8}＝P {2－3≤X ≤2＋2×3}＝P {2－3≤X ＜2}＋P {2≤X ≤2＋2×3}}322322{21}3232{21⨯+<≤⨯-++<≤-=X P X P.815.0295.0268.0=+≈(Ⅱ)P {X ≥－4}＝P {－4≤X ＜＋∞}＝P {2－2×3≤X ≤2}＋P {X ≥2}.975.021295.0=+≈(Ⅲ)P {X ≤11}＝P {－∞＜X ≤11}＝P {－∞＜X ≤2}＋P {2≤X ≤2＋3×3}.995.0299.021=+≈43.设X ～N (3，σ2)，并且P (3≤X ≤7)＝0.4，求P (X ≤－1)．答案是：0.1． 分析(略)44.设某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数μ＝10.05，σ＝0.06的正态分布，规定长度在范围(10.05±0.12)cm 内为合格品，求螺栓的次品率．答案是：0．0455(或0．05)． 分析(略)．求Y ＝X ＋1的概率分布．解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即,21)2()2()5(==+-===X P X P Y P ,103)1()1()2(==+-===X P X P Y P ⋅====51)0()1(X P Y P 所以46.设X ～U (0，1)，并且Y ＝X ，求Y 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎩⎨⎧∈=.,0],1,0[,1)(1其他x x p 对于函数y ＝x 2，当x ∈[0，1]时，α＝min{x 2}＝0，β＝max{x 2}＝1，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10*,,0,0)(y y y y F 当0＜y ＜1时)()()()(2y X P y X P y Y P y F ≤=≤=≤=.d 1d 0d )(01y x x x x p yy=+==⎰⎰⎰∞-∞-由 ,21)()()(2yy y F y p ='='=故随机变量Y 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,10,21)(2其他y yy p47.设随机变量)2π,2π(~-U X ，求随机变量Y ＝sin X 的分布密度p 2(y )． 解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.0,],2π,2π[,π1)(1其他x x p因为y ＝sin x 在)2π,2π(-内单调增加，所以存在反函数x ＝arc sin y ，其导数为 ⋅-='211yx y利用公式求出Y 的分布密度函数，首先计算,1}{sin min 2π2π-==≤≤-x x α ππ22max {sin }1,x x β-≤≤== 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-'⋅=-.,0,11|,|))(()(112其他y x y f p y p y⎪⎩⎪⎨⎧<<--=.,0,11,11.π12其他y y 48.X ～U (0，π)，Y ＝sin X ，求p 2(y )．解 X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],π,0[,π1)(1其他x x p0π0πmin{sin }0,max{sin } 1.x x x x αβ≤≤≤≤====当0＜y ＜1时，F (y )＝P (Y ≤y )＝P (sin X ≤y )＝P (0≤X ≤arc sin y )＋P (π－arc sin y ≤X ≤π),sin arc π2y =所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,,11,0,sin arc π20,,0)(y y y y y F 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10,1π2)(22其他y yy p 49.(1).,,2,1,}{N k NAk X P ⋅⋅⋅=== (2) ,!}{k B k X P kλ⋅==k ＝0，1，2，…，λ＞0且λ为常数，试确定常数A 和B ．解 (1)由分布律的性质可知,)(111A N NAN A k X P Nk N k =⋅====∑∑== 因此，A ＝1．于是，X 的分布律为).,,2,1(1)(N k Nk X P === 称这样的分布为离散型的均匀分布．(2)由分布律的性质，有,e !!10λλλ⋅===∑∑∞=∞=B k B k Bkk kk解得B ＝e －λ．于是.e !)(λλ-==k k X P k这表明X 服从参数为λ的泊松分布．50.设平面区域D 是由x ＝1，y ＝0，y ＝x 所围成(如图2－5)，今向D 内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的区域D 1内的概率．图2－5分析 分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D 1的概率．根据几何概型，有11()123()1()32L A P A L Ω-===⋅第二步：设X ＝{落入D 1内的点数}，有),31,10(~B X 于是P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1).)32)(31()32(1911010C --=51.设随机变量X 具有连续的分布函数F 1(x )，求Y ＝F 1(X )的分布函数F 2(y )．(或证明题：设X 的分布函数F 1(x )是连续函数，证明随机变量Y ＝F 1(X )在区间(0，1)上服从均匀分布．)分析 由于F 1(x )为X 的连续分布函数，可知α＝min{F 1(x )}＝F 1(－∞)＝0， β＝max{F 1(x )}＝F 1(＋∞)＝1． 因为F 1(x )是单调递增函数，所以11-F (y )存在(单调函数必有单值反函数存在)，因而有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤.1,1,10*,,0,0)()(def2y y y y Y P y F 当0≤y ＜1时，*＝F 2(y )＝P (F 1(X )≤y )＝P (X ≤11-F (y )) ＝F 1(11-F (y ))＝y ．代入F 2(y )表达式有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F 因此，Y 的分布密度函数为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1)(2其他y y p即 ).1,0(~U Y52．设X ～E (2)，证明Y ＝1－e －2X～U (0，1)分析 由于X ～E (2)，因此⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x p x 当x ＝0时，y ＝0＝α；当x →＋∞时，y →1＝β：因为y ＝1－e －2x单调增加，所以其反函数为)1ln(21y x --=，有 .e 21112111212x yy y x =-=---='方法1(公式法)⎩⎨⎧≤≤'=--.,0,10|,))((|))(()(1112其他y y f y f p y p⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⋅=-.,0,10,e 21e 222其他y xx ⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,1其他y 即Y ～U (0，1)．方法2(定义法) 由分布函数的定义⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1,10*,,0,0)(2y y y y F 当0≤y ≤1时，有))1ln(21()e 1()()(22y X P y P y Y P y F X --≤=≤-=≤=-12(ln(1))211(ln(1))1e 2---=--=-y F y,)1(1y y =--=因此⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=,1,1,10,,0,0)(y y y y y F即Y ～U (0，1)．53.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0],8,1[,31)(32其他x x x fF (x )是X 的分布函数．求随机变量Y ＝F (X )的分布函数．解 易见，当x ＜1时，F (x )＝0；当x ＞8时，F (x )＝1． 对于x ∈[1，8]，有.1d 31)(1332-==⎰xx t t x F设G (y )是随机变量Y ＝F (X )的分布函数．显然，当y ≤0时，G (y )＝0；当y ≥1时，G (y )＝1．对于y ∈(0，1)，有}1{})({}{)(3y X P y X F P y Y P y G ≤-=≤=≤=,])1[(})1({33y y F y X P =+=+≤=于是，Y ＝F (X )的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10,,0,0)(y y y y y G即Y ～U (0，1)．54.设随机变量X ～U (0，5)，求方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的概率． 分析 因为X 在(0，5)上服从均匀分布，故X 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,50,51)(其他x x p方程4x 2＋4Xx ＋X ＋2＝0有实根的条件是∆＝16X 2－16(X ＋2)≥0，即 (X ＋1)(X －2)≥0．解 得X ≤－1或X ≥2．舍去X ≤－1，最后得2≤X ≤5．因此，所求概率为⋅==≤≤⎰53d 51)52(52x X P 问题 本题可否使用其他方法？55. 设随机变量X 的绝对值不大于1，即|X |≤1，且===-=)1(,81)1(X P X P41，在事件{－1＜X ＜1}出现的条件下，X 在(－1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比．试求X 的分布函数F (x )及P (X ＜0)(即X 取负值的概率)．分析 (1)由题设，我们有x ＜－1时，F (x )＝0；x ≥1时，F (x )＝1．以下考虑－1＜x ＜1时的情形．由于1＝P (|X |≤1)＝P (X ＝－1)＋P (－1＜X ＜1)＋P (X ＝1)， 故 ⋅=--=<<-8541811)11(X P 另据条件，有),1(21)11|1(+=<<-≤<-x X x X P 于是，对于－1＜x ＜1，有(－1，x ]⊂(－1，1)，因此P (－1＜X ≤x )＝P (－1＜X ≤x ，－1＜X ＜1)＝P (－1＜X ＜1)P (－1＜X ≤x |－1＜X ＜1)),1(165)1(2185+=+⨯=x x ⋅+=≤<-+-≤=1675)1()1()(x x X P X P x F综上，有⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=.1,1,11,16/)75(,1,0)(x x x x x F (2)P (X ＜0)＝P (X ≤0)－P (X ＝0)＝F (0)＝7/16．56.射击用的靶子是一个半径为R 的圆盘，已知每次射击都能击中靶子，并且击中靶子上任一以靶心为圆心的圆盘的概率与该盘的面积成正比．设随机变量X 表示击中点与靶心的距离，求X 的分布密度函数．分析 根据分布函数的定义及几何概型，由图2－6有图2－6),0(ππ)()(2222R x R x R x x X P x F ≤≤==≤=于是 22()(),xp x F x R='=因此⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2)(2其他R x R xx p 说明 (1)注意其分布函数应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.,1,0,,0,0)(22R x R x R x x x F 57.点随机地落在中心在原点，半径为R 的圆周上，并且对弧长是均匀地分布，求(1)落点的横坐标的概率分布密度函数p 1(x )．(2)落点与点(－R ，0)的弦长的概率分布密度函数p 2(y )． (提示：落点的极角θ均匀地分布在(0，2π)上)分析 设落点的极角为Θ，落点P 的横坐标为X ，落点与(－R ，0)点的弦长为Y ，则由题设可知Θ～U (0，2π)，即()1,02π,2π0,.p θθΘ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩其他 由图2－7不难看出⋅==2cos2,cos ΘR Y ΘR X图2－7(1)定义法试求点P 的横坐标X ＝R cos Θ的密度函数．因为x ＝R cos θ(0≤θ＜2π)不是单调函数，由图2－8得到，使R cos θ≤x 成立的θ应满足⋅-≤≤Rx R x cos arc π2cosarc θ图2－8于是，对－R ≤x ≤R ，有θθθd )()cos ()()(cos ΘxR X p x ΘR P x X P x F ⎰≤=≤=≤=⋅-==⎰-Rx Rx Rx os arcc π11d 2π1arccosπ2arccosθ 对x ＜－R ，有.0)()cos ()()(=∅=≤=≤=P x ΘR P x X P x F X对x ＞R ，有,1)()cos ()()(==≤=≤=ΩP x ΘR P x X P x F X即⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤=.,1,,cos arc π11,,0)(R x R x R R xR x x F X 所以X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=.,0,,π1)()(22其他R x R x R x F x p X X(2)公式法设θ∈(－π，π)．由,2cos 2θR y =有当0≤θ≤π时，单调递减，⋅--='=2242,2cosarc 2y R R y y θθ 当－π≤θ≤0时，单调递增，2arccos,2y y R θθ=-=' 可见p Y (y )＝P θ(f －1(y ))|y y f'-))((1|⋅-=--+-=22222241π2|42|2π1422π1yR y R y R 因此⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=.,0,20,4π2)(22其他R y y R y p Y58.设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=.,0],6,3[,92],1,0[,31)(其他x x x p若使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是________． 分析 由图2－9可知图2－9,32)36(92)63(=-⨯=≤≤X P 因此k ∈[1，3]时，⋅=≤≤=≥32)63()(X P k X P 59.设随机变量X 的分布函数为F (x )，则Y ＝－2ln F (X )的概率分布密度函数P Y (y )＝______．分析 用定义法求出Y 的分布，首先求出Y 的分布函数． 当y ＞0时，有F (y )＝P (Y ≤y )＝P (－2ln F (X )≤y ))e )((2y X F P -≥= ))e ((21y F X P --≥= ))e ((121y F F ---=.e 12y--=当y ≤0时，F (y )＝0．因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0,0,e 1)(2y y y F y 再求出Y 的分布密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-.0,0,0,e 21)()(2y y y F y p yY60.设)2π,2π(~-U X ，并且y ＝tan x ，求Y 的分布密度函数p (y )． 分析 由)2π,2π(~-U X ，有⎪⎩⎪⎨⎧-∈=.,0],2π,2π[,π1)(1其他x x p 下面利用公式法求出Y ＝tan X 的分布，为此先求出：α＝－∞，β＝＋∞．,tan arc )(1y y f x ==-⋅+='='-2111))((yy f x y y 于是有121()(())|(1'())|y p y p f y f y --=⋅').(11.π12+∞<<-∞+=y y61.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，则(X ，Y )的联合分布及边缘分布为62.设(X ，Y )的联合分布密度为⎩⎨⎧≥≥=+-.,0,0,0,e ),()43(其他y x C y x p y x试求：(1)常数C . (2)P {0＜X ＜1，0＜Y ＜2}． (3)X 与Y 的边缘分布密度p 1(x )，p 2(y )．解 (1)由p (x ，y )的性质，有y x C y x y x p y x d d e d d ),(1)43(0+-+∞+∞+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰==3401e d e d ,12x y C x y C +∞+∞--=⋅⋅=⎰⎰ 即C ＝12．(2)令D ＝{(x ，y )|0＜x ＜1，0＜y ＜2}，有y x y x p D Y X P Y X P Dd d ),(}),{(}20,10{⎰⎰=∈=<<<<).e 1)(e 1(d e d e 12d d e 128342310)43(----+---===⎰⎰⎰⎰y x y x y x y x D(3)先求X 的边缘分布：①当x ＜0时，p (x ，y )＝0，于是10()(,)d 0.p x p x y y +∞==⎰②当x ≥0时，只有y ≥0时，p (x ，y )＝12e－(3x ＋4y )，于是⎰+∞∞--+-==.e 3d e 12)(3)43(1x y x y x p因此⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 3)(31x x x p x 同理⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,e 4)(42y y y p y 63.设二维连续型随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，其中D ＝{(x ，y ):|x ＋y |≤1，|x －y |≤1}，求X 的边缘密度p X (x )．解 区域D 实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为2，面积S D ＝2，因此(X ，Y )的联合密度是图3－9⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 11111d ,10,21()(,)d d ,01,20,.x x x X x y x p x p x y y y x +--+∞--∞-⎧-≤≤⎪⎪⎪==<≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他即 1,10,()1,01,0,.X x x p x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他 64.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=----.,0,0,0,333),(其他y x C y x F y x y x求(1)常数C ；(2)分布密度p (x ，y )．解 (1)由性质F (＋∞，＋∞)＝1，得到C ＝1．(2)由公式：yx Fy x p ∂∂∂=2),(有3ln 33ln 3,x x y Fx--∂=-∂ .)3(ln 3)3ln 33ln 3(22y x y x x yyx F -----=-∂∂=∂∂∂故 ⎩⎨⎧≥≥=--.,0,0,0,)3(ln 3),(2其他y x y x p y x65.设D 2是x ＝0，y ＝0，y ＝2x ＋1围成的区域，ξ＝(X ，Y )在D 2上均匀分布，求F (x ，y )．答案是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅∈∈-∈+∈-+∈=54232221),(,1,),(,2,),(,)12(,),(,)12(2,),(,0),(D y x D y x y y D y x x D y x y x y D y x y x F 其中区域D 1，D 2，D 3，D 4，D 5如图3－10所示．图3－1066.求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解(1)由公式),3,2,1()(====∑⋅i p x X p p ijji i),2,1()(====⋅j p y Y p p ijij j(2)计算下面各条件概率：,8380.030.0)(),()|(,16380.015.0)(),()|(1121211111======y p y x p y x p y p y x p y x p⋅===16780.035.0)(),()|(11313y p y x p y x p因此，X 关于Y(3)同样方法求出Y 关于X 取值x ＝5的条件分布为67.设二维随机向量(X ，Y )的联合分布密度为.e π1),()52(2122y xy x y x p ++-=求(1)X 与Y 的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解 (1)由公式y y y x p x p y xy x d e π1d ),()()52(21122++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰==)10125(d e 52e e π1222)10125(102x y x y x x +=⎰∞+∞-+-- ,e 5π2πe 52π1224.04.0x x --=⋅=这里应用了.πd e2=-+∞∞-⎰u u 同理，可求得Y 的边缘分布密度为.e π2)(222y y p -=(2)在给定Y ＝y 的条件下，X 的条件分布密度为,e 2π1)(),()|(2)(5.02y x y p y x p y x p +-==而在给定X ＝x 的条件下，Y 的条件分布密度为.e 2π5)(),()|(2)5(1.01y x x p y x p x y p +-==69.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1),2418161=-=考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，⋅===4161241}{1x X P所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为70.设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立． 证 X 的分布函数为⎩⎨⎧≥<=.0,1,0,0)(1时当时当x x x F 设Y 的分布函数为F 2(y )，(X ，Y )的分布函数为F (x ，y )，则当x ＜0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P {X ≤x ，Y ≤y }＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P (∅∩{Y ≤y })＝P (∅)＝0＝F 1(x )F 2(y )．当x ≥0时，对任意的y 有F (x ，y )＝P ({X ≤x }∩{Y ≤y })＝P {Y ≤y }＝F 2(y )＝F 1(x )F 2(y )．因此，对任意的x ，y 均有F (x ，y )＝F 1(x )F 2(y )，即X 与Y 相互独立．71.设(X ，Y )的联合分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=.,0,1||,1||,41),(其他y x xy y x p试证明：(1)X 与Y 是相依的． (2)X 2与Y 2是相互独立的．证 (1)先求X 的边缘分布密度．当|x |＜1时，有⋅=+==⎰⎰-+∞∞-21d 41d ),()(111y xy y y x p x p当|x |≥1时，p 1(x )＝0，因此⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(1其他x x p 同理⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0,1||,21)(2其他y y p 可见，当|x |＜1，|y |＜1时p (x ，y )≠p 1(x )·p 2(y )，所以X 与Y 不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X 2，η＝Y 2，其分布函数分别为F 1(x )和F 2(y )，于是当0≤x ＜1时，有)()()(21x X x P x X P x F ≤≤-=≤=⎰-==x x x x ,d 21因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(1x x x x x F同理可求得Y 2的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2y y y y y F如图3－11所示，将Oxy 平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F 3(x ，y )，则图3－11①当x ＜0或y ＜0时，F 3(x ，y )＝0． ②当0≤x ＜1，y ≥1时，.)(),(),(2223x x X P y Y x X P y x F =≤=≤≤=③当0≤y ＜1，x ≥1时，同理.),(3y y x F =④当0≤x ＜1，0≤y ＜1时， F 3(x ，y )＝P (X 2≤x ，Y 2≤y )),(y Y y x X x P ≤≤-≤≤-=1d 4sxs t +==⑤当x ≥1，y ≥1时，.1d d 41),(),(1111223=+=≤≤=⎰⎰--y x xyy Y x X P y x F综合起来得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤<≤≥<≤≥<≤<<=.1,1,1,10,10,,1,10,,1,10,,00,0),(3y x y x xy x y y y x x y x y x F 或不难验证，对于所有x ，y 都有F 3(x ，y )＝F 1(x )·F 2(y )，所以ξ与η相互独立，即X 2与Y 2相互独立．72. 设(X ，Y )的联合分布为求(Ⅰ)Z 1＝X ＋Y ；23解 (Ⅰ)Z 1＝X ＋Y 的正概率点为0，1，2，3．因为。
《概率论与数理统计》例题
故这只次品来自第2 家工厂的可能性最大 .
用寿命超过 例2 按规定, 某种型号电子元件的使 1500 小时的为一级品. 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 20只. 问20只元件 中恰有 k 只( k 0,1,,20) 一级品的概率是多少 ?
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现. 解 (8) ABC ABC ABC ABC;
(9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 故 P ( B A) P ( B ) . 2 A B ( 2) 由图示得 S P ( B A) P ( B ) P ( A) 1 1 1 B A . S 2 3 6
解
第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 FY ( y ).
FY ( y ) P{Y y } P{2 X 8 y }
y 8 y8 P{ X } 2 f X ( x)d x 2
第二步 由分布函数求概率密度.
( y) fY ( y ) Fy
[
y 8 2
2 3 2 1 3 3 3
3
2 20 1 . 3 27
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案概率论与数理统计是应用广泛的数学学科，用于研究随机现象的规律与统计推断。
下面为您提供一系列概率论与数理统计试题及答案，希望能对您的学习和理解有所帮助。
题目一：某超市近一周每天销售的商品数量数据如下：23、45、17、34、26、37、19。
1. 请计算这组数据的平均值、中位数和众数。
2. 计算数据的方差和标准差。
答案一：1. 平均值 = (23 + 45 + 17 + 34 + 26 + 37 + 19) / 7 = 26中位数 = 排序后的中间值 = 26众数 = 无，因为没有重复的值2. 计算方差：方差 = [(23-26)² + (45-26)² + (17-26)² + (34-26)² + (26-26)² + (37-26)²+ (19-26)²] / 7= (9 + 361 + 81 + 64 + 0 + 121 + 49) / 7= 140 / 7= 20题目二：一辆汽车在高速公路上行驶，每小时的速度数据如下：100、90、110、80、120。
请计算这组数据的以下统计量：1. 平均速度2. 速度的中位数3. 速度的众数4. 方差和标准差答案二：1. 平均速度 = (100 + 90 + 110 + 80 + 120) / 5 = 1002. 排序后的速度数据为：80、90、100、110、120。
中位数 = 1003. 众数 = 无，因为没有重复的值4. 计算方差：方差 = [(100-100)² + (90-100)² + (110-100)² + (80-100)² + (120-100)²] / 5= (0 + 100 + 100 + 400 + 400) / 5= 200题目三：甲乙两枚硬币独立抛掷一次，甲的硬币正面向上的概率为0.4，乙的硬币正面向上的概率为0.6。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
概率论与数理统计习题及答案
概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计是数学中的重要分支，涉及到随机现象的规律性和不确定性的研究。
通过习题的练习和答案的掌握，可以帮助我们加深对这门学科的理解和应用。
本文将从概率论和数理统计两个方面，介绍一些常见的习题及其答案，帮助读者更好地掌握这门学科。
一、概率论习题及答案1. 一个骰子被掷一次，求出现奇数的概率。
答案：骰子有6个面，其中3个是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率为3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
答案：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率为13/52=1/4。
3. 甲、乙两个人轮流掷硬币，甲先掷，掷到正面则甲胜，掷到反面则乙胜，求甲胜的概率。
答案：甲先掷硬币，掷到正面的概率为1/2，乙再掷硬币，掷到正面的概率也为1/2。
所以甲胜的概率为1/2*1/2=1/4。
二、数理统计习题及答案1. 一批产品的重量服从正态分布，均值为10kg，标准差为2kg。
从中随机抽取一件产品，求其重量大于12kg的概率。
答案：首先计算出标准差的Z值，Z=(12-10)/2=1。
然后查找标准正态分布表，得到Z=1时的概率为0.8413。
所以重量大于12kg的概率为1-0.8413=0.1587。
2. 一家电商平台的用户购买金额服从指数分布，平均购买金额为100元。
求一个用户购买金额小于50元的概率。
答案：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为参数。
平均购买金额为100元，所以λ=1/100。
将x=50代入概率密度函数，得到f(50)=1/100*e^(-1/2)=0.0067。
所以一个用户购买金额小于50元的概率为0.0067。
3. 一批产品的寿命服从正态分布，均值为1000小时，标准差为200小时。
求寿命在800-1200小时之间的产品所占的比例。
答案：首先计算出800和1200的标准差Z值，Z1=(800-1000)/200=-1，Z2=(1200-1000)/200=1。
概率论与数理统计例题
第一章第一节例1：甲、乙、丙三个射手击中目标的事件分别记作A 、B 、C ，试替用A 、B 、C 表示以下事件。
1) 甲击中目标，乙、丙未击中；2) 三个人中恰有一个人击中目标；3) 三个人中至少有一个击中目标；4) 三个人中恰有两个人击中目标；5) 三个人中至多一个人击中目标；6) 三个人都击中了目标；7) 三个人都未击中目标。
解：1) C B A2) C B A C B A C B A3) C B A C B A C B A C AB C B A BC A ABC ，或A B C 4) C AB C B A BC A5) C B A C B A C B A C B A ，或C B C A B A6) ABC7) C B A 或C B A例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标（i ＝1，2，3），试用文字叙述叙述下列事件：1A 2A ，2A ，3A －2A ，C B A 。
解：1A 2A ：前两次射击中至少有一次击中目标；2A ：第二次射击未中目标；3A －2A ：第三次击中目标但第二次未击中目标；C B A ＝A B C ：三次射击中至少有一次击中目标。
第二节例1：同时掷两枚硬币，求出现一正一反的概率。
解：试验样本空间 ＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝，因此有四个基本事件且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型问题。
设A 表示事件“出现一正一反”，则事件A 包含两个基本事件（正，反）、（反，正），所以)(A P =42=21 例2：一批产品中有7件正品和3件次品，现从中任取两次，每次任取一件产品，考虑下面两种抽样方式：（a ）第一次取出一件产品，观察是否合格后放回，混合后再取第二件。
这种抽样方式称为有放回抽样。
（b ）第一次取出一件产品不放回，第二次从剩下的产品中再取一件。
这种抽样方式称为无放回抽样。
分别就以上两种情况求：1) 取到的两件都是次品的概率；2) 取到的两件是一件正品一件次品的概率。
概率与数理统计典型例题
《概率与数理统计》第一章 随机事件与概率典型例题一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==，则()________.P AB C -=2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次取到红球的概率.（a a b+） 2.从数字1,2,,9中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的概率.（58419n n nn+--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率.5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)!n kk k =-∑）6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25）7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于316的概率.（13ln3 416+）三、事件独立性1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是316，试求()P A.2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和13.（1）求甲取胜的概率；（2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（95;5414ppp=+）四、条件概率与积事件概率的计算1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中至少有一次取到正品.（28741644;;;; 45954545）2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1）五、全概率公式和贝叶斯公式概型1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.（2690; 51421）2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参数为1i λ=+的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）若已知该设备寿命超过1，则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率.（1123123892189;110111108920e e e e e e e-------++++） 六、伯努利试验1.甲袋中9个白球与1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中，这样做了3次，试求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n 台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有k 台能出厂的概率.（(0.94)(0.06)k k n k n C -）综合题1.某段时间00[,](0)t t t t +>内，证券交易所来了k 个股民的概率为(),0,1,2,,0!kt t e k k λλλ-=>，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立.（1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内，交易所共有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率. （(1)[(1)],();()!!0,m rt p rtp t p e m r tp e m r r m r λλλλ----⎧-≥⎪-⎨⎪<⎩） 2.三架飞机（一架长机，两架僚机）一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地需要无线电导航，而只有长机有这种设备。
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
这篇文档将提供一系列概率论与数理统计的复题和答案。
以下是一些例题，供您练和巩固知识。
1. 一个骰子投掷三次，计算以下事件的概率：
- A：至少有一次出现6点
- B：三次投掷的和为18点
答案：
- A的概率 = 1 - (5/6) * (5/6) * (5/6) = 91/216
- B的概率 = 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216
2. 一批商品的质量服从正态分布，均值为80，标准差为5。
从中随机取一件，计算以下事件的概率：
- A：质量在75到85之间
- B：质量小于70
答案：
- A的概率 = P(75 < X < 85)，其中X服从均值为80，标准差为5的正态分布，可通过查表或计算得到概率值。
- B的概率 = P(X < 70)，同样需要查表或计算。
3. 在某次调查中，有50%的受访者表示会购买某个产品。
从100位受访者中随机选择10人，计算以下事件的概率：- A：恰好有5人表示会购买该产品
- B：至少有8人表示会购买该产品
答案：
- A的概率 = C(10, 5) * (0.5)^5 * (0.5)^5 = 0.2461，其中C为组合数。
- B的概率 = P(X >= 8)，其中X服从二项分布，可通过计算得到概率值。
这些复习题可以帮助您巩固概率论与数理统计的知识。
建议您自行尝试计算答案，并对比参考答案进行学习。
祝您学习顺利！。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
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《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
由事件的独立性的定义知，若()()()P AB P A P B =，则事件A 、B 相互独立。
选项B 的条件是AB φ=，故有()()P AB P 0φ==，但题设条件是，故,即()0,()0P A P B >>0()()()0P AB P A P B =≠>A 、B 一定不独立，从而选项正确，选项D B 不正确。
而选项条件为C AB φ≠，即()P AB 0≠，则有可能()()()P AB P A P B =，选项正确。
C 故应选B 。
注：事件的相容性与独立性有本质的区别，独立性要求事件发生的概率满足一定的关系，即由事件发生的概率的角度来描述事件之间的关系；而两事件不相容仅仅要求两事件不能同时发生，即由事件本身来描述事件之间的关系。
记住这一点区别就能以不变应万变。
本例还可去掉条件“”改成如下表述()0,()0P A P B >>对于任意两事件， A B 和是正确的。
（A ）若AB φ≠，则A 、B 一定独立。
（B ）若AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若C AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
答案仍选项B ，还是从相容与独立的定义出发即可解决。
例4．下列各命题中， 为真命题。
（A ）若，则()0P A =A 为不可能事件。
（B ）若A 与B 相互独立，则()1()P A P B =−。
（）若C A 与B 互不相容，则(P A B 1=∪。
（） 设为个事件，若对D 12,,,n A A A n ,,1,2,,i j i j n ∀≠= ，均有 ()()(i j i j P A A P A P A =)，则相互独立。
12,,,n A A A 分析：此问题仍旧考察各种概念的区别，由定义解决。
解：选项A 考察的是不可能事件，在随机试验中，一定不发生的事件叫不可能事件，记作φ。
显然()0P φ=。
但反过来，概率为0的事件不一定是不可能事件。
故选项A 不正确。
由例3给出的事件独立性定义易见，选项B 的结论未必成立。
对于选项，若C A 与B 互不相容，则AB φ=，从而()()1()1()P A B P AB P AB P φ==−=−∪1=。
而选项考察的是多个事件相互独立与两两独立概念的区别，显然给出的描述是两两独立，并非相互独立。
若对任意的D 12,,,n A A A (1)k k n <≤及任意的，有121k i i i n ≤<<<≤ 1212()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A ()= ，则称相互独立。
显然，n 个事件相互独立一定两两独立，反之不真。
从而选项正确。
12,,,n A A A C例5． 设是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论肯定正确的是 A B 和。
（A ）A 与B 不相容。
（B ）A 与B 相容。
（C ）。
（）()()()P AB P A P B =⋅D ()(P A B P A )−=分析：此问题仍旧考察相容性与独立性的区别，以及一个常用公式。
解：由题设知，，以及()0P A >()0P B >AB φ=，则知()()P AB P 0φ==，显然选项不正确。
当为任意两个概率不为零的互逆事件时，则C A B 和A 与B 不相容，但选项B 也有可能发生，故两结论都不一定正确。
而 A B A AB −=−，故有 ()()()()()P A B P A AB P A P AB P A −=−=−=，即选项正确。
D 注：公式A B A AB −=−是个常用公式，也是非常好用的公式。
例6．从6副不同的手套中任取4只，问其中恰有一副配对的概率是多少？ 分析：这是典型的古典概率问题。
解法一：先选1副，从其余5副中选2只不配对的。
从而1226541221633C C p C ==。
解法二：“全体” — “恰好2副” — “全不配对”。
从而4244126641221633C C C p C −−==。
解法三：先选1副，后选2只但不能配对。
从而1216105412[]1633C C C p C −==。
解法四：先选1副，从余下的10只中选1只，再从与其不配对的8只中选1只，后两次选法有重复。
从而111610*********C C C p C ==。
解法五：“至少1副” — “恰好2副”。
从而1211610654121633C C C C p C −==。
解法六：考虑顺序，在某两个位置上出1副。
从而24412121081633p C A ××=⋅=。
注：本题有多种解法，它们从不同角度或用不同公式，算出同一答案。
现在列出若干种，不再一一指明所用的样本空间，也不详细计算有利场合数，仅点明解题思路。
例7．在线段AB 上任取不同的三点12,,3x x x ，求2x 位于1x ，3x 之间的概率。
分析：由于是在线段上任取三点，所以任何事件发生的概率显然相等，这还是古典概率的计算问题。
解法一：设1A ：“1x 位于2x 与3x 之间”， 2A ：“2x 位于1x 与3x 之间” ，3A ：“3x 位于1x 与2x 之间”，则事件1A ，2A ，3A 是对称的，其发生的可能性是相等的，且1A ，2A ，3A 中任意两个事件之间是互斥的。
故取只有3个样本点的样本空间123{,,}A A A Ω=，而要求的概率即为21()3P A =。
解法二：此题的样本空间也可取为含有6个样本点的样本空间，即设1A ：“123x x x <<”， 2A ：“132x x x <<”， 3A ：“213x x x <<”， 4A ：“231x x x <<”，5A ：“312x x x <<”， 6A ：“321x x x <<”，则1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 是对称的，其发生的可能性是相等的，且其中任意两个事件之间是互斥的。
所以123456{,,,,,}A A A A A A Ω=。
此时要求的事件“2x 位于1x ，3x 之间”的概率即为1616111()()()663P A A P A P A =+=+=∪。
注：对于样本空间的选取因题、因人而异，但要注意的是样本空间选取不同的情况下，相应事件包含的样本点数肯定也要随之发生改变。
另外，此题还可改为“在线段AB 上任取不同的三点123,,x x x ，求事件123x x x <<发生的概率”， 此时需用到解法二中的样本空间，要求的概率恰为11231(){}6P A P x x x =<<=。
进一步，还可将这两个问题推广到个点，即在线n段AB 上任取个不同的点n 12,,,n x x x ，求事件12n x x x <<< 发生的概率，更进一步可求事件12n i i i x x x <<< （是1,的一个排列）发生的概率。
显然解法二中的12,,,n i i i 2,,n 1,,6A A 对应着12,,3x x x 的全排列，因此我们可设个事件!n 12,,,n !A A A 对应着12,,,n x x x 的全排列，他们也是处于对称平等的位置上，因而12121{}{!n n i i i P x x x P x x x n <<<=<<<=}。
例8．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件A ={两人能会面}的概率。
分析：由于两人在1小时内到达预定地点的时间是等可能的，两人能够会面相当于先到的人到达后，第二个人必须在20分钟内到达。
该问题属于几何概型问题。
解：设、分别表示两人到达预定地点的时刻，那么两人到达时间的一切可能结果对应边长为60的正方形里所有点，而x y 两人能会面的充要件条是20x y −≤，即20x y −≤且x y −从而20≥−，222(40A µ)605()()609P A µ−===Ω。
：这是几何概率计算中常见的问题之一，会面问题，另外常利用几何方法来计算的概率题目还有许多。
例如“在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件‘两数之和大于注65’的概率是多少？”或改求“两数之差或积或商大于6或小于56”的概率等等。
5例9．（蒲丰投针问题）平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于，向此平面任投一长度为的针，是求此针与任一平行线相交的概率。