高考数学一轮复习学科素养培优三构造法解抽象函数问题课件理新人教版

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高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第11讲抽象函数课件文

(1)证明：令 x＝y＝0，则有 f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0. 令 y＝－x，则有 f(0)＝f(x)＋f(－x)，即 f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)解：当－3≤x≤3 时，f(x)有最值，理由如下：任取x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0. 且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0. ∴f(x1)>f(x2)． ∴y＝f(x)在 R 上为减函数．因此 f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. ∴函数的最大值为 6，最小值为－6.
f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0.故选 D.
考点 2 对数函数型抽象函数例 2：已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，对定义域内的任意 x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1 时 f(x)>0， f(2)＝1. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式 f(2x2－1)<2.
型、指数函数型、对数函
数型抽象函数的解析式
及基本性质
解析式抽象函数
的类型
等价形式
实例
抽象函数
f(x1＋x2)＝ f(x1)＋f(x2)
f(x1·x2) ＝f(x1)＋f(x2)
正比例函数型对数函数型
f(x1－x2)＝ f(x1)－f(x2)
f(x)＝2x
f

x1 x2
＝
f(x1)－f(x2)
A．f(0)＝0 C．f(1)＝12f(2)

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第13讲抽象函数课件理

(1)f(1)＝____0__； (2)若 f(8)＝3，则 f(
1 )＝2 _____.2
12/13/2021
第五页，共二十九页。
考点(kǎo di正ǎn)比1 例函数(hánshù)型抽象函数(hánshù) 例1：设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问当－3≤x≤3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有(méi yǒu)，说出理由.
(2)判断单调性小技巧：设 0<x1<x2，则 f (x2)＝f x1·xx21＝f (x1) ＋f xx21>f (x1)，f (x)是增函数.
12/13/2021
第十四页，共二十九页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2.对于函数 f(x)定义域中任意 x1，x2(x1≠x2)有如下结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)； ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③fxx11－－xf2x2>0； ④fx1＋2 x2<fx1＋2 fx2. 当 f(x)＝lg x 时，上述结论(jiélùn)中正确的是____②__③_(填序号).
π 2
＝0，若对于任意实数 x，y，恒有 f (x)＋f (y)＝2f x＋2 y·f x－2 y.
(1)求证：f (x＋2π)＝f (x)；
(2)求证：f (x)＝f (－x)；
(3)求证：f (2x)＝2f 2(x)－1.
12/13/2021
第二十二页，共二十九页。
证明：∵f (0＋0)＋f (0－0)＝2f (0)f (0)，∴f 2(0)＝f (0). ∴f (0)＝0(舍)，f (0)＝1. (1)∵f (x＋π)＋f (x)＝2f 2x＋ 2 π·f π2＝0，∴f (x＋π)＝－ f(x). ∴f (x＋2π)＝f [(x＋π)＋π]＝－f (x＋π)＝f (x). (2)f (x)＋f (－x)＝2f x－2 x·f x＋2 x＝2f (0)·f (x)＝2f (x)， ∴f (x)＝f (－x). (3)f (2x)＋f (0)＝2f 2x＋ 2 0·f 2x－ 2 0＝2fx2，故 f (2x)＝2f 2(x)－1.

新高考一轮复习人教A版第二章第一讲函数的概念及其表示课件(43张)

个交点.
题组一走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的函数.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
(3)已知 f(x)＝5(x∈R)，则 f(x2)＝25.( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
B.y＝ 3 x3 ＋1
D.y＝ x2＋1
题组三真题展现
4.(2019 年上海春季)下列函数中，值域为[0，＋∞)的
是( ) A.y＝2x
1
B.y＝x 2
C.y＝tan x
D.y＝cos x
答案：B 5.(2020 年北京)函数 f(x)＝x＋1 1＋ln x 的定义域是 ________.
答案：(0，＋∞)
所以 f(15)＝f(－1)＝12，因此 f(f(15))＝f12＝cos
π4＝
2 2.
答案：
2 2
考向 2 分段函数与方程、不等式问题
[例 5](1)设函数 f(x)＝32xx，－xb≥，1x.<1，若 ff56＝4，则
b＝( )
A.1
B.78
C.34
D.21
解析：f56＝3×56－b＝52－b，若25－b<1，即 b>23，则 ff56＝f25－b＝352－b－b＝4，解得 b＝87，不合题意舍去.若52－b≥1，即 b≤23，则 252－b＝4，解得 b＝12.
原不等式化为 2x＋x＋21>1，该不等式恒成立；
当
x>12时，f(x)＋fx－12＝2x＋2

人教版高中数学高考一轮复习--函数的概念及其表示(课件)

202X
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第11讲抽象函数课件理

f(1)＝f12＋12＝f12＋f12＝2f12， ff((x2))f＝(－f(x1)＋＝1－)＝[f(fx(1)])2＋≤0f(.1故)＝选2Df(1. )，∴f(1)＝12f(2)．
第十页，共24页。
考点(kǎo对di数ǎn函)数2(duìshùhán shù)型抽象函数
例 2：已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，对定义域内的任意(rènyì) x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1 时 f(x)>0， f(2)＝1.
f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数 f(x)是增函数．
第十九页，共24页。
【互动(hù dònɡ)探究】
3．对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③fxx11－－xf2x2>0； ④fx1＋2 x2<fx1＋2 fx2. 当 f(x)＝lgx 时，上述(shàngshù)结论中正确的序号是②___③_____．
第十五页，共24页。
考点(kǎo 指di数ǎn函) 数3 型抽象(chōuxiàng)函数
例 3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时， f(x)>1，且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
③
fx1－fx2 x1－x2
>0；
④
fx1－1
x1
<0(x1≠0)；
1
⑤f(－x1)＝ fx1.
当 f(x)＝2x 时，上述(shàngshù)结论中正确的序号是_______.

2024年高三培优讲义5-抽象函数赋值与构造

专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .16．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .17．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x y f x f y =++−=，则()8f = .18．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f = ．19．（2024届厦门一中校考）若定义域为R 的奇函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =++−，且(1)2f =，则(2024)f = ．20．函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R ，恒有()()222x y x y f x f y f f +−⎛⎫⎛⎫+=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()112f =，则()1f −= ，()20221n f n ==∑ ．深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题21．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +−=−，()13f =，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（） A ．()f x 为偶函数 B ．()23f = C ．()()33f x f x +=−−D ．()202313k f k ==∑专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xyf x f y ()=af x x所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误. 方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120e x −<<；令0fx，得12e x −>；故()f x 在120,e −⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e −⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e −⎛⎫ ⎪⎝∞⎭−上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .2023·山东青岛·统考三模1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．重点题型·归类精讲【答案】1−【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f −，令1y =和y x =−可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =−，则()()()()22212111f f f f =+−=−=，又()10f −<，()11f ∴−=−；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+−=−，f x 关于直线1x =对称；令y x =−，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++−−=+−+=⎡⎤⎣⎦， ()10f x +=不恒成立，()()0f x f x ∴+−=恒成立，f x 为奇函数，()()()2f x f x f x +=−=−，()()()42f x f x f x ∴+=−+=，f x 是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯−=−=−.故答案为：1−.2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =−，可得(0)()()0f f x f x =+−=，所以()()f x f x =−−，所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x −=+−=−，因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x −<，即()()0f y f x −<，所以()f x 在()()0,,,0+∞−∞均递减，因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f −=；令1y =，可得()()12f x f x +=− ()24f =−，()36f =−；()3(3)6f f =−−=，()f x ∴在[3−，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x −<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++，即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =−，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++−，则2(3)(52)f x f x <−，2352x x ∴>−，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数，所以，再令，得，即，则，即，故，所以函数的周期为，所以，故选：D.4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（） A ．()01f = B ．()12f −= C ．()()2f x f x −= D ．()()f x f x −=【答案】ABD【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =−−+，令0x y ==，得()()()20[0]202f f f =−+，而()02f <，则()01f =，A 正确；令x y ==1，得()()()21[1]212f f f =−+，而()()01f f ≠，则()12f =，令1x y ==−，得()()()21[1]212f f f =−−−+，即()()2[1]21f f −=−，而()0f x >，即()10f −>，则()12f −=，B 正确；令1y =−，得()()()()()112f x f f x f f x −=−−−−+，即有()()()222f x f x f x −=−−+，因此()()f x f x −=，C 错误，D 正确. 故选：ABD5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（）0b =()02f =1b =()()2f a f a +=−()y f x =40b =()()()20f a f a f =()y f x =()02f =1b =()()()()111f a f a f a f ++−=()()110f a f a ++−=()()2f a f a +=−()()2f a f a −=−()()4f a f a =+()y f x =4()()()()202624506202f f f f −=+⨯==−=−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，②正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故③正确；对于D ，若，令，则，则，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，，()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑y x =()()200f x f +≥()f n 20231()n f n =∑0x y ==()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()()22020f f =(0)0f =()01f =(0)0f =0y =()()2()(0)0f x f x f x f +==()0f x =()0f x '=()f x '(0)1f =0x =()()2(0)()f y f y f f y +−=()()−=f y f y ()()f y f y −''−=()()f y f y −='−'()f x '()f x 'y x =()()()2202f x f f x +=()()200f x f +≥x ∈R 2,R t x t =∈()()00f t f +≥()()00f x f +≥()112f =1,0x y ==()()()()11210+=f f f f (0)1f =1x y ==()()()22021f f f +=()()1121,222f f +=∴=−2,1x y ==()()()()31212f f f f =+()113,(3)122f f +=−∴=−3,1x y ==()()()()42231f f f f +=()1141,(4)22f f −=−∴=−4,1x y ==()()()()53241f f f f +=()1151,(5)22f f −=−∴=5,1x y ==()()()()64251f f f f +=()116,(6)122f f −=∴=6,1x y ==()()()()75261f f f f +=()1171,(7)22f f +=∴=7,1x y ==()()()()86271f f f f +=()1181,(8)22f f +=∴=−由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且，故，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则．故选：D2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】C【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.【详解】令，，则，所以；令，，则，所以；令，则，所以，(),N f n n *∈(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f ()00f =()1f ()1f −()()()2f x f y xy f x y ++=+0x y ==()00f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x =1y =−()()()11200f f f +−−==()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1x −()10f −=()12f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x y ==()()22126f f =+=1x =2y =()()()312426412f f f =++=++=()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x 2x =1y =()()()()223121f f f f =−()32f =−3x =2y =()()()()2251324f f f f =−=()52f =2y =()()()222f x f x f x +−=()72f =−()92f =.令，，则①，令，，则②，令，，则③，假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，.同理可得当x 为偶数时，. 所以原式=.故选：C.8．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A ，令，代入已知等式得，得，故A 错误；对于B ，取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B 错误；对于C ，令，，代入已知等式得，可得，结合得，，()()()2112kf k k Z +=−⋅∈3x =1y =()()420f f =4x =2y =()()()2624f f f =5x =1y =()()640f f =()40f ≠()60f =()20f =()60f =()40f ≠()40f ≠()40f =()0f x =()()()()138925f f f f ++++=()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()f x ()()()(),f x g y g x f y 1y =−1y =()()()11f x f x f x ++−=−()f x ()20231n f n =∑0x y ==()()()()()000000f f g g f =−=()00f =()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()3cos 2π10g ==≠()g x ()3,0()21g x +()1,00y =1x =()()()()()11010f f g g f =−()()()()110100f g g f ⎡⎤−=−=⎣⎦()10f ≠()100g −=()01g =再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故C 错误；对于D ，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，，所以，所以，故D 正确.故选：D.【点评】：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（） 0x =()()()()()00f y f g y g f y −=−()00f =()01g =()()f y f y −=−()f x 1x =1y =−()()()()()21111f f g g f =−−−()()11f f −=−()()()()2111f f g g =−+⎡⎤⎣⎦()()()221f f f =−−=−()()()()1111f f g g −=−+⎡⎤⎣⎦()10f ≠()()111g g +−=−1y =−1y =()()()()()111f x f x g g x f +=−−−()()()()()111f x f x g g x f −=−()()()11f x f x f x ++−=−()()()21f x f x f x ++=−+()()()12f x f x f x =−+−+()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=()()12f x f x −=+()f x ()11f =()21f −=()()221f f =−−=−()()300f f ==()()()1230f f f ++=()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑,x y ,x y ()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑A ．B ．C ．0D ．【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则，所以，，周期为4，所以.由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以，所以，，所以函数关于点对称，所以，. 令，则.令可得，，所以，所以，所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，，，，. 所以，，所以，. 11−12−212()()()28f x f x f ++=()f x ()20f =()21f x +()y f x =()1,03122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()00f =()80f =5122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2721f ⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()135741442443444402222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211132122222k kf k f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()28f x f x f ++=()()()428f x f x f +++=()()4f x f x +=()f x ()()()840f f f ==()()()28f x f x f ++=0x =()()()()2080f f f f +==()20f =()21f x +()()2121f x f x −+=−+()()11f x f x −+=−+()y f x =()1,0()()2f x f x −=−12x =311222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x =()()200f f =−=()00f =()80f =()()()280f x f x f ++==()()2f x f x +=−12x =511222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32x =731222f f ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1114222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3314222fm f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5514222f m f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7714222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()13574144244344442222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11114142434402222m m m m ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯−++⨯−++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211111321212222212222222k kf k fff f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1112122222⎛⎫=⨯+⨯−=− ⎪⎝⎭故选：B.10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点 D ．若()11f =,则()20232023f =【答案】ABD【分析】利用赋值法,令0x y ==判断A 得正误;令y x =−,结合奇函数的定义判断B 的正误;举例判断C 的正误;令1y =,则()()11f x f x +=+,再利用累加法即可判断D 的正误. 【详解】令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确; 令y x =−，则()()()0f x x f x f x −=+−=，所以()f x 是奇函数，故B 正确;令()f x x =，其定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+满足题意，因为函数()f x x =为R 上的增函数,所以0x =不是()f x 的极小值点,故C 错误;令1y =,则()()11f x f x +=+,即()()11f x f x +−=,()()()()()()()2023202320222022202120212020f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+−+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()21111112023f f f ++−+=++++=⎡⎤⎣⎦,故D 正确.故选:ABD.11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=− D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=【答案】ACD【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可. 【详解】A ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x y ==，则有()()20220f f =⇒=，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x =，则有()()()()()()2200f y f y f f y f x f x −−=+=⇒−−=，因此本选项正确；B ：若()()40f x f x +−=成立，即有()()04f f =，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2x y ==，则有()()()()()24044000f f f f f −=⇒=⇒=，这与()00f ≠相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确； C ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，以x −代y ，得()()()()0222f f x f x f x −=+−+，以x 代y ，得()()()2202f x f f x −=+，上面两个等式相加，得()()()()()()222202220f x f x f x f x f x f x ⎡⎤+++−+=⇒+++−+=⎣⎦()20f x ⇒+=，或()()220f x f x ++−+=，当()20f x +=时，则有()00f =，显然与()00f ≠矛盾，因此()()220f x f x ++−+=，于是有()()()()()()44()8f x f x f x f x f x f x f x =−−⇒+=−−=−⇒+=，因此函数()f x 的周期为8，由()()()202060f f f =⇒−=⇒=，由()()()()440f x f x f f =−−⇒=−，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2,1x y ==，得()()()()()()()()31433103f f f f f f f f −=⇒−=−，令1x y ==，得()()()()()2220330f f f f f −=⇒=−，由()()()()22031f x f x f f ++−+=⇒=−，于是有()()()()()()()()()()2331033023331f f f f f f f f f f ⎧−=−⎪=−⇒=⎨⎪=−⎩，因为()()2300f f =−≠，所以由()()()3223332f f f =⇒=，于是()02f =−，因此()()()()02460f f f f +++=，()()()()()()02420242530202402f f f f f f ++++=⨯+==−，因此本选项正确；D ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令()2N x y n n *==−∈，所以有()()()2240f n f f n −−=，因此有：()()()()22221232024f f f f ++++()()()()()()()()()()2000204040440f f f f f f f f f f =−−+−+−+−++−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为()02f =−，()()220f f −==，()()()()02460f f f f +++=，函数()f x 的周期为8，所以()()()()22221232024f f f f ++++()050620240f ⎡⎤=⨯+⋅−⎣⎦020*******=+⨯=，因此本选项正确，故选：ACD.12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑【答案】BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C ；利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++−=可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B ，当(0)0f =时，令0y =，则()()2()(0)0f x f x f x f +==，则()0f x =，故()0f x '=，函数()f x '既是奇函数又是偶函数；当(0)1f =时，令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +−=，所以()()−=f y f y ，则()()f y f y −''−=，即()()f y f y −='−'，则()f x '为奇函数，综合以上可知()f x '必为奇函数，B 正确；对于C ，令y x = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥.由于x ∈R ,令2,R t x t =∈,即()()00f t f +≥，即有()()00f x f +≥，故C 正确；对于D ，若()112f =，令1,0x y == ，则()()()()11210+=f f f f ，则(0)1f = ，令1x y ==，则()()()22021f f f +=，即()()1121,222f f +=∴=−，令2,1x y ==，则()()()()31212f f f f =+，即()113,(3)122f f +=−∴=−，令3,1x y ==，则()()()()42231f f f f +=，即()1141,(4)22f f −=−∴=−，令4,1x y ==，则()()()()53241f f f f +=，即()1151,(5)22f f −=−∴=，令5,1x y ==，则()()()()64251f f f f +=，即()116,(6)122f f −=∴=，令6,1x y ==，则()()()()75261f f f f +=，即()1171,(7)22f f +=∴=，由此可得(),N f n n *∈的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++= ，故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑，故D 正确，故选：BCD.13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤【答案】ACD【分析】A.通过赋值，求()0f 的值；B.赋值0x =，即可判断函数的奇偶性；C.赋值1y =，利用函数()()()1f x f x g x −+=的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明()24f x ≤，即可判断.【详解】A.令1,0x y ==，有()()()()1110f f f f +=⋅，得()02f =，A 正确；B.令0x =，得()()()()0f y f y f f y +−=⋅，()02f =，则()()−=f y f y ，函数的定义域为R ，所以函数为偶函数，故B 错误；C.令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++−=⋅，即()()()()110f x f x f x f x +++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()1f x f x g x −+=，则()()10g x g x ++=，所以()()()21g x g x g x +=−+=，所以函数()g x 的周期为2，()()()101220g f f =+=−=，()()()3230g f f =+=，…，()()()2023202220230g f f =+=，所以()()()()()0123...20230f f f f f +++++=，()02f =，所以()()()()123...20232f f f f ++++=−，故C 正确， D.由()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，()02f =，12f ，令12x y ==，得()()211002f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将y 换成x ，得()()()220f x f f x +=，①，将,x y 换成12x +，得()()212102f x f f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，②，将x 换成122x +，y 换成12，得()()112122022f x f x f x f ⎛⎫⎛⎫++=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③, ①+②-③,得()()2212042f f x f x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则()24f x ≤，得()22f x −≤≤，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D 选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断()01f =或()00f =，进而判断A ，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C ，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令0x y ==，则()()()()()0020000f f f f f +=⇒=或()01f =，故A 错误，若()01f =时，令0x =，则=20=f y fy f y f fy f y ，此时()f x 是偶函数，若()00f =时，令0y =，则=20=0f x f x f x f f x ，此时()f x 既是偶函数又是奇函数；因此B 正确，令12x =，则()111112=0=022222f y f y f f y f y f y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=⇒++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确，由()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称可得=1f x f x，结合()f x 是偶函数，所以=1=1=2=2f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为2，令12x y ==，则()()11102=022f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12=10=0f f f f ，进而()()()()()122022101112=0f f f f f ⎡⎤+++=⨯+⎣⎦，而()2023(1)(0)f f f ==−，由A 选项知()00f =或()01f =，所以()()()1220230f f f +++=或1−，故D 错误.故选：BC15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再结合()()2f x f x =−求出(1),(2),(3)f f f 即可求解作答. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，由()()()21f x f x f x +=−+−，得(3)(2)(1)(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=，因此函数()f x 是以3为周期的周期函数，且()(1)(2)0f x f x f x ++++=，即(1)(2)(3)0f f f ++=，由()3651f =−，得(2)1f =−，又()()2f x f x =−，(3)(0)(2)1f f f ===−，从而(1)(2)(3)2f f f =−−=，所以20231()674(2(1)(2)3[((1]1)))k f f k f f f f =+=⨯=++=∑.故答案为：216．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .【答案】14【分析】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，构造函数()1cos 23xf x π=求解. 【详解】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数()1cos 23x f x π=，则()111cos 234f π==， ()()()()11cos cos 23323311cos cos 4cos cos 4,332323x y x y f x y f x y x y x y f x f y ππππ⎛⎫⎛⎫++−=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ==⋅⋅=故函数()1cos 23xf x π=满足题意，而函数()f x 是周期2π6π3T ==的函数，()()()120233376114f f f ∴=⨯+==. 故答案为：14.【点睛】：抽象函数可以选择构造函数（特例构造法），此题主要是联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，并且还要根据1(1)4f =构造出合适的函数()1cos 23x f x π=，再由周期性解决问题，达到富有创造力的解题效果。

新高考数学人教版一轮课件第二章第一节函数及其表示

2．设函数f(x)＝ ________．
2x，x＜2， x＋2x3，x≥2，
答案：(0,2)∪(3，＋∞)
若f(x0)＞1，则x0的取值范围是
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题型三分段函数多维探究
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题.
考法(一) 分段函数求值问题
[例1] (1)已知函数f(x)＝floxg＋2x，3，x≥x＜6，6，则f(－1)的值为(
[例1] (多选题)(2021·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标
均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则
称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
其中是一阶整点函数的是( AD )
A．f(x)＝sin 2x
B．g(x)＝x3
C．h(x)＝13x
D．φ(x)＝ln x.
x＋1，－1＜x＜0， 2x，x≥0，
若实数
a满足f(a)＝f(a－1)，则f1a＝( A．2
) B．4
C．6
D．8
(2)设函数f(x)＝ ________．
x2－1，x≥2， log2x，0＜x＜2，
若f(m)＝3，则实数m的值为
[解析] (1)由题意得a≥0且－1＜a－1＜0，即0＜a＜1，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝ a，解得a＝14，则f1a＝f(4)＝8. (2)当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0＜m＜2时，由 log2m＝3，解得m＝23＝8(舍去)．综上所述，m＝2.

新高考一轮复习人教A版2.6 函数的图象课件(50张)

图3
图4
(4)y＝xx22－＋22xx－－11，，xx＜≥00，. 其图象如图 4.
【点拨】画函数图象的一般方法：①直接法：根据函数的特征描出图象的关键点直接作出. ②图象变换法：经过平移、翻折、对称、伸缩等得到，此时应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
作出下列函数的图象： (1)y＝|x2－4x＋3|； (2)y＝2xx＋＋11； (3)y＝10|lgx|.
对于 C，f(x)＝cosx＋|sinx|，有 fπ2＝1，不符合题意；
对于 D，f(x)＝cos2x－|cosx|，其最小正周期为 π，不符合题意. 故选 A.
(2021 温州三模)函数 f(x)＝axe2x＋＋bex－＋x c的图象如图所示，则
()
A. a＜0，b＝0，c＜0 C. a＞0，b＝0，c＞0
考点一作图
作出下列函数的图象：
(1)y＝12|x＋1|＋1；
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； (4)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)先作出 y＝12x的图象，保留 y＝12x图象中 x≥0 的部分，再作出 y＝12x的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象，再向左、上平移一个单位长度可得，如图 1
第二章函数
函数的图象
1. 掌握基本初等函数图象的画法，掌握函数图象平移、对称、伸缩、翻折变换的规则. 2. 会利用函数图象进一步分析研究函数的性质，解决相关问题. 3. 能灵活地以形助数，使抽象问题直观化、生动化，并能以数辅形，使直观图形数量化、精确化，进一步体会数形结合的思想.
【教材梳理】
1. 利用描点法作图的步骤 (1)确定函数定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点并作出函数图象.

2025年高考数学一轮复习第四章 -导数中的构造函数方法数【课件】

列判断一定正确的是( B )
A. 0 < 0 < 2 1
B.0 < 0 < 2 1
C.0 < 2 1 < 0
D.2 1 < 0 < 0
[解析] 设 = + ，则′ = + + ′ > ，所以函数在
上单调递增，所以 − < < ，即 < < .故选B.
= . , = −. ，

⋅
+

′ = − + + −
= − + +
− .令
+

= − + +
− ，则′ = −
−
< 在[−. , . ]上恒成立，
+
+
+
.
= − − + ，则′ = − ，当 ∈ , 时，′ < ，∴ 在
, 上单调递减.
又∵ . = . . − + ，且. > . ，
∴ . > ，∴ . > . > ，∴ − > ，即 > . ∴ > > ，故选B.
A. > >
B. > >
C. > >
D. > >
[解析] 对于和，∵ = . . = . ( − . )， = − = − ，∴
可以构造函数 = − ，则 = . ， = .对求导，得

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.4 函数中的构造问题[培优课]

fx xn
.
跟踪训练1 (2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导
函数为 f′(x) ，对任意正实数 x 满足 xf′(x)>2f(x) 且 f(1) ＝ 0 ，则不等式
f(x)<0的解集是
A.(－∞，1)
B.(－1,1)
C.(－∞，0)∪(0,1)
A.f 56π<－f 76π<－f －π6
B.－f 76π<f 56π<－f －π6
C.－f
－π6<－f
76π<f
5π
6
√D.－f
－π6<f
56π<－f
7π
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sin x，则g(x)为偶函数，又x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，即[f(x)sin x]′>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则有 g－π6＝gπ6<g56π<g76π，即－12f －π6<12f 56π<－12f 76π，即－f －π6<f 56π<－f 76π.
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不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
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高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章函数第8节函数的图象

项 D,当 x=3 时,y= sin 3>0,与图象不符,故排除 D;对于选项 C,当

+
0<x< 时,y=
≤

=cos x≤1,与图象在 y 轴右侧最高点大于
1 不符,所以排除 C.故选 A.
函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断
度得到.( × )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.
(
× )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象
关于y轴对称.(
× )

,
<
0,
2.下列图象是函数y=
的图象的是(
-, ≥
)
√
解析:其图象是由y=x2图象中x<0的部分和 y=x-1图象中x≥0的部分
组成,故C符合题意.故选C.

3.函数y= |-| 的图象大致是(
)
√

解析:y= |-| >0,排除B,C;当x=0时,y=
,当x=2时,y=3,A不

满足,排除.故选D.
4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的
图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=
其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标
轴的交点等),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用
“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,

第3章 §3.4 函数中的构造问题培优课--新高考数学新题型一轮复习课件

不等式f(x)>
1 e2x
的解集为_(_0_，__＋__∞__)_.
构造F(x)＝f(x)·e2x， ∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x ＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0， ∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，不等式 f(x)>e12x可化为 f(x)e2x>1，即F(x)>F(0)，∴x>0， ∴原不等式的解集为(0，＋∞).
则g(3)＝－g(－3)＝－[(－3)2f(－3)]＝0，当x>0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(3)，得x>3，当x<0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(－3)，得－3<x<0，综上，得－3<x<0或x>3，所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(－3,0)∪(3，＋∞).
命题点2 利用f(x)与ex构造
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
1
因为x≥e，a>0，所以e x >1，xa>1，
因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以要使
f
1 ex
≤f(xa)，只需
e
1 x
≤xa，
两边取对数，得1x≤aln x，因为 x≥e，所以 a≥xl1n x.
令h(x)＝xln x(x∈[e，＋∞))，
所以g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以当t＝1时，
g(t)取得极大值即最大值g(1)＝－1，因为当t→0时，g(t)→－∞，所以g(t)∈(－∞，－1]，所以 ln 2a≤－1，所以 0<a≤21e，所以实数 a 的最大值为21e.

高考讲抽象函数课件理ppt

考查抽象函数与其他知识点的综合运用
总结词：难点
详细描述：高考中经常将抽象函数与其他知识点进行综合考查，如函数与导数、函数与微积分、函数与概率统计等。这类题目通常难度较大，需要考生具备扎实的基础知识和较强的综合运用能力。
04
高考中抽象函数的解题策略
熟悉抽象函数的常见题型
函数性质类
考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
注意抽象函数与其他知识点的联系和区别
总结词
融会贯通，举一反三
详细描述
抽象函数往往与其他知识点结合考查，如函数的零点、不等式的解法等，学生需要注意它们之间的联系和区别。
详细描述
在复习时，学生可以将抽象函数与其他知识点进行对比学习，以便更好地理解和掌
握它们之间的联系和区别。
详细描述
此外，学生还需要注意不同题型的特点和解法，如选择题、填空题和解答题等，以便在考试中能够灵活应对各种题型。
《高考讲抽象函数课件理ppt》
xx年xx月xx日
contents
目录
• 抽象函数概述 • 抽象函数的常见问题 • 抽象函数在高考中的考查内容 • 高考中抽象函数的解题策略 • 高考中抽象函数的易错点分析 • 高考中抽象函数的备考建议
01
抽象函数概述
抽象函数的定义
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，其定义通常是一个映射关系，即给定一个输入值，对应一个输出值。
构造函数法
数形结合法
通过构造函数，利用函数的性质解决不等式或最值等问题。
通过图像和数形结合，将抽象函数问题转化为直观的几何或图像问题。
注意抽象函数与其他知识点的联系
与不等式的结合
利用函数的单调性等性质解决不等式的证明和求解问题。

人教A版高考总复习数学精品课件第四章一元函数的导数及其应用素能培优在导数应用中如何构造函数

①对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sin x;
②对于 f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0),构造函数
()
F(x)=sin ;
③对于 f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数
()
F(x)=
;
cos
B.(-2 021,-2 019)
C.(-∞,-2 019)
D.(-2 019,0)
答案 C
解析令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)],因为当x>0时,有
2f(x)+xf'(x)>0,所以当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)
解析当 x>0 时,有 xf'(x)-f(x)>0 成立,设
()
g(x)= ,则
()
'()-()
g'(x)=[ ]'= 2 >0,
即 x>0 时 g(x)单调递增,当 x>2 时,g(x)>g(2)=0,此时 f(x)>0;当 0<x<2
时,g(x)<g(2)=0,此时 f(x)<0.又 f(x)是奇函数,所以-2<x<0 时,f(x)=-f(-x)>0;当

法, 型导函数中体现的是减法,由此我们可以猜测,当导函数形式出现的是加
法形式时,优先考虑构造 uv 型,当导函数形式出现的是减法形式时,优先考虑

人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第3章指点迷津三在导数应用中如何构造函数 (2)

e
调性和数形结合求解即可.
答案:{x|x>0}
解析:构造
()
F(x)= 2 ,则
e
e 2 '()-2e 2 ()
F'(x)=
e 4
=
'()-2()
,
2
e
函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,则F'(x)>0,F(x)在R上为增函数.
又因为f(0)=1,所以F(0)=1,
式xf(x)>0的解集为
.
思路点拨出现“+”法形式,优先构造F(x)=xf(x),然后利用函数的单调性、奇
偶性和数形结合求解即可.
答案:(-∞,-4)∪(0,4)
解析:构造F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x),当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,可以推出当
x<0时,F'(x)<0,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.∵F(x)=xf(x)(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:构造
()
F(x)= ,则
'()·-()
F'(x)= 2 ,当
x<0 时,xf'(x)-f(x)>0,
可以推出当 x<0 时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
()
∵F(x)= 为奇函数,

∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,
式成立的是(
A.f
π
-3
C. 2
> 3
π

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所以 f( 2016π )÷sin 2016π >f( π )÷sin π ,
2017
2017 2017
2017
所以 f( 2016π )sin π >f( π )sin 2016π ,
2017
2017 2017
2017
所以 f( 2016π )>f( π ).故选 A.
2017
2017
反思归纳
由于在(0, π )上,[sin x·f(x)]′=cos x·f(x)+sin x·f′(x),其符 2
(2)(2017·江西宜春质检)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,其导函为f′(x),且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立,则( ) (A)4f(1)<f(2) (B)4f(1)>f(2) (C)f(1)<4f(2) (D)f(1)<2f′(2)
思路点拨:构造函数 g(x)=xf(x)或 g(x)= f x ,研究其单调性、奇偶性.
2
2
函数不等式化为普通的一元二次不等式.
解析:构造函数 g(x)=f(x)- 1 x+c(c 为常数), 2
则 g′(x)<0,即函数 g(x)在 R 上单调递减,
且 g(1)=f(1)- 1 +c= 1 +c. 22
f(x2)> x2 1 = 1 x2+ 1 ,即 f(x2)- 1 x2+c> 1 +c,
2017
2017
(B)f( 2016π )=f( π )
2017
2017
(D)f( 2016π )与 f( π )的大小关系不确定
2017
2017
思路点拨:构造函数g(x)= f x.
sin x
解析:令 g(x)= f x ,所以 g′(x)>0 恒成立,
sin x 所以 g(x)定义域内递增,
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
ex 因为 f(0)=2,所以 g(0)=2,因为不等式 f(x)>2ex, 所以 g(x)>2=g(0),所以 x>0.故选 B.
反思归纳由于ex>0,故[exf(x)]′=[f(x)+f′(x)]ex,其符号由f(x)+ f′ (x)的符号确定,[ ]′= f x ,其符f号x由 ff′(xx)-f(x)的符号确定.含有f(x)±f′(x)类问题可以考虑构造上e x述两个函数.ex
x
解析:(1)设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)<0, 即函数g(x)=xf(x)单调递减,显然g(2)>g(3), 则2f(2)>3f(3).故选D.
(2)因为 xf′(x)<2f(x),则 xf′(x)-2f(x)<0,
令 g(x)= f x (x>0),则 g′(x)= xf x 2 f x <0,
类型三 f(x)±f′(x)tan x类【例3】 (2017·湖南省衡阳八中月考)已知f(x)的定义域为(0,π ),且对定域内的任意x恒有f′(x)sin x>f(x)cos x成立,则下列关系成立的是(
(A)f( 2016π )>f( π )
2017
2017
(C)f( 2016π )<f( π )
学科素养培优三构造法解抽象函数问题
在导数及其应用的客观题中,有一个热点考查点,即不给出具体的函数解析而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根条件得出构造的函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有定的难度.下面总结其基本类型及其处理方法.
Байду номын сангаас
类型一只含f′(x)类
f(x)+f′(x)tan x 相同,[ f x ]′= f x sin x f x cos x ,其符号与 f′(x)tan x-
sin x
sin2 x
符号相同.在含有 f(x)±f′(x)tan x 的问题中,可以考虑构造函数 f(x)sin x,f(x)co
f x , f x 等.
【例 1】定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f′(x)< 1 ,则不等 2
f(x2)> x2 1 的解集为( ) 2
(A)(1,2) (B)(0,1) (C)(1,+∞) (D)(-1,1)
思路点拨:利用( 1 x+b)′= 1 构造函数后,研究函数的单调性和特殊点的函数值,把抽
思路点拨:利用[ f x ]′= f x f x >0,构造函数 g(x)= f x ,得出其单调性后确
ex
ex
ex
函数值之间的大小关系.
解析:因为∀ x∈R,都有 f′(x)>f(x)成立,
所以 f′(x)-f(x)>0,于是有[ f x ]′>0,
ex
令 g(x)= f x ,则有 g(x)在 R 上单调递增,
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
sin x cos x
类型四含xf′(x)±f(x)类
【例4】 (1)(2017·福建厦门质检)定义在R上的函数f(x),其导函数是f′( 若x·f′(x)+f(x)<0,则下列结论一定正确的是( ) (A)3f(2)<2f(3) (B)3f(2)>2f(3) (C)2f(2)<3f(3) (D)2f(2)>3f(3)
222
2
2
即 g(x2)>g(1),即 x2<1,
即-1<x<1.故选 D.
反思归纳利用(f(x)+kx+b)′=f′(x)+k,根据导数符号,可得出函数g(x)= f(x)+kx+b的单调性,利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式
类型二含f(x)±f′(x)类
【例2】 (2017·安徽合肥一中)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x),若 f(x)<f′(x)恒成立,且f(0)=2,则不等式f(x)>2ex的解集是( ) (A)(2,+∞) (B)(0,+∞) (C)(-∞,0) (D)(-∞,2)
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
2019/7/18
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2019/7/18
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x2
x3
即 g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)递减,故 g(1)>g(2),
故 4f(1)>f(2).故选 B.
反思归纳由于[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),[ f x ]′= xf x f x ,后者导数的
x2
x2
号与 xf′(x)-f(x)一致.在含有 xf′(x)±f(x)类问题中,可以考虑构造上述函数.