2019年南方新课堂·高考总复习-数学 第
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：阶段检测卷(四)
阶段检测卷(四)(不等式)时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．(2017年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2017年新课标Ⅱ)设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．93．当x >1时，不等式x ＋≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )1x －1A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]4．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( )A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年5．若平面区域Error!夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A. B. 3 552C. D.3 2256．(2017年山东)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋<<log 2(a ＋b )1b b2a B.<log 2(a ＋b )<a ＋b 2a 1bC ．a ＋<log 2(a ＋b )<1b b2a D ．log 2(a ＋b )<a ＋<1b b2a二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上．7．(2013年大纲)记不等式组Error!所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的x 2－y 2xy 最小值是________．9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．已知S n 是数列的前n 项和，若不等式|λ＋1|<S n ＋对一切n ∈N *恒成{n 2n －1}n2n －1立，则λ的取值范围是__________．三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(12分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分X652)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．图X65212．(12分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(单位：元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？13．(14分)已知函数f (x )＝(m ，n ∈R )在x ＝1处取到极值2.mxx 2＋n (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝ln x ＋.若对任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[1，e]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋，a x 72求实数a 的取值范围．阶段检测卷(四)1．D 解析：可行域如图D190，目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时最大，故z max ＝3＋0＝3.故选D.图D1902．A 解析：绘制不等式组表示的可行域(如图D191)，目标函数即y ＝－2x ＋z ，其中z 表示斜率为k ＝－2的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形结合可得目标函数在点B (－6，－3)处取得最小值z ＝－12－3＝－15.故选A.图D1913．D4．B 解析：汽车使用n 年平均费用为＝＋＋1.65≥2 ＋1.65＝4.65(万元)，当且仅15＋1.5n ＋0.3n ＋n (n －1)2×0.3n15n 3n 2015n ×3n20当＝，3n 2＝300，n 2＝100，n ＝10，即n ＝10时“＝”成立，故这辆汽车报废的最佳15n 3n 20年限为10年．5．B 解析：画出不等式的平面区域如图D192，则Error!得A (1,2)．则Error!得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝＝.故选B.(1－2)2＋(2－1)22图D1926．B 解析：方法一，因为a >b >0，且ab ＝1，所以a >1，0<b <1.则<1，log 2(a ＋b )>b2a log 22＝1,2a ＋>a ＋>a ＋b ⇒a ＋>log 2(a ＋b )．故选B.ab 1b 1b 1b 方法二，取a ＝2，b ＝，＝，log 2(a ＋b )＝log 2∈(1,2)，a ＋＝4.故选B.12b 2a 18521b 7. 解析：如图D193，将点A (0,4)，C (1,1)分别与点B (－1,0)求斜率，得最小值[12，4]为，最大值为4.12图D1938. 解析：由新定义运算知，x ⊗y ＝，(2y )⊗x ＝＝.2x 2－y 2xy (2y )2－x 22yx 4y 2－x 22xy 因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝＋＝≥＝＝x 2－y 2xy 4y 2－x 22xy x 2＋2y 22xy 2 x 2·2y 22xy 2 2xy2xy .2当且仅当x ＝y 时取等号．2所以x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是.29．[4,12] 解析：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤，∴6－(x 2＋4y 2)x 2＋4y 22≤.∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即x 2＋4y 222xy ≥－6.∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上所述，4≤x 2＋4y 2≤12.10．－3<λ<1 解析：由S n ＝1＋2×＋3×＋…＋(n －1)·＋n ·，S n ＝1×1212212n －212n －112＋2×＋…＋(n －1)·＋n ·，两式相减，得1212212n －112n S n ＝1＋＋＋…＋－n ·＝2－.所以S n ＝4－.于是由不等式|λ＋1|<4－121212212n －112n n ＋22n n ＋22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|<2.解得－3<λ<1.22n －111．解：(1)由题图知，3a ＋6＝x ，∴a ＝.x －63则总面积S ＝·a ＋2a(1800x －4)(1800x －6)＝a ＝(5400x －16)x －63(5400x －16)＝1832－，(10 800x ＋16x 3)即S ＝1832－(x ＞0)．(10 800x ＋16x 3)(2)由S ＝1832－，(10 800x ＋16x 3)得S ≤1832－2＝1832－2×240＝1352.10 800x ·16x 3当且仅当＝，此时，x ＝45.10 800x 16x 3即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1352平方米．12．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x－y )＝2x ＋3y ＋300(x ，y ∈N )．(2)约束条件为Error!整理，得Error!目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域如图D194，图D194作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由Error!得Error!所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．13．解：(1)f ′(x )＝＝.m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2－mx 2＋mn(x 2＋n )2由f (x )在x ＝1处取到极值2，得f ′(1)＝0，f (1)＝2.即Error!解得Error!经检验，当m ＝4，n ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极值．故f (x )＝.4xx 2＋1(2)由(1)知，f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数，且f (0)＝0.当x ＞0时，f (x )＞0,0<f (x )＝≤2，4x ＋1x 当且仅当x ＝1时取“＝”；当x <0时，－2≤f (x )＝－<0，4(－x )＋1(－x )当且仅当x ＝－1时，取“＝”．故f (x )的值域为[－2,2]．从而f (x 1)＋≥.7232依题意有g (x )最小值≤.32函数g (x )＝ln x ＋的定义域为(0，＋∞)，a x g ′(x )＝－＝.1x a x 2x －ax 2①当a ≤1时，g ′(x )＞0，函数g (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为g (1)＝a ≤1<，32符合题意；②当1<a <e 时，函数g (x )在[1，a )上有g ′(x )<0，单调递减，在(a ，e]上有g ′(x )>0，单调递增，所以函数g (x )的最小值为g (a )＝ln a ＋1.由ln a ＋1≤，得0<a ≤.从而知1<a ≤符32e e 合题意；③当a ≥e 时，显然函数g (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为g (e)＝1＋≥2>，不符a e 32合题意．综上所述，实数a 的取值范围为a ≤.e。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第四章 第1讲 平面向量及其线性运算
为矩形，所以 a⊥b.故选 A.
答案：A
(3) 设 a0 为 单 位 向 量 ， ① 若 a 为 平 面 内 的 某 个 向 量 ， 则 a ＝ |a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a ＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|·a0的模相同， 但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的 方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故 ②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.
∥AD，且 BC＝AD，四边形 ABCD 是平行四边形.故选 D.
2.已知 ABCD 为平行四边形，若向量A→B＝a，A→C＝b，则向 量B→C＝( C )
A.a－b C.b－a
B.a＋b D.－a－b
解析：B→C＝A→C－A→B＝b－a.
3.(2017 年广东茂名一模)对于向量 a，b，c 和实数λ， 下列 命题中的真命题是( B )
【互动探究】 2.已知 O，A，B 是不共线的三点，且O→P＝mO→A＋nO→B (m，n∈R). (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若 m＋n＝1， 则O→P＝mO→A＋(1－m)O→B＝O→B＋m·(O→A－O→B)， ∴O→P－O→B＝m(O→A－O→B)，即B→P＝mB→A. ∴B→P与B→A共线. 又B→P与B→A有公共点 B，∴A，P，B 三点共线.
时，λa＝__0___
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ， 使得 b＝λa.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：阶段检测卷(三)含解析
阶段检测卷(三)(数列)时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝12n ＋1B ．a n ＝1n ＋2C ．a n ＝1n n ＋D ．a n ＝12n －12．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2017年江西南昌二模)《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间两节容量和是( )A ．16166升B ．2升C ．2322升 D ．3升4．(2017年湖北孝感一模)一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝5，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则此样本数据的中位数是( )A ．6B ．7C ．8D ．95．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于26．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．367.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋2－1的值为( ) A.n ＋12n ＋2 B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋28．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n)≥n ＋22D ．以上都不对二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上． 9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．(2014年新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．11．已知在等差数列{a n }中，前n 项的和为S n ，S 6>S 7>S 5，则：①数列的公差d <0；②S 11>0；③S 12<0；④S 13<0；⑤S 8>S 6；⑥S 8>S 3.其中正确的是______________．(只填序号)三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．12．(14分)(2017年广东广州二模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 2a 3＝8，S 2n ＝3(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝nS n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .13．(20分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．阶段检测卷(三)1．C 解析：观察知a n ＝1n ＋2－1＝1n n ＋.2．B 解析：∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列．∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．3．C 解析：设竹九节由上往下的容量分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766.所以问题中的中间两节容量和为a 5＋a 6＝2a 1＋9d ＝4722＝2322.故选C.4．C 解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 22＝a 1a 5.设公差为d ，因为a 3＝5，所以(5－d )2＝(5－2d )(5＋2d )．解得d ＝2或d ＝0(舍)．∴a 4＝5＋2＝7，a 5＝5＋4＝9.样本容量为8时，中位数为a 4＋a 52＝8.故选C.5．D 解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.6．C 解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝a 1＋a 102＝30，∴a 5＋a 6＝a 1＋a 10＝6.∴a 5a 6≤a 5＋a 62＝3，a 5a 6≤9.7．C 解析：∵1n ＋2－1＝1n 2＋2n＝1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.故选C.8．C 解析：f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22，由此可推知f (2n)≥n ＋22.故选C.9．2n ＋1－2 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.10．A11．①②④⑥ 解析：S 6>S 7>S 5⇒a 6>0，a 7<0，a 6＋a 7>0，则a 7－a 6＝d <0，①正确；S 11＝a 1＋a 112＝11a 6>0，②正确；S 12＝a 1＋a 122＝a 6＋a 72>0，③错误；S 13＝a 1＋a 132＝13a 7<0，④正确；S 8－S 6＝a 7＋a 8<0，⑤错误；S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6>0，⑥正确．12．解：(1)因为数列{a n }是等比数列，所以a 1a 3＝a 22.因为a 1a 2a 3＝8，所以a 32＝8.解得a 2＝2. 因为S 2n ＝3(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)， 所以S 2＝3a 1，即a 1＋a 2＝3a 1. 因为a 2＝2，所以a 1＝1.因为等比数列{a n }的公比为q ＝a 2a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)因为等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝2，所以S n ＝a 1－q n 1－q ＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ＝nS n ，所以b n ＝n (2n －1)＝n ·2n－n . 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)－(1＋2＋3＋…＋n )．设P n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n.则2P n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1.所以P n ＝n ×2n ＋1－(2＋22＋23＋24＋ (2))＝(n －1)2n ＋1＋2.因为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2－n n ＋2.13．解：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0.解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0.解得a 2＝16. (2)由题意知，(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理，得S n S n －1－2S n ＋1＝0.解得S n ＝12－S n －1.由(1)得，S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝nn ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1k ＋＋1.即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知，S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 专题六立体几何含解析
专题六 立体几何 第1课时1．(2015年新课标Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图Z61，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图Z61A.18B.17C.16D.152．如图Z62，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图Z62A.163 B.323 C.643D ．32 3．某几何体的三视图如图Z63，则该几何体的体积为( )图Z63A.23B.43C.83D.163 4．(2016年河北“五校联盟”质量监测)某四面体的三视图如图Z64，则其四个面中最大的面积是( )图Z64A ．2B ．2 2 C. 3 D ．2 35．已知一个几何体的三视图如图Z65，则该几何体的体积为( )图Z65A ．8 B.223 C.233D ．76．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A ．7π B．14π C.72π D.714π37．(2013年新课标Ⅰ)如图Z66，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图Z66A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3cm 38．(2016年北京)某四棱柱的三视图如图Z67，则该四棱柱的体积为________．图Z679．球O 半径为R ＝13，球面上有三点A ，B ，C ，AB ＝12 3，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积是( )A ．60 3B ．50 3C ．60 6D ．50 610．如图Z 68，已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )图Z68A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π 11．(2017年广东茂名一模)过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，则△BCD 的面积为____________．12．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________．第2课时1．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 2．(2016年天津模拟)如图Z69，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图Z69①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长各为2，m ，n ，其中m 2＋n 2＝6，则三棱锥体积的最大值为( )A.33B.12C.8 327D.234．(2016年辽宁葫芦岛统测)已知四棱锥P ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，∠APD ＝120°，AB ＝2，则球O 的外接球的表面积等于( )A ．16π B．20π C．24π D．36π5．在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A ，F 折起后分别为点A ′，F ′，得到四棱锥A ′BCDE .给出下列几个结论：①A ′，B ，C ，F ′四点共面； ②EF ′∥平面A ′BC ；③若平面A ′DE ⊥平面BCDE ，则CE ⊥A ′D ； ④四棱锥A ′BCDE 体积的最大值为2，其中正确的是________(填上所有正确的序号)．6．(2017年广东梅州一模)如图Z610所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．图Z6107．(2017年广东广州二模)如图Z611，ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，EB ⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝3a.(1)求证：EF⊥AC；(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．图Z6118．(2017年广东揭阳一模)如图Z612，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求二面角BA1DB1的余弦值．图Z612专题六 立体几何 第1课时1．D 解析：由三视图，得在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A A 1B 1D 1，如图D164，图D164设正方体棱长为a ，则111-A A B D V ＝13×12a 3＝16a 3.则剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.故选D.2．B 解析：几何体为如图D165所示的正方体中的三棱锥E BB 1C (E 为AA 1的中点)，它的体积为13×12×4×4×4＝323.故选B.图D165 图D1663．B 解析：由三视图知对应的几何体为如图D166所示的正方体中的三棱锥P ABC ，其中PC ⊥平面PAB ，PA ＝AB ，PC ＝PB ＝2，A 到PB 的距离为2，故该几何体的体积为13×12×2×2×2＝43.故选B.4．D 解析：如图D167，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D 1BCB 1，其四个面的面积分别为2,2 2，2 2，2 3.故选D.图D1675．D 解析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为2的正方体截去两个三棱锥A A 1PQ 和D PC 1D 1后剩余的部分，如图D168，其中Q 是棱A 1B 1的中点，P 是A 1D 1的中点，所以该几何体的体积为V ＝8－13×12×1×1×2－13×12×1×2×2＝7.故选D.图D1686．B 解析：三棱锥A BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，所以长方体的对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π.故选B.7．A 解析：如图D169，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3)．图D1698.32解析：由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高为1，故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32.9．A 解析：设△ABC 外接圆半径为r ，由AB ＝12 3，AB ＝BC ＝12，得A ＝B ＝30°，C ＝120°.所以2r ＝12 3sin 120°＝24.解得r ＝12.则O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝132－122＝5.又S △ABC ＝12×12×12×sin 120°＝36 3，所以V O ABC ＝13×36 3×5＝603.故选A.10．C 解析：根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点E 的球O 的截面与OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连接O 1A ，连接O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1是正三角形ABC 的中心，A ，B ，C 三点都在球面上，∴O 1O ⊥平面ABC .结合O 1C ⊂平面ABC ，可得O 1O ⊥O 1C .∵球的半径R ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝R 2－O 1O 2＝ 3.又∵E 为AB 的中点，△ABC 是等边三角形．∴O 1E ＝AO 1sin 30°＝32.∴OE ＝OO 21＋O 1E 2＝72.过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝R 2－OE 2＝32.可得截面面积为S ＝πr 2＝94π.故选C.11.2 33R 2 解析：方法一，由条件知A BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，将正三棱锥A BCD 补充成一个正方体AGBH FDEC ，如图D170.则正三棱锥A BCD 和正方体AGBH FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2＋a 2＋a 2＝(2R )2，解得a2＝43R 2.所以BC 2＝a 2＋a 2＝83R 2.所以△BCD 的面积S ＝12BC ×BD sin 60°＝12×83R 2×32＝2 33R 2.图D170 图D171方法二，由条件A BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，球心O 在正四面体中心，如图D171.设BC ＝a ，CD 的中点为E ，O 1为过点B ，C ，D 截面圆的圆心，则截面圆半径r ＝O 1B ＝23BE ＝23×32a ＝33a .正四面体A BCD 的高AO 1＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a . ∴截面BCD 与球心的距离d ＝OO 1＝63a －R . 在Rt△BOO 1中，⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得a ＝2 63R . ∴△BCD 的面积为S ＝12BC ×BC sin 60°＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2 63R 2×32＝2 33R 2. 12．8π 解析：∵三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°，∴12×1×2×sin 60°×AA 1＝ 3.∴AA 1＝2.∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝4＋1－2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则BCsin 60°＝2R .∴R ＝1.故外接球的半径为12＋12＝2，外接球的表面积等于4π×(2)2＝8π.第2课时1．C 解析：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又△A 1DB 为等边三角形．∴∠DA 1B ＝60°.2．B 解析：由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3．D 解析：直接求三棱锥的体积很困难，因为不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥A CB 1D 1符合题意，设AA 1＝x ，A 1D 1＝y ，A 1B 1＝z ，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2＋z 2＝m 2，y 2＋z 2＝n 2，x 2＋y 2＋2z 2＝m 2＋n 2＝6,2z 2＝4，z ＝2，x 2＋y 2＝2≥2xy ，∴xy ≤1.三棱锥体积V ＝13V 长方体＝13xyz ＝23xy ≤23.所以三棱锥体积的最大值为23.故选D.图D1724．B 解析：取AD 的中点为E ，连接PE ，则由平面PAD 垂直于平面ABCD 可得，PE ⊥平面ABCD ，于是以点E 为原点，以ED ，EP 分别为x ，z 轴建立空间直角坐标系，其中AC 与BD 相交于F 点．于是可得E (0,0,0)，D (3，0,0)，A (－3，0,0)，P (0,0,1)，C (3，2,0)，B (－3，2,0)，F (0,1,0)，设球O 的球心的坐标为O (0，1，z 0)，则OP →＝(0，－1,1－z 0)，OB →＝(－3，1，－z 0)，由|OP →|＝|OB →|，得－2＋－z 02＝3＋1＋z 20.解之，得z 0＝－1.所以球心O (0,1，－1)．于是其半径为|OP →|＝5，由球的表面积公式知，S ＝4πr 2＝4π×(5)2＝20π.故选B.5．②③6．(1)证明：在△BAD 中，∵AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得BD ＝ 3.∵AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴GD ⊥BD . 又AD ∩GD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG .(2)解：以D 为坐标原点，建立如图D173所示的空间直角坐标系D xyz .图D173∵∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∴A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)，C (－1，3，0)． ∴AE →＝(－1，3，2)，AG →＝(－1,0,1)． 设平面AEFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 故有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，n ·AG →＝－x ＋z ＝0.令x ＝1，得y ＝－33，z ＝1.n ＝(1，－33，1)． 而平面ABCD 的一个法向量为DG →＝(0,0,1)，∴cos 〈DG →，n 〉＝DG →·n |DG →|·|n |＝217.故平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217. 7．解：(1)证明：连接BD ，如图D174. 因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥FD .因为BD ∩FD ＝D ，所以AC ⊥平面BDF . 因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ， 所以EB ∥FD .所以B ，D ，F ，E 四点共面．因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF ⊥AC .图D174 图D175(2)如图D175，以D 为坐标原点，分别以DC →，DF →的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz .可以求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32a ，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，3a .所以AB →＝(0，a,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，12a ，32a .设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ay ＝0，－32ax ＋12ay ＋32az ＝0.取x ＝1，则平面ABF 的一个法向量为n ＝(1,0,1)．因为CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，3a ，所以||cos 〈n ，CE →〉＝||n ·CE→||n ||CE →＝3 68. 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为3 68.8．(1)证明：如图D176，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，∴B 1C ∥ED .∵E 为AB 1的中点，∴D 为AC 的中点．∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .①方法一，由A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，得A 1A ⊥BD ，②由①②及A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线，∴BD ⊥平面A 1ACC 1.方法二，∵A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .又平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.图D176 图D177(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1.由(1)知DA ＝12AC ，由AC ·DA ＝1，得AC 2＝2.∵AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC .以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz 如图D177， 则A 1(1,0,1)，B 1(0,0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.所以B 1A 1→＝(1,0,0)，B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1.设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1D 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥B 1A 1→，m ⊥B 1D →，得⎩⎨⎧m ·B 1A 1→＝x ＝0，m ·B 1D →＝12x ＋12y －z ＝0. 令z ＝1，得m ＝(0,2,1)．设n ＝(a ，b ，c )为平面A 1BD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BD →，n ⊥BA 1→，得⎩⎨⎧ n ·BD →＝a 2＋b 2＝0，n ·BA 1→＝a ＋c ＝0.令c ＝1，得n ＝(－1,1,1)．依题意知二面角B A 1D B 1为锐二面角，设其大小为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n |·|m |＝35×3＝155.即二面角B A 1D B 1的余弦值为155.。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第三章 第6讲 简单的三角恒等变换
2.三角函数公式的三大作用 (1)三角函数式的化简. (2)三角函数式的求值. (3)三角函数式的证明. 3.求三角函数最值的常用方法 (1)配方法.(2)化为一个角的三角函数.(3)数形结合法.(4)换 元法.(5)基本不等式法.
1.若 cos xcos y＋sin xsin y＝13，则 cos(2x－2y)＝__－__79____. 解析：cos(x－y)＝cos xcos y＋sin xsin y＝13，则 cos(2x－2y) ＝2cos2(x－y)－1＝29－1＝－79.
考点 1 三角函数式的化简
例 1：(1)(2017 年安徽黄山统测)若 cos α＋sin α＝23，则
2si1n＋2αta－n π4α＋1的值为(
)
5 A.9
B.0
C.－158
D.－59
解析：∵cos α＋sin α＝23，
∴1＋2sin αcos α＝49.∴2sin αcos α＝－59.
(2) 因 为 f(x) 在 区 间 －π4，－1π2 上 是 减 函 数 ， 在 区 间 －1π2，π4上是增函数，
f－π4＝－14，f－1π2＝－12，fπ4＝14， 所以函数 f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
解答题要注意
2.能运用上述公式进行简 单的恒等变换(包括导出
2016年新课标Ⅰ第14题 考查三角函数求值；
三角变换与图 象性质的整合、
积化和差、和差化积、半
三角变换与解
角公式，但对这三组公式 2017年新课标Ⅱ第13题 斜三角形的整
考查三角函数最值问题
不要求记忆)
合等
1.转化思想 (1)转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数 名的变换、和积变换、次数变换等. 三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降. (2)常用的升次公式有：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2；1－sin 2α ＝(sin α－cos α)2；1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第三章 第8讲 解三角形应用举例
B.100 3 m
C.20 30 m
D.30 m
解析：如图 D22，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为
B.设A处测得船C，D的俯角分别为45°，30°，连接BC，BD.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，则AB＝BC＝30 m.在Rt△ABD
中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3AB＝30 3 m.在△BCD 中，BC
1.本节复习时，应 联系生活实例，体 会建模，掌握运用 正弦定理、余弦定 理解决实际问题的 基本方法
2.加强解三角形及 解三角形的实际应 用，培养数学建模 能力，这也是近几 年高考的热点之一
16 题、新课标Ⅲ第 15 题考查正弦定理
1.解三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解， 常见类型及其解法如下表所示：
A.240( 3－1) m C.120( 3－1) m
图 3-8-4 B.180( 2－1) m D.30( 3＋1) m
解析：气球的高是 60 m，AC＝120 m，AB＝sin6075° m.在 △ABC 中，sinAB30°＝sinBC45°，所以 BC＝ABsisnin304°5°＝sin607s5i°nsi4n53°0° ＝ 66＋04×22×2 12＝ 234＋01＝120( 3－1)(m).
(1)求△CDE 的面积； (2)求 A，B 之间的距离.
图 3-8-3 解：(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝ 150°，S△ECD＝12DC·CE·sin 150°＝12×1×1×12＝14(m2).
(2)因为∠ACD＝90°，∠ADC＝60°， 所以 AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝ 3(m). 在△BCE 中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105° －45°＝30°. 因为sin∠BCCEB＝sin∠CECBE， 所以 BC＝sin∠CECBE·sin∠CEB＝sin130°×sin 45°＝ 2(m).
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：阶段检测卷(七)含解析
阶段检测卷(七)(概率与统计)时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1,2,3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座号是( )A ．30B ．31C ．32D ．332．(2017年天津)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.153．(2016年新课标Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.3104．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石5．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．如图N71，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图N71A ．6B ．8C ．12D ．186．(2017年广东深圳二模)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y >x ，y >z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A.23B.13C.16D.112 7．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图(如图N72)．下列结论不正确的是( )图N72A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 8．如图N73，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )图N73A.126125B.65C.168125D.75二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．(2017年江西南昌二模)设(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1＝______.10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为________．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.9545，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.9973.)11．张先生订了一份报纸，送报人在早上6∶30～7∶30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7∶00～8∶00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)(2017年新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？13．(20分)(2017年广东韶关二模)“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品．为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(x i ，y i )(i已知y ＝61i i y =∑＝80.(1)求出q 的值； (2)已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y (单位：件)关于试销单价x (单位：元)的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)用y ^i 表示(2)中所求的线性回归方程得到的与x i 对应的产品销量的估计值．当销售数据(x i ，y i )的残差的绝对值|y ^i －y i |≤1时，则将销售数据(x i ，y i )称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E (ξ)．(参考公式：线性回归方程中b ^，a ^的最小二乘估计分别为b ^＝1221ni ii n i i x ynx yx nx==--∑∑，a ^＝y －－b^x －)阶段检测卷(七)1．B 解析：样本间隔为56÷4 ＝14，则另外一个号码为14＋17＝31.故选B.2．C 解析：方法一，从红、黄、蓝、绿、紫这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，每支彩笔被取到的概率相等，都是25.故选C.方法二，从红、黄、蓝、绿、紫这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，共有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫10种情形，而含有红色彩笔共有红黄、红蓝、红绿、红紫4种情形，所以概率为410＝25.3．B 解析：因为红灯持续时间为40秒．所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.故选B.4．B 解析：设这批米内夹谷的个数为x ，则由题意并结合简单随机抽样可知，28254＝x 1534，即x ＝28254×1534≈169.故选B. 5．C 解析：全体志愿者共有20＋＝50(人)，∴第三组有志愿者有0.36×1×50＝18(人)．∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12(人)．故选C.6．B 解析：本题考查古典概型，新定义问题．因为从集合中取出三个不相同的数共有123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24个，由题意知，凸数有132,231,143,341,243,342,142,241共8个，所以这个三位数是“凸数”的概率p ＝824＝13.故选B.7．D 解析：由柱形图，得从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．故选D.8．B 解析：随机变量X 可能取值分别为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝3×3×3125＝27125，P (X＝1)＝3×3×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×4×3125＝36125，P (X ＝3)＝8125，列表如下：E (X )＝0×27125＋1×125＋2×125＋3×125＝125＝5.9．－240 解析：(x 2－3x ＋2)5＝C 05(2－3x )5＋C 15(2－3x )4x 2＋…＋C 55x 10，所以a 1＝C 05C 1524(－3)1＝－240.故答案为－240.10．0.977 25 解析：p 0＝0.5＋12×0.9545＝0.977 25.11.78解析：以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分(如图D203)，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件发生，所以其概率p ＝1×1－12×12×121×1＝78.图D20312．解：(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X 的分布列为(2)200，因此只需考虑200≤n ≤500.①当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n .因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . ②当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ； 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以当n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．13．解：(1)y －＝1661i i y =∑＝80，可求得q ＝90.(2)b ^＝61622166i ii i i x yx yx x==--∑∑＝3050－6×6.5×80271－253.5＝－7017.5＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝80＋4×6.5＝106，所以所求的线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.(3)利用(2)中所求的线性回归方程y ^＝－4x ＋106可得，当x 1＝4时，y ^1＝90；当x 2＝5时，y ^2＝86；当x 3＝6时，y ^3＝82；当x 4＝7时，y ^4＝78；当x 5＝8时，y ^5＝74；当x 6＝9时，y ^6＝70.与销售数据对比可知满足|y ^i －y i |≤1(i ＝1,2，…，6)的共有3个“好数据”：(4,90)，(6,83)，(8,75)．于是ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 36＝120.∴ξ的分布列为1 20＋1×20＋2×20＋3×20＝2.于是E(ξ)＝0×。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：阶段检测卷(七)含解析
阶段检测卷(七)(概率与统计)时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1,2,3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座号是( )A ．30B ．31C ．32D ．33 2．(2017年天津)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15 3．(2016年新课标Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310 4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石5．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．如图N7-1，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图N7-1A ．6B ．8C ．12D ．186．(2017年广东深圳二模)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y >x ，y >z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A.23B.13C.16D.1127．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图(如图N7-2)．下列结论不正确的是( )图N7-2A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 8．如图N7-3，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )图N7-3A.126125B.65C.168125D.75二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上． 9．(2017年江西南昌二模)设(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1＝______. 10．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为________．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.9545，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.9973.)11．张先生订了一份报纸，送报人在早上6∶30～7∶30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7∶00～8∶00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(14分)(2017年新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？13．(20分)(2017年广东韶关二模)“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品．为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，已知y ＝161i i y =∑＝80.(1)求出q 的值；(2)已知变量x ，y 具有线性相关关系，求产品销量y (单位：件)关于试销单价x (单位：元)的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)用y ^i 表示(2)中所求的线性回归方程得到的与x i 对应的产品销量的估计值．当销售数据(x i ，y i )的残差的绝对值|y ^i －y i |≤1时，则将销售数据(x i ，y i )称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E (ξ)．(参考公式：线性回归方程中b ^，a ^的最小二乘估计分别为b ^＝1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑，a ^＝y －－b ^x －)阶段检测卷(七)1．B 解析：样本间隔为56÷4 ＝14，则另外一个号码为14＋17＝31.故选B.2．C 解析：方法一，从红、黄、蓝、绿、紫这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，每支彩笔被取到的概率相等，都是25.故选C.方法二，从红、黄、蓝、绿、紫这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，共有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫10种情形，而含有红色彩笔共有红黄、红蓝、红绿、红紫4种情形，所以概率为410＝25.3．B 解析：因为红灯持续时间为40秒．所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.故选B.4．B 解析：设这批米内夹谷的个数为x ，则由题意并结合简单随机抽样可知，28254＝x 1534，即x ＝28254×1534≈169.故选B. 5．C 解析：全体志愿者共有20(0.24＋0.16)×1＝50(人)，∴第三组有志愿者有0.36×1×50＝18(人)．∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12(人)．故选C.6．B 解析：本题考查古典概型，新定义问题．因为从集合中取出三个不相同的数共有123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24个，由题意知，凸数有132,231,143,341,243,342,142,241共8个，所以这个三位数是“凸数”的概率p ＝824＝13.故选B.7．D 解析：由柱形图，得从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．故选D.8．B 解析：随机变量X 可能取值分别为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝3×3×3125＝27125，P (X ＝1)＝3×3×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×4×3125＝36125，P (X ＝3)＝8125，列表如下：E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.9．－240 解析：(x 2－3x ＋2)5＝C 05(2－3x )5＋C 15(2－3x )4x 2＋…＋C 55x 10，所以a 1＝C 05C 1524(－3)1＝－240.故答案为－240.10．0.977 25 解析：p 0＝0.5＋12×0.9545＝0.977 25.11.78 解析：以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分(如图D203)，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件发生，所以其概率p ＝1×1－12×12×121×1＝78.图D20312．解：(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X 的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n ≤500.①当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . ②当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ； 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以当n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元． 13．解：(1)y －＝1661i i y =∑＝80，可求得q ＝90.(2)b ^＝61622166i ii i i x yx yx x==--∑∑＝3050－6×6.5×80271－253.5＝－7017.5＝－4，a ^＝y －－b ^x －＝80＋4×6.5＝106，所以所求的线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.(3)利用(2)中所求的线性回归方程y ^＝－4x ＋106可得，当x 1＝4时，y ^1＝90；当x 2＝5时，y ^2＝86；当x 3＝6时，y ^3＝82；当x 4＝7时，y ^4＝78；当x 5＝8时，y ^5＝74；当x 6＝9时，y ^6＝70.与销售数据对比可知满足|y ^i －y i |≤1(i ＝1,2，…，6)的共有3个“好数据”：(4,90)，(6,83)，(8,75)．于是ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 36＝120.∴ξ的分布列为于是E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.。
【南方新课堂】2019高考新课标数学(理科)二轮专题复习检测 专题七第2讲不等式选讲 含解析
专题七 选修4系列第2讲 不等式选讲1．(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2.当且仅当“1a＝a ，即a ＝1时”取等号，∴f (x )≥2. (2)解：f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)<5，得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)<5，得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 2．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为－1，1]．(导学号 55460156)(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc＝1. 求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解：∵f (x )＝k －|x －3|，∴f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为－k ，k ]．∵f (x ＋3)≥0的解集为－1，1]．因此k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，∵a ，b ，c 为正实数． ∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2a 2b ·2b a＋ 2a 3c ·3c a＋22b 3c ·3c 2b ＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.3．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含1，2]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.①若x ≤2时，由①式，得5－2x ≥3，∴x ≤1.若2<x <3时，由①式知，解集为∅.若x ≥3时，由①式，得2x －5≥3，∴x ≥4.综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}．(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，②当1≤x ≤2时，②式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |，解之得－2－a ≤x ≤2－a .由条件，1，2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集，∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0.故满足条件的实数a 的取值范围是－3，0]．(导学号 55460157)(1)求1a ＋1b的最小值m ； (2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的实数m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m 2成立，说明理由． 解：(1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≥ab (a >0，b >0)，则ab ≤1，又1a ＋1b ≥2ab≥2， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴1a ＋1b的最小值m ＝2. (2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －（x －t ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2， 对于(1)中的m ＝2，m 2＝1<2. ∴满足条件的实数x 不存在．5．(2016·石家庄质检)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.(导学号 55460158)(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab .(1)解：∵f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，当且仅当0≤x ≤1时，取等号，∴f (x )＝|x |＋|x －1|的最小值为1.要使f (x )≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤1，∴0≤m≤2，则m的最大值M＝2.(2)证明：由(1)知，a2＋b2＝2，由a2＋b2≥2ab，知ab≤1，①又a＋b≥2ab，则(a＋b)ab≤2ab，由①知，ab≤1，故a＋b≥2ab.6．(2016·广州调研)已知函数f(x)＝|x＋1|.(导学号55460159)(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．(1)解：①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；②当－1<x<－12时，原不等式可化为x＋1<－2x－2，解得x<－1，此时原不等式无解；③当x≥－12时，原不等式可化为x＋1<2x，解得x>1.综上，M＝{x|x<－1或x>1}．(2)证明：∵f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，∴要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|>|a＋b|，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.∵a，b∈M，∴a2>1，b2>1.∴(a2－1)(b2－1)>0成立，∴原不等式成立．。
【南方新课堂】2019年高考数学理科总复习作业及测试 课时作业 专题一 函数与导数含解析
专题一函数与导数第1课时1．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－34a－2.2．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．3．(2017年湖北八校联考)设函数f(x)＝x2－a x(a>0，且a≠1)，g(x)＝f′(x)[其中f′(x)为f(x)的导函数]．(1)当a＝e时，求g(x)的极大值点；(2)讨论f(x)的零点个数．4．(2017年广东深圳二模)设函数f(x)＝x e x－ax(a∈R，a为常数)，e为自然对数的底数．(1)当f(x)>0时，求实数x的取值范围；(2)当a＝2时，求使得f(x)＋k>0成立的最小正整数k.第2课时1．已知函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1，或x >1|D ．{x |x <－1，或0<x <1}2．(2016年江西五校联考)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0[其中f ′(x )是函数f (x )的导函数]，则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4B.2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．f (0)>2f ⎝⎛⎭⎫π4 3．(2016年四川雅安诊断)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A ．3f (2)>2f (3)B ．3f (2)＝2f (3)C ．3f (2)<2f (3)D ．3f (2)与2f (3)大小不确定4．(2012年新课标)设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.5．(2017年河北石家庄质检二)设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．6．(2014年湖北)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．7．已知函数f (x )＝ax －ln x (a 为常数)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最值； (2)求函数f (x )在[1，＋∞)上的最值；(3)试证明对任意的n ∈N *都有ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n n <1.8．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12·⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．专题一 函数与导数第1课时1．解：(1)f ′(x )＝2ax 2＋(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax ＋1)(x ＋1)x(x >0)，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12a . f ⎝⎛⎭⎫－12a －⎝⎛⎭⎫－34a －2＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1， 令y ＝ln t ＋1－t ⎝⎛⎭⎫t ＝－12a >0， 则y ′＝1t－1＝0，解得t ＝1.∴y 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴y max ＝y |x ＝1＝0.∴y ≤0，即f (x )max ≤－⎝⎛⎭⎫34a ＋2. ∴f (x )≤－34a－2.2．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，∴f ′(1)＝－2，f (1)＝0.∴曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.令g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0，①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在x ∈(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．3．解：(1)当a ＝e 时，g (x )＝2x －e x ，g ′(x )＝2－e x ＝0⇒x ＝ln 2.当x <ln 2时，g ′(x )>0；当x >ln 2时，g ′(x )<0，故g (x )的极大值点为ln 2. (2)①先考虑a >1时，f (x )的零点个数， 当x ≤0时，f (x )为单调递减函数，f (－1)＝1－1a>0，f (0)＝－1<0，由零点存在定理知f (x )在(－∞，0]上有一个零点． 当x >0时，由f (x )＝0，得x 2＝a x ⇔2ln x ＝x ln a ⇔ln a ＝2ln xx. 令h (x )＝2ln xx ，则h ′(x )＝2(1－ln x )x 2.由h ′(x )＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．故h (x )max ＝h (e)＝2e ， h (1)＝0，且当x >e 时，0<h (x )<2e，故h (x )的图象如图D103.图D103由数形结合知，ⅰ)若ln a >2e，即a >2e e 时，当x >0时，f (x )无零点，故当x ∈R 时，f (x )有1个零点；ⅱ)若ln a ＝2e，即a ＝2e e 时，当x >0时，f (x )有1个零点，故当x ∈R 时，f (x )有2个零点；ⅲ)若0<ln a <2e，即1<a <2e e 时，当x >0时，f (x )有2个零点，故当x ∈R 时，f (x )有3个零点．②再考虑0<a <1的情形，若0<a <1，则1a>1，由上可知，当1a>2ee 即0<a <2e e -时，f (x )有1个零点； 当1a＝2ee 即a ＝2e e -时，f (x )有2个零点； 当1<1a<2ee 即2e e -<a <1时，f (x )有3个零点．综上所述，当a >2ee 或0<a <2ee -时，f (x )有1个零点； 当a ＝2e e 或a ＝2ee-时，f (x )有2个零点；当1<a <2ee 或2ee -<a <1时，f (x )有3个零点． 4．解：(1)由f (x )>0可知x (e x －a )>0，当a ≤0时，e x －a >0，由x (e x －a )>0，解得x >0；当0<a ≤1时，ln a ≤0，由x (e x －a )>0，解得x >0或x <ln a ； 当a >1时，ln a >0，由x (e x －a )>0，解得x >ln a 或x <0.(2)当a ＝2时，要使f (x )＋k >0恒成立，即x e x －2x >－k 恒成立． 令f (x )＝x e x －2x ，则f ′(x )＝h (x )＝(x ＋1)e x －2. ∴h ′(x )＝(x ＋2)e x .当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )<0，函数h (x )在(－∞，－2)上单调递减； 当x ∈(－2，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )在(－2，＋∞)上单调递增． 又因为x ∈(－∞，－1)时，h (x )<0，且h (0)＝－1<0，h (1)＝2e 2－2>0， 所以存在唯一的x 0∈(0,1)，使得f ′(x 0)＝h (x 0)＝(x 0＋1)0e x －2＝0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，x 0)上单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(x 0，＋∞)上单调递增． 所以，当x ＝x 0时，f (x )取到最小值．f (x 0)＝x 00e x －2x 0＝2x 0x 0＋1－2x 0＝4－2⎝⎛⎭⎫x 0＋1＋1x 0＋1.因为x 0∈(0,1)，所以f (x 0)∈(－1,0)．从而使得f (x )＋k >0恒成立的最小正整数的值为1.第2课时1．A 解析：构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1， 求导，得g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．2．A 解析：令g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′cos 2 x ＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2 x .因为对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0可得g ′(x )>0，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数．所以g ⎝⎛⎭⎫－π3<g ⎝⎛⎭⎫π4，即f⎝⎛⎭⎫－π3cos ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4cos ⎝⎛⎫－π4.所以2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4.故选A.3．A 解析：令F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.所以F (x )为减函数，则f (2)2>f (3)3.所以3f (2)>2f (3)．4．2 解析：f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )最大值为M ，最小值为m ，∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1.∴M －1＋m －1＝0，即M ＋m ＝2.5．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0，x ∈(0，＋∞)．所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)．则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，g (x )＜0.解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)． 6．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln ee.由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln 3π，所以3π>π3. 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3.综上所述，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .7．(1)解：当a ＝1时，函数f (x )＝x －ln x ，x ∈(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1.∵当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0,1)上为减函数． ∵当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数．∴当x ＝1时，函数f (x )有最小值，f (x )最小值＝f (1)＝1.(2)解：∵f ′(x )＝a －1x，①若a ≤0，则对任意的x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )<0.∴函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数． ∴函数f (x )在[1，＋∞)上有最大值，没有最小值，f (x )最大值＝f (1)＝a .②若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .ⅰ)当0<a <1时，1a>1，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a 上为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上为增函数．∴当x ＝1a 时，函数f (x )有最小值，f (x )最小值＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－ln 1a. ⅱ)当a ≥1时，1a≤1，在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0.∴函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，函数f (x )在[1，＋∞)有最小值，f (x )最小值＝f (1)＝a . 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在[1，＋∞)上有最大值，f (x )最大值＝a ；当0<a <1时，函数f (x )有最小值，f (x )最小值＝1－ln 1a；当a ≥1时，函数f (x )在[1，＋∞)有最小值，f (x )最小值＝a .(3)证明：由(1)知函数f (x )＝x －ln x 在(0，＋∞)上有最小值1，即对任意的x ∈(0，＋∞)都有x －ln x ≥1，即x －1≥ln x ，当且仅当x ＝1时“＝”成立．∵n ∈N *，∴n ＋1n >0，且n ＋1n≠1.∴n ＋1n －1>ln n ＋1n ⇔1n >ln n ＋1n⇔1>n ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ⇔1>ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n n . ∴对任意的n ∈N *都有ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n n <1. 8．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)上的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123>2， 所以m 的最小值为3.。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第四章 第4讲 平面向量的应用举例
2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含 有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未 知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角 函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运 算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的 充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.
考点 1 平面向量在三角函数中的应用
例 1：(2015 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量
m＝
22，－
22，n＝(sin
x，cos
x)，x∈0，π2.
(1)若 m⊥n，求 tan x 的值；
(2)若 m 与 n 的夹角为π3，求 x 的值.
解：(1)∵
m＝
即
2－z
≤
1＋14
25，解得 1≤z≤3.故选 A.
答案：A
(3)(2016 年上海)如图 4-4-1，已知点 O(0,0)，A(1,0)，B(0， －1)，P 是曲线 y＝ 1－x2上一个动点，则O→P·B→A的取值范围是 ______.
图 4-4-1
解析：由题意，设 P(cos α，sin α)，则O→P＝(cos α，sin α). 又B→A＝(1,1)，所以O→P·B→A＝cos α＋sin α＝ 2sinα＋π4∈[－1，
22，－
22，n＝(sin x，cos x)，且 m⊥n，
∴m·n＝
22，－
2
2
·(sin
x，cos
x)
＝ 22sin x－ 22cos x＝sinx－π4＝0.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：阶段检测卷(二) Word版含解析
阶段检测卷(二)(三角函数、平面向量与解三角形)时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x2．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013 D ．－10133．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC→＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 4．如图N2-1，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω＝( )图N2-1A ．8 B.π8 C.π4 D.π2 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 6．如图N2-2，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还测得该船正沿方位角105°的方向以9海里/时的速度行驶．若救生艇立即以21海里/时的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为( )图N2-2A.15小时B.13小时 C.25小时 D.23小时 7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图N2-3，为了得到g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，只需将f (x )的图象( )图N2-3 A ．向左平移π3个长度单位 B ．向右平移π3个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移π6个长度单位 8．(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1 二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上． 9.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝________. 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为____________． 11．已知在△ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC的最大值是________．三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)(2017年广东肇庆一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )．(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为3 32，求△ABC 的周长．13．(20分)(2017年广东调研)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos2C＋2c cos A cos C＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝4sin B，求△ABC面积的最大值．阶段检测卷(二)1．B 解析：A ，C 均为奇函数；y ＝cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增．故选B.2．C 解析：直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3.∴tan θ＝－3.∴23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1.把tan θ＝－3代入，得原式＝2×[(－3)2＋1]3×(－3)2－1＝1013. 3．A 解析：由2AC →＋CB →＝0，得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0.故OC →＝2OA →－OB →.4．C 解析：由题意，可得点P 到MN 的距离为2，PM ⊥PN ，所以△PMN 为等腰直角三角形．所以MN ＝2×2＝4.所以函数的周期为8，即ω＝π4.故选C. 5．B 解析：f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故A 错；∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，∴图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称．故B 对；∴图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到．故C 错；函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，5π12⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是先增后减．故D 错． 6．D 解析：设在点B 处相遇，所需时间为t 小时．在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC＝10，AB ＝21t ，BC ＝9t .由余弦定理，得(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°.整理，得36t 2－9t －10＝0.解得t ＝23或－512(舍去)．故救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为23小时．7．D 解析：由图象知A ＝1，T 4＝7π12－π3⇒T ＝π，2πω＝π⇒ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－1 ⇒2×7π12＋φ＝3π2＋2k π，|φ|<π2，得φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.为了得到g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 的图象，所以只需将f (x )的图象向右平移π6个长度单位即可．故选D. 8．B 解析：以BC 的中点D 为原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，建立平面直角坐标系如图D189，图D189则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P (x ，y )．所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，则P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32≥－32. 当点P ⎝⎛⎭⎫0，32时，所求最小值为－32.故选B. 9.12 解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12. 10．8 解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154.又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝2，bc ＝24得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64.所以a ＝8. 11．2 2 解析：BC 边上的高与BC 边长相等，根据面积公式， 得12BC 2＝12AB ·AC ·sin A ， 即BC 2＝AB ·AC ·sin A .AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝AC 2＋AB 2＋BC 2AB ·AC＝BC 2＋2AB ·AC ·cos A ＋BC 2AB ·AC＝2AB ·AC ·sin A ＋2AB ·AC ·cos A AB ·AC＝2sin A ＋2cos A ＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤2 2. 12．解：(1)由已知以及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7.又S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝3 32，所以ab ＝6. 所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25.即a ＋b ＝5.所以△ABC 周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.13．解：(1)∵2a cos 2C ＋2c cos A cos C ＋b ＝0，∴2sin A cos 2C ＋2sin C cos A cos C ＋sin B ＝0.∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0.∴2cos C sin B ＋sin B ＝0.∵0°<B <180°，∴sin B ≠0.∴cos C ＝－12.∴C ＝120°.(2)根据(1)并由正弦定理，得c ＝b sin C sin B＝2 3. 由余弦定理，得(2 3)2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab .∴ab ≤4.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤ 3. ∴△ABC 面积的最大值为 3.。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第七章 第5讲 椭 圆
A.3
B.6
C.9
D.12
解析：∵抛物线 C：y2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为 x
＝－2，∴椭圆 E 的右焦点为(2,0).∴椭圆 E 的焦点在 x 轴上.设
方程
为ax22＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
，∵
c＝
2
，e
＝ac
＝
1 2
，∴
a
＝4.∴
b2
＝
a2－c2＝12.∴椭圆 E 的方程为1x62 ＋1y22 ＝1，将 x＝－2 代入椭圆 E
由(1)知 a＝2c，可得直线 AE 的方程为2xc＋yc＝1， 即 x＋2y－2c＝0. 与直线 FP 的方程联立，可解得 x＝2mm＋－22c，y＝m3＋c 2， 即点 Q 的坐标为2mm＋－22c，m3＋c 2. 由已知|FQ|＝32c，有2mm＋－22c＋c2＋m3＋c 22＝32c2，整理 得 3m2－4m＝0，
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0， c＞0，且 a，c 为常数.
(1)若___a_＞__c__，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c，则集合 P 为线段； (3)若 a<c，则集合 P 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
的中点，则在△NBM 和△NAM 中，|BN|＝2|KF1|，|AN|＝2|KF2|， 又由椭圆定义，得|KF1|＋|KF2|＝2a＝6.故|AN|＋|BN|＝2(|KF1|＋ |KF2|)＝12.
答案：12
图 D43
考点 2 椭圆的标准方程 例 2：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点， 离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y2＝8x 的焦点重合，A，B B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|＝( )