关于全错位问题的结论

关于“全错位问题”的一个重要结论

一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。则可得一个重要结论：

f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时 共1种情况

而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时 或

共2种情况

而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式

n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位

数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？

列举如下：

共9种排法

而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式

同理可验证：

F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……

下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)

1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，

当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；

2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，

则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i

（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排

列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).

故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，

∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.

即当n=k+1时，等式也成立.

所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为

f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).

下面举例说明*式的应用

例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?

[解]此题属于4个元素的全错位问题

由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得

f(4)=9

故分配方式有9种

例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？

[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。

故投放总数为N=C2

f(3)=10×2=20(种)

5

例3．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多两个号码一致的坐法有多少种？

[解法一]（直接法）至多两个号码一致，分三种情况：

1、“恰两个一致”等价于“恰3个错位” N1=C3

5

·f(3)=20

2、“恰一个一致”等价于“恰4个错位” N2=C4

5

·f(4)=45

3、“没有一致”等到价于“5个全错位” N3=f(5)=44

∴N= N1+ N2+ N3=109

[解法二]（间接法）无任何限制条件时，A5

5

=120

“恰有三个号码一致”，等价于“恰有2个错位”

∴N1=C2

5

f(2)=10

“恰有四个号码一致”与“恰有五个号码一致”的坐法属同一种情况，共一种。故N2=1

故N=A5

5

-N1-N2=120-10-1=109

例4.某人随机地将编号为1、2、3、4的四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完。

（1）求编号为奇数的小球放入编号为奇数的盒子中的概率。

（2）当一个小球放入其中一个盒子时，若球的编号与盒子的编号相同，称这球是“放对”的，否则称这球是“放错”的。设“放对”的球的个数为§，求§的分布列及数学期望。

[解析]（1）四个编号为1、2、3、4的小球放入四个编号为1、2、

3、4的盒子，共有A4

4

=24种不同的放法，而编号为奇数的小球放入编

号为奇数的盒子有A2

2·A2

2

=4种不同的放法，因此所求的概率。

P= = =

（2）对于“§的分布列及数学期望”的求解，关键是对§的可能取值进行正确的判断，球“放错”，即属于“全错位问题”，设“放对”的球的个数为§，则

§=0，则有4个球全错位，故P（§=0）= =

§=1，则有3个球全错位，故

P（§=1）= = =

§=2，则有2个球全错位，故

P（§=2）= = =

§=3时，只要有3个球“放对”，则一定有4个球“放对”，不存在“放错”问题，故§=3时不存在。

§=4时，4个球全“放对”，共1种情况，故P（§=4）=

因此§的分布列为

§0 1 2 4

P

§的数学期望为

E§=0× +1× +2× +4× =1

本题总结：高考对离散型随机变量主要考查两个方面：一是求概率分布列；二是求随机变量的期望。求概率的过程中要注意分类讨论思想的运用，分类要做到不重不漏。此题中分类正是抓住了“全错位问题”中，“0个元素全错位”即“4个元素全对”，故分布列中有§=4；因“1个元素全错位”不可能，故§=3不存在；“2个元素全错位”即