关于全错位问题的结论

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“错位”问题解法探讨“错位”问题解法探讨

“错位”问题解法探讨“错位”问题解法探讨【摘要】“错位”排列是高中数学中排列组合一章的难点，很多同学对相关问题或无从下手，或分析的思路混乱.其实，该类型的题目其规律性很强，掌握了规律，相关问题可迎刃而解.在此，通过对典型的题目进行分析，探讨总结解此类题的规律.【关键词】错位；解法；探讨；规律?オ?问题(部分指定元素“错位”) 编号为1号至n(n ≥2)号的n名运动员，分别从编号为1号至n号的n 个运动项目中各选择1个不同的运动项目进行训练.如果1号至k号(k＜n)的k名运动员不选择与自身编号相同的运动项目,求满足条件的不同选择种数.解法1 利用容斥原理求解.容斥原理：对k个集合M1，M2，…，Mk，则card(M1∪M2∪…∪Mk)=?А?1≤i≤k?И?card(Mi)-?А?1≤i1 同理k=m时分为两种情形：一是“m＋1号运动员选择了m＋1号运动项目”，这就是去掉了m＋1号运动员和m＋1号运动项目问题，其不同选择种数为an-1,m，由⑤得an-1,m=C0m•An-1n-1-C1m•An-2n-2+C2m•An-3n-3-…+（-1）m-1Cm-1m•An-mn-m+(-1)mCmm•An-m-1n-m-1;二是“m＋1号运动员不选m＋1号运动项目”，这就是k=m+1时的情形，其不同选择种数为an,m+1，所以an,m+1=an,m-an-1,m=C0m•Ann-C1m•An -1n-1＋C2m•An-2n-2-…＋（-1）m-1Cm-1m•An-m+1n-m+1＋(-1)mCmm•An-mn-m-［C0m•An-1n-1-C1m•An-2n-2＋…＋(-1)m-1•Cm-1m•An-mn-m＋(-1)mCmm•An-m-1n-m-1］=C0m•Ann-(C1m＋C0m)An-1n-1＋(C2m＋C1m)An-2n-2＋…＋［(-1)mCmm-(-1)m-1Cm-1m］An-mn-m-(-1)mCmm•An-m-1n-m-1.因为Cmn+Cm-1n=Cmn+1，所以C1m＋C0m=C1m+1，C2m＋C1m=C2m+1，…，?オ?Cmm＋Cm-1m=Cmm+1.而C0m=C0m+1，(-1)mCmm-(-1)m-1Cm-1m=(-1)m(Cmm＋Cm-1m)，-(-1)mCmm=(-1)m+1Cm+1m+1，所以k=m＋1时，an,m+1=C0m+1•Ann-C1m+1•An-1n-1＋C2m+1•An-2n-2-…＋(-1)mCmm+1•An-mn-m＋(-1)m+1Cm+1m+1•An-(m+1)n-(m+1）成立.综上所述，得an,k=C0k•Ann-C1k•An-1n-1＋C2k•An-2n-2-…＋(-1)kCkk•An-kn-k.这与容斥原理的解法殊途同归.变式1(完全“错位”) 编号为1号至n(n≥2)号的n名运动员，分别从编号为1号至n号的n个运动项目中各选择1个不同运动项目进行训练.如果每名运动员均不选择与自身编号相同的运动项目，求满足条件的不同选择种数.解法1 用原问题的求解公式求解.原问题中，当k=n时，就是完全“错位”问题.令A00=1，得an,n=C0n•Ann-C1n•An-1n-1＋…＋(-1)n-1Cn-1n•A11＋(-1)nCnn•A00.这就是完全“错位”问题的求解公式.解法2 用递推法求解.递推法1 设n=k时，满足条件的选择种数为ak,k.分两步考虑：第一步，首先由1号运动员选择运动项目，选择种数为n-1.第二步，若1号运动员选择的是i号(i≤n且i≠1)运动项目，则由i号运动员第二个选择运动项目，i号运动员的选择分为两类：第一类是i号运动员选择1号运动项目，此时1号运动员和i 号运动员的选择确定了，这就是“n-2名运动员和n-2个运动项目”的完全“错位”问题，选择种数为an-2,n-2；第二类是i号运动员不选择1号运动项目，此时1号运动项目替代了i号运动项目的作用(因为i号运动项目不会被再选择)，这就是“n-1名运动员和n-1个运动项目”的完全“错位”问题，选择种数为an-1,n-1，于是得：an,n=(n-1)(an-2,n-2＋an-1,n-1)(n≥4).⑥显而易见，n=2时，a2,2=1；n=3时，a3,3=2，所以式⑥是完全“错位”问题求解的递推公式.此式表达简洁且分散了运算量.递推法2 “n名运动员从n个运动项目中各选择1个不同项目”选择种数为Ann，可分为n类：n名运动员均不选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为an,n；n名运动员中有且只有1名运动员选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为C1n•an-1,n-1；n名运动员中有且只有2名运动员选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为C2n•an-2,n-2；…；n名运动员中有且只有n-2名运动员选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为Cn-2n•a2,2；所有运动员均选择选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为1(n名运动员中不可能有且只有n-1名运动员选择与自身编号相同的运动项目).于是得an,n=Ann-C1n•an-1,n-1-C2n•an-2,n-2-…-Cn-2n•a2,2-1(n≥3，a2,2=1).此式也是完全“错位”问题求解的递推公式，只是没有递推法1中的递推公式简洁.利用递推法2的分析思路，也可得到原问题求解的一种递推方法.原问题可以这样分类：k＋1号至n 号运动员中，每名运动员均不选择与自身编号相同的运动项目(即没有运动员选择与自身编号相同的运动项目)，选择种数为an,n；k＋1号至n号运动员中有且只有1名运动员选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为C1n-k•an-1,n-1；k＋1号至n号运动员中有且只有2名运动员选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为C2n-k•an-2,n-2；…；k＋1号至n号运动员中所有运动员均选择与自身编号相同的运动项目(即有n-k名运动员选择与自身编号相同的运动项目)，选择种数为Cn-kn-k•ak,k.所以an,k=an,n＋C1n-k•an-1,n-1＋C2n-k•an-2,n-2＋…＋?┆?Cn-kn-k•ak,k.变式2(限额“错位”) 编号为1号至n(n≥2)号的n名运动员，分别从编号为1号至n号的n个运动项目中各选择1个不同的运动项目进行训练，求有且只有k(1≤k≤n)名运动员不选择与自身编号相同的运动项目的不同选择种数.简析由题意知，n名运动员中，有n-k名运动员所选择的运动项目的编号与自身编号相同，所以不同选择种数为Cn-kn•ak,k.变式3(部分元素“错位”) 编号为1号至n(n≥2)号的n名运动员，分别从编号为1号至n号的n个运动项目中各选择1个不同的运动项目进行训练，求至少有k(1≤k＜n)名运动员不选择与自身编号相同的运动项目的不同选择种数.简析至少有k名运动员不选择与自身编号相同的运动项目包含：n名运动员均不选择与自身编号相同的运动项目，即没有运动员选择与自身编号相同的运动项目，其选择种数为an,n；有且仅有n-1名运动员不选择与自身编号相同的运动项目，即有且仅有1名运动员选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为C1n•an-1,n-1；…；有且仅有k＋1名运动员不选择与自身编号相同的运动项目，即有且仅有n-k-1名运动员选择与自身编号相同的项目选择种数为Cn-k-1n•ak+1,k+1；有且仅有k名运动员不选择与自身编号相同的运动项目，即有且仅有n-k名运动员不选择与自身编号相同的运动项目，选择种数为Cn-kn•ak,k.所以，至少有k名运动员不选择与自身编号相同的运动项目的不同选择种数为an,n＋C1n•an-1,n-1＋…＋Cn-k-1n•ak+1,k+1＋Cn-kn•ak,k.变式4 从编号为1号至n(n≥2)号的n名运动员中抽出m(m＜n)名运动员，分别在编号为1号至m号的m项运动项目中选择1个不同运动项目进行训练.如果1号至k(k＜m)号运动员均不选择与自身编号相同的运动项目，求满足条件的不同选择种数.简析当m≤n-k时，1号至k号运动员中被抽出的人数可以是0至k，所以此时分为k＋1类：1号至k号运动员中被抽出的人数为0，k＋1号至n号运动员中被抽出的人数为m，满足条件的不同选择种数为Amn-k；1号至k号运动员中被抽出的人数为1，k＋1的m名运动员中有1名“错位”，所以满足条件的不同选择种数为C1k•Cm-1n-k•am,1；…；1号至k号运动员中被抽出的人数为k，k＋1号至n号运动员中被抽出的人数为m-k，此时被抽出的m名运动员中有k名“错位”，所以满足条件的不同选择种数为Ckk•Cm-kn-k•am,k.所以满足条件的不同选择种数为：Amn-k＋C1k•Cm-1n-k•am,1＋…＋Ckk•Cm-kn-k•am,k.当m＞n-k时，1号至k号运动员中被抽出的人数可以是m＋k-n至k，所以此时分为n-m＋1类：1号至k号运动员中被抽出的人数为m＋k-n，k＋1号至n 号运动员中被抽出的人数为n-k，此时被抽出的m名运动员中有m＋k-n名“错位”，所以满足条件的不同选择种数为Cm+k-nk•Cn-kn-k•am,m+k-n；1号至k号运动员中被抽出的人数为m＋k-n＋1，k＋1号至n号运动员中被抽出的人数为n-k-1，此时被抽出的m名运动员中有m＋k-n＋1名“错位”，所以满足条件的不同选择种数为Cm+k-n+1k•Cn-k-1n-k•am,m+k-n+1；…；1号至k号运动员中被抽出的人数为k，k＋1号至n运动员中有k名“错位”，所以满足条件的不同选择种数为Ckk•Cm-kn-k•am,k.所以满足条件的不同选择种数为：Cm+k-nk•Cn-kn-k•am,m+k-n＋Cm+k-n+1k•Cn-k-1n-k•am,m+k-n+1＋…＋Ckk•Cm-kn-k•am,k.【参考文献】葛军主编.新编高中数学奥赛指导（2005年10月第3版）.第2页、第3页、第4页.。

关于全错位问题的结论

关于“全错位问题”的一个重要结论一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。

“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。

在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。

则可得一个重要结论：f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时共1种情况而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时或共2种情况而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？列举如下：共9种排法而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式同理可验证：F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。

在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.即当n=k+1时，等式也成立.所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).下面举例说明*式的应用例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?[解]此题属于4个元素的全错位问题由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得f(4)=9故分配方式有9种例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。

全错位排列——精选推荐

全错位排列以前接触过这样的题⽬，但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释：基本简介全错位排列：即被著名数学家(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli，1667－1748)的⼉⼦(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，⼤意如下：⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成⼀排a1，a2，...，an。

则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：公式证明：设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）应⽤：（1）简单排列1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式：⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封，a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B⾥了，包含着这个错误的⼀切错装法分两类：（1）b装⼊A⾥，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关，应有f(n-2)种错装法。

完全错位排列公式的完美证明

十八世纪的数学家⋅N .贝努利（Niclaus Bernoulli ）提出了这样一个问题：一个人写了n 封信，并且写了n 个对应的信封，这个人随机将这n 封信分别装入这n 个信封，问：都装错的情况有多少种？贝努利只是提出了这个问题，但他并没有解决这个问题.后来欧拉对此题产生了兴趣，并在与贝努利毫无联系的情况下，独自解出了这个难题，给出了‘‘装错信封’’问题的一劳永逸的答案：设n 个信封都装错的情况数为n D ，那么()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n . ‘‘装错信封’’问题的等价数学模型是：编号为1，2，3，......，n 的n 个人，做到编号为1，2，3，......，n 的n 个座位上，每个人对不对号入座的坐法有多少种？我们用n D 表示n 个人都不对号入座的坐法种数，现求n D 的表达式.第1步：第1号人先入座，有1-n 种坐法；第2步：再考虑另外1-n 个人的坐法.若第1号人坐到k 号座位，那么第k 号人的坐法可分两类: ①第k 号人恰好坐到第1号座位上，则剩下的2-n 个人都不对号入座，再坐2-n 个座位，坐法有2-n D 种；②第k 号人没坐到第1号座位上，那么问题就相当于求1-n 个人不对号入坐1-n 个座位法的方法数，有2-n D 种坐法.由分类分步计数原理可知：n 个人都不对号入坐的坐法种数：()()211--+-=n n n D D n D .由此可建立起递推数列的方程()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-===--3.1102121n D D n D D D n n n下面来求解这个方程()[]2111------=-n n n n D n D nD D ()()[]32221-----=n n D n D()()[]43331-----=n n D n D =()[]12221D D n --=-()21--=n ()n 1-=两边同除以！n 得，()()!1!1!1n n D n D nn n -=---，利用累加法可得 ()+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!1!!1n D n D n D n n n ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----!2!121n D n D n n ++ !1!1!2112D D D +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+()+-=!1n n ()()+---!111n n ()0!212+-+ ()+-=!1n n ()()+---!111n n ()+-+!212()()!01!1101-+-+ 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n . 当1=n 时，0!11!01!11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=D ，符合题意当2=n 时，1!21!11!01!22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=D ，符合题意故()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n 对任意正整数n 都成立. 利用上述公式可得213!31!21!11!01!33=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅=D 9141241!31!21!11!01!44=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⋅=！D 44152060!5141!31!21!11!01!55=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⋅=！D 以此类推可求出n D 的所有值.值得注意的是：在解题过程中二阶递推关系式()()211--+-=n n n D D n D 也应用比较广泛，01=D ，12=D ，所以()22123=+=D D D()93234=+=D D D()444345=+=D D D ，等等以此类推. 为了避免约分，()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--++-+-⋅=-!1!11!31!21!11!01!1n n n D n n n ，也可以记作()()n n n n n n n n A A A D 111132-+-++-=--- .。

全装错信问题即全错位排列问题及拓展

全装错信问题即全错位排列问题及拓展——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是——我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。

〖解法〗容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6;依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。

为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。

不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释：思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况：第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图：第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图：以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3)我们还可以这样思考：思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐，方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位；方法2：第i 个人张三走进去与将(i-1)个人中的某一个人换出来（i-1种方法），换出来的人（不妨称是李四）坐张三的板凳，换出来的李四的板凳看作张三的新板凳，这样又面临了(i-1)个元素进行全错位排列问题（a[i-2]种方法），这样就整体上也都是全错位了。

数学建模论文墨菲定律与全错位排列问题

墨菲定律与全错位排列问题摘要本文以墨菲定律为引，研究全错位排列问题。

错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？关键词墨菲定律全错位排列墨菲定律是美国的一名工程师爱德华·墨菲作出的著名论断，亦称莫非定律、莫非定理、或摩菲定理，是西方世界常用的俚语。

墨菲定律主要内容是：事情如果有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。

爱德华·墨菲（Edward A. Murphy）是一名工程师，他曾参加美国空军于 1949年进行的MX981实验。

这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限。

其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16个加速度计全部装在错误的位置。

于是墨菲作出了这一著名的论断，并被那个受试者在几天后的记者招待会上引用。

墨菲定律中提及的实际上是一个全错位排列问题。

错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。

大数学家欧拉（Euler）等都有所研究。

在此可将墨菲定律中的全错位排列问题设置为一个更简单的情形。

5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法？n个不同元素排成一排，有m个元素（m≤n）不排在相应位置的排列种数共有：Ann－C(m,1)•A(n-1,n-1)+C(m,2)•A(n-2,n-2)+……+(-1)^m•C(m,m)•A(n-m,n-m)这个公式在n＝m时亦成立从而这个问题可能用上面的公式得出：A55－C(5,1)•A44＋C(5,2)•A33－C(5,3)•A22＋C(5,4)•A11－C(5,5)•A00＝44种（注意A00＝0!＝1）因此可得到全错位排列的公式：n个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n个元素不在第n位的排列数为：Ann-C(n,1)•A(n-1,n-1)+C(n,2)•A(n-2,n-2)+……+(-1)^n•C(n,n)•A(n-n,n-n)。

全错位排列——精选推荐

全错位排列
【例1】有编号为1到10的10个球，放到编号为1到10的10个盒⼦⾥，球不能放到相当编号的盒⼦⾥，⼀共有多少种不同的放法？
【例2】1-5共5个数字组成⽆重复数字的五位数，要求数字不能在对应的位数上（⽐如2不能放在第2位），⼀共可以组成多少个不同的五位数？
【例3】10个⼈每⼈写⼀封信寄到这10个⼈中的任意⼀⼈，问每个⼈都没有收到⾃⼰的信的情况⼀共有多少种？
【解析】以上是典型的“全错位”排列问题。

所谓全排列，就是每个元素都不在⾃⼰对应编号的位置上。

假设对于n个元素的全错位排列共有f(n)种，现在有n+1个元素，对于第n+1个元素，假设它放在第k(1<=k<=n)位，对于第k位上的元素k，有两种情况：
1、k排在第n+1位，那么对于剩下的除k和n+1两个元素，共有n-1个元素，对应的位置也是n-1，所以共有f(n-1)种排列⽅式。

2、k不排在第n+1位，那么这个时候完全可以把第n+1个位置看成第k个位置（因为元素k不放在此位置，所以相当于这个位置是第k位），这时除了已经放好的第n+1个元素，剩下n个元素，对应的位置也是n，共有f(n)种排列⽅式。

上述中，对于第k个元素，共有n种选择⽅式，所以
f(n+1)=n*f(n-1)+n*f(n)，
也就是f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)]
显然，f(1)=0，f(2)=1，由此可以依此计算出f(n)。

全错位排列

全错位排列先看下面例子：例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。

现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有m （m≤n ）不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m≤n ）不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出：()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这个公式在n ＝m 时亦成立A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种（注意A00＝0!＝1）再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得：A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这实际上是公式一的特殊情况。

全错位排列数的求法

其对立事件“没有一个人抽到自己的礼物”的概率为
1 P( B1 B2 ... Bn ) 1 1
根据题意可以知道全错位的排列数为
1 1 1 1 ... (1) n 2! 3! 4! n!
n Dn An 1 P( B1 B2 ... Bn )
证明完毕。
参考文献
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，2004 [2]曹汝成.组合数学.广州：华南理工大学出版社，2000 [3]张禾瑞，郝鈵新.高等代数.北京：高等教育出版社，1999
5
n 1 Ann11 Ann12 Ann13 ... (1)n1 An01 Ann22 Ann23 Ann24 ... (1)n2 An02
化简上式，我们可以得到：
4
1 1 1 1 n 1 上式 n 1 n 1 ! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 n 2 ! ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 n 1 n 1 ! n 1 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! 2! 3! 4! ... (1) n 1! 1 1 1 1 n2 ... ( 1) 2! 3! 4! n 2 ! 1 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 !n 2! 3! 4! ... (1) n 1! (1) n 1! 1 1 1 1 1 1 n n 1 ! ... (1) n 1 (1) n 2! 3! 4! n 1 ! n 1 ! n 1 1 1 1 n ! ... (1) n n ! 2! 3! 4! n n 1 n2 n 3 n4 0 An An An An An ... (1) n An

轮换即全错位排列问题案例分析

轮换即全错位排列问题一、主题与背景我们每天的课堂教学都是师生之间的互动过程。

课堂效果的好坏还与其他因素有密切的关系，这些相互作用也是非常复杂的，它们导致了课堂教学过程的发展存在着多种可能性，而这些可能性的相互作用，极大地并影响下一步的教学。

我们平时都有过这样的感受，备得很好的学教案，往往会被想象不到的“意外”打乱。

学生的看似奇怪的想法或错误的操作，有时正是教学过程中培养学生思维能力的新台阶。

如何合理利用这种“意外”，使课堂效率最大化，是我们应该深入思考的一个问题，也是对我们教师理念与智慧的挑战。

下面这些案例或许可以给我们一些启示：二、案例事件用多媒体展现新年联欢会的一个片段：每个学生从箱子里拿出一张别人的贺卡。

问有多少种不同的拿法？老师：请数数学生：太多，数不清老师：用什么知识解答学生：排列组合老师：什么类型？学生：甲特殊元素特殊位置学生乙：不对，元素都特殊，无从下手。

老师：把这个实际问题转化为数学问题：情境（一）有编号为1，2，3，…，n 的n 个小球，将其装入编号为1，2，3，…，n 的n 个盒子中，每盒装一个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种？学生：元素更多，心烦。

老师：多可以变少（为方便起见，设n 个球的不同的装球方法有a n 种）学生：当n=1时，a 1=0n=2时a 2=1n=3时a 3=2n=4时a 4=9n=5时a 5=44老师：n=6,7,8,…。

我们不能一直这样计算下去。

学生：正难则反，用总数减去不符和要求的情况老师：举例说明你的方法例n=6学生：61234566666666*44*9*4*2*1*0A C C C C C C ------老师：总结出一般规律学生：1*n n n A C -（n-1个小球与盒的编号不同的种数）-…-*0n n C老师：该式化简的结果为多少（学生开始利用排列组合知识计算），没有结果。

情境（二）老师：此方法很好，是个解决该问题的通法，只不过用排列组合知识计算得不到一个具体的结果。

全错位排列

全错位排列n个相异的元素排成一排，，...，。

则(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数N为公式证明：设Ai表示元素ai在第i个位置。

不难得出N=n!-(A1∪A2∪A3……∪An)根据容斥原理（文章最后有简单说明）展开得=证毕.全错位排列的递推公式（真的有递推公式，当时只是感觉应该会出现递推的。

不过这个递推公式貌似推导不出结果的）第一个位置有n-1种可能。

设a2在第一个位置，那么如果a1在第二个位置，就是剩下的n-2个元素的全错位排列记为N（n-2）。

所以N=（n-1）*（N（n-2））+X那么a1不在第二个位置呢？此时我们把a1看成a2，既然a1不在第二个位置，我们有理由相信这相当于a2（由a1充当），a3，a4，……an，的全排列数。

即N（n-1）也就是X=（n-1）*N（n-1）所以N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）当然这并不难的出，关键是要从这个递推关系中推出通项公式。

比较复杂了。

（瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707－1783)按一般情况给出了这个递推公式）此问题也被称为Install the wrong envelope problem（装错信封问题）N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）公式可重新写成N(n)-nNf(n-1)=-[N(n-1)-N(n-1)f(n-2)] (n>2)于是可以得到N(n)-nN(n-1)=-[N(n-1)-(n-1)N(n-2)]=((-1)^2)[N(n-2)-(n-2)N(n-3)]=((-1)^3)[N(n-3)-(n-3)N(n-4)]=……=[(-1)^(n-1)][N(3)-3N(2)]=[(-1)^(n-2)][N(2)-2N()]通过列举可知N(1)=0 N（2）=1 N(3)=2 N(4)=9最终可以得到一个更简单的递推式N(n)=nN(n-1)+(-1)^(n-2)等价于N(n)=n*N(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……（前几项验证成立）这个递推公式按现在的知识还不够推导出结果。

《全错位排列》Word 文档

《全错位排列》研究一得理科实验班黄回銮徐博强刘益佳指导教师史立莉一、问题的引入课余，我们看排列组合问题时，常遇到受限元素，受限位置的简单问题。

如5个学生站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午5节课，数学、体育、政治、语文、化学。

体育不排在第一节，数学不排在最后一节，有多少种不同排法。

对这类问题的解决，我们已很熟练。

甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除不考虑受限元素，受限位置时，5个人站成一排有P55种不同排法。

要除去甲在排头的P44种不同排法，此时已含乙站在排尾的P33种排法，然后再排除乙站在排尾的P44种不同排法。

再加上重复排除的P33种不同排法，故可得出结论：不同的排法有 P55-2P44+P33=78种二、课题的提出5个元素有2个元素受限，有2个位置受限，我们考虑若将此题深化，若5个元素都受限，都分别受限在不同的位置上。

即5个编号分别为1、2、3、4、5的学生排成一排，1不站在1号位，2不站在2号位… 5不站在5号位，即每人均不站在与其编号相对应的位置上，我们称符合这样限制条件的排列为全错位排列，那这样的全错位排列有多少种？如果有n个受限元素，又该如何解呢？我们用排除法去解，很难得出正确结论，重复的情况很复杂，很难理出头绪，我们三人决心研究《全错位排列》排列数计算问题。

带着这个问题我们请教了指导老师史立莉。

三、课题研究史老师指导我们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓励我们大胆探究。

课余我们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成熟的结论，供大家探讨，以期抛砖引玉。

四、构建命题命题：设n个编号为1、2、3、… i… j…n的不同元素a1、a2、a3…a i…a j…a n，站在一排，且每个元素均不站在与其编号相对应的位置，这样的全错位排列数为T n。

则 T n= (n-1) ( T n-1+T n-2)说明：T n-1, T n-2分别表示n-1个或n-2个不同元素全错位排列数。

全错位排列研究一得

如5个学生站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午5节课，数学、体育、政治、语文、化学。

体育不排在第一节，数学不排在最后一节，有多少种不同排法。

对这类问题的解决，我们已很熟练。

甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除法较简明，只须不考虑受限元素，受限位置时，5个人站成一排有P55种不同排法。

要除去甲在排头的P44种不同排法，此时已含乙站在排尾的P33种排法，然后再排除乙站在排尾的P44种不同排法。

带着这个问题我们请教了指导老师史立莉。

三、课题研究史老师指导我们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓励我们大胆探究。

课余我们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成熟的结论，供大家探讨，以期抛砖引玉。

则 T n= (n-1) ( T n-1+T n-2)说明：T n-1, T n-2分别表示n-1个或n-2个不同元素全错位排列数。

关于排列组合问题之全错位排列递推公式的推导

关于排列组合问题之全错位排列递推公式的推导
这个推导是偷军团—云淡的，不是我的独创（转载请注明作者：军团—云淡）
把编号1-------------n的小球放到编号1------n的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？
设n个球全放错的情况有s（n）种
1号盒子可以选[2,n] 共（n-1）种选择，设1号盒选择某号球后对应的错排次数是 a
（n-1）个选择对应的错排次数是相同的，则s（n）=（n-1）a
不妨设1号盒选择2号球
1：2号盒选择1号球，剩下（n-2）个球去错排，有s（n-2）种情况
2：2号盒不选择1号球，则后面总有一个盒子选择1号球，我们可以把1号球换成2号球，
对问题没有影响，此时就相当于对（n-1）个球去错排，有s（n-1）种情况
于是a= s（n-1)+s(n-2)
s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]
s(2)=1,s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
.........
例题1.5个信封都写有1-5编号，现在放进5个有编号1-5的邮箱，问信封和邮箱都不相同的情况有多少种？。

全错位排列数公式的推导与化简

全错位排列数公式的推导与化简一、提出问题装错信封问题：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，若他把这n封信都装错了信封，那么装错信封的装法共有多少种？这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.把n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.将编号分别为1，2，3，…，n的n个不同元素a1，a2，a3，…，an，安排在这n个位置作全排列，若某个排列中每个元素都错位，则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数，记为Dn，易得D1=0，D2=1，D3=2.二、递推关系式对于n=4，D4推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C13=3种排法.1234a3a1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是a3，此时应考虑a1的位置，包括两种情况.若a1安排在第三个位置，则a2和a4排法是D2=1；若a1不安排在第三个位置，而a2不排在第二个位置，a4不排在第4个位置，对应的排法是D3=2.因此，当第一个位置安排的是a3时，对应的排法共有D2+D3=3，而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以D4=C13（D2+D3）=9.对于Dn，推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C1n-1=n-1种排法.12…m…nama1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是am，此时应考虑a1所放的位置，包括两种情况.若a1安排在第m个位置，则对应的排法是Dn-2；若a1不安排在第m个位置，由于a2不排在第二个位置，…，an不排在第n个位置，对应的排法是Dn-1.因此，当第一个位置安排的是an时，对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2）. （1）整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-（n-1）Dn-2].这表明，{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项，公比为-1的等比数列，于是Dn-nDn-1=（-1）n-2，故Dn=nDn-1+（-1）n，其中n≥2，n ∈N+. （2）对于（1）式还有一种方法：设满足题意的放法有Dn种，当加入第n+1个元素和编号时，对于Dn的每一种放法，都可以把第i（i=1，2，3，…，n）个元素与第n+1个元素互换，把第i个元素放入第n+1个位置，有nDn种放法；也可先把第n+1个元素放入第i个位置，还余下n个位置，而把第i 个元素不放入第n+1个位置，其它元素也不放在对应的位置，则此时有nDn-1种放法，所以Dn+1=nDn+nDn-1，n≥2.三、全错位排列数公式利用递推关系式Dn-nDn-1=（-1）n，各项同除以n！，得Dnn！-Dn-1（n-1）！=（-1）nn！，构造数列bn=Dnn！，并利用数列恒等式bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）有Dnn！=01！+（-1）22！+（-1）33！+…+（-1）nn！，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].下面根据Dn=nDn-1+（-1）n利用分步迭代法推导Dn.D2=2D1+（-1）2，D3=3D2+（-1）3=3×2D1+3（-1）2+（-1）3.由于D1=0，则D4=4D3+（-1）4=4×3（-1）2+4（-1）3+（-1）4，D5=5D4+（-1）5=5×4×3（-1）2+5×4（-1）3+5（-1）4+（-1）5=5！2！（-1）2+5！3！（-1）3+5！4！（-1）4+5！5！（-1）5，…，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].还有一种方法：利用递推关系式Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2），设Dk=k！pk，k=1、2、3、…、n，则p1=0，p2=12.当n≥3时，由Dn=（n-1）（Dn-1+Dn-2）得n！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）（n-2）！pn-2，即n（n-1）！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）！pn-2，可知npn=（n-1）pn-1+pn-2，即npn=npn-1-pn-1+pn-2，则pn-pn-1=-pn-1-pn-2n，pn-1-pn-2=-pn-2-pn-3n-1，……，因此有pn-pn-1=（-1n）（-1n-1）（-1n-2）…（p2-p1）=（-1）n1n！，pn-1-pn-2=（-）n-11（n-1）！，…，p2-p1=（-1）212！.各式两边相加得pn=12！-13！+…+（-1）n1n！.所以Dn=n！pn=n！[1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！].四、化简公式由于e-1=1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！+…，e=2.71828.即e-1=pn+（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…余项为Rn=（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…=（-1）n+11（n+1）！（1-1n+2）+…那么该余项取值范围如何呢？由泰勒中值定理可知，在含有x0的某个开区间（a，b）内，函数f（x）可表示为（x-x0）的一个n次多项式pn（x）与一个余项Rn（x）之和，此和是关于（x-x0）的幂级数即泰勒级数，其中pn（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f （n）（x0）n！（x-x0）n，余项为Rn（x）=f （n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.ξ在x与x0之间.若将函数f（x）=ex展开成x的幂级数即麦克劳林级数，由于x0=0，f （n+1）（x）=ex，则ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+….对于任何有限的x、ξ（ξ在0与x之间），余项为Rn （x）=eξ（n+1）！xn+1.而函数f（x）=ex展开成x的幂级数中含有xn+1的项为f （n+1）（ξ）（n+1）！xn+1=ex（n+1）！xn+1，可见二者形式相似.由于x=-1，因此e-1的幂级数的余项为Rn（-1）=（-1）n+1eξ（n+1）！，且ξ∈（-1，0）.因此Dn=n！e-1-（-1）n+1eξn+1.设λ=|n！Rn|=|（-1）n+1eξn+1|=eξn+1，由于eξ∈（1e，1），当n=1时，λ。

高中数学排列组合：全错位排列问题详解

利用此递推关系可以分别算出 T4=9，T5=44，所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3．关于全错位排列数的一个通项公式：Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] （n≥2）.
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1（n∈N*），试计算以下各式的值：（1） A42 A41 A40 ；（2） A53 A52 A51 A50 ；（3） A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
1．错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时（*）式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为：
Tn=
aj 不排 i 位

全错位排列递推公式

全错位排列递推公式全错位排列是指一个序列中的每个元素都不在其原始位置上的排列方式。

在数学中，我们可以使用递推公式来计算全错位排列的数量。

本文将介绍全错位排列的概念，并给出相应的递推公式。

一、全错位排列的定义全错位排列是指一个序列中的每个元素都不在其原始位置上的排列方式。

换句话说，对于一个长度为n的序列，全错位排列的每个元素i必须满足pi ≠ i，其中pi表示元素i的位置。

例如，对于长度为3的序列{1, 2, 3}，其全错位排列可以是{2, 3, 1}或者{3, 1, 2}等，但不能是{1, 2, 3}，因为其中元素1在其原始位置上。

二、全错位排列的数量为了计算全错位排列的数量，可以使用递推公式。

假设Dn表示长度为n的序列的全错位排列数量，则有以下递推公式：Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)其中D1 = 0，D2 = 1。

根据递推公式，我们可以通过计算Dn来得到长度为n的序列的全错位排列数量。

下面是具体的计算过程：D1 = 0D2 = 1D3 = (3-1)(D2 + D1) = 2(1 + 0) = 2D4 = (4-1)(D3 + D2) = 3(2 + 1) = 9D5 = (5-1)(D4 + D3) = 4(9 + 2) = 44依此类推，我们可以得到长度为n的序列的全错位排列数量。

三、应用举例全错位排列的概念和递推公式在实际问题中有着广泛的应用。

下面举例说明两个应用情景。

1. 座位安排问题：假设有n个人参加一个会议，会议的座位是按照1到n的顺序排列的。

为了增加交流和合作，组织者希望每个人坐在与其原始位置不同的位置上。

那么，可以使用全错位排列的递推公式来计算有多少种座位安排方式。

2. 文件排序问题：假设有一组文件需要根据一定的顺序进行排序，但不能按照文件原始顺序进行排序。

可以使用全错位排列的递推公式来计算有多少种文件排序的可能性。

通过以上两个应用举例，我们可以看到全错位排列的概念和递推公式在实际问题中起到了重要的作用，帮助我们解决座位安排和文件排序等问题。

高中数学排列组合：全错位排列问题详解

第二步：将剩余的
4
个名额分到这
6
个班里，由隔板法知，此时，有
C
5 9
种不同分法。由分
步计数原理知，共有
C
5 9
种不同分法。
C
5 9
=C
4 9
=
98 43
7 2
6 1
=126（种）。
答：某校召开学生会议，要将 10 个学生代表名额，分配到某年级的 6 个班中，若
每班至少 1 个名额，有 126 种不同分法.
(1).一般地，设 n 个编号为 1、2、3、… 、i、…、j、…、n 的不同元素 a1、a2、a3、…、 ai、…、aj、…、an，排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的全错位排列数为 Tn ，则 T2=1，T3=2，Tn= (n-1) ( Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）.
(2).递推关系的确立
aj 不排 i 位
表（2）
此时，ai 仍排在 j 位，aj 不排在 i 位，则 aj 有 n-1 个位置可排，除 ai 外，还有 n-1 个元
素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为 n-1 个元素全错位排列，排列数为 Tn-1，
由乘法原理和加法原理可得：Tn=(n-1)(Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）.
要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有
种不同的放
法.
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限
制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
例 3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，
则不同的坐法有
种.
解析：可以分类解决：

n个元素全错位排列公式

n个元素全错位排列公式假设我们有n个元素需要进行全错位排列。

全错位排列是指每个元素只能出现在它在原始序列中的其他位置，并且每个位置只能出现一个元素。

为了求解这个问题，我们可以使用递归的方法。

首先，我们选择一个元素作为当前位置的元素。

然后，我们将其余的n-1个元素进行全错位排列。

接下来，我们将当前位置的元素与每个全错位排列组合起来，形成新的全错位排列。

下面是一个简单的算法来求解n个元素的全错位排列：1. 如果n = 1，则只有一个元素，返回包含该元素的列表作为结果。

2. 否则，对于每个元素i，从1到n，执行以下步骤：- 2.1 将元素i从原始序列中移除，并将其余的n-1个元素进行全错位排列，得到一个包含(n-1)元素全错位排列的列表。

- 2.2 将元素i插入到每个全错位排列的每个位置，并将结果添加到一个新的列表中。

3. 返回包含所有全错位排列的列表作为结果。

下面是一个示例来说明这个算法。

假设我们有3个元素：A，B和C。

按照上述算法，我们可以得到以下全错位排列：ABCACBBACBCACBACAB通过这个算法，我们可以得到n个元素的全错位排列公式。

对于本文的格式，我们可以按照常规的论述性文章格式进行撰写，包括引言、正文和结论部分。

以下是一种可能的格式：---n个元素全错位排列公式引言：全错位排列是一个经典的排列问题，用于解决一组元素按照一定规则进行排列的情况。

在本文中，我们将介绍一种递归算法，用于求解n 个元素的全错位排列。

正文：在算法中，我们首先考虑边界情况，即当n等于1时，只有一个元素需要进行排列，因此只有一种排列方式。

然后，我们使用递归的方法，通过不断选择当前位置的元素、对剩余元素进行全错位排列，并将结果与当前位置的元素组合得到新的全错位排列。

最后，我们将所有全错位排列的结果返回。

结论：通过以上算法，我们可以得到n个元素的全错位排列。

该算法的时间复杂度为O(n!)，因为它需要生成所有的全错位排列。

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