高考数学 题型全归纳 正弦定理的变形应用典型例题
2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广
2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广（1）已知△ABC 中，∠A =60︒，a ,则++sin +sin +sin a b cA B C=A ．1B ．2C ．D ．无法求解（2）已知△ABC 中，∠B =45︒，b =A ． BCD ．无法求解（3）在ABC △中，若::A B C =1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1 2D ．2∶1【参考答案】（1）B ；（2）B ；（3）C ． 【试题解析】（1）根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++==++．故选B ．（2）根据正弦定理的推广，可得2sin sin 45b R B ===︒，即R =，故△ABC ，故选B ．（3）设A ＝k ，B ＝2k ，C ＝3k ，由++180A B C ︒＝，得6k ＝180°，k ＝30°，∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12．故选C ． 【解题必备】正弦定理的常见变形及推广如下： （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c======． （2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++．（3）::sin :sin :sin a b c A B C =．（4）正弦定理的推广：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC △外接圆的半径． （5）===2sin sin sin a b c R A B C的两种变形的应用： ①（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ②（角化边）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===． 熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒,a =ABC△的外接圆的面积为 A ．2πB ．23π C ．πD ．4π2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的外接圆的半径是3，3a =，则A =A ．30︒B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △中最长的边是 A ．a B ．bC ．cD ．b c 或4．已知ABC △的外接圆的半径R =cm ，A ＝60°，则BC 边的长为______________ cm ．1．【答案】C 【解析】由2sin aR A=得1R =，所以ABC △的外接圆的面积为π，故选C ． 2．【答案】D【解析】根据正弦定理，得2sin a R A =，31sin 262a A R ===， ∵0180A <<︒︒，∴30A =︒或150A =︒．故选D ． 3．【答案】A【解析】由正弦定理可知sin cos B B =，sin cos C C =，所以45B C ==︒， 故90A =︒，所以a 为最长的边．故选A ． 4．【答案】9【解析】根据正弦定理的推广可知2sin BCR A=，所以2sin BC R A =9==cm ．。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
正弦定理知识点及题型总结
6.4.3.2正弦定理一、概念1.正弦定理：设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，外接圆的半径为R ，则R CcB b A a 2sin sin sin === 证明：2.正弦定理的变形（1）A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= （2）=A sin R a 2；=B sin R b 2；=C sin Rc 2 （3）c b a C B A ::sin :sin :sin =（4）CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=== （5）C A c B A b a sin sin sin sin ==；C B c A B a b sin sin sin sin ==；ACa B Cbc sin sin sin sin == 3.三角形的面积公式：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则ABC ∆的面积c b a ABC ch bh ah S 212121===∆（其中c b a h h h ,,分别为边c b a ,,上的高）B ca A bcC ab sin 21sin 21sin 21=== C BA cBC A b A C B a sin 2sin sin sin 2sin sin sin 2sin sin 222=== C B A R sin sin sin 22=（其中R 是ABC ∆的外接圆半径）R abc 4= )(21c b a r ++=（其中r 是ABC ∆的内切圆半径） 22)()(21AC AB AC AB ⋅-= ))()((c p b p a p p ---=（海伦公式）（其中p 为半周长2cb a p ++=） 特别地，若设点),(),,(2211y x B y x A ，则122121y x y x S OAB -=∆ 4.三角形解的个数ABC ∆中，已知b a ,和A 时，三角形的解得情况如下：A 为锐角 A 为钝角图形关系式 A b a sin <A b a sin =b a A b <<sinb a ≥b a ≥解的个数 无解一解两解一解一解例1.证明角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角内A 或其外角的平分线，则CDBDAC AB =题型一 已知两角和一边，解三角形例2.在ABC ∆中，已知015=A ，045=B ，33+=c ，解这个三角形小结：已知三角形的两角及一边，解三角形的步骤： ①先由内角和定理求出第三个角； ②再用正弦定理另外两边.跟踪训练：在ABC ∆中，已知030=A ，0105=C ，10=a ，解这个三角形题型二 已知两边和其中一边的对角，解三角形 例2.在ABC ∆中，已知030=B ，2=b ，2=c ，解这个三角形小结：（1）已知三角形的两边及一边所对的角，解三角形的步骤： 解法1：①先由正弦定理求另外一边所对的角（注意大边对大角）； ②再用内角和定理求第三个角； ③由正弦定理求第三边.解法2：①由已知角的余弦定理得到第三边的方程，解出第三边（注意大角对大边） ②再用余弦定理或正弦定理求出第二个角； ③用内角和定理求第三个角. 跟踪训练：在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ，解这个三角形题型三 判断三角形解得个数例3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若3=a ，4=b ，030=A ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练1.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若2=b ，4=c ，060=B ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若18=a ，20=b ，0150=A ，则此三角形（ ）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练 3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，根据下列条件，判断三角形解得情况，其中正确的有①8=a ，16=b ，030=A ，有一个解； ②18=b ，20=c ，060=B ，有两个解 ③5=a ，2=c ，090=A ，无解； ④30=a ，25=b ，0150=A ，有一个解；题型四 判断三角形的形状例4.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若22tan tan ba B A =，试判断三角形的形状小结：根据已知条件判断三角形形状，通常有两种思路：（1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中的边角混合关系化为角的关系，再根据三角恒等变换化简，进而确定三角形的形状（2）化角为边：根据正弦定理和余弦定理把已知条件中的边角混合关系化为边的关系，再根据代数运算化简，进而确定三角形的形状跟踪训练1.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，试判断三角形的形状小结：三角形的射影定理：ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-跟踪训练2.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A b a B a c cos )2(cos -=-，试判断三角形的形状总结：三角形中常见的结论：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则 （1）三角形的内角和定理：π=++C B A （2）三角形的大边对大角，大角对大边（3）锐角三角形的任何一个内角的正弦都大于其余角的余弦（4）平行四边形的性质：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和 （5）中线长定理：设ABC ∆的边c b a ,,上的中线分别为CF BE AD ,,，则222)(221a c b AD -+=，222)(221b c a BE -+=，222)(221c b a CF -+= （6）角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角A 或其外角的平分线，则CD BDAC AB =（7）（1）=+)sin(B A ，=+)cos(B A ，=+)tan(B A ，=+2sinB A ，=+2cos B A ，=+2tan BA （8）B A B A =⇔-)sin(⇔ABC ∆为等腰三角形 （9）B A B A =⇔=2sin 2sin 或2π=+B A ⇔ABC ∆为等腰或直角三角形（10）B A b a B A >⇔>⇔>sin sin B A cos cos <⇔（11）三角形中的射影定理：B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-（12）ABC Rt ∆的内切圆半径22c b a c b a S r ABC -+=++=∆，旁切圆半径2'c b a r ++=（13）1tan tan >B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；1tan tan =B A ⇒ABC ∆为直角三角形； 1tan tan <B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；（14）若2sin sin sin 222<++C B A ，则ABC ∆为钝角三角形 若2sin sin sin 222=++C B A ，则ABC ∆为直角三角形 若2sin sin sin 222>++C B A ，则ABC ∆为锐角三角形（15）若c b a ,,成等差数列，则①C B A sin ,sin ,sin 也成等差数列；②30π≤<B（16）若c b a ,,成等比数列，则30π≤<B（17）ABC ∆中的恒等式：①1cos cos cos 2sin 2sin 2sin 4-++==C B A CB A R r ②2cos 2cos 2cos 4sin sin sin cB AC B A =++③2cos 2sin 2sin 4sin sin sin cB AC B A =-+④C B A C B A sin sin sin 42sin 2sin 2sin =++ ⑤1cos cos cos 42cos 2cos 2cos --=++C B A C B A ⑥C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ⑧2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑨1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A。
高考数学复习好题精选 正弦定理和余弦定理应用举例
正弦定理和余弦定理应用举例题组一距 离 问 题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.海里/时 B ．34海里/时17626C.海里/时 D ．34海里/时17222解析：如图．由题意知∠MPN =75°+45°=120°，∠PNM =45°.在△PMN 中，由正弦定理，得sin120sin 45MN PM = ，∴MN.又由M 到N 所用时间为14-10=4小时，∴船的航行速度v== (海里/时)．答案：A2．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得＝，解得BM＝30 km.60sin45°BMsin30°2答案：3．如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .①在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝＝a . ②a sin105°sin45°3＋12在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A 、B 两点之间的距离为AB ＝＝a .AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos30°22题组二高 度 问 题4.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ( )A.米 B ．10米 C.米 D ．20米2063610632解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO=45°，∠AOB=75°，∴∠OAB=60°.由正弦定理知，20sin 45sin 60AO ，∴AO= (米)．答案：A5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进103m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC 中，由余弦定理可得cos2θ，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD 中，可得PD =PC ·sin4θ=15(m)．答案：15 m6．某人在山顶观察地面上相距2 500m 的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B 在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A 、B 与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．解：画出示意图(如图所示)设山高PQ =h ，则△APQ 、△BPQ 均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ =30°，∠PBQ =45°.∴AQ =tan 30PQ = ，BQ =tan 45PQ =h .在图(2)中，∠AQB =57°+78°=135°，AB =2 500，所以由余弦定理得：AB 2=AQ 2+BQ 2-2AQ ·BQ cos ∠AQB ，即2 5002h )2+h 2h ·h )h 2，∴h984.4(m)．答：山高约984.4 m.题组三角 度 问 题7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝a ，B ＝30°，那么3角C 等于 ( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：∵c ＝a ，∴sin C ＝sin A ＝sin(180°－30°－C )＝sin(30°＋C )3333＝(sin C ＋cos C )，33212即sin C ＝－cos C .∴tan C ＝－.又C ∈(0,180°)，33∴C ＝120°.答案：A8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为 ( )A ．300 mB ．400 mC ．200 mD ．200 m3解析：如图，AD 为山坡底线，AB 为行走路线，BC 垂直水平面．则BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°，∴BD=200，AB=2BD=400 米．答案：B10．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示：设th 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD =80t ，BE =50t .因为AB =200，所以BD =200-80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理：DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BE cos60°=(200-80t )2+2500t 2-(200-80t )·50t=12900t 2-42000t+40000.当t =7043时DE 最小．答案：704311．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∴∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得＝，∴＝，所以CP ＝sinθ.OP sin ∠PCO CP sin θ2sin120°CP sin θ43又Error!＝，∴OC ＝sin(60°－θ)．2sin120°43因此△POC 的面积为S (θ)＝CP ·OC sin120°＝·sin θ·sin(60°－θ)×1212434332＝sin θsin(60°－θ)＝sin θ(cos θ－sin θ)43433212＝，θ∈(0°，60°)．23所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为.3312．(2010·宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8 m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5 m ，∠BCD ＝60°，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB ，CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设BC ＝am (a ≥1.4)，CD ＝bm ，连接BD .则在△CDB 中，(b －)2＝b 2＋a 2－2ab cos60°.12∴b ＝.a 2－14a －1∴b ＋2a ＝＋2a .a 2－14a －1设t ＝a －1，t ≥－1＝0.4，2.82则b ＋2a ＝Error!＋2(t ＋1)＝3t ＋＋4≥7，34t 等号成立时t ＝0.5＞0.4，a ＝1.5，b ＝4.答：当AB ＝3 m ，CD ＝4 m 时，建造这个支架的成本最低．。
正弦定理经典题型归纳
正弦定理1. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即公式适用于任意三角形。
2. 正弦定理的变形3. 判断三角形解的问题 “已知a,b 和A,解三角形”①当sin B >1,无解 ②sin B =1,一解 ③sinB <1,两个解（其中B 可能为锐角也可能为钝角，具体是锐角还是钝角还是两个都可以，要根据“大边对大角”及“三角形内角和等于180”来判断）题型一：已知两角及任意一边解三角形1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14变形：题型二：已知两边及一边对角解三角形1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.4 .在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 5．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．6. 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解7.在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.8.在△ABC 中，B=4π,b=2,a=1,则A 等于 .题型三：正弦定理的边角转化1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定2．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，如果Cc B b A a tan tan tan ==,那么△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4. 在△ABC 中，已知b B a 3sin 32=，且cosB=cosC ，试判断△ABC 形状。
高考数学 高频考点归类分析 正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理的应用典型例题：例1. （2012年上海市理5分）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 ▲A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C 。
【考点】正弦定理和余弦定理的运用。
【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<。
由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<。
∴C 为钝角，即该三角形为钝角三角形。
故选C 。
例2. （2012年广东省文5分）在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，32BC =，则=AC 【 】A ． 43B ． 23C ． 3D ． 32【答案】B 。
【考点】正弦定理的应用。
【解析】由正弦定理得sin sin BC ACA B=，即0032sin 60sin 45AC =，解得=23AC 。
故选B 。
例3. （2012年湖北省文5分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若三边的长为连续的三个正整数，且>>A B C ，320cos =b a A ，则sin :sin :sin A B C 为【 】 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 。
【考点】正弦定理和余弦定理的应用。
【解析】∵,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，∴a b c >>。
∴2,1=+=+a c b c ①。
又∵已知320cos =b a A ，∴3cos 20bA a=②。
由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③。
则由②③可得2223202b b c a a bc+-=④。
联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b 。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
正弦定理基础知识及常见题型汇总
正弦定理一、考点、热点回顾（一）正弦定理及其变形1． 正弦定理：________＝________＝________＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 2． 正弦定理的常用变形(1)a ∶b ∶c ＝________________；(2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________； (3)sin A ＝________，sin B ＝__________，sin C ＝________；3． 三角形中边角的不等关系在三角形中，A ＞B ＞C ⇔ a ＞b ＞c ⇔ sinA ＞sinB ＞sinC 。
（二）正弦定理的应用：解三角形 1、 解三角形的概念2、 利用正弦定理解三角形利用正弦定理可解决两类解三角形问题： （1）已知两角及一边解三角形基本思路： 1)由三角形的内角和定理求出第三个角．2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．（2）已知两边及其中一边的对角解三角形基本思路：1)由正弦定理求出另一已知边所对的角．2)由三角形的内角和定理求出第三个角． 3)由正弦定理公式的变形，求第三条边．（3）解三角形的解的情况在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与射线AB 的公共点（除去顶点A ）A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解（三）三角形的面积公式S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·()()()p p a p b p c ---二、典型例题考点一、正弦定理概念及变形例1、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.变式训练1、（1）在△ ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .（2）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.考点二、已知两角及一边解三角形例2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.变式训练2、（1）在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．43B．2 3C. 3D.3 2（2）在△ABC中，A=45°，B=75°，c=2，则此三角形的最短边的长度是。
专题01：正弦定理常见题型
专题01：正弦定理常见题型题型一：正弦定理及辨析例1：1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin cos A Ba b=，则B =（ ） A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理结合sin cos A Ba b=求得tan 1B =，即可求出B . 【详解】 由正弦定理可得sin sin cos A B B a b b==，则sin cos B B =，tan 1B =，又()0,B π∈，则4B π=.故选：C. 举一反三1．（多选）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ， 则下列说法正确的有（ ） A ．A :B :C = a :b :c B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．若A >B ， 则a >bD ．πA B C ++=【答案】BCD 【解析】 【分析】结合三角形的性质、正弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C 选项正确. 三角形的内角和为π，所以D 选项正确.由正弦定理得::sin :sin :sin a b c A B C =，所以A 选项错误. 设sin sin sin a b ck A B C===， 则()sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin k A B C a b c a k A B C A B C A++++===++++，B 选项正确.故选：BCD2．在ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B =( )ABCD【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理可知：sin sin sin a b B A B =⇒=故选：A题型二：正弦定理解三角形例2：1．（2015·山东·高考真题）在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______．【解析】 【分析】由和角正弦公式求sin105︒函数值，再应用正弦定理求BC 即可. 【详解】sin105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理可知，sin sin AB BCC A=，∴sin sin AB A BC C ==2．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）2【解析】 【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cos sin sin ,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 55A =-= 因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =- 因此23721726cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ--=+==举一反三1．（2012·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，7，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于 A 3B 33C 36+D 339+【答案】B 【解析】 【详解】 7232127sin 60sin 7A A A =⇒==， 所以321sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 则BC 边上的高3213377h C ===B . 2．（2018北京高考）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 33【解析】 【详解】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =8437，∴sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=3314．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142⨯=，∴AC 边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 题型三：正弦定理判定三角形解得个数例3：1．设在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足3,,6a b m B π===的ABC 不唯一，则m 的取值范围为（ ） A ．33⎝ B ．3)C ．132⎛ ⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理计算可得； 【详解】解：由正弦定理sin sin a b A B =12m=，所以m =， 因为ABC 不唯一，即ABC 有两解，所以566A ππ<<且2A π≠，即1sin 12A <<，所以12sin 2A <<，所以11122sin A <<m <<故选：A2．在ABC 中，若3b =，2c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定【答案】C 【解析】 【分析】求出sin C 的值，结合大边对大角定理可得出结论. 【详解】由正弦定理可得sin sin b c B C=可得2sin 2sin sin 33c B C B b ===<， 因为c b <，则C B <，故C 为锐角，故满足条件的ABC 只有一个. 故选：C. 举一反三1．在△ABC 中，3A π∠=，b ＝6，下面使得三角形有两组解的a 的值可以为（ ）A ．4 B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】解：由题意，根据正弦定理有sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a =，要使三角形有两组解，则sin sin 1b AB a=<，且a b <，即sin b A a b <<，所以6a <，所以a 的值可以为 故选：C ．2．（多选）ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，以下条件中，使得ABC 无解的是（ ）A ．120a b A ===；B ．45a b A ===；C ．60;b A B ===D ．,sin ,60c A B c ===， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正余弦定理及三角形的性质分析解即可. 【详解】对于A ，大边对大角，而a <b ，无解； 对于B ，由正弦定理得sinB 1>，无解；对于C ，由cos A 可得sin A =a ，再由正弦定理或余弦定理可求出c ，有解；对于D ，由=c 和a ，通过余弦定理可得cos 0C =，与60C =矛盾，无解. 故选：ABD题型四：正弦定理求外接圆的半径例4：1．（2011·全国·高考真题（理））设向量,,a b c 满足2a b ==，2a b ⋅=-，,60a c b c --=︒，则c 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A 【解析】 【详解】因为2a b ==，2a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒.如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =-, C B b c =-,120AOB ∠=︒. 所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆. 不妨设为圆M ，因为AB b a =-,所以222212AB a a b b =-+=. 所以23AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4. 故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 211213【解析】 【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解. 【详解】 根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 得7BC =由正弦定理△ABC sin3=故答案为 举一反三1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,cos sin a b C c A ==-，则ABC 的外接圆半径为__________.【解析】 【分析】利用正弦定理可得sin sin cos sin sin B A C C A =-，进而可得34A π=，即得.【详解】1a =，则cos sin b a C c A =-，由正弦定理，得sin sin cos sin sin B A C C A =- 故()sin sin cos sin sin A C A C C A +=-，展开化简得：cos sin sin sin A C C A =-，()0,C π∈，sin 0C ≠， 故cos sin A A =-，()0,A π∈， 即34A π=，∴外接圆直径2R sin aA==，.2．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边若2a =，3b =，sin 2sin cos A B C =，则ABC 外接圆的半径为_____________．【解析】 【分析】利用正弦定理角化边求出cos C ，再根据余弦定理求出c ，进而求出外接圆半径.由正弦定理得，2cos a b C =，1cos 3C =， 由余弦定理得222222231cos 22233a b c c C ab +-+-===⨯⨯，解得3c =．又sin C =，所以外接圆半径12sin c R C =⋅=故答案为：8. 题型五：正弦定理边角互化例5：1．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．2．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立． 举一反三1．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为（ ）A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.2．（2022·安徽·一模（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ）A ．1B ．32C ．43D ．54 【答案】C【解析】【分析】 先由正弦定理化简得111tan tan C B +=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B +=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故1≥tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立， 此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C +⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C -取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43， 即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43． 故选：C ．。
(完整word版)高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解 、选择题1. （2010广东六校）两座灯塔A 和B 与海洋观察站=a 2 + a 2 — 2 a 2 — 2 = 3a 2••AB = .'3a.故选 D.［答案］A［解析］在△ABC 中，若sinA 〉*3」U/A>n 反之/ A>3时，不一定有sinA>¥，如5n ・n 丄,sinA sin sin^ o .6 6 2 （理）在厶ABC 中，角A 、B 所对的边长为 a 、b ,贝厂'a = b ”是“ acosA = bcosB ”的（A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件［答案］A［解析］当a = b 时，A = B ,•'acosA = bcosB ;当 acosA = bcosB 时,由正弦定理得C 的距离都等于akm ,灯塔A 在观察40°则灯塔 A 与灯塔B 的距离为 )km.( ) A . a B. ,'2aC . 2a D.'3a［答案］D［解析］ 依题意得/ ACB = 120 °.由余弦定理AC 2+ BC 2— AB 2cos120 = ------- 2AC BC••AB 2 = AC 2+ BC 2— 2AC BCcos1202.（文）（2010广东佛山顺德区质检）在厶ABC 中, “ sin A>宁” 是“/ A>n 的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件站C 的北偏东20°灯塔B 在观察站 C 的南偏东( OsinA cosA= sinB c osB,（理）（2010河北邯郸）在厶ABC 中，sin 2A + cos 2B = 1,贝U cosA + cosB + cosC 的最大值为 （ ）A.5B. .'24•'si n2A = si n2B ,：2A = 2B 或 2A = n — 2B ,亠 n• A = B 或 A + B = 2则 a = b 或 a 2+ b 2= c 2.所以 “ a = b ” ? "acosA = bcosB ” ,“ acosA = bcosB ” ? / “ a = b ”，故选 A.3.已知A 、B 两地的距离为10km , B 、C 两地的距离为20km ，观测得/ ABC = 120 ° 则AC 两地的距离为（A . 10kmC . 10 .'5km［答案］D B. .'3km D . 10.； 7km［解析］ 如图，A ABC 中，AB = 10, BC = 20,Z B = 120 °由余弦定理得, =102+ 202 — 2 X 10X 20X 1 —2 =700,nA c — b 4.（文）在厶 ABC 中，sin 2^ =_2^（a 、b 、c 分别为角 A 、B 、C 的对应边），则△ ABC 的 形状为（A •正三角形C .等腰直角三角形［答案］BB .直角三角形 D .等腰三角形 A 1 — cosA c — b b［解析］si 门号= 2 = ，：cosA = ^,b 2+c 2— a 22bc b2= c 2,故选 B.D*3 C. 1［答案］D ［解析］ Tsin 2A + COS 2B = 1,「.sin 2A = sin 2B , •.0<A , B< n -^si nA = sinB ,「.A = B. 故 cosA + cosB + COS C = 2COS A — COS 2A n 1 3 ••0<A<2，.・.O<COS A<1,.・.COS A = 2■时，取得最大值㊁. 5. （文）（2010广东汕头一中）已知△ ABC 的外接圆半径为 R ,角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,且 2R （sin 2A — sin 2C ）= （ .2a — b ）sinB ，那么角 C 的大小为（ ） n n A .§ B .2 n 2 n C ・4 ［答案］C ［解析］由正弦定理得，a 2— C 2= ,2ab — b 2, a 2 + b 2— C 2 迈 ©SC = 2ab =h ， '•0< C< n, —C =4. 1 （理）已知a 、b 、C 是厶ABC 三内角 A 、B 、C 的对边，且 A 为锐角，若sin 2A — COS 2A = ?, 则（） A . b + c<2a B . b + C < 2a C . b + C = 2a D . b + C >2a ［答案］B 2 2 1 1 ［解析］Tsin 2A — COS 2A = 2，—COS 2A =— ?, 又 A 为锐角，••• A = 60 ° —B + C = 120； B + C B — C b + C sinB + sinC 2sin 2 cos 2 …2a = 2sinA = 3 B — C =cos~2~ w 1 ,—b + c w 2a.=—2COS 2A + 2COS A + 1 = 1 2 3 2（COS A — ^）2 + 2,6. （2010北京顺义一中月考）在厶ABC中，已知COS A=寺，sinB = 5,则cosC的值为（）16A .65［答案］A5 12 3 ［解析］TcosA = 13，「.sinA =石电=sinB ,「.A>B ,16 cos(A + B) = sinAsi nB — cosAcosB =亦. ［点评］ 在△ABC 中，有 sinA>sinB? A>B. 7. 在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为 45 °再向塔底方向前进100m ，又测得塔 尖的仰角为60°，则此电视塔高约为 __________ m .（ ） A . 237 B . 227 C . 247 D . 257 ［答案］A ［解析］如图，/ D = 45° Z ACB = 60° DC = 100,/DAC = 15° 100 sin45 °in60 sin15 ° 100xg x 宁 ——-一-—〜237. •••选 A. ,6 —■ 2 n & （文）（2010青岛市质检）在厶ABC 中，/ B = 3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且 ac = 6,则b 的值是（ ） A. '2 B. .'3 C. ；5 D. .'6 ［答案］ D ［解析］ 由条件2b = a + c , •4b 2 = a 2 + c 2 + 2ac = a 2 + c 2 + 12,56 B .65 16卡 56C.65或 65D . 16 65 ••SinB = 35, •••cosB = 4, 5 • cosC = cos ［ -n(A + B)］ ••AC = DC sin45 sin15 ° •'AB = AC s in60 又 cosB = a 2+ c 2- b 2 2ac ， 1 a 2+ c 2- b 2 2 = 12•'a2+ c2= 6+ b2,••4b 2= 18+ b 2,「.b = .6 （理）△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且 c = 2a , 则 cosB =（ ） 1 3 A.4 B .4 C 亚 D 迟 C. 4 D. 3 ［答案］B ［解析］ "、b 、c 成等比数列，••• b 2= ac ,又T c = 2a , a 2+ c 2— b 2 a 2 + 4a 2— 2a 2 3 = 2（,.・.cosB = —莎一= 2a x 2a = 4. ［点评］在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则•本题融数列与三角函数于一体， 集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识•同时也体现了数列、 三角函数等内容 是高考中的热点问题，复习时要注意强化. 9.如图所示的曲线是以锐角△ ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点 A 的双曲线，若△ csinA "v 3 ABC 的内角的对边分别为 a 、b 、c ,且a = 4, b = 6, ,则此双曲线的离心率为（ ） C . 3— ,7 ［答案］DD . 3+ .7B^于？孟=:=淤？sinC弋，因为C为锐角，所以C= n，2由余弦定理知c2= a2+ b2—2abcosC= 42+ 62—2 x 4X 6X 十=28,：c= 2,7e= =b —c 6—2X2 y2、10. （文）（2010山东济南）设F1、F2是双曲线申一器=1（a>0, b>0）的两个焦点，P在双曲线上，若P ?1 P F 2= 0, |P F 1||P F 2|= 2ac （c 为半焦距），则双曲线的离心率为（ ） 3 + 1 BP 5+ 1 D r ［答案］D ［解析］由条件知，|PF i |2+ |PF 2|2= |F i F 2|2，根据双曲线定义得： 4a 2= （|PF i |— |PF 2|）2 = |PF i |2+ |PF 2|2 — 2|PF i | |PF 2|= |F I F 2|2— 4ac = 4c 2 — 4ac , •*a 2+ ac — c 2= 0,「・1 + e — e 2= 0, V 5+1 e>1, .e = (理)(2010 安徽安庆联考)如图，在△ ABC 中,tanC = AH BC = 0, AB (CA + CB )= 0, 经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 （ ） c C 1 叫 4 AH 1，A ta nC = 2C =3=AH ， 1 — tan ；A 4 2 C . 2 B. .5 — 1C. 5 + 1 5— 1 D h ［答［解••AH BC = 0 ,「.AH 丄 BC , ••tanC又T AB(CA+ CB)= 0, :.CA = CB ,.anB= tan 180—C = cotC = 2= AH,2 2 BH'3设BH = x,贝U AH = 2x,「.CH = AB = . 5x，由条件知双曲线中2C = AH = 2x,2a= AB—BH = ( ；5 — 1)x ,二、填空题 11. 如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A , B 和对岸标记物C ,测得/ CAB =30° / CBA = 45° AB = 120米，则河的宽度为 ____________ 米.［答案］60( ,'3 — 1) ［解析］ 过 C 点作 CD 丄 AB 于 D ，设 BD = X ,贝U CD = x , AD = 120 — x ,又T /CAB = 30 ° 12. （2010福建三明一中）如图，海岸线上有相距 5海里的两座灯塔 A , B ，灯塔B 位于 灯塔A 的正南方向•海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔 A 的北偏西75°方向，与A 相距 3 ,'2海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60。
高考数学真题分类大全 专题08 正弦定理和余弦定理解析
专题8正弦定理和余弦定理第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·全国高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC2AB =，则BC =（）A ．1BCD ．3【答案】D【解析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.2．（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A ．72B ．132C D 【答案】A【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A3．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=222145cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴=∴=故选：C4．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知222124ABCa b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC=()C 0,π∈ C 4π∴=故选C.二、填空题6．（2020·江苏高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC = ，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.7.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==113sin222ABC S ac B ∆==⨯=8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.9.△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【答案】233.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是3.三、解答题10．（2021·北京高考真题）已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为4ABC S ∆=；【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin 32B π∴==，23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 21sin 2c Cb B===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 2224ABC Sab C a ==⨯=，解得a=则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2.11．（2021·全国高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.12．（2020·北京高考真题）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin 2C =,S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）7sin 4C =,1574S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- 11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）143cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==由正弦定理得：73sin sin sin sin 2437a c C A C C===113sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，3757sin 816A B ∴===由正弦定理得：6sin sin 3757816a b a A B ==（Ⅱ）3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=13．（2020·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）sin 5C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得2222cos 922352b ac ac B =+-=+-⨯=，所以b =.由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==.（2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25cos 5C ==.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以115cos 25DAC ∠=.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.14．（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）323+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 周长的最大值为323+15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）33c =；（2255.【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a bA B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33,82.【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅22sin cos cos sin 3321231333(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S的取值范围是,8217.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）62sin 4C +=.【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=由正弦定理可得：222b c a bc+-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=sin 2sin A B C+=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C∴=-解得：62sin 4C =或4因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C =.（2）法二：2b c +=sin 2sin A B C+=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin(464C ππ=+=.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =，3314.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB =．又因为()0πB ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此43227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=4311333727214⨯-⨯=第二部分模拟训练1．设()2,0A -，()2,0B ，O 为坐标原点，点P 满足2216PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（）A ．⎡-⎣B ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣C ．55,22⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．55,22⎡-⎢⎣⎦【答案】C【解析】设(),P x y ，则()()2222222216PA PB x y x y +=+++-+≤，整理可得224x y +≤，故2OP ≤，在PQO 中，sin sin OQ OP QPOPQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPO OQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足4d ≤，4d ∴=≤，解得52k ≤-或52≥k .故选：C.2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4b =，ABC 的面积为则sin B =（）A ．23913B ．3913C ．5213D ．31313【答案】A【解析】1sin 2===S bc A 3c =，由余弦定理可得：2222cos 13,a b c bc A =+-=得a =又由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以sin sin 13==b A B a ，故选：A .3．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,23A b π==，且ABC a 的值为（）A ．B ．8C ．2D ．12【答案】A【解析】113sin 2222ABC S bc A c ==⨯⨯= ，解得2c =，由余弦定理：22212cos 44222122a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，a ∴=故选：A.4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，1AC BC ==，则该月牙形的面积为（）A ．3π424+B ．3π424-C ．1π424+D ．1π424-【答案】A【解析】解析由已知可得3AB =，ABC 的外接圆半径为112sin 30R =⨯=︒1.由题意，内侧圆弧为ABC 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为2π3，则弓形ABC 的面积为212π2ππ31sin 23334⎛⎫⨯⨯-=-⎪⎝⎭，外侧的圆弧以AB 为直径，所以半圆AB 的面积为2133ππ228⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，则月牙形的面积为3ππ33π834424⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A ．5．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a +--=，则B =___________.【答案】135︒(或34π)【解析】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=，又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，则原式变形整理为sin cos B B -=,即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B = （或34π）故答案为135 （或34π）6．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若sin 23sin sin 3B AC =，数列{}n a 满足32|cos|2nn a nB =，前n 项和为n S ，2n S =__________.【答案】22243n +-【解析】sin 233B sinAsinC =，由2b ac =得，2sin sin sin B A C=2sin 233B sin B ∴=，∴32sinB =，又a ，b ，c 成等比数列知b 不是最大边，∴3B π=.32222n n n n a cos nB cosπ∴==∴()222242241224020202143nn nnS+--=++++++==- 故答案为：22243n +-7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且a =，1cos 3A =，则ABC 的面积为______．【答案】【解析】由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C CC B B=，∵cos 0,cos 0C B ≠≠，∴sin cos sin cos B CC B=，∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=，又1cos 3A =，∴B C =，于是b c =．由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-即(222223b b b =+-，解得b =，故c =∴1122sin 223ABC S bc A ∆===故答案为．8．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+．（1）求角C 的大小（2）若28a b +=，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+．【解析】（1）sin()sin()a A B C c B C +-=+ ，sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=，sin sin 0A C ≠ ，1cos ,02C C π∴=<<，3C π∴=.（2）由题意可得，122ab =8ab ∴=，28a b += 联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+.9．设函数()212cos cos 5f x x x x =--.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ，c .若()5f A =-，a =2b =，求ABC 的面积.【答案】（1）T π=，值域为1,1⎡⎤-+⎣⎦（2）2【解析】（1）()212cos cos 5f x x x x =--212cos 25x x =--6cos 221x x =-+216πx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭T π∴=，值域为1,1⎡⎤-⎣⎦.（2）由已知得2156πA ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭3cos 262πA ⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭，5266A ππ∴+=或7266ππA +=3A π∴=或2πa b < ，A B ∴<，3A π∴=，1cos 2A ∴=由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-，即2342c c =+-解得1c =13sin 22ABC S bc A =⋅=10．设函数()2πsin 22cos 6f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()32f A ==，求角B 的值．【答案】（1）函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）π4B =．【解析】（1）()11πsin 2cos 2cos 21sin 2cos 21sin 2122226f x x x x x x x ⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2666x +≤≤，∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴1πsin 21226x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）∵()π3sin 2162f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵0πA <<，∴ππ13π2666A <+<，∴π5π266A +=，即π3A ==A B =，∴2sin 2B =，∵2π03B <<，∴π4B =．。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ， 又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ， （方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)正弦定理和余弦定理7种常考题型归类(解析版)
专题05正弦定理和余弦定理7种常考题型归类利用余弦定理解三角形1．（2018春•海淀区期中）在ABC ∆中，已知60A =︒，a =3b =，则c =．【解析】ABC ∆中，60A =︒，a =3b =，则2222cos a b c bc A =+-，2793c c ∴=+-，解得1c =或2c =；经验证，1c =或2c =都满足题意，c ∴的值为1或2．故答案为：1或2．2．（2023秋•昌平区校级期中）在ABC ∆中，若7a =，8b =，1cos 7B =，则A ∠的大小为()A ．6πB ．3πC ．56πD ．3π或23π【解析】7a = ，8b =，1cos 7B =，sin B∴=，∴由正弦定理可得7sin7sin82a BAb⋅===，a b<，A为锐角，3Aπ∴=．故选：B．3．（2022春•西城区校级期中）在ABC∆中，7b=，5c=，23Bπ∠=，则a=．【解析】7b=，5c=，23Bπ∠=，∴由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，可得：249255a a=++，即：25240a a+-=，∴解得：3a=，或8-（舍去），故答案为：3．4．（2016春•西城区校级期中）在ABC∆中，若3b=，1c=，1cos3A=，则(a=)A．B．C．8D．12【解析】3b=，1c=，1cos3A=，∴由余弦定理可得：22212cos9123183a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，解得：a=．故选：B．5．（2021春•顺义区校级期中）在ABC∆中，1AC=，3BC=，60A B+=︒，则AB=．【解析】1AC=，3BC=，60A B+=︒，120C∴=︒，∴由余弦定理可得：22231213cos12013AB=+-⨯⨯⨯︒=，∴解得：AB=．．6．（2023春•西城区校级期中）在ABC∆中，cos25C=，1BC=，5AC=，则AB=．【解析】cos2C=，23cos2cos125CC∴=-=-，1BC = ，5AC =，∴由余弦定理可得：AB ===故答案为：．7．（2019春•西城区校级期中）若ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，3b =，4c =，则cos (C =)A ．14-B ．14C ．23-D ．23【解析】由余弦定理可得：2222341cos 2234C +-==-⨯⨯．故选：A ．8．（2017春•丰台区期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，b =，c =，则最小角为()A ．3πB ．6πC ．4πD ．12π【解析】ABC ∆中，a b c >>，∴角C 最小；由余弦定理得，2222cos22a b c C ab +-===，又(0,)C π∈，∴4C π=，即ABC ∆中最小的角为4π．故选：C ．9．（2017春•东城区校级期中）边长为5，7，8的三角形，边长为7的边所对角的大小是()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解析】设边长为7的边所对角为α，则由已知利用余弦定理可得2225871cos 2582α+-==⨯⨯，又α是三角形内角，所以60α=︒．故选：B ．10．（2018春•西城区校级期中）ABC ∆的三边长分别为4、5、6，若将三边都减少x 后构成一个钝角三角形，则实数x 的取值范围是．【解析】根据题意，截取后三角形的三边长为4x -，5x -，6x -，且长为6x -所对的角为α，α为钝角，cos 0α∴<，222(4)(5)(6)0x x x -+---<，整理得：(1)(5)0x x --<，解得：15x <<，又40x ->，50x ->，60x ->，且456x x x -+->-，03x ∴<<，x ∴的取值范围是13x <<．故答案为：(1,3)．11．（2018春•西城区校级期中）已知*n N ∈，则以3，5，n 为边长的钝角三角形的个数是．【解析】钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，由题意，当5为钝角三角形的最大边时，有：22235n +<，解得：04n <<，由三角形三边关系可得3535n n+>⎧⎨+>⎩，得28n <<，所以24n <<，由于*n N ∈，此时，3n =；当n 为钝角三角形的最大边时，有：22235n +<，解得：n <，由三角形三边关系可得3535n n +>⎧⎨+>⎩，得28n <<，8n <<，由于*n N ∈，此时，6n =，7；故答案为：3．利用正弦定理解三角形12．（2022春•西城区校级期中）在ABC ∆中，2a =，3b =，7cos 4B =，则(A ∠=)A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π【解析】因为2a =，3b =，cos 4B =，所以3sin 4B ==，因为由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以32sin 14sin 32a BA b⨯⋅===，又b a >，可得A 为锐角，所以6A π=．故选：A ．13．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，若BC =2AC =，45B =︒，则角A 等于()A ．60︒B ．30︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒【解析】BC = 2AC =，sin sin 45B =︒=，∴由正弦定理sin sin BC ACA B=得：212sin 22A ==，BC AC < ，AB ∴<，则30A =︒．故选：B ．14．（2022秋•西城区校级期中）在ABC ∆中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．3π或23π【解析】3b =，c =，4C π=，由正弦定理可得，sin sin b cB C =，23sin 32sin 2b CB c⨯∴==，b c > ，B C >，13B π∴=或23π，故选：D ．15．（2021春•昌平区校级期中）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果10a =，30A ∠=︒，105C ∠=︒，那么b 等于()AB．C．D．【解析】由题可得1803010545B ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可得sin sin a b A B =，则210sin 21sin 2a Bb A⨯===，故选：C ．16．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()A ．10b =，45A =︒，70C =︒B ．60a =，48c =，60B =︒C ．8a =，5b =，80A =︒D ．13a =，16b =，45A =︒【解析】对于选项:10A b =，45A =︒，70C =︒，所以65B =︒，直接利用正弦定理的应用：sin sin sin a b cA B C==，解得a 和c 的值是唯一的，故该三角形有唯一解，故错误．对于选项:60B a =，48c =，60B =︒，利用余弦定理的应用：2222cos b a c ac B =+-，解得b 是唯一的，所以该三角形有唯一解，故错误．对于选项C ：由于8a =，5b =，80A =︒，利用正弦定理的应用：sin sin a bA B=，由于a b >，解得B 唯一，故三角形有唯一解，故错误．对于选项D ：由于：13a =，16b =，45A =︒，满足sin b a b A >>，故三角形有两解，故选：D．余弦定理的应用17．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则(b =)A ．25B ．5C ．4D【解析】由余弦定理知，222212cos ()22cos 492828252b ac ac B a c ac ac B =+-=+--=-⨯-⨯⨯=，所以5b =．故选：B ．18．（2015春•北京校级期中）在ABC ∆中，()()()a c a c b b c +-=+，则A ∠=．【解析】()()()a c a c b b c +-=+ ，222a c b bc ∴-=+，即222a b c bc =++①，又在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-②，由①②得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，23A π∴∠=．故答案为：23π．19．（2018春•西城区校级期中）ABC ∆中，若b c =，222(1sin )a b A =-，则A =．【解析】b c = ，2222222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A b b A b A ∴=+-=-=-，222(1sin )a b A =- ，1cos 1sin A A ∴-=-，则sin cos A A =，即tan 1A =，即4A π=，故答案为：4π．20．（2019春•西城区校级期中）在ABC ∆中，222a b c bc +- ，则A ∠的取值范围是()A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,3πD ．[,)3ππ【解析】222a b c bc +- ，222bc b c a ∴+- ，2221b c a bc+- ，∴2221cos 22b c a A bc +-=，且0A π<<，∴03A π< ，A ∴∠的取值范围是(0,]3π．故选：C ．21．（2022春•丰台区期中）在ABC ∆中，222b c a +=，且22b a =，则B =．【解析】ABC ∆中，222b c a +=-，可得222cos 222b c a A bc bc +-===-，sin 2A ==，由22b a =，可得21sin 22B A ==，由于b a <，可得B A <，则30B =︒，故答案为：30︒．22．（2013春•海淀区期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22()1a b c bc--=，则A ∠的大小是()A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【解析】已知等式变形得：2222a b bc c bc -+-=，即222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==，A 为三角形的内角，3A π∴=．故选：C ．23．（2023春•东城区校级期中）在ABC ∆中，若222a b c kab +-=，C ∠是锐角，则k 的一个取值可以为．【解析】若222a b c kab +-=，C ∠是锐角，则2221cos 22a b c C k ab +-==，所以1012k <<，故02k <<，则k 的一个值为1．故答案为：1（答案不唯一）．24．（2023春•东城区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c ac =--，则角B 的大小是()A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解析】2222222212cos cos 2a b c ac a c ac b a c ac B B =--⇒++==+-⇒=-，0180B ︒<<︒ ，120B ∴=︒．故选：C ．正弦定理的应用25．（2019春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，若cos (3)cos b C a c B =-，则cos B =．【解析】cos (3)cos b C a c B =- ，∴由正弦定理可得：sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，sin()3sin cos B C A B ∴+=，sin 3sin cos A A B ∴=，sin 0A ≠ ，1cos 3B ∴=．故答案为：13．26．（2022春•大兴区期中）在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin cos (sin A AC=)A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】由余弦定理知，2222536163cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，由正弦定理知，sin 42sin 63A a C c ===，所以sin cos 231sin 342A A C =⨯=．故选：B ．27．（2019春•西城区校级期中）在ABC ∆中，2a =，c =，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，则(C ∠=)A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【解析】ABC ∆中， 已知sin sin (sin cos )0B A C C +-= ，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin (sin cos )0B A C C +-= ，sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ∴++-=，cos sin sin sin 0A C A C ∴+=．sin 0C ≠ ，cos sin A A ∴=-，tan 1A ∴=-．0A π<< ，34A π∴=，由正弦定理可得sin sin c aC A=，sin sin c AC a∴=，2a = ，c =1sin2C ∴=．a c > ，6C π∴=．故选：B ．28．（2022春•丰台区校级期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1a =，2B A =，则b 的可能取值为()A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】sin sin a b A B =，∴11,,2cos sin sin 2sin 2sin cos b bb A A A A A A===，0A B π<+< ，03A π∴<<，∴03A π<<，1cos 1,12cos 2,122A A b <<<<<<．故选：C ．29．（2022春•东城区校级期中）在锐角三角形ABC 中，2A B =，则ABAC的取值范围是．【解析】在锐角ABC ∆中，2A B ∠=∠，(30,45)B ∠∈︒︒，cos B ∈，21cos (2B ∈，34，所以由正弦定理可知：322sin sin33sin 434sin 4cos 1(sin sin sin AB c C B B sin BB B AC b B B B-=====-=-∈1，2)．故答案为：(1,2)．正余弦定理的综合30．（2016秋•海淀区期中）在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B =．【解析】 在ABC ∆中，13cos 14A =，33sin 14A ∴=，73a b = ，sin 7333sin 3142b A B a ∴==⨯=，(0,)B π∈ ，3B π∴=或23π．故答案为：3π或23π．31．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，若75a b =，8sin 5sin A C =，则(B ∠=)A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【解析】8sin 5sin A C = ，∴由正弦定理可得，85a c =，即85c a =，又75a b =，则75b a =，∴由余弦定理可得，222222644912525cos 82225a a a a c bB aca a +-+-===⋅，又B 为ABC ∆的内角，则60B =︒，故选：C ．32．（2022秋•通州区校级期中）在ABC ∆中，60C =︒，28a b +=，sin 6sin A B =，则(c =)ABC ．6D ．5【解析】在ABC ∆中，sin 6sin A B =，利用正弦定理得：6a b =，所以286a b a b+=⎧⎨=⎩，解得61a b =⎧⎨=⎩，利用余弦定理22212cos 361216312c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，故c =故选：B ．33．（2021秋•丰台区校级期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2sin C A =，2212b a ac -=，则sin B 等于．【解析】由sin 2sin C A =得2c a =，又2212b a ac -=，得222122b a a a a -=⨯=，即222b a =，则b =，由余弦定理得222222224233cos 22244a cb a a a a B ac a a a +-+-==== ，则sin 4B ====，34．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且2sin ,a A b B ==；则角B =；a 的取值范围为．【解析】由2sin a A =可得2sin aA =，所以sin ab B B A==⨯，由正弦定理，得sin sin sin AB B B A=⨯=，有tan B =，又(0,)B π∈，故3B π=；2sin 2sin[()]2sin()2sin()3a A B C B C C ππ==-+=+=+，因为3B π=，所以2(0,3C π∈，则(33C ππ+∈，)π，所以sin((03C π+∈，1]，即(0a ∈，2]．故答案为：3π；(0，2]．35．（2021春•丰台区校级期中）锐角ABC ∆中满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =b c +的取值范围．【解析】（Ⅰ）锐角ABC ∆中满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，利用正弦定理：()()()a b a b c b c -+=-，整理得222a b c bc -=-，故2221cos 22b c a A bc +-==，由于02A π<<，故3A π=．（Ⅱ）由（Ⅰ）的22sin aR A==，所以2sin 2sin 2sin(2sin )36b c B C C C C ππ+=+=++=+，由于022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，整理得62C ππ<<．故2363C πππ<+<，故sin()(62C π+∈，故b c +∈．36．（2022秋•城关区校级期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos b A B =．（1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值．【解析】（1）sin cos b A B = ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即得tan B =，由于：0B π<<，∴3B π=．（2）sin 2sin C A = ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，解得a =∴2c a ==．故a =c =判断三角形的形状37．（2023春•西城区校级期中）在ABC ∆中，若sin cos 1A B =一cos sin A B ，则这个三角形是三角形．【解析】sin cos 1A B = 一cos sin A B ，sin cos cos sin 1A B A B ∴+=，即sin()sin 1A B C +==，2C π∴=．ABC ∴∆是直角三角形．故答案为：直角．38．（2021秋•顺义区校级期中）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC ∆是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得：sin cos sin cos sin A B B A C -=，即sin()sin A B C -=，A 、B 、C 为三角形的内角，A B C ∴-=，即2A B C π=+=，则ABC ∆为直角三角形．故选：B ．39．（2021春•东城区校级期中）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形【解析】已知ABC ∆中，满足cos cos b C a c B =+，利用正弦定理整理得：sin cos sin sin cos B C A C B =+，转换为sin()sin()B C B C -=+，故B C B C -=+，整理得0C =，与三角形的内角相矛盾，故B C B C π-=--，整理得：2B π=，解得2B π=．故ABC ∆为直角三角形，故选：B ．40．（2021春•顺义区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若tan tan b aa b B A-=-，则ABC ∆的形状为()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【解析】因为tan tan b a a b B A -=-，可得cos cos sin sin b B a Aa b B A-=-，所以由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin B B A AA B B A B A-=-=-，所以sin cos sin cos A A B B +=+，两边平方，得12sin cos 12sin cos A A B B +=+，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆的形状为等腰或直角三角形．故选：D ．三角形的面积问题41．（2021春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，2AC =，3BC =，60C =︒，则ABC ∆的面积为()AB ．C ．32D ．3【解析】因为2AC =，3BC =，60C =︒，所以ABC ∆的面积11sin 322222S CB CA C =⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选：A ．42．（2023春•东城区校级期中）在ABC ∆中，若3a =，c =4B π=，则ABC ∆的面积为．【解析】因为3a =，c =4B π=，故1123sin 32222ABC S ac B ∆==⨯⨯．故答案为：32．43．（2023秋•顺义区校级期中）在ABC ∆中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）a 的值；（2）sin C 和ABC ∆的面积．条件①：7c =，1cos 7A =-；条件②：1cos 8A =，9cos 16B =．【解析】选条件①：（1）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，11b a =-，7c =，则221(11)492(11)7()7a a a =-+--⨯⨯-，即24192a =，解得8a =；（2）因为1cos 7A =-，(0,)A π∈，所以sin A =，由正弦定理sin sin a cA C=可得7sin 7sin 82c A C a ===，由（1）可知113b a =-=，所以11sin 8322ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯．选条件②：（1）因为1cos 8A =，所以(0,2A π∈，则sin A =，因为9cos 16B =，所以(0,)2B π∈，所以sin B =，由正弦定理sin sin a b A B ==6a =，（2）sin sin()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=--=+=+=因为11a b +=，6a =，所以5b =，所以117157sin 652244ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=．44．（2023春•通州区期中）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，向量()m a =与(sin ,cos )n B A =-垂直．（1）求A ；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积．【解析】（1）向量()m a = 与(sin ,cos )n B A =-垂直，可得sin cos 0m n a B A ==，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =，(sin 0)B >，即有sin A A =，则tan )A A π=<<，可得3A π=；（2）a =2b =，可得2222cos a b c bc A =+-，即为217442c c =+- ，解得3(1c =-舍去），则三角形的面积为1sin 2S bc A=1232=⨯⨯⨯．45．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，sin cos 0a C c A +=，b =；a =（1）求A ；（2）求ABC ∆的面积．【解析】（1）在ABC ∆中，sin cos 0.a C c A b +==；a =由正弦定理可得：sin sin sin 0A C A +=，又sin 0C >，即sin cos 0A A +=，即tan 1A =-，即34A π=，（2）已知b =，a =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：2b =，c =则11sin 21222ABC S bc A ∆==⨯⨯=，即ABC ∆的面积为1．46．（2019春•西城区校级期中）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足(2)cos cos a c B b C -=，（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆且b =a c +的值．【解析】（1）又A B C π++=，即C B A π+=-，sin()sin()sin C B A A π∴+=-=，将(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C C B A ∴=+=+=，在ABC ∆中，0A π<<，sin 0A >，1cos 2B ∴=，又0B π<<，则3B π=（2）ABC ∆ ，sin sin 3B π==1sin2S ac B ∴===，3ac ∴=，又b =，1cos cos 32B π==，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2222()3()93a c ac a c ac a c +-=+-=+-=，2()12a c ∴+=，则a c +=47．（2021春•东城区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足3(cos )sin b c A C-=．（1）求角C ；（2）若2c =，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）因为3(cos )sin b c A C-=，所以3(sin sin cos )sin B C A A C -=，所以3sin sin 3sin cos 3sin()B A C C A A C =+=+，所以3sin cos 3sin cos sin 3sin cos A C C A A C C A +=+，整理得3sin cos sin A C A C =，因为sin 0A >，所以sin C C =，即tan C =由C 为三角形内角得，3C π=，（2）由余弦定理得222c a b ab ab =+- ，当且仅当a b =时取等号，故4ab ，11sin 422ABC S ab C ∆=⨯⨯ ，故ABC ∆面积的最大值48．（2022春•丰台区期中）在ABC ∆中，若a =，3b =，60A =︒，则c 的值为()A ．1B ．4C ．1或4D ．无解【解析】由余弦定理，得22221913cos 226b c a c A bc c+-+-===，解得4c =．故选：B ．49．（2021春•丰台区期中）在ABC ∆中，a =，b =，则最大角的余弦值为．【解析】 ,a b ==，∴a =，a ∴最大，A 角最大，∴根据余弦定理，222222cos 23b c a A bc +-===．故答案为：33-．50．（2022春•大兴区期中）已知ABC ∆，120C ∠=︒，2cos c b B =，则AC 边的中线的长为()A B ．3C ．D ．4【解析】根据正弦定理由2cos c b B =，可得sin 2sin cos C B B =，可得sin sin 2C B =，因为B ，(0,180)C ∈︒，所以2C B =，或2180C B +=︒，当2C B =时，60B =︒，不符合三角形内角和定理，当2180C B +=︒时，30B =︒，因此30A =︒，因此a b =，因为ABC ∆所以有12a a ⋅=，可得2a =，负值舍去，即2a b ==，由余弦定理可知：AB ===，设AC 边的中点为D ，所以有1()2BD BC BA =+，因此||BD ==== ．故选：C ．51．（2021春•朝阳区校级期中）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且cos cos )2sin a B b A c B +=，2a =．则边长b 的取值范围是()A ．B ．(0,C ．，D ．)+∞【解析】 cos cos )2sin a B b A c B +=，∴cos sin cos )2sin sin A B B A C B +=，∴)2sin sin A B C B +=，∴2sin sin C C B =，3sin 2B ∴=，3B π∴=或23B π=ABC ∆ 为锐角三角形，3B π∴=，∴62A ππ<<，即1sin 12A <<由正弦定理可得sin sin b aB A=，则sin sin a B b A ==，b <<综上所述b 的取值范围为，，52．（2021春•朝阳区校级期中）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，若2015120aBC bCA c AB ++= ，则ABC ∆最小角的正弦值为()A ．45B ．34C ．35D【解析】2015120aBC bCA c AB ++= ，20()1512(2015)(1220)0a AC AB bCA cAB a b AC c a AB ∴-++=-+-= ，向量AC 与向量AB 为不共线向量，20150a b ∴-=且12200c a -=，43b a ∴=，53c a =，a 、b 、c 分别为ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠的对边，a ∴最小，22222245()()433cos 4525233a a a b c a A a a bc +-+-∴===⨯⨯．3sin 5A ∴==．故选：C ．53．（2023春•东城区校级期中）在ABC ∆222b c a =+-．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =，3B π=，求b ．【解析】（Ⅰ）由余弦定理得，222cos 222b c a A bc bc +-===，(0,)A π∈ ，4A π∴=；（Ⅱ）由正弦定理得，sin sin a b A B =，∴22sin sin 43b ππ=，b ∴=．54．（2023秋•荔湾区校级期中）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=．（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值．【解析】（1）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理可得222a b c bc --=，即为222b c a bc +-=-，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，由0A π<<，可得23A π=；（2）由题意可得3a =，又3BC π+=，可设6B d π=-，6C d π=+，66d ππ-<<，由正弦定理可得32sin sin sin 3b c B C π===，可得sin()6b d π=-，sin()6c d π=+，则ABC ∆周长为1133[sin()sin()]3sin cos sin )662222a b c d d d d d d ππ++=+-++=+-++，3d =+，当0d =，即6B C π==时，ABC ∆的周长取得最大值3+另解：3a =，23A π=，又2222cos a b c bc A =+-，2222219()()()4b c bc b c bc b c b c ∴=++=+-+-+ ，由3b c +>，则b c +（当且仅当b c =时，“=”成立），则ABC ∆周长的最大值为3+55．（2021秋•丰台区校级期中）在ABC ∆中，sin 2sin B C =，3cos 4A =．（Ⅰ）若ABC ∆c 的值；（Ⅱ）求a c 的值．【解析】（Ⅰ）因为：sin 2sin B C =，3cos 4A =，可得2b c =，sin A =，又因为ABC ∆的面积为117sin 2224bc A c c ==⨯⨯⨯，所以解得2c =．（Ⅱ）因为：sin 2sin B C =，3cos 4A =，可得2b c =，所以由余弦定理可得22222232cos 42224a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，即222a c =，所以解得：a c=．56．（2020秋•西城区校级期中）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（1）求sin sin B C∠∠的值；（2）从①1AD =，②22DC =，③2cos 4C =这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD 和AC 的长．【解析】（1）如图，过A 作AE BC ⊥于E ，12212ABD ADC BD AE S S DC AE ∆∆⨯==⨯，2BD DC ∴=，AD 平分BAC ∠，BAD DAC ∴∠=∠，在ABD ∆中，sin sin BD AD BAD B =∠∠，sin sin AD BAD B BD ⋅∠∴∠=，在ADC ∆中，sin sin DC AD DAC C =∠∠，sin sin AD DAC C DC ⋅∠∴∠=；∴sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠．（2）若选①1AD =，②2DC =，由（1）知，22BD DC ==，过D 作DM AB ⊥于M ，作DN AC ⊥于N ，AD 平分BAC ∠，DM DN ∴=，∴12212ABD ADC AB DMS S AC DN∆∆⋅==⋅，2AB AC ∴=，令AC x =，则2AB x =，BAD DAC ∠=∠ ，cos cos BAD DAC ∴∠=∠，∴由余弦定理可得：22222221()(2)1(2)222121x x x x +-+-=⨯⨯⨯⨯，1x ∴=，1AC ∴=，BD ∴，AC 的长为1．若选②2DC =，③cos 4C =，由（1）知，222BD DC ==⨯=，因为sin 1sin 2B C ∠=∠，所以在ABC ∆中，由正弦定理可得12bc =，即2c b =，由余弦定理22232()(2)22cos 4b b C +-==，整理可得2230b b +-=，解得1b =，（负值舍去），BD ∴，AC 的长为1．若选①1AD =，③2cos 4C =，因为sin 1sin 2BC ∠=∠，所以在ABC ∆中，由正弦定理可得12bc =，即2c b =，因为BAD DAC ∠=∠，可得cos cos BAD DAC ∠=∠，设2BD x =，CD x =，所以由余弦定理可得：2222(2)1(2)122121b x b x b b +-+-=⋅⋅⋅，整理可得22212b x =+，①又2221cos 42x b C bx +-==22222x b =+-，②由①②可得4214910x x -+=，解得212x =，或17，解得2x =，或7，由①可得1b =，可得BD AC 的长为1．或31414b =，可得BD ，AC 的长为31414．57．（2019秋•东城区校级期中）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆b c +．【解析】（1） sin sin sin a b cA B C ==，sin cos c C c A =-，sin sin sin cos C A C C A ∴=-，sin 0C ≠ ，∴cos 1A A -=，2sin(16A π∴-=，1sin(62A π-=，66A ππ∴-=或56π，3A π∴=，A π=（舍)，3A π∴=．（2）113sin 222ABC S bc A ∆==⋅= ，4bc ∴=，2221cos 22b c a A bc +-== ，2244b c ∴+-=，∴2284b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得2b c ==，可得4b c +=．58．（2018秋•东城区校级期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos c B b C a A +=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC ∆ABC ∆的周长．【解析】（1）cos cos 2cos c B b C a A += ，sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A ∴+=．sin()2sin cos B C A A ∴+=，sin 2sin cos A A A ∴=．(0,)A π∈ ，sin 0A ∴≠，∴1cos 2A =，∴3A π=．（2）ABC ∆∴13sin 24bc A ==，4bc ∴=．由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，228b c ∴+=．又4bc =，2b c ∴==．故其周长为6．59．（2019秋•东城区校级期中）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求sin cos C A的取值范围．【解析】()2sin I a b A = ，由正弦定理可得，sin 2sin sin A B A =，sin 0A ≠ ，1sin 2B ∴=，B 为锐角，6B π∴=，()II 由（1）可知56C A π=-， 10251062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴1132A ππ<<，tan A ∴>，∴51sin()cos sin 16222cos cos cos 2A A A C A A A A π-+===+>．。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
完整word版高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题在观察，灯塔A与海洋观察站C(2010·广东六校的距离都等于)a两座灯塔km A和1B．的距离为A与灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔站C的北偏东20°，灯塔B)()km.( B.2a A．aD.3 a C．2aD答案][. ＝120°][解析依题意得∠ACB由余弦定理ABBC－＋222AC＝cos120°BC·2AC AC·BC cos120°－∴AB＝AC＋BC22221??－a2＝＝3aa＋a－2222??2D.故选＝∴AB3a.π3”是“∠A>”的(sin(2．文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“A>) 23B．必要不充分条件．充分不必要条件AD．既不充分也不必要条件C．充要条件A[答案]ππ33，则∠A>，反之∠A>时，不一定有sin A>，如A＝>[解析A中，若在△ABC sin]2332π5π5π1＝sinsin A时，sin＝＝. 2666) ”的cos bB(＝cos”是“＝则“baBA中，在△理()ABC角、所对的边长为、，abaA．必要不充分条件．充分不必要条件A B D C．充要条件．既不充分也不必要条件A]答案[ ＝A时，＝当]解析[abB，cos＝A cos∴abB；＝cos a当A cos bB时，由正弦定理得A·A sincos·B sin＝B cos，含详解答案．高考总复习AB＝，∴sin2sin2 2B，或2A∴2＝Aπ＝－2Bπ＝A＋B∴A＝B或.2c＋b＝则a＝b或a222.B”，cos A＝b cos所以“a＝b”?“a A.”，故选/ “a＝ba“cos A＝b cos B”?，＝120°C两地的距离为20km，观测得∠ABC．已知A、B两地的距离为10km，B、3)则AC两地的距离为(3km B. A．10km7km5km ．10 DC．10D][答案，由余弦定120°ABC[解析]如图，△中，AB＝10，BC＝20，∠B＝理得，＝AB＋BC－2AB·BC·cos120°222AC1??－×10××2010，＝＋20－2＝70022??2D.∴选＝107km.∴ACbc－A2的ABCB、C的对应边)，则△在△4．(文)ABC中，sin、＝(ab、c分别为角A、c22)形状为(B ．直角三角形．正三角形AC．等腰直角三角形D．等腰三角形B [答案]b－cos Ac1－bA＝cos A，＝＝，∴2sin[解析]c22c2a＋c－222bb B.c，故选，∴a＋b＝∴＝222c2bc22的最大值为cos C＋，则cos A＋cos B中，河北邯郸(理)(2010·)在△ABC sin＋A cos＝B1)(5 2 A. B.43 1 D. ．C2含详解答案．高考总复习D答案][2222，∴sin BA＝sin[解析]∵sin A＋cos，B＝1. ＝B sin A＝sin B，∴A∵0<A，B<π，∴cos2A cos C ＝2cos A－故cos A＋cos B＋31 ，＋＝－2cos22)2(cos A－1A＋2cos A＋＝－22π31时，取得最大值＝0<cos A<1，∴cos A∵0<A<，∴.222的对边分别为C，角A、B、5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R22) ，那么角C的大小为()＝(2a－b)sin a、b、c，且2R(sin－A sin BCππ B. A. 232ππ C. D. 34C[答案] ，2ab－－cb＝222a][解析由正弦定理得，c－＋b222a2 ，cos C＝＝∴22ab π＝，∴C0<C<π∵.4122，cos＝A为锐角，若sin AA－Ba、b、c是△ABC三内角A、、C的对边，且(理)已知2)则(B．b＋c≤2．b＋c<2a a AD ．b C．b＋c＝2a＋c≥2aB][答案11 ，＝－，∴cos2A22＝A][解析∵sin A－cos22 ，120°BA又A为锐角，∴＝60°，∴＋C＝C＋BCB－cos2sin C sin Bcb＋sin＋22＝∴＝Aa2sin23CB－cos＝.≤1，∴a2cb＋≤235) ．6(2010·cos则，B sin＝A已知中，ABC在△)北京顺义一中月考cos，＝C(的值为513含详解答案．高考总复习5616 A. B. 6565561616 C. D．－或656565A答案][3512 B，sin B，∴A>＝，∴sin A＝>∵cos A＝[解析]5131343)]＋B＝cos[π－(AB＝，∴cos B＝，∴cos C sin∵5516＝cos BB－cos A cos(A＋B)＝sin A sin＝－.65.BB?A>A点评]在△ABC中，有sin>sin[，又测得塔100m D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进7．在地面上一点)________m．(尖的仰角为60°，则此电视塔高约为227 ．237 B．A257D247 C．．A][答案＝100，∠DAC＝15°，，∠[解析]如图，∠D＝45°ACB＝60°，DC sin45°DC·＝，∵AC sin15°sin60°＝AC·AB∴sin60°sin45°100·＝sin15°32××10022＝A.237.∴选≈26－4π＝acb、c成等差数列，且B)在△ABC中，∠＝，三边长a、(8．文)(2010·青岛市质检3)b的值是(6，则 B.3 2 A.6C.5D.D][答案a＋＋＝ac2ac＝＋c12＋，22222b＝ba4，∴＋c2解析[]由条件b＋c－＋cb－222222aa1 ＝，，∴B又cos＝122ac2 ，＋＝c＋∴a6b222含详解答案．高考总复习6.4，∴bb＝∴＝18＋b22，ac＝的内角)△ABCA、B、C的对边分别为a、b、、c.若ab2、c成等比数列，且(理)＝(则cos B31 B. A. 4422 C. D.43B][答案，2a＝ac，又∵c＝2bca、b成等比数列，∴、解析[]∵a4a－－b＋2＋c222222aa3＝＝2a，∴cos B＝＝∴b22.42aca×22a在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，[点评]三角函数等内容余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、集中考查正弦定理、是高考中的热点问题，复习时要注意强化．的双曲线，若△为焦点，且经过点A9．如图所示的曲线是以锐角△ABC的顶点B、C3sin Ac)(＝6，＝，b、c，且a则此双曲线的离心率为＝4，b、ABC的内角的对边分别为a2a773－3＋B. A. 22 ．3－7 ．D3 ＋7CD ][答案π33accc sin A，为锐角，所以C＝＝＝＝，因为C＝?[解析]sin C?C23sin Aa2sin3217 228，∴c＝×＋46－2×46×＝cos－a由余弦定理知c＝＋b2abC＝2222226a7.＝3＋＝∴e＝7－26b－c22yx在双曲P的两个焦点，b>01(＝－是双曲线、F))(2010·(10．文山东济南设Fa，>0)2122ba含详解答案．高考总复习→→→→)(c为半焦距)线上，若，则双曲线的离心率为PF·PF＝0，|PF|·|PF|(＝2ac212113＋3－1 A.B. 221＋5 2 D. C ．2D答案][＝PF(|＝|PFF，根据双曲线定义得：4a＝＋|22222|)|由条件知，|PF|－|F||[解析PF]221112，4ac4－ac＝4c－＋|PF－2|PF2222|F||F＝||·|PF||PF212112，－e＝＝00，∴1＋e∴aac＋－c2221＋5＝ee>1，∴∵.21C→→→→→，)＝0AB·(CA＋CB·安徽安庆联考)如图，在△ABC中，tan＝，AHBC＝0，(理)(2010·22)(以A、H为两焦点的双曲线的离心率为经过点B15＋1 5－ A. B. 215－ 1 D.C.5 ＋2A][答案→→，，∴AH⊥BC＝0BC∵]AH·[解析C2tan2AH4C1 ＝＝，C∵tan＝，∴tan＝CH2C322tan1－2→→→CBAB＋又∵，CB0，∴CA·(CA＝)＝??180°－CAHC 2＝，＝cottan∴B＝tan＝??BH2??23＝CH2x，∴＝＝设BHx，则AHAB＝22AHC，由条件知双曲线中5ABx，＝x2＝＝x,a2含详解答案．高考总复习1)x，(－5BH－＝15＋2c A.＝＝，故选∴e＝2a15－二、填空题CABC，测得∠．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物11 ________米．AB＝120米，则河的宽度为30°＝，∠CBA＝45°，1)－]答案60(3[ ＝30°，－＝120x，又∵∠CAB则于⊥ABD，设BD＝x，CD＝x，AD点作][解析过CCD3x 1)．＝，解之得，x60(3－∴＝3x－120位于BA，B，灯塔如图，海岸线上有相距12．(2010·福建三明一中)5海里的两座灯塔相距A的北偏西75°方向，与灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A则两艘轮船处．海里的B相距5C与B海里的32D处；乙船位于灯塔的北偏西60°方向，海里．之间的距离为________13答案][ ，＝，＝如图可知，∠][解析ABC60°ABBC含详解答案．高考总复习DAC45°BAC∴＝AC＝＝60°5，，∠，从而∠AD，∴由余弦定理得，＝3又213. ·cos45°2＝AD·AC＋AC－22AD＝CD，、cC所对的边分别是a、b山东日照模拟)在△ABC中，三个内角A、B、文13．()(2010·π________.b＝的面积等于3，则a＋已知c＝2，C＝，△ABC34][答案π1 4，3，∴ab＝＝sin由条件知，ab[解析]324－＋b22aπ，∵cos＝ab23 ，8＝16b＋2ab ＝8＋＋a∴＋b＝8，∴(a＋b)＝a222224.＝a＋b∴1222，a＝a10)，、c，面积S＝(bc＋若－、)(理在△ABC中，角A、BC的对边分别为a、b4 的最大值是______．则bc2＋50[答案]10011ac－＋222 )b，bc sin A＝([解析]由题意得，42π100又根据余弦定理得A＝，sin A ＝cos A，∴∠bc＝∴ab＋c－2sin A，结合余弦定理得，22241002.＋50，∴bc≤＝1002－＝b＋c2bc≥2bc－bc2222－海里的灯塔恰10)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距文14．(方向上，另一60°好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西小时．________海里/灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10答案][v3＝AC，，v＝[解析]设该船的速度为v海里AD/小时，如图由题意知，22tan30°tan45°＋＋3，2＝∵tan75°＝tan30°－1tan45°含详解答案．高考总复习v3＋102AB10. ＝＝，解得v tan75°＝，∴2＋3又vAD2的方位角为A处测得某岛M)(理)(2010·合肥质检如图，一船在海上自西向东航行，在范围n km角，后在B处测得该岛的方位角为北偏东β已知该岛周围北偏东α角，前进m km 时，该船没有触礁危险．α与满足条件β________内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当)β>n cossin(α－β[答案]m cosαAMBAMB＝90°－α＋∠AMB－∠MAB＝90°α，∠MBC，∴∠＝90°－β＝∠MAB＋∠[解析] ＝α－β，αBMmm cos，BM＝ABM中，根据正弦定理得＝，解得由题可知，在△?－βsin?ααsin?90°－α?sin?－β?βαcos m cos＝)sin(90°－βBM要使船没有触礁危险需要α>n sin(α>n，所以α与β满足m coscosβ?β?αsin－)－β时船没有触礁危险．三、解答题AB＋cos bA、B、C所对的边，且ab15．(2010·河北唐山)在△ABC中，a、、cos c分别是角1.＝；求c(1)→→CB的最大值．B)＝－3，求CA·＋(2)若tan(A 1及正弦定理得，＋b cos A＝由[解析](1)a cos BB sin cc sin A 1，＋·cos A·＝cos BC sin C sin ，＝sin CB∴c sin(A＋) 0，)＝sin C≠C)sin(又A ＋B＝sin(π－1.＝∴c2π，＝A<π＋0<3)＋tan((2)∵AB＝－，AB，∴＋B3含详解答案．高考总复习π＝B∴)C＝π－(A＋.3 由余弦定理得，ab－ab≥2ab－ab＝＝＝a＋b－2ab cos Ca＋b2222211→→→→，＝2CA，∴CA≤·CB·CB2 ＝1时取“＝”号．当且仅当a＝b1→→的最大值是CA所以，.·CB2由于地形的C)广东玉湖中学如图，要计算西湖岸边两景点B与16．(的距离，文)(2010·＝14km，∠BAD＝10km，AB＝限制，需要在岸上选取A和⊥D两点，现测得ADCD，AD＝，30.1km)．参考数据：2＝1.414＝，∠BCD135°，求两景点B与C的距离(精确到60°2.236.5＝1.732，，xABD中，设BD＝[解析]在△，cos∠BDAADBD＋AD－2BD·则BA＝222·cos60°，－x＋102·10x14即＝222 0，＝－10x－96整理得：x2x解之得，)，x＝－6(舍去16＝，21由正弦定理得，BDBC，＝BCD∠∠CDB sinsin16＝∴BC11.3(km)82≈·sin30°＝sin135°11.3km.C的距离约为答：两景点B与经规划调长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．理)(2010·湖南十校联考)(是原R的圆面．该圆的内接四边形ABCD研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是2CD6BC4ADAB棚户建筑用地，测量可知边界＝＝万米，＝万米，＝万米．含详解答案．高考总复习R的值；(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径可以调整．为了提高、BC(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB，使得棚户区改造的新建筑用地上设计一点P棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC APCD的面积最大，并求出其最大值．，由余弦ACABCD[解析](1)因为四边形内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接定理：＋＝46－2×4×6cos∠ABC222AC.＝4∠ADC×2×4cos＋2－222＝∠ABC∴cos.＝60°π)，∴∠ABC.∵∠ABC∈(0，211＝S则×sin60°＋sin120°6×4××2×4×ABCD四边形22 ＝83(万平方米)．中，由余弦定理：在△ABC∠ABC·2ABBC·cos AB＝＋BC－222AC17.＝2＝28AC，故＝16＋36－2×4×6×2 由正弦定理得，21212AC724＝R＝＝，∴(2R万米＝)．333ABC sin∠2 ＝S＋S，S(2)APC△APCD△ADC四边形1＝3.2CD·sin120°＝SAD·ADC△2 ＝，y，设AP＝xCP31则S＝xy·sin60°＝xy.APC△24又由余弦定理：AC＝x＋y－2xy cos60°222＝x＋y－xy＝28.22含详解答案．高考总复习.xy－≥2xyxy∴＝x＋y－xy22时取等号．28，当且仅当x＝y∴xy≤33＋＝23S∴时面积最大，其最大面积y，即当x＝＝xy≤23＋×2893APCD四边形44 万平方米．为93处各有一个CB、．17(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A、收到发自静止B50千米．某时刻，水声监测点，B、两点到点CA的距离分别为20千米和同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度CA、目标P的一个声波信号，8秒后秒．千米/是1.5的值．的距离，并求x的距离为(1)设A到Px千米，用x表示B、C到P千米)．(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01 ，PC＝[解析](1)依题意，有PxA＝12. ＝x－1.5PB＝x－×820中，＝AB在△PAB?12?x＋AB－PB＋20－－222222xAP＝＝P cos AB∠20x2·2PAAB323x＋＝x550 ＝AC中，AC同理，在△Px＋PC50－＋AC－222222xPA25 ＝＝，＝AC cos∠Px·50A·AC2x2P，cos∠PACAB∵cos∠P＝32＋3x2531.x＝，解之得，＝∴x5x ADP中，⊥AC于D，在△PD(2)作25 得，PAD＝∠由cos31214 ，AD∠P ＝2cos1ADP∠sin＝－31含详解答案．高考总复习21431·＝421≈∠APD＝18.33千米，sin PPD∴＝A31答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米．含详解答案．。