最新千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第33炼-向量的模长问题代数法(含模长习题)

第33炼 向量的模长问题——代数法一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=r r r r 可得：22a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。

要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若(),a x y =r ，则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题例1：在ABC V 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=o，则OA =u u u r_____思路：题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=o，进而AB AC ⋅u u u r u u u r可求，且OA u u u r可用,AB AC u u u r u u u r 表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：O Q 为BC 中点 ∴可得：()12AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r()()2222211224AO AO AB AC AB AB AC AC ⎡⎤∴==+=+⋅+⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r代入可求出：213=4AO u u u rAO ∴=u u u r例2：若,,a b c r r r 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅-≤r r r r r r ，则a b c +-r r r的最大值为（ ） A.1- B. 1 C.D. 2思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将a b c +-r r r平方，转化为数量积问题，再求最值。

解：()()200a c b c a b b c a c c -⋅-≤⇒⋅-⋅-⋅+≤r r r r r r r r r r r ①0,1a b c ⋅==r r rQ ∴①转化为101b c a c b c a c -⋅-⋅+≤⇒⋅+⋅≥r r r r r r r r ()22222222a b c a b ca b c a b a c b c ∴+-=+-=+++⋅-⋅-⋅r r r r r r r r r r r r r r r()1112321b c a c =++-⋅+⋅≤-=r r r r1a b c ∴+-≤r r r答案：B例3：平面上的向量,MA MB u u u r u u u r 满足24MA MB +=u u u r u u u r ，且0MA MB ⋅=u u u r u u u r，若1233MC MA MB =+u u u u r u u u r u u u r，则MC u u u u r 的最小值为___________思路：发现所给条件均与,MA MB u u u r u u u r 相关，且MC u u u u r 可以用,MA MB u u u r u u u r 表示，所以考虑MC u u u u r进行模长平方，然后转化为,MA MB u u u r u u u r的运算。

从而求出最小值解：()222212144339MC MA MB MA MA MB MB ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r0MA MB ⋅=u u u r u u u rQ 24MA MB =-u u u r u u u r ，代入可得：()2221116316374449981691616MC MB MB MB ⎡⎤⎛⎫=+-=-+≥⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u r u u urmin4MC∴=u u u u r答案：4例4：已知平面向量,αβu r u r满足2αβ-=u r u r ，且αβ+u r u r 与2αβ-u r u r 的夹角为150o，则()()32t t R αββ+-∈u r u rur 的最小值是（ ）A.B.C.D.思路：题目所给条件围绕着αβ+u r u r 与2αβ-u r u r，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：()()()3112222t t αββαβαβ⎛⎫+-=-++- ⎪⎝⎭u r u ru r u r u r ur u r ，从而模长平方变成数量积问题，可得：()()2223131322224t t t αββαβαβ⎛⎫⎛⎫+-=-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u rur u r u r u r u r ，将12t αβ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ur u r 视为一个整体，则可配方求出最小值解：()()()3112222t t αββαβαβ⎛⎫+-=-++- ⎪⎝⎭u r u rur u r u r u r u r()()()223112222t t αββαβαβ⎛⎫∴+-=-++- ⎪⎝⎭u r u ru r u r u r ur u r()()()()2211112222222t t αβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-++-+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦u r u r u r u r ur u r u r u r()21312cos150242t t αβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++--⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦o ur u r u r u r u r u r 2213132224t t αβαβ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ur u r u r u r21333241616t αβ⎡⎤⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦u r u r()324t αββ∴+-≥u r u ru r 答案：A小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是,αβu r u r例5：已知平面向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且3OA OB ==u u u r u u u r ，若1233OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则OP u u u r 的取值范围是__________思路：由3OA OB ==u u u r u u u r 和夹角范围即可得到OA OB ⋅u u u r u u u r 的范围，从而可想到将OP u u u r模长平方，再利用1233OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r转变为关于,OA OB u u u r u u u r 的问题，从而得到关于夹角θ的函数，求得范围。

解：22221214433999OP OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r54cos θ=+2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦[]23,7OP ∴∈u u u r 3,7OP ⎡⎤∴∈⎣⎦u u u r答案：3,7⎡⎤⎣⎦例6：已知()2,6,2a b a b a ==⋅-=r r r r r ，R λ∈，则a b λ-r r的最小值是（ ）A. 4B. 23C. 2D. 3思路：由条件可得()2226a b a a b a ⋅-=⇒⋅=+=r r r r r r ，所以考虑将a b λ-r r模长平方，从而转化为数量积问题，代入,,a b a b ⋅r r r r的值可得到关于λ的二次函数，进而求出最小值 解：()222a b a a b a ⋅-=⇒⋅-=r r r r r r Q 226a b a ∴⋅=+=r r r()222222236124a b a ba ab b λλλλλλ∴-=-=-⋅+=-+r r r r r r r r()222361246133a b λλλλ-=-+=-+≥r rmin3a bλ∴-=r r答案：D例7：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1BC ADC AD BC ∠===o，P 为腰CD 上的动点，则23PA PB +u u u r u u u r的最小值为__________ 思路：所求23PA PB +u u u r u u u r难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点B 的纵坐标与梯形的高相关，可设高为h ，()0,P y ，()()2,0,1,A B h ，则()()2,,1,PA y PB h y =-=-u u u r u u u r，所以()237,35PA PB h y +=-u u u r u u u r，()22237357PA PB h y +=+-≥u u u r u u u r ，即min237PA PB+=u u u r u u u r答案：7例8：如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足,AE mAB AF n AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，其中(),0,1,1m n m n ∈+=，,M N 分别是,EF BC 的中点，则MN 的最小值为（ ）A. 4B.C. D. 53思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将MN 进行表示，从而模长平方后2MN 可写成关于,m n 的表达式，再利用1m n +=即可消元。

解：()11122MN ME EB BN FE m AB BC =++=+-+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()()111111122222AE AF m AB BC mAB nAC m AB AC AB =-+-+=-+-+-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()11111222m AB n AC nAB mAC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22221144MN nAB mAC n m mn ∴=+=++u u u u r u u u r u u u r1m n +=Q()()()222221111331114442416MN m m m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=-++-=-+=-+≥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦u u u u r4MN ∴≥u u u u r答案：C例9：已知OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ，=2OA u u u r ，=1OB u u u r ，且OP tOA =u u u r u u u r ，1OQ t OB =-u u u r u u u r（）, PQ u u u r 在0t 时取到最小值。