2010高数试卷及答案(经济管理类)

高数试卷及答案一．(本题30分，每题3分)1.极限lim2nn→+∞⎛⎫=⎪⎪⎝⎭。

解：记))112nα+=，则ln6lim2nnnα→+∞=，))()ln61211lim lim1lim122nnnn nnn n neααα→+∞→+∞→+∞⎛⎫+⎛⎫⎡⎤⎪=+=+== ⎪⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭2. 设()f x在1x=处可导，且(1)0f=，(1)1f'=，则极限()1131()d dlim(1)xtxt f u u tx→=-⎰⎰。

解：()()()()()()()()111132111d d d dlim lim lim61131xt x xx x xt f u u t x f u u f u u xf xxx x→→→-==---⎰⎰⎰⎰()()()1'1lim66xf x f x xf x→---==-。

3.设yx=⎰，则334d y dydx dx-=。

解：将yx=⎰y微分得到dxdy=dydx=224'4d y yyydx==，334'd yydx==，简单计算可得3340d y dydx dx-=。

4. 设()f x有一个原函数是sin xx，那么2()xf x dxππ'=⎰。

解：首先由分部积分公式有2222()()()()xf x dx xdf x xf x f x dxππππππππ'==-⎰⎰⎰，又()f x 有一个原函数sin x x，所以'2sin cos sin ()x x x x f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 222cos sin sin 4()1x x xx xf x dx xxπππππππ-'=-=-⎰。

5. 曲线211y x=+绕其渐近线旋转所得旋转体体积V = 。

解：渐近线为x 轴，22224221111seccos 2V dx dt x t tπππππ+∞-∞-⎛⎫==⋅=⎪+⎝⎭⎰⎰。

6. 设2(1)arctanyy z x e x x=+-，则(1,0)z z xy ⎛⎫∂∂+=⎪∂∂⎝⎭。

解：()2212arctanyx yz y xe xxx y-∂=+-∂+，()2221yx x z x e yx y-∂=+∂+，因此()1,02z x∂=∂，()1,01z y∂=∂，(1,0)3z z x y ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭。

7. 设{}(,)||||1D x y x y =+≤，则积分(||)Dx y dxdy +=⎰⎰ 。

解：积分区域D 关于x 轴、y 轴及原点对称，而||y 在D 上是关于y 且关于x 为偶函数，x 在D 上是关于x 的奇函数，设1D 为积分区域第一象限部分，则(||)||DDDx y dxdy xdxdy y dxdy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰14D ydxdy =⎰⎰21110(1)24423x x dx ydy dx --===⎰⎰⎰。

8. 已知级数111sin n nn α∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，则实数α的取值范围是 。

解：当0x →时，3sin ~6xx x -，因此13α>。

9. 设12(sin cos )xy e c x c x =+为某个二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为 。

解：不妨设二阶常系数齐次线性微分方程为'''0y py qy ++=，由通解形式可知其特征方程有一对共轭复根i αβ±，其中,22p αβ=-=，又由题意知1,1αβ==，从而解得2,2p q =-=，所以微分方程为''2'20y y y -+=。

10.设(),z z x y =,变量23u x y v x y=-⎧⎨=+⎩且2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂那么2zu v ∂=∂∂ 。

解：在所给变换下，原方程化为20z u v∂=∂∂。

二. (本题10分)计算极限211lim nnn n e→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

解：原式21ln(1)limn nnn ee+→∞=（3分）222111[()]2limn o nnnnn ee-+→∞=（4分）()112lim o n e-+→∞=（2分）=（1分）三．(本题10分)设(,)f x y 可微，且满足条件(0,)cot ,(,),(0,)1(0,)2y f y f y f x y f f y xπ∂==-=∂，求(,)f x y 。

解：解题设中的关于y 的微分方程(0,)cot (0,)y f y y f y =，则ln (0,)ln |sin |f y y c =+或(0,)sin f y c y =（3分）。

由(0,)12f π=得(0,)sin f y y =（1分）。

再解题设中关于x 的微分方程(,)f f x y x∂=-∂，则(,)()xf x y c y e-=（3分）。

根据(0,)sin f y y=得()sin c y y =（1分）。

故(,)sin xf x y e y -=（2分）。

四．(本题10分)计算22()limm in{,}x y a Dx y edxdy -+→+∞⎰⎰，其中D 为正方形区域[,][,]a a a a -⨯-。

解:用直线y x =将D 划分为左上部分D 1和右下部分D 2，在D 1上，y x ≥，在D 2上，y x ≤，且D 1 和D 2关于y x =对称（1分），所以22222212()()()min{,}x y x y x y DD D x y edxdy xedxdy yedxdy -+-+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2分）221()2x y D xedxdy -+=⎰⎰（1分）222ay yxaaedy xedx ----=⎰⎰（1分）222()a yayaeeedy ----=-⎰（1分）22220022aaayyeedy edy ---=-⎰⎰（1分）又22lim2a xxa edx edx +∞--→+∞==⎰⎰，于是22lim 20a aya eedy --→+∞=⎰（1分），220lim 22aya edy -→+∞-=-⎰1分），所以22()limmin{,}2x y a D x y edxdy -+→+∞=-⎰⎰（1分）。

五．(本题10分)设40tan nn a xdx π=⎰，（1）求211()n n n a a n∞+=+∑；（2）试证对于任意的常数0λ>，级数1n n a nλ∞=∑收敛。

（1）解：224420111()tan (1tan )tan sec n n n n a a x x dx x xdx nnnππ++=+=⎰⎰（2分）。

令tan x t =，则上式=1011(1)nt dt nn n =+⎰(1分)，因此211111()1(1)1nnn i i i i S a a ii i n +===+==-++∑∑（1分），于是211()lim 1nn n n n aa S n ∞+→∞=+==∑（1分）。

（2）证明：令tan x t =，则11421tan 11nnnn ta xdx dt t dt tn π==<=++⎰⎰⎰（2分），所以对于任意的常数0λ>，111(1)n a nn n nλλλ+<<+（2分），而级数111n nλ∞+=∑收敛，从而级数1n n a nλ∞=∑收敛（1分）。

六．(本题10分)某湖泊的蓄水量为V ,每年流入湖泊中的含污染物A 的污水量为6V ，流入湖泊中的不含污染物A 的水量为6V ，流出湖泊的水量为3V 。

已知2005年底湖泊中污染物A 的含量为05m ，超过国家规定的指标，为了治理污染，从2006年初，限定流入湖泊中的含污染物A 的污水浓度不超过0m V，问至少需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量降至0m 以内。

假设湖水中污染物A 的分布是均匀的。

解：设t 年湖泊中污染物A 的含量为()m t ，则浓度为()m t V，污染物增量为()dm t ，又设2006年初0000,(0)5,()t m m m T m ===（1分），由于污染物A 的增量=污染物A 的流入量-污染物A 的流出量，（1分）在时间间隔[,]t t d t +内污染物A 的流入量为0066m m V dt dt V =（1分），污染物A 的流出量为()()33V m t m t dt dt V=（1分），于是063m m dm dt dt =-，即063m dm m dt=-（1分），此微分方程可以看作可分离变量的微分方程，也可以看作一阶线性微分方程，求解得：11100333()[]62dtdt t m mm t eC e dt Ce --⎰⎰=+=+⎰（2分）， 由0(0)5,m m =得092C m =，因此满足初始条件的特解为10309()22t m m t m e-=+（1分），又由13009()22T m m T m em -=+=，解得6ln 3 6.6T =≈年，即至少需要经过6.6年，湖泊中污染物A的含量降至0m 以内（2分）。

七. (本题10分)设()f x 是二次可微的函数，满足()()01,'00f f ==，且对任意的0x ≥有()()()"5'60f x f x f x -+≥，证明：对每个0x ≥，都有()2332xxf x ee≥-。

证明：首先()()()()"2'3'20f x f x f xf x---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()'2g x f x f x =-，则()()'30g x gx -≥（2分），因此()()3'0x g x e -≥（2分），所以()()302xg x e g -≥=-，或者()()3'22xf x f x e -≥-（2分）。

进一步有()()2'2xxf x e e-≥-，即()()22'0xxf x ee-+≥（2分），所以()()22023xxf x ee f-+≥+=（1分），即()2332x xf x e e ≥-（1分）。

如果由方程求解得出()2332x xf x e e =-，给2分。

八. (本题10分)利用定积分证明恒等式：()1121111122n nn n n C C C nn+--++=+++L L 。

证明：用两种不同的方法计算定积分()1011nx dx x--⎰（4分）。

第一种，()()()1111100111111nnnk k kk k n n k k x dx C x dx C xdx xx --==--⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰（1分）()11111nk kk nk C xdx --==-∑⎰（1分）()111knk n k C k-==-∑()112112n nn n n C C C n+-=-++L （1分）。