【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)抛物线教学案

抛_物_线
[知识能否忆起]
1．抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2
＝－12y B ．x 2
＝12y C ．y 2＝－12x
D ．y 2
＝12x
解析：选A ∵p
2
＝3，∴p ＝6，∴x 2
＝－12y .
2．(教材习题改编)抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则a 的值是( ) A.1
8 B ．－18
C ．8
D ．－8
解析：选B 抛物线的标准方程为x 2
＝1a
y .
则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－1
8
.
3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2
＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )
A ．4
B ．6
C ．10
D ．16
解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则依题意得焦点F (0，1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨
⎧
y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，
消去x 得y 2
－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |
＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.
4．(2012²郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．
解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a
2，△AOF 的面积
等于12²|AO |²|OF |＝a 2
16
＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2
＝8x .
答案：y 2
＝8x
5．设抛物线y 2
＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．
解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定
义知|PF |＝x P ＋p
2
＝6.
答案：6
1.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p
2等于焦点到抛
物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．
2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．
3．由y 2
＝mx (m ≠0)或x 2
＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可．
典题导入
[例1] (1)(2011²辽宁高考)已知F 是拋物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )
A.3
4 B ．1 C.5
4
D.74
(2)(2012²曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )
A ．(－2,1)
B ．(1,2)
C ．(2,1)
D ．(－1,2)
[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |
＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝5
4
.
(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．
[答案] (1)C (2)B
由题悟法
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
以题试法
1．(2012²安徽高考)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.
解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，
由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y 2
＝4x 得y 2
＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．
又
⎩⎨⎧
y ＝22x －1，
y 2
＝4x ，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，y ＝－2，
或
⎩⎨
⎧
x ＝2，
y ＝2 2.
由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝3
2.
答案：3
2
典题导入
[例2] (1)(2012²山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛
物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )
A ．x 2
＝833y
B ．x 2
＝1633y
C ．x 2＝8y
D ．x 2
＝16y
(2)(2012²四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点
M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4
D ．2 5
[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2
a
＝2，
∴b ＝3a ，
∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2到双曲
线的渐近线的距离为
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪3³0±p 22
＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2
＝16y .
(2)依题意，设抛物线方程是y 2
＝2px (p >0)，则有2＋p
2
＝3，得p ＝2，故抛物线方程是
y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.
[答案] (1)D (2)B
由题悟法
1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．
以题试法
2．(2012²南京模拟)已知抛物线x 2
＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝
3
2
|MN |，则∠NMF ＝________.( )
解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝3
2
|MN |，如图．∴cos ∠MNH ＝
32
， ∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π
6.
答案：π
6
典题导入
[例3] (2012²福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，
且其三个顶点均在抛物线E ：x 2
＝2py (p >0)上．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．
[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.
设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2
＝2py 上，所以(43)2
＝2p ³12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝1
2
x .
设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14
x 2
0，且l 的方程为
y －y 0＝1
2x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14
x 20.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x 0x －14x 20，
y ＝－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 2
0－42x 0，y ＝－1.
所以Q 为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x 2
0－42x 0，－1.
设M (0，y 1)，令MP ²MQ ＝0对满足y 0＝14
x 2
0(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．
由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 20－4
2x 0，－1－y 1， 由MP ²MQ ＝0，得x 20－42
－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 2
1＝0，
即(y 2
1＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)
由于(*)式对满足y 0＝14
x 2
0(x 0≠0)的y 0恒成立，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
1－y 1＝0，y 2
1＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.
故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．
由题悟法
1．设抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2
＋ny ＋q ＝0.
(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
.
(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)S △AOB ＝p 2
2sin θ(θ为AB 的倾斜角)．
(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p
. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.
以题试法
3．(2012²泉州模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F .
(1)若点O 到直线l 的距离为1
2
，求直线l 的方程；
(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．
解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，
当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，
|－k |
1＋k 2
＝12
，解得k ＝±3
3.
故直线l 的方程为：y ＝±
3
3
(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 2
0＝4x 0.
因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 0
2x 0
(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0y
y 0
－x 0①
把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2
－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 2
0－16x 0y 2
0＝64x 2
0－64x 2
0＝0， 所以直线AB 与抛物线相切．
1．(2012²济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 2
9＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛
物线方程为( )
A ．x 2
＝－45y B ．y 2
＝－45x C ．x 2＝－413y
D ．y 2
＝－413x
解析：选A 由椭圆方程知，a 2
＝9，b 2
＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2
－b 2
＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2
＝－45y .
2．(2012²东北三校联考)若抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )
A ．2
B ．18
C ．2或18
D ．4或16
解析：选C 设P (x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＋p
2
＝10，|y 0|＝6，
y 2
＝2px 0
，
∴36＝2p ⎝
⎛
⎭⎪⎫
10－p 2，即p 2
－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.
3．(2013²大同模拟)已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2
＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A ．2
B ．1 C.1
2
D.14
解析：选A 注意到抛物线y 2
＝2px 的准线方程是x ＝－p
2
，曲线x 2＋y 2
－6x －7＝0，即
(x －3)2＋y 2
＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪
⎪⎪p
2＋3＝4.又p ＞0，因此
有p
2
＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012²郑州模拟)已知过抛物线y 2
＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.
π6或5π
6
B.
π4或3π
4
C.
π3或2π
3
D.
π
2
解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6
sin 2θ＝12，
所以sin θ＝
22，所以θ＝π4或3π4
. 5．(2012²唐山模拟)抛物线y 2
＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x －y ＝0
C ．2x ＋y －1＝0
D ．2x －y －1＝0
解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2
＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 2
1＝4x 1，①
y 22＝4x 2，②
由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵
x 1＋x 2＋1
3
＝1，∴x 1＋x 2＝2，
∴BC 中点为(1，－1)，
则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.
6．(2013²湖北模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且
OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧
b a ＝－1k ，
b ＝k a －m ，
则b ＝－
km
1＋k
2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2
－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，
得b 2k 2
＋b 2
＋4bk ＝0，即bk 2
＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k
2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－
m )＝0，因此m ＝4.
7．(2012²乌鲁木齐模拟)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有
一点B 满足OB ,＝OA ,＋OF
, (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．
解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，
－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2
＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，
S △BOF ＝1
2²|OF |²|y B |＝12
³1³2＝1.
答案：1
8．(2012²渭南模拟)已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为1
2的直线l 被
抛物线截得的线段长为________．
解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2
，
即y 2
－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.
答案：5
9．(2012²广州模拟)已知直线y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线y 2
＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为________．
解析：直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2
＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x ，y ＝k x －2可
得ky 2
－8y －16k ＝0，因为|FA |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B ，则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k
，所以y B
＝－8k
，y A ²y B ＝－16，所以－2y 2
B ＝－16，即y B ＝±22，又k ＞0，故k ＝2 2.
答案：2 2
10．已知过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB
，求λ的值．
解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2，与y 2
＝2px 联立，
从而有4x 2－5px ＋p 2
＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.
由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2
＝8x .
(2)由p ＝4,4x 2
－5px ＋p 2
＝0可简化为x 2
－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，
y 2＝42，
从而A (1，－22)，B (4,42)．
设OC
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，
又y 2
3＝8x 3，即[22(2λ－1)]2
＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2
＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.
11.如图，过抛物线y 2
＝4px (p ＞0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0＞0)作两条直线，分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
(1)求该抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离； (2)当MA 与MB 的斜率都存在，且
y 1＋y 2
y 0
＝－2时，求MA 与MB 的斜率之和； (3)证明：直线AB 不可能平行于x 轴．
解：(1)当y ＝4p 时，x ＝4p ，抛物线的准线方程为x ＝－p ，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p －(－p )＝5p .
(2)设直线MA 的斜率为k MA ，MB 的斜率为k MB ， 由y 2
1＝4px 1，y 2
0＝4px 0，得k MA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝4p
y 1＋y 0
， 同理k MB ＝4p
y 2＋y 0
， 又y 1＋y 2y 0＝－2，所以y 1＋y 2＝－2y 0，因为k MA ＋k MB ＝4p y 1＋y 0＋4p y 2＋y 0＝4p y 1＋y 2＋2y 0y 1＋y 0y 2＋y 0＝0，
所以k MA ＋k MB ＝0，
故MA 与MB 的斜率之和为0.
(3)证明：设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝
y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224p －y 214p
＝
4p
y 1＋y 2
，由(2)知y 1＋y 2＝－2y 0，所以k AB ＝－2p y 0
，由于M (x 0，y 0)为定点，所以－2p y 0
为定值且－2p
y 0
≠0，故直线AB 不可能
平行于x 轴．
12．(2012²安徽模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32
，抛物线C 2：x
2
＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，
l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．
解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2
.由e ＝c a ＝4－b 2
2＝32
得b 2
＝1，
∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，
故抛物线C 2的方程为x 2
＝4y .
(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，
y 2)．由x 2＝4y 得y ＝1
4
x 2，
∴y ′＝1
2
x .
∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，1
2x 2.
当l 1⊥l 2时，12x 1²1
2
x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋1x 2
＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2
－4³(－4k )＞0，解得k ＜－1或
k ＞0.①
且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝
0.
1．(2013²郑州模拟)如图，过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝9x B ．y 2
＝6x C ．y 2＝3x
D ．y 2
＝3x
解析：选C 过点B 作准线的垂线，垂足为B 1，记准线与x 轴的交点为F 1，则依题意得|BB 1||FF 1|＝|BC ||CF |＝23，所以|BB 1|＝23|FF 1|＝2p
3，由抛物线的
定义得|BF |＝|BB 1|＝2p
3.过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，由△
BEF ∽△ADF 得23p 3＝p －2p 33－p ，解得p ＝32
.所以此抛物线的方程是y 2
＝3x .
2．(2012²安徽高考)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )
A.2
2 B. 2 C.32
2
D ．2 2
解析：选C 由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，代入y 2
＝4x 得y 2
＝8，不妨设A (2，22)，则直线AB 的方程为
y
＝22(x
－1)，与y 2＝4x 联立得2x 2
－5x ＋2＝0，可得B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12³1³|y A
－y B |＝32
2
.
3．(2012²浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C
上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．
(1)求p ，t 的值；
(2)求△ABP 面积的最大值． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
2pt ＝1，1＋p 2＝5
4
，得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝12，
t ＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，
设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝x 1，
y 2
2＝x 2，
得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ²2m ＝1，
所以直线AB 的方程为y －m ＝1
2m (x －m )，
即x －2my ＋2m 2
－m ＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2
＝x ，
消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2
－m ＝0，
所以Δ＝4m －4m 2
>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1²y 2＝2m 2
－m .从而|AB |＝ 1＋1
k
2²|y 1－y 2|＝
1＋4m 2
²4m －4m 2
.
设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2
|1＋4m 2
，设△ABP 的面积为S ， 则S ＝12|AB |²d ＝|1－2(m －m 2)|²m －m 2
.
由Δ＝4m －4m 2
>0，得0<m <1.
令u ＝m －m 2，0<u ≤12
，则S ＝u －2u 3
，
S ′(u )＝1－6u 2.
由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12， 所以S (u )max ＝S ⎝
⎛⎭
⎪⎫
66＝6
9. 故△ABP 面积的最大值为
69
.
1．(2012²北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．
解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－43
3
y －4＝0，解得y A ＝
43
3
＋ 16
3＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为1
2
³1³23＝ 3.
答案： 3
2．(2012²东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，m ，A 点到抛物线焦点的距离为1. (1)求该抛物线的方程；
(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条相互垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)；
(3)直线x ＋my ＋1＝0与抛物线交于E ，F 两点，问在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由．
解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2
＝2px (p ＞0)，则由抛物线的定义可得p 2＋12
＝1，
即p ＝1，
所以该抛物线的方程为y 2
＝2x .
(2)由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，代入y 2
＝2x 得y 2
－2my －2n ＝0.
所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，其中y 1，y 2分别是P ，Q 的纵坐标，x 1，x 2分别是P ，Q 的横坐标．
因为MP ⊥MQ ，所以k MP ²k MQ ＝－1.
即
y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0
x 2－x 0
＝－1， 又由x 1＝y 21
2，x 2＝y 22
2，x 0＝y 20
2，代入上式得2y 1＋y 0²2
y 2＋y 0＝－1，
所以(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 2
0＋4＝0，
所以(－2n )＋2my 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝my 0＋x 0＋2. 所以直线PQ 的方程为x ＝my ＋my 0＋x 0＋2， 所以直线PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．
(3)假设存在点N (x 0，y 0)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y 2
＝2x ，x ＋my ＋1＝0，
消去x 得y
2
＋2my ＋2＝0，
则y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2，且(2m )2
－8＞0，即m 2
＞2.
由于NE ⊥NF ，所以y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0x 2－x 0＝－1，又点E ，F ，N 在抛物线上，所以x 1＝y 212，x 2＝y 22
2，
x 0＝y 20
2，代入y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0x 2－x 0＝－1，得2y 1＋y 0²2
y 2＋y 0
＝－1，即(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4，即y 1y 2
＋y 0(y 1＋y 2)＋y 2
0＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2代入并整理得y 2
0－2my 0＋6＝0，只要4m
2
－24＞0，即m 2
＞6，该方程即有实数解．所以只要m 2
＞6就存在满足条件的点N ，当m 2
≤6时不存在满足条件的点N .。