【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)抛物线教学案

抛_物_线

[知识能否忆起]

1．抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2

＝－12y B ．x 2

＝12y C ．y 2＝－12x

D ．y 2

＝12x

解析：选A ∵p

2

＝3，∴p ＝6，∴x 2

＝－12y .

2．(教材习题改编)抛物线y ＝ax 2

的准线方程是y ＝2，则a 的值是( ) A.1

8 B ．－18

C ．8

D ．－8

解析：选B 抛物线的标准方程为x 2

＝1a

y .

则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－1

8

.

3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2

＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )

A ．4

B ．6

C ．10

D ．16

解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则依题意得焦点F (0，1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨

⎧

y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，

消去x 得y 2

－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |

＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.

4．(2012²郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2

＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．

解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a

2，△AOF 的面积

等于12²|AO |²|OF |＝a 2

16

＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2

＝8x .

答案：y 2

＝8x

5．设抛物线y 2

＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．

解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定

义知|PF |＝x P ＋p

2

＝6.

答案：6

1.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p

2等于焦点到抛

物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．

2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．

3．由y 2

＝mx (m ≠0)或x 2

＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可．

典题导入

[例1] (1)(2011²辽宁高考)已知F 是拋物线y 2

＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )

A.3

4 B ．1 C.5

4

D.74

(2)(2012²曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )

A ．(－2,1)

B ．(1,2)

C ．(2,1)

D ．(－1,2)

[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |

＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝5

4

.

(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．

[答案] (1)C (2)B

由题悟法

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．

以题试法

1．(2012²安徽高考)过抛物线y 2

＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.

解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，

由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.

将x ＝2代入y 2

＝4x 得y 2

＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．

又

⎩⎨⎧

y ＝22x －1，

y 2

＝4x ，

解得

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝12，y ＝－2，

或

⎩⎨

⎧

x ＝2，

y ＝2 2.

由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝3

2.

答案：3

2

典题导入

[例2] (1)(2012²山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛

物线C 2：x 2

＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )

A ．x 2

＝833y

B ．x 2

＝1633y

C ．x 2＝8y

D ．x 2

＝16y

(2)(2012²四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点

M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )

A ．2 2

B ．2 3

C ．4

D ．2 5