微分几何期末复习题

微分几何复习题

一、填空题

1. 向量()(,3,)r t t t a =具有固定方向，则a = 。

2. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是 。

3. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '⨯=，则()r t 具有固定 。

4. 曲线()r r t =的正常点是指满足 的点.

5. 曲线3()(2,,)t r t t t e =在任意点的切向量为 。

6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =在0t =点的切向量为 。

7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =在0t =点的切向量为 。

8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面 是曲线在P 点的 。

9. 若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。

10. 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是 。

11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。

12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。

13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是 。

14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。

15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。

16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t = 。

17. 曲线()r r t =的曲率是 。

18. 曲线()r r t =的挠率是 。

19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。

20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。

21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 。

22. 设有曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为 。

23. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。

24. 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=中， 是旋转曲面的经线。

25. 若点(u 0, v 0)为曲面的正则点，则u v r r ⨯在(u 0, v 0)满足 。

26. 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是 。

27. 直纹面的参数表示总可以写成r = 。

28. 如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。

29. 曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线的坐标网是 。

31. 已知曲面(,)r r u v =的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du :dv 与:u v δδ垂直的充要条件是 。

32. 对曲面(,)r r u v =有22243dr du dv =+,则曲面上曲线u =u (t ),v =v (t )从0t 到t (t >0t )的弧长s = 。

33. 若曲面(,)r r u v =在(0，1)点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在(0，1)点处，u u r n ⋅= 。其中n 为曲面的单位法向量。

34. 已知曲面(,)r r u v =的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

35. 若曲面(,)r r u v =的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切向dr 与u -线的夹角为θ,则曲面在这点沿切方向dr 的测地曲率g k = 。

36. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。

37. 曲线()r r t =在0()P t 点的主法向量是β，则曲线在P 点的从切平面方程是 。

38. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是

39. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。

40. 半径为R 的球面的高斯曲率K = 。

41. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的 恒等于零。

42．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。

43．球面{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R ϕθϕθϕ=上， 线是球面上的纬圆。

44．在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。

45．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。

38．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。

46．极小曲面是指 的曲面。

47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.

48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。

49．设曲面在点P 处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。

50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.

51．距离单位球面球心距离为d (0

52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基本量L =M =N =0的脐点称为 。

53．法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.

54．平面(,,0)r u v =的第一基本形式为 。

55．悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r u v u v u =的第一类形式是 。

56．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是 。

57．正螺面(cos ,sin ,)r u v u v bv =的第一基本形式是 。

58．双曲抛物面((),(),2)r a u v b u v uv =+-的第一基本形式是 。

59．正螺面(cos ,sin ,)r u v u v bv =的平均曲率 。 60．函数N λ是主曲率的充要条件是 。

61．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是 。

62．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则 ，其中n k λ=-是曲面沿方向(d )的法曲率。

63．旋转曲面中的极小曲面必是平面或 。

64．空间曲面的基本公式中的Gauss 公式是 , Weingarten 公式是 。