最新平方根和立方根知识点总结及练习
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解平方根、算术平方根、立方根，这三个概念听起来好像很高大上，但其实它们都是我们日常生活中经常用到的数学知识。
今天，我就来给大家讲解一下这三个概念，让你在生活中轻松运用数学。
我们来说说平方根。
平方根就是一个数的正平方根，也就是一个数的平方等于这个数本身的那个数。
比如说，4的平方根是2,因为2乘以2等于4;9的平方根是3,因为3乘以3等于9。
平方根在我们生活中有很多应用，比如说计算土地面积、测量身高等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的平方根是多少呢？”这就需要用到计算器或者手算的方法了。
如果你不会手算，也没关系，我可以教你一个简单的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到它的边长，边长的平方就是那个数的平方根。
我们来说说算术平方根。
算术平方根就是一个数的正平方根，但是它只考虑奇数的情况。
比如说，5的算术平方根是无理数，因为5不能表示成两个整数相乘的形式；而4的算术平方根是2,因为2乘以2等于4。
算术平方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算房间面积、测量长度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的算术平方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到最短的那条边，这条边的长度就是那个数的算术平方根。
我们来说说立方根。
立方根就是一个数的三次方根，也就是一个数的三次方等于这个数本身的那个数。
比如说，8的立方根是2,因为2乘以2乘以2等于8;27的立方根是3,因为3乘以3乘以3等于27。
立方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算体积、计算速度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的立方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方体，然后找到最短的那条棱，这条棱的长度就是那个数的立方根。
平方根、算术平方根、立方根这三个概念虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了它们的规律和方法，就可以在生活中轻松运用数学了。
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项：a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab •=()0,0>>b a , ab b a =•()0,0>>b a②b a b a =)0,0(>≥b a , b aba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()ba b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式： ③ 333b a ab •=, 333ab b a =•333b a b a = )0(≠b , 333b a ba = )0(≠b④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
中考数学《平方根和立方根》知识点及练习题
平方根和立方根一.知识梳理：1.平方根定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
a 叫做被开方数。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
定义2：正数a 的正的平方根叫做a a ”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质2：算术平方根a 的双重非负性：①a ≥0 ； ②0≥a定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。
性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。
定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方3. 实数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）实数大小比较的几种常用方法①作差法：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0.②作商法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22④近似值法：记住这些数值：236.25732.13414.12≈≈≈；；二.课后作业1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。
2.-8的立方根是 ；立方根是它本身的数是______3.25的算术平方根是_____，64的立方根是5.比较大小：-3.14 π-；23。
6. 22(3)0y z -+-=，则xyz 的立方根是________7.23-的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
平方根和立方根专题(难易结合)
平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定，0的算术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。
（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。
3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ . 【典型例题】求平方根（1）100 （2）25121（3）0.25 求值（1）4 （2）2516-（3）±16 （4）()27±【课堂练习】一、填空题 1．1的平方根是 ， 的平方根是02．=36 ；=-2)9( ；=--2)3( 。
3． 当0≥a 时，a ±表示的意义是 ，其中被开方数是 . 225的算术平方根用符号表示为 ，它的结果是 。
4． -7的平方的算术平方根是 ，3的平方的平方根是 。
二求下列各数的平方根1． 0.64 2．94 3．2500 4．2)3(- 5. 8164 6．2.56 7．2)3(- 11.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.12.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.13.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.14.要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？15.甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1.乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5.哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？立方根一、填空题1． 数a 的立方根，记作 ，其中被开方数是 ，根指数是 。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
下面我们就来详细地总结一下平方根与立方根的相关知识点。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。
用数学语言表示为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 ，2 和－2 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为 5²＝ 25 ，所以√25 ＝ 5 ；因为（－5）²＝ 25 ，所以√25 ＝－5 。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
例如，9 的算术平方根是 3 ，即√9 ＝ 3 。
5、平方根的估算对于一些非完全平方数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，要估算√7 的值，因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表示为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任何数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。
平方根与立方根及实数知识点总结
平方根与立方根及实数知识点总结（总4页）(5) Vk44 ,(6) -v36 ,“平方根”与“立方根”知识点小结 一、 知识要点1、 平方根：⑴、定义：如果x2=a,则x 叫做a 的平方根，记 作“ 土而”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反 数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“亦”。
2、 立方根：⑴、定义：如果戸=（7,则x 叫做a 的立方根，记 作“需”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根 是0；负数有一个负的立方根。
3、 开平方（开立方）：求一个数的平方根（立 方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、 规律总结：1、 平方根是其本身的数是0；算术平方根 是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是 0 和±1。
2、 每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都 有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相 同。
3、石本身为非负数，即長有意 义的条件是4、 公式：（1）（亦）2=a （a$0） ； （2）畅=一扬（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若儿个非负数之和等于 0,则每一个非负数都为0（此性质应用很广， 务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根 ⑴64；⑵（3；⑶访；⑷存 例2求下列各式的值（1） 土阿；（2） -<16 ；（4）7M）7-例3.求下列各数的立方根：（1）343；（2） -2—；⑶27二.巧用被开方数的非负性求值•大家知道，当a$0时，a 的平方根是土、方， 即a 是非负数.例4、若>12-x -y/x-2 - y = 6,求yx 的立方根.练习：已知y = Vm + l2x-l+2,求0的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当时，a 的平方根是土y[u 9而(+V^) + (―) = 0.四. 巧解方程例6、解方程(1) (x+1) 2=36 (2)27(x+l)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道^>0,即a=0时其值最小，换句话说石的最小值是零.例4、已知：y= Ja-2 +J30 + 1),当a、b 取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时，求W的非算术平方根.练习①已知Jx—3 +卜一3| + (远+ 2)，=0,求xyz 的值。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
平方根和立方根复习
平方根和立方根复习知识点一：平方根(1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作。
(2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
a(a≥0)的算术平方根记作。
巩固练习一：基础题知识点1 算术平方根1．(呼伦贝尔中考)25的算术平方根是( )A ．5B ．－5C ．±5D . 52．(杭州中考)化简：9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3.14的算术平方根是( ) A .12 B ．－12 C .116 D ．±124．(南充中考)0.49的算术平方根的相反数是( )A ．0.7B ．－0.7C ．±0.7D ．05．(－2)2的算术平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．－2 D . 26．(宜昌中考)下列式子没有意义的是( )A .－3B .0C . 2D .（－1）27．下列说法正确的是( )A ．因为52＝25，所以5是25的算术平方根B ．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根C ．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根D ．以上说法都不对8．求下列各数的算术平方根：(1)144； (2)1； (3)1625； (4)0.a a9．求下列各式的值：(1)64；（2）121225； (3)108；(4)（－3）2.知识点2 估计算术平方根10．一个正方形的面积为50平方厘米，则正方形的边长约为() A．5厘米B．6厘米C．7厘米D．8厘米11．(安徽中考)设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为() A．5 B．6 C．7 D．812．(泉州中考)比较大小：用“＞”或“＜”号填空)．中档题16．设a－3是一个数的算术平方根，那么()A．a≥0 B．a＞0 C．a＞3 D．a≥3 17．(台州中考)下列整数中，与30最接近的是(B)A．4 B．5 C．6 D．7 18．(东营中考)16的算术平方根是()A．±4 B．4 C．±2 D．219．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是()A．1 B．－1 C．0 D．0或120．下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10，记为±100＝10；③(－6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个21．(天津中考)已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为() A．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D．3 dm22．若一个数的算术平方根是11，则这个数是．23．若x－3的算术平方根是3，则x＝．24．(青海中考)若数m，n满足(m－1)2＋n＋2＝0，则(m＋n)5＝．25．计算下列各式：(1)179； (2)0.81－0.04； (3)412－402.26．比较下列各组数的大小：(1)12与14；(2)－5与－7；(3)5与24；(4)24－12与1.5.27．求下列各式中的正数x的值：(1)x2＝(－3)2；(2)x2＋122＝132.28．兴华的书房面积为10.8 m2，她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？综合题30．国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由．巩固练习二：基础题知识点1 平方根1．(黄冈中考)9的平方根是()A．±3 B．±13C．3 D．－32．(绵阳中考)±2是4的()A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根3．下面说法中不正确的是()A．6是36的平方根B．－6是36的平方根C．36的平方根是±6 D．36的平方根是64．下列说法正确的是()A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根5．(怀化中考)(－2)2的平方根是()A．2 B．－2 C．±2 D. 2 6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1)．知识点2 平方根与算术平方根的关系7．下列说法不正确的是()A．21的平方根是±21 B.49的平方根是23C．0.01的算术平方根是0.1 D．－5是25的一个平方根8．(武汉校级月考)下列式子中，计算正确的是()A．－ 3.6＝－0.6 B.（－13）2＝－13C.36＝±6 D．－9＝－3 9．求下列各数的平方根与算术平方根：(1)(－5)2；(2)0；(3)－2；(4)16.10．求下列各式的值：(1)225； (2)－3649； (3)±144121.11．下列说法正确的是()A．－8是64的平方根，即64＝－8B．8是(－8)2的算术平方根，即（－8）2＝8C．±5是25的平方根，即±25＝5D．±5是25的平方根，即25＝±512．(东营中考)81的平方根是()A．±3 B．3C．±9 D．913．(郾城区期中)若x2＝16，则5－x的算术平方根是()A．±1 B．±4C．1或9 D．1或314．如果某数的一个平方根是－6，那么这个数的另一个平方根是6，这个数是．15．若x＋2＝3，求2x＋5的平方根．16．已知25x2－144＝0，且x是正数，求25x＋13的值．17．求下列各式中的x：(1)9x2－25＝0；(2)4(2x－1)2＝36.21．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．22．(1)一个非负数的平方根是2a －1和a －5，这个非负数是多少？(2)已知a －1和5－2a 都是m 的平方根，求a 与m 的值．知识点二：立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．a 的立方根记作3a 。
最新平方根、算术平方根、立方根重点-例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项：a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a②b a b a =)0,0(>≥b a , b aba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()ba b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙=, 333ab b a =∙333b a b a = )0(≠b , 333b a ba = )0(≠b④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学原理以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下这两个概念的相关知识点。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为任何数的平方都是非负数，所以负数不可能有平方根。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
4、平方根的表示方法正数 a 的正的平方根叫做它的算术平方根，记作√a，另一个平方根是它的相反数√a。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，要估算√7 的值，可以找到两个相邻的完全平方数，4 ＜ 7 ＜9，所以 2 ＜√7 ＜ 3。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，即³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
也就是说，任何实数都有唯一的一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。
4、立方根的表示方法一个数 a 的立方根记作³√a。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 有一个平方根，负数没有平方根；而立方根中，任何实数都有一个立方根。
平方根、立方根知识点+例题+练习题
《 实 数 》1------平方根、立方根一、平方根1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即a r =2，r 叫做a 的一个平方根。
２.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= ，负数没有平方根3.平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a a =2==⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =2 （0≥a ） 4.a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x5.如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____6.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若0>>b a ，则b a >二、立方根和开立方１．立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a ２. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.３. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
三、推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。
当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个。
n a ± ０的偶次方根为０。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果 x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“ X a ” （a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ,a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果 x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“ 3 a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根； 0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、 平方根是其本身的数是 0;算术平方根是其本身的数是 0和1 ;立方根是其本身的数是 0和土 1。
2、 每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根， 这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数，即a >0； .a 有意义的条件是a >0。
求下列各数的平方根和算术平方根 求下列各式的值例3、求下列各数的立方根：4、公式：⑴（掐）2=a （a > 0）；⑵ 3石= 需（a 取任何数）。
5、 非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为 0 （此性质应用很广，务必掌握）。
(1) 64 ； (2) ( 3)(3) 15 1 _ ； 49 1 3)2(1) 81 ； (2) 16 ； (3) (4) . ( 4)2 .(5).36 , (7) 25 ；49 (8) .(25)2⑴ 343；⑵ 227 ；⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a> 0时，a的平方根是土.a，即a是非负数.■一”x例4、若、2 x . x 2 y 6,求y的立方根.练习：已知y .. 1 2x ,2x 1 2,求x y的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值我们知道，当a> 0时，a的平方根是土.a，而(.a) ( .a) 0.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若2a 3和a 12是数m的平方根，求m的值.四、巧解方程例6、解方程(1) (x+1) 2=36 ( 2) 27(X+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道•、a 0,即a=0时其值最小，换句话说..a的最小值是零.例4、已知：y= , a 2 3(b 1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时，求b a的非算术平方根.练习①已知,^3 |y 3 (z 2)20,求xyz的值。
七年级数学下册平方根与立方根知识点与习题
算术平方根 平方根与立方根 平方根
立方根 知识点 1 算术平方根
1.如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x 2 a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
aa 0的算术平方根记为 a ,读作“根号 a”，a 叫做被开方数.
规定：0 的算术平方根是 0 ，即 0 0 .
5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方. 说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根.
【典例】
1.已知：（x+1）3=﹣8，求 x 的值．
2.已知 2a﹣1 的平方根是±3，3a﹣b+2 的算术平方根是 4，求 a+3b 的立方根．
【方法总结】
1.解三次方程时，将三次方的项系数化为 1，左右两边同时开立方，化简求出结果；
A．0
B．1
C．0 或 1
D．0 或±1
5．（2018 春•上饶县期末）求下列各式中的 x． （1）16x2=25 （2）（x﹣3）2=4
6．（2018 秋•德惠市校级月考）一个数的立方根是 4，这个数的平方根是（ ）
A．8
B．﹣8
C．±8
D．±4
7．（2017 秋•淅川县期末）下列说法正确的是（ ）
Байду номын сангаас
D．9
2．（2018 春•巴南区期末）3 的算术平方根是（ ）
A．±3
B．
C．3
D．
3．（2018 春•朝阳区期末） 的算术平方根为（ ）
A．
B．
C．
D．﹣
知识点 2 平方根 开平方
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根，
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常基础且重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及应用于实际生活中都有着广泛的用途。
下面就让我们来详细了解一下平方根与立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 x ＝±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为 5²＝ 25，所以√25 ＝ ±5。
4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
5、平方根的表示方法正数 a 的平方根表示为±√a，其中“√”读作“根号”，“±”表示正负两个值。
6、常见平方根（1）√1 ＝ 1，√4 ＝ 2，√9 ＝ 3，√16 ＝ 4，√25 ＝ 5 等。
（2）一些常见的无理数平方根，如√2 ≈ 1414，√3 ≈ 1732 等。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 x ＝³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，即³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。
开立方与立方互为逆运算。
4、立方根的表示方法数 a 的立方根表示为³√a。
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基础知识巩固】
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义： 如果一个数 x 的平方等于 a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．即：
如果 x 2
a ，那么 x 叫做 a 的平方根．
（2）开平方的定义：求一个数的 平方根 的运算 ，叫做 开平方．开平方 运算的 被开方数 必须是 非负数 才 有意义。
（3）
平方与 开平方互为逆运算 ： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3 一个正数有两个平方根， 即正数进行开平方 运算有两个结果； 一个 负数没有平方根， 即负数不能 进行开平方 运算
（4）
5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；
正数a的负的平方根可用- a表示．
6）<—>xa
a 是x的平方x是a的平方根2、算术平方根
（1）x 的平方是 a a 的平方根是x
算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根． a的算术平方根记为
a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数．
规定：0 的算术平方根是0.
也就是，在等式x2 a （x ≥ 0中），规定x a 。
2）a的结果有两种情况：当 a是完全平方数时，a是一个有限数；
当 a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也
扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方
根也缩小。
般来说，被开放数扩大（或缩小） a倍，算术平方根扩大（或缩小）a倍，例如
=5，
=50。
4）夹值法及估计一个（无理）数的大小
5）x2 a （x ≥ 0） <—> x a
a是x的平方x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平
方根是零。
a（a 0）
a2 a ；注意a 的双重非负性：
-a （a<0 ） a 0
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
3、立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三
次方根），即如果x3 a ，那么x叫做a的立方根（2）一个数a的立方根，记作3 a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开
方数， 3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3）一个正数有一个正的立方根；
0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数
都有唯一的立方根。
（ 4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
3a 3a a 0 。
（ 5）x3 a <—>x3a
a是x的立方x 是 a 的
立方根x 的立方是 a a 的立方根是x
6）3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别
1、下列说法中正确的是（）
C、=±1
D、是5 的A、的平方根是± 3 B、1 的立方根是± 1
平方根的相反数
2、下列语句中，正确的是（）
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．一个实数的立方根不是正数就是负数
D．立方根是这个数本身的数共有三个
④ 3 8 2
4 。
其中正确的有
A 、1 个
B 、 2 个
C 、3 个
D 、4 个
知识点二：计算类题型
3 、 下列说法中：① 3
都是 27 的立方根，②
3 y 3 y ， ③ 6
4 的立方根是 2，
2
4、 0.7 2
的平方根是( )
A ． 0.7
B ． 0.7
5、下列各组数中，互为相反数的组
是(
C ． 0.7
D ． 0.4
)
C 、－ 1
与 2 D 、－ 2 ︱和 2
2
3、 ① 2+3 2 — 5 2
1、 25 的算术平方
② 7( 1
- 7 )
③ | 3 2 | + | 3 2|- | 2 1 |
4、( 1 ) 3 27 ＋( 3)2－3 1
3 27 0 1
43 0.125 3 1
6
63
4
④ 38 ( 2)2 14
2)
3)
知识点三：利用平方根和立方根解方程
2
2
1、（ 1）（ 2x-1 ） -169=0 ；（2）4x2 121
3)
3
（x 2）3 125
知识点四：关于有意义的题
a 本身为非负数，有非负性，即a ≥ 0；a 有意义的条件是a≥ 0。
1 要使有意义，必须满足 a 0.
a
1、若a的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是( )
A、一切数 B 、正数C、非负数D、非零数
2、要使2x 6 有意义， x 应满足的条件是
x1 3、当x 时，式子x 2 有意义。
知识点五：有关平方根的解答题
1、一个正数a的平方根是3x―4与2―x，则a是多少？
2、若 5a＋1 和 a－19是数 m的平方根，求 m 的值。
3、已知x、y 都是实数，且y x 3 3 x 4，求 y x的平方根。
知识点六：非负性的应用
1、已知实数 x，y 满足x 2 +（y+1）2=0，则 x-y 等于
解答：根据题意得， x-2=0 ， y+1=0，
解得 x=2， y=-1 ，
所以， x-y=2- （-1 ） =2+1=3．
2、已知a、b满足 2a 8 b 3 0，解关于 x的方程 a 2 x b2 a 1
3、若x 1 (3x y 1) 2 0，求5x y2的值。
4、若 a、b、c 满足a 3 （5 b）2 c 1 0 ，求代数式 b c的值。
a
5、已知1 3a 和︱ 8b－ 3︱互为相反数，求（ab）－27 的值。
重点知识巩固】
考点、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
2）如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。
如果，那么 x 叫做 a 的平方根。
（3）如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。
如果
，那么 x 叫做 a 的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为
逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
1）正数 a 的算术平方根，记作“ a
2）a（a≥ 0）的平方根的符号表达为。
3）一个数 a的立方根，用表示，其中 a是被开方数， 3 是根指数。
4、运算公式
4、开方规律小结
（1）若 a≥0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互
为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根； 0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0。
2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。