最新平方根和立方根知识点总结及练习

基础知识巩固】

一、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

（1）平方根的定义： 如果一个数 x 的平方等于 a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根．即：

如果 x 2

a ，那么 x 叫做 a 的平方根．

（2）开平方的定义：求一个数的 平方根 的运算 ，叫做 开平方．开平方 运算的 被开方数 必须是 非负数 才 有意义。 （3）

平方与 开平方互为逆运算 ： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3 一个正数有两个平方根， 即正数进行开平方 运算有两个结果； 一个 负数没有平方根， 即负数不能 进行开平方 运算

（4）

5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；

正数a的负的平方根可用- a表示．

6）<—>xa

a 是x的平方x是a的平方根2、算术平方根

（1）x 的平方是 a a 的平方根是x

算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根． a的算术平方根记为

a ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数．

规定：0 的算术平方根是0.

也就是，在等式x2 a （x ≥ 0中），规定x a 。

2）a的结果有两种情况：当 a是完全平方数时，a是一个有限数；

当 a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也

扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方

根也缩小。

般来说，被开放数扩大（或缩小） a倍，算术平方根扩大（或缩小）a倍，例如

=5，

=50。

4）夹值法及估计一个（无理）数的大小

5）x2 a （x ≥ 0） <—> x a

a是x的平方x的平方是a

x是a的算术平方根a的算术平方根是x

（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平

方根是零。

a（a 0）

a2 a ；注意a 的双重非负性：

-a （a<0 ） a 0

（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

3、立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三

次方根），即如果x3 a ，那么x叫做a的立方根（2）一个数a的立方根，记作3 a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开

方数， 3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（3）一个正数有一个正的立方根；

0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数

都有唯一的立方根。

（ 4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，

求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即

3a 3a a 0 。

（ 5）x3 a <—>x3a

a是x的立方x 是 a 的

立方根x 的立方是 a a 的立方根是x

6）3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【典型例题分析】

知识点一：有关概念的识别

1、下列说法中正确的是（）

C、=±1

D、是5 的A、的平方根是± 3 B、1 的立方根是± 1

平方根的相反数

2、下列语句中，正确的是（）

A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B．负数没有立方根

C．一个实数的立方根不是正数就是负数

D．立方根是这个数本身的数共有三个

④ 3 8 2

4 。其中正确的有

A 、1 个

B 、 2 个

C 、3 个

D 、4 个

知识点二：计算类题型

3 、 下列说法中：① 3

都是 27 的立方根，②

3 y 3 y ， ③ 6

4 的立方根是 2，

2

4、 0.7 2

的平方根是( )

A ． 0.7

B ． 0.7

5、下列各组数中，互为相反数的组

是(

C ． 0.7

D ． 0.4

)

C 、－ 1

与 2 D 、－ 2 ︱和 2

2

3、 ① 2+3 2 — 5 2

1、 25 的算术平方

② 7( 1

- 7 )

③ | 3 2 | + | 3 2|- | 2 1 |

4、( 1 ) 3 27 ＋( 3)2－3 1

3 27 0 1

43 0.125 3 1

6

63

4

④ 38 ( 2)2 14

2)

3)

知识点三：利用平方根和立方根解方程

2

2

1、（ 1）（ 2x-1 ） -169=0 ；（2）4x2 121

3)

3

（x 2）3 125

知识点四：关于有意义的题

a 本身为非负数，有非负性，即a ≥ 0；a 有意义的条件是a≥ 0。

1 要使有意义，必须满足 a 0.

a

1、若a的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是( )

A、一切数 B 、正数C、非负数D、非零数

2、要使2x 6 有意义， x 应满足的条件是

x1 3、当x 时，式子x 2 有意义。

知识点五：有关平方根的解答题

1、一个正数a的平方根是3x―4与2―x，则a是多少？

2、若 5a＋1 和 a－19是数 m的平方根，求 m 的值。

3、已知x、y 都是实数，且y x 3 3 x 4，求 y x的平方根。

知识点六：非负性的应用

1、已知实数 x，y 满足x 2 +（y+1）2=0，则 x-y 等于