【精品】高考数学试题分类汇编——概率统计和排列组合二项式定理
专题14 排列组合、二项式定理--2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题14排列组合、二项式定理研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文的排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
排列组合二项式定理——近3年排列组合二项式定理考了7道小题，（3道排列组合，4道二项式定理）二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查，排列组合出现的考题难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好两个理（分类加法原理、分步乘法原理）及分配问题，掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通向问题”出现较多。
该项内容对文科考生不作要求。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理15））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【答案】见解析。
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种，故答案为：16【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理6））（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理14））（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）【答案】见解析。
高考试题分类解析(排列组合、二项式定理与概率)
排列组合、二项式定理与概率选择题１.(全国卷Ⅱ）10()x 的展开式中64x y 项的系数是(Ａ )(A) 8４0 (B) 840-ﻩ(Ｃ) ２１0ﻩ(D) 210- 2.（全国卷Ⅲ）在(ｘ−1)(ｘ+1)8的展开式中x 5的系数是(B ）（A)−14 （Ｂ)1４ （Ｃ)−28 （D ）２8３．（北京卷）北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(Ａ ) （A ）124414128C C C(B ）124414128C A A(Ｃ)12441412833C C C A (Ｄ)12443141283C C C A 4.(北京卷)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(B ）（A ）1444C C 种 （B )1444C A 种 （C )44C 种 （Ｄ）44A 种5.（天津卷)某人射击一次击中目标的概率为０.６,经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为( B) A.12581ﻩB ．12554ﻩC ．12536ﻩD.125276.(天津卷）某人射击一次击中的概率为0.６,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ＡＡ.12581 ﻩB.12554 ﻩC.12536 ﻩＤ.12527 7.(福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ﻩ ( Ｂ ） ﻩA.300种 B.２４0种ﻩC.14４种 Ｄ.９6种8.(广东卷)先后抛掷两枚均匀的正方体股子（它们的六个面分别标有点数１、２、3、4、5、6），股子朝上的面的点数分别为,则的概率为(C) （A)16（Ｂ）536（C)112(D)129．（湖北卷)把一同排6张座位编号为1，２,3，4，５，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是ﻩ（ D ）ﻩA.１6８ﻩB ．9６ﻩＣ.７2 Ｄ．14410.（湖北卷)以平行六面体ＡBCD —A ′Ｂ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率ｐ为 (A)A ．385367B ．385376 C.385192 D ．3851811．(湖南卷)4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-１00分;选乙题答对得９０分,答错得－９0分.若4位同学的总分为０，则这４位同学不同得分情况的种数是（B ) A.48 ﻩB.36 C.24 ﻩD ．18１2.（江苏卷）设k=１,２，３,4,５,则(x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是( C)( A ） 10 ( B ) 40 ( C ） ５0 ( D ）８0１３.(江苏卷)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的４个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 （ B)(A ）96 （Ｂ）4８ （C)24 （Ｄ)014.(江西卷）123)(x x +的展开式中，含ｘ的正整数次幂的项共有ﻩ( B ）ﻩＡ．4项 B.３项ﻩＣ.２项ﻩD ．1项15.（江西卷)将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为（ A ) ﻩA.70 Ｂ．1４0ﻩC ．２80 D.８4０ 16.(江西卷)将1，2，…，9这9个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为( Ａ)Ａ.561B.701 C.3361 D ．4201 17.(辽宁卷)设袋中有80个红球，２0个白球，若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为（ D ）A.10100610480C C C ⋅ﻩB ．10100410680C C C ⋅ C.10100620480C C C ⋅ Ｄ.10100420680C C C ⋅ 18．（浙江卷）在(1－ｘ)5-(1-x )6的展开式中，含ｘ3的项的系数是（ C )(A) -5 (B) ５ （C) -10 （Ｄ) 1０19.(山东)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（C )(A)7 (Ｂ)7- (C ）2１ (D ）21-2０. (山东)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买,至少有１人中奖的概率是（D )（A ）310 (B ）112 (C ）12 （D)111221．(重庆卷)8. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为-5，则ｎ等于( Ｂ )(A) 4；ﻩﻩ ﻩ(B) 5; (C) 6;ﻩﻩﻩ (D) １0。
高考分类整理汇编之概率统计与排列组合二项式定理
2011年高考分类汇编之概率统计与排列组合二项式定理（二）福建理6．（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于 BA．80 B．40 C．20 D．1013．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
19．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，……，8，其中X ≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示：且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。
解：（I）因为又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。
高中数学排列,组合,二项式定理,概率,统计2010年及近几年此种类型题目总结[1]
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高三数学二轮复习排列、组合、二项式定理概率与统计一、考纲要求：Ⅰ.排列、组合、二项式定理1.考试内容：①分类计数原理与分步计数原理．②排列．排列数公式．③组合．组合数公式．组合数的两个性质．④二项式定理．二项展开式的性质．2.考试要求：①掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．②理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．Ⅱ．概率1.考试内容：①随机事件的概率．②等可能性事件的概率．③互斥事件有一个发生的概率．④相互独立事件同时发生的概率．⑤独立重复试验．2.考试要求：①了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．②了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.③了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．④会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．Ⅲ．概率与统计1.考试内容：①离散型随机变量的分布列．离散型随机变量的期望值和方差．②抽样方法.总体分布的估计．正态分布．线性回归．2.考试要求：①了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．②了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差．③会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．④会用样本频率分布去估计总体分布.⑤了解正态分布的意义及主要性质．○6了解线性回归的方法和简单应用．二、试卷比重：2010年高考试题（非课标地区）2010年新课标地区山东卷（理）天津（理）09年高考试题：08年高考试题：07年高考试题：从2010年各地的（无论是新课标还是非课标）试题来看，排列组合，二项式定理与概率统计的命题模式基本如下：二项式定理1个小题，简单题，排列组合1个小题，中档题，离散型随机变量的分布列或统计分析：1个大题，难度中等。
高考数学试题分类汇编---- 排列组合二项式定理
高考数学试题分类汇编---- 排列组合二项式定理一． 选择题：1.（全国一3）512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ C ） A ．10 B ．5 C ．52 D ．12.（全国一12）将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ B ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种3.（全国二9）44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ A ）A ．4-B ．3-C ．3D ．44.（安徽卷7）设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.（安徽卷12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )A ． 2686C AB ． 2283C A C ．2286C AD ．2285C A6.（福建卷9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为AA.14B.24C.28D.487.（湖北卷9）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为BA.100B.110C.120D.1808.（湖南卷8）某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( C )A ．15B ．45C ．60D ．759.（江西卷8）10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为 D A ．1 B ．1210()C C ．120C D ．1020C10.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）A ．13B ．12C ．23D ．3411.（辽宁卷10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种12.(浙江卷6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）27413.（重庆卷10)若(x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为B(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二． 填空题：1.（全国二14）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）4202.（北京卷12）5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）10， 323.（福建卷13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答）84 4.（湖南卷13）记n x x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________.55.（辽宁卷15）6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．356.（陕西卷14）72(1)x -的展开式中21x的系数为 84 ．(用数字作答) 7.（陕西卷16）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．8.（四川卷13）()()34121x x +-展开式中x 的系数为______2_________。
2020年高考分类整理汇编之概率统计与排列组合二项式定理1
211年高考分类汇编之概率统计与排列组合二项式定理（一）安徽理（12）设（xT）”二%+￥+Q折+L 则.（12） C*【命题意图】本题考查二项展开式 .难度中等.】〃二席（项七-璐，心或（-1）。
二C；；,所」二"U（2）（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有.高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过1分钟，如果有一个人1分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别hhh— ,假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立^（I）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（口）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为印的S ,其中的一个排列，求所需派出人员数.目X的分布列和均值（数字期望）EX；（川）假定1 ＞夕3 ,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
（2）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识^解（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于1-（1-孙）（1-凡）二a +孙+凡一 Pi力一力巧一凡四+p仍缶（ii）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量 X的分布列为X123P(Ei)务所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是盛Mi + 2（1 -右）的+3（1 -疝1 -的）二3 -勾-处+ q电（iii）（方法一）由（ii）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，朋二3-2力-力+a四根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值^ 下面证明对于 hhh 的任意排列皿用，都有3-2i-的+绍拦3-2-为+为四（*）事实上，' -"一■< ； :" *一'=2。
高考数学分项汇编 专题11 概率和统计、排列组合和二项式定理(含解析)文-人教版高三全册数学试题
专题11 概率和统计、排列组合和二项式定理一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅰ，文3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】：B2. 【2011课标，文6】有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A3. 【2008全国1，文3】512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．1【答案】C4. 【2008全国1，文2】掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为1P ，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P = D.不能确定 【答案】B5. 【2007全国1，文5】甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）A.36种B.48种C.96种D.192种 【答案】：C6. 【2012全国1，文13】(x ＋12x)8的展开式中x 2的系数为__________． 【答案】：77. 【2010全国1，文15】某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__________种．(用数字作答) 【答案】：308. 【2005全国1，文14】4)1(xx 的展开式中，常数项为 。
（用数字作答） 【答案】69. 【2005全国1，文15】从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。
【答案】10010. 【2011全国1，文19】11. 【．2009．．文．20．．】甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结．．．．全国卷．．．Ⅰ,束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.12. 【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【考点定位】古典概型二．能力题组1. 【2012全国1，文7】 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种 B．360种 C．480种 D．720种【答案】C2. 【2011全国1，文9】4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种3. 【2010全国1，文5】(1－x)4(1－x)3的展开式中x2的系数是( )A．－6 B．－3 C．0 D．3【答案】：A4. 【2009全国卷Ⅰ,文7】甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种B.180种C.300种D.345种【答案】:D5. 【2014全国1，文13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.【答案】2 36. 【2007全国1，文13】从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为__________。
2023年高考数学真题分训练 排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)
专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。
2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题及答案
2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题1.07N 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（ ）（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C2.08N 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手。
若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( ) （A ）511（B ）681（C ）3061（D ）40813.08N （X -31x）12展开式中的常数项为（ ）（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)2204.09N 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2（C ）21 （D ）325.10N 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目 乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（ ）（A ）36种 （B ）42种 （C ）48种 （D ）54种6.10N 已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP ( )（A ）0.477（B ）0.628（C ）0.954（D ）0.9777.11N 若62()a x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .8.12N 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） （A ）232 (B)252 (C)472 (D)4849.13N 在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121++-≥x x 成立的概率为______.10.13N 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911.14N 若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 。
高三数学试题汇编 第十章排列、组合、二项式定理 第一节排列、组合
第十章排列、组合、二项式定理一排列、组合【考点阐述】分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．【考试要求】（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义。
掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．【考题分类】（一）选择题（共13题）1.（北京卷理4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）8289A A（B）8289A C（C）8287A A（D）8287A C【答案】A．解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有29A种排法，因此一共有8289A A种排法。
2.（广东卷理8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同。
记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。
在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。
如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒【答案】C.【解析】每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．3.（湖北卷理8）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B.126 C.90 D.54【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318C A⨯=；若有1人从事司机工作，则方案有123343108C C A⨯⨯=种，所以共有18+108=126种，故B正确.4.（湖北卷文6）现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A．45 B. 56 C. 5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.6543⨯⨯⨯⨯25.（湖南卷理7）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.15【答案】B【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有24C6＝（个）6.（全国Ⅰ卷理6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种【答案】A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有1234C C种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有2134C C种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C+2134181230C C=+=种.7.（全国Ⅱ卷理6文9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1， 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.8.（山东卷理8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1333A A =18⋅种排法，所以共有编排方案241842+=种，故选B 。
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．203．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．234．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．238．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.810．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．4511．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6-C ．12D ．12-2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24参考答案考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【详细分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．20【详细分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【答案详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种 B ．60种 C ．120种 D ．240种【答案】C【详细分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【答案详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种【详细分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【答案详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选：D.6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【详细分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【答案详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==. 故选：D.8．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【详细分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【答案详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【名师点评】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【答案详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为102 5103=+.故选：C.11．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【详细分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【答案详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C【名师点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【详细分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【答案详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【名师点评】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【详细分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【答案详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【名师点评】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要详细分析元素是否可重复，其次要详细分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．12 D ．12-【答案】A【详细分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【答案详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr --+==-=，令432r-=，解得2r =， 故所求即为()224C 16-=. 故选：A.2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【详细分析】利用赋值法可求024a a a ++的值. 【答案详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=， 令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=， 故420181412a a a +++==， 故选：B.3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【详细分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【答案详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【名师点评】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【详细分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【答案详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【名师点评】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及详细分析能力，属于中档题.5．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【详细分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【答案详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【名师点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．。
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概率统计与排列组合二项式定理安徽理（12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则.（12）1120C 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C C C C C 1110101110111011212120202120+=-=+-=.（20）（本小题满分13分)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去，且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123,其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列,求所需派出人员数目X 的分布列和均值(数字期望）EX ；（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值（数字期望)达到最小。
（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想,应用意识与创新意识。
解:（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321p p p ---,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于（II ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时,随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值(数学期望）EX 是（III)（方法一）由（II)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。
下面证明:对于321,,p p p 的任意排列321,,q q q ,都有≥+--212123q q q q ,232121p p p p +--……………………(*）事实上，)23()23(21212121p p p p q q q q +---+--=∆即（*)成立.（方法二）（i ）可将（II ）中所求的EX 改写为,)(312121q q q q q -++-若交换前两人的派出顺序，则变为,)(312121q q q q q -++-.由此可见,当12q q >时,交换前两人的派出顺序可减小均值.(ii ）也可将(II ）中所求的EX 改写为212123q q q q +--，或交换后两人的派出顺序，则变为313123q q q q +--.由此可见，若保持第一个派出的人选不变,当23q q >时，交换后两人的派出顺序也可减小均值。
综合（i ）(ii ）可知，当),,(),,(321321p p p q q q =时，EX 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。
安徽文(9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A）110（B）18（C）16(D）15（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题。
【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个,其中能构成矩形3个,所以是矩形的概率为31155=。
故选D.（20）(本小题满分10分）某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据：年份2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨）236 246 257 276 286 (Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a=+；（Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解:（I ）由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 对预处理后的数据，容易算得.2.3,5.6402604224294192)11()2()21()4(,2.3,02222=-===+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-===x b y a b y x 由上述计算结果，知所求回归直线方程为,2.3)2006(5.6)2006(257+-=+-=-∧x a x b y即.2.260)2006(5.6+-=∧x y ①（II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+⨯=+-（万吨）≈300（万吨）.北京理12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次,这样的四位数共有______个(用数字作答) 【解析】个数为42214-=。
17。
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认,在图中以X 表示。
（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望。
（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为1x ,2x ，…，n x 的平均数)(17)(共13分）解（1)当X=8时，由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10, 所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s 年份—2006 －4 －2 0 2 4 需求量-257－21－111929（Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18，19,20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P Y 1718192021P81 41 41 41 81EY=17×P(Y=17)+18×P （Y=18)+19×P(Y=19）+20×P(Y=20）+21×P(Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81 =19北京文7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品B A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 16．（本小题共13分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差;(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注：方差],)()()[(1222212x x x ns n -+-+-=其中为n x x x ,,,21 的平均数) (16）（共13分）解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9,10, 所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s（Ⅱ)记甲组四名同学为A 1，A 2,A 3，A 4,他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是: （A 1，B 1），（A 1,B 2)，(A 1，B 3)，（A 1，B 4）， (A 2，B 1)，(A 2,B 2），(A 2，B 3），（A 2，B 4), （A 3,B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），(A 1，B 4）, （A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4,B 3），（A 4，B 4）, 用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2,B 4），（A 3，B 2），(A 4，B 2)，故所求概率为.41164)(==C P 福建理6．（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于B A ．80B ．40 C ．20D ．1013．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
3519．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准且X 1的数字期望EX 1=6，求a ，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3533855634 63475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(III ）在(I ）、（II)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学;（2)“性价比”大的产品更具可购买性．19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分13分.解:（I ）因为16,50.46780.16,67 3.2.EX a b a b =⨯+++⨯=+=所以即 又由X 1的概率分布列得0.40.11,0.5.a b a b +++=+=即由67 3.2,0.3,0.5.0.2.a b a a b b +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得EDCBA所以22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.14.8.=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4。