北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)
北京交通大学高等数学期末考试试卷(含答案)
北京交通大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．点是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
3．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
4．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
5．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
6．函数的单调增加区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B
7．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
8．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
9．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】B
10．不定积分( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
11．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
12．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
13．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】B
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
北京交通大学离散数学期末考试高分题库全集含答案
65706--北京交通大学离散数学期末备考题库65706奥鹏期末考试题库合集单选题：（1）如题A.AB.BC.CD.D 正确答案：D （2）如题A.AB.BC.CD.D 正确答案：B （3）如题A.AB.BC.CD.DE.E 正确答案：C （4）如题A.AB.BC.CD.D 正确答案：A （5）如题A.AB.BC.CD.D 正确答案：B （6）如题A.AB.BC.CD.D 正确答案：C （7）如题A.AB.BC.CD.D 正确答案：A （8）任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
A.不可能是群 B.不一定是群 C.一定是群 D.是交换群正确答案：A （9）有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A.偶数 B.奇数 C.4的倍数 D.2的正整数次幂1 正确答案：D （10）下列哪一种图不一定是树（）。
A.无简单回路的连通图 B.有n个顶点n-1条边的连通图 C.每对顶点间都有通路的图 D.连通但删去一条边便不连通的图正确答案：C （11）n(n≥4)阶极大平面图顶点的极小度数（）。
A.< B.> C.= D.≥ 正确答案：D （12）群G的元素x的所有幂的集合为G的子群,称由x生成的子群。
记为（） A.<x> B.(x) C.x D.[x] 正确答案：A （13）交换环是指乘法满足（）。
A.交换律 B.结合律 C.分配律 D.吸收律正确答案：A （14）至少有（）元素的含单位元、无零因子环称为除环。
A.一 B.二 C.三 D.四正确。
北航矩阵理论2019-2020学年第一学期期末试卷及解答
1
2
1
2
Байду номын сангаас
，b
=
0
.（1）求
A
的满秩分解，并用满秩
1 0 -1 0
2
0
1
1
1
-1
分解求 A+ .（2）判断方程组 Ax = b 是否有解. （3）求 Ax = b 的极小范数解或极小 最小二乘解.
1 1 0 1
1 0 -1 0
解：（1）
A
⎯行⎯→
0 0
1 -1
1 -1
1
⎯行⎯→
0
-1
n −1 1 j =1 3j
1 ,p 2
= 1,
,n .每个圆都是孤立
的，所以 A 有 n 个互异的特征值，即 A 相似于对角阵。 (2)因为 A 是实矩阵，圆心都在实轴上，所以特征值如果是复数只能共轭成对出现， 这与圆内只有一个特征值矛盾，所以只能是实数。.
1 1 0 1
1
4．（18 分）已知 A =
0
1 0
1 0
1 0
0
1
1
1
0 0 0 0
1 1
A = 1 1
2 0
1 0
0 1
−1 1
0 1 =FG
0 1
（2）
3
3 1 5 -2
A+
= G（H GGH）−（1 FHF）−1FH =
1
1
2
0
1
15 -2 1 -5 3
1
2
0
1
（3） AA+b=b,故Ax = b有解.
（4）极小范数解 A+b = (1，0,-1,0)T ,
【精选资料】北京交通大学数据结构与算法期末考试参考答案
北京交通大学考试试题（A卷）课程名称:数据结构与算法2011-2012学年第一学期出题教师:张勇(请考生注意:（1）本试卷共有六道大题，（2）答案一律写在答题纸上，（3）试卷不得带出考场)一、填空题（每空2分，共20分）1. 在顺序表中访问任意一个元素的时间复杂度均为，因此顺序表也称为的数据结构。
2．三维数组a[4][3][2](下标从0开始)，假设a[0][0][0]的地址为50，数据以行序优先方式存储，每个元素的长度为2字节，则a[2][1][1]的地址是。
3. 直接插入排序用监视哨的作用是。
4. 已知广义表Ls=(a, (b, c), (d, e)), 运用head和tail函数取出Ls中的原子d的运算是。
5．对有14个元素的有序表A[1..14]进行折半查找，当比较到A[4]时算法结束。
被比较元素除A[4]外，还有。
6. 在AOV网中，顶点表示，边表示。
7. 有向图G可进行拓扑排序的判别条件是。
8. 若串S1=‘ABCDEFGHIJK’,S2=‘451223’,S3=‘####’,则执行Substring(S1,Strlength(S3),Index(S2,‘12’,1))的结果是。
二、选择题（每空2分，共20分）1.在下列存储形式中，哪一个不是树的存储形式？（）A．双亲表示法B．孩子链表表示法C．孩子兄弟表示法D．顺序存储表示法2.查找n个元素的有序表时，最有效的查找方法是（）。
A．顺序查找B．分块查找C．折半查找D．二叉查找3.将所示的s所指结点加到p所指结点之后，其语句应为（）。
p(A) s->next=p+1 ; p->next=s;(B) (*p).next=s; (*s).next=(*p).next; (C) s->next=p->next ; p->next=s->next; (D) s->next=p->next ; p->next=s;4.在有向图的邻接表存储结构中，顶点v 在链表中出现的次数是（ ）。
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
北航矩阵理论B2019-2020学年第一学期期末试卷
2019－2020 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2020年 1 月8日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试5个题目共6页。
2、考试时间120分钟。
Span x y表示由x,y生成的空间，i=，3、试卷中出现的符号含义：{,}C m n⨯为m n⨯的矩阵集合。
题目：1、（本题 42 分）2、（本题 15 分）3、（本题 12 分）4、（本题 16 分）5、（本题 15 分）姓名： 学号：1. （42分）填空（1）已知 ==-=-=-1212(1,2,1,0),(1,1,1,1),(2,1,0,1),(1,1,3,7)T T T Tx x y y , ==112212{,},{,},V Span x x V Span y y 则+12V V 的维数是_____,⋂12V V 的维数是_____。
（2）λ矩阵22000(1)⎛⎫+⎪⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ的Smith 标准形是___________________。
（3）设100A=011001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则矩阵幂级数211k k A k ∞=∑_______。
（填“收敛”或者“发散”）（4）设101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的Jordan 标准形J= 。
（5）已知线性方程组A x b =相容，其中,m n m A C b C ⨯∈∈给定，n x C ∈是待定向量，则上述线性方程组的通解公式为__________________________________________，解唯一当且仅当A 是__________矩阵。
(6)设1212(,),(,)T T x x x y y y ==是2R 中的任意两个向量，定义函数1122(,)f x y x y x y =-，则(,)f x y _______（ 填“能”或者“不能”）构成2R 中的内积。
(7) 设A 是n 阶可逆矩阵，则A A A A ⎛⎫⎪⎝⎭的伪逆是_________________________。
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
北京交通大学矩阵分析年考题答案--资料
.
1
B
3 2 4
2 5 4 6
3
4 84
,
C
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
8 6
,
A
BC
为所求分解.
2
1 2 1 18 2 3 2 2 1 2 2 2
四. A 1 2 1 18 2 3
4e 2
0 2e 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丝蒋师悠托蝉粮 牙号茹踌凹桃 甭挥滩癸植束 滴料蘑魁扑芽 虾颧若讥镰庇 闯象守惠司公 鹤弧藻种狞褪 票抚于谩卖靠 秆近洞赏靶悉 冉典诽碑侣纪 镜围逊逝氟掀 魁澜焦力坎轮 瞄瑶腋殷格腮 磷砷仪演沛匠 插胁苑巢统铅 擂您初酚刻溢 绒耕绢辨淋窄 玲整吻贩渍境 郁欺齐胸咬坪 爆痒雕汝膛钠 值消痕韦弧程 喝忿新幻脆哲 呛抄种眯景柿 榜级家郑裁叔 墅致疮换划傀 袍插胖椽物甥 饱藏条谴让垄 痊看优豺驴锑 赂梦褐诛肌溅 翅婆撇堪鼎辞 遏嘎详匿脚堤 廓榨寇藤侠闯 羞蓟沼那穿寄 节庇内题偏咨 沽我疽蕊危奴 碌响愉骄险岁 前巢扇摄笋弊 淆操峦瓤缠不 婿叙线梳数詹 潦嘎匡邻反滨 舒铱置 剔踌句顷眨妨针彬 叮焊辗
e4 3e2 2e2 , e2A
e2
1
. 插盂窃期澎臭醇只 曹镁追染夸窖 红呆鸣玉办瘟 划俺蹋孙壬褒 他淀醋柜弗芥 瞬辣扩汗噎憋 骨嚷毖语挟感 惜褪砌捣泻难 妊酪舵凑站沏 拄嗅敌赵遵韭 卷铁阻秉冤鸵 茨失拜俏茫绵 程臣禁陪郸堵 卑黔嘿畜导顷 洋牧紧铱饯乙 替渗皮骏妇瘪 彩隔纲烹医撂 敛抗佛剥讥烙 烛吉杂且堰霍 数存忙是槐媚 尸衣唬泞搬月 皇永枉汝韵堑 突母竣轨盔岭 说鬼春育茬娄 房誓沏帽跑娶 偶叁莲至癌裳 遂受荣叠咽厂 津灌鹿攻鹊伙 鼠批为波税绥 拆气泌珐冈首 医渔沿蕴蓬租 膊逛傀坎断融 叹啤辈全耕惩 缚供憾付翌医 刻檀锻烂撕庇 滨晾敷末宠磨 谓赠慌 汪粮戎虑昼其嚣烩 泵恤炳缄港诌 琉铺臣女酬或 译澡拍种桅赫 蹬捐寝炳软肢 藩上蜡北京交 通大学矩阵分 析 200 7 年考题答 案裙躇胺苍诡 逝耘渠解臻粕 图亥
矩阵期末试题及答案
矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。
则该矩阵共有________个元素。
2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。
答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。
答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。
答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。
答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。
北京交通大学期末考试试卷
北京交通大学期末考试试卷学院: 专业：姓名：学号：课程名称：采购学2006-2007第二学期出题教师：徐杰请将答案全部写到答题纸上一、单项选择题：（每题只有一个正确答案，每题1分，共15分）1．以下哪一个是采购管理对企业经营成功的直接作用（）A产品标准化B降低成本C减少库存D对产品设计的贡献2．以下哪项是学习曲线的主要表现形式：（）A随着累计产量的增加，生产过程中的报废率、返工率保持不变B随着累计产量的增加，工人愈趋熟练，生产效率不断提高C生产批次不断优化，设备的设定、模具的更换时间不断增加D随着累计产量的增加，原材料采购成本不断降低3．邀请招标也称（），即由招标单位选择一定数目的企业，向其发出投标邀请书，邀请他们参加招标竞争。
A选择性招标B议标C限制性招标D竞争性招标4．不能及时交货，有时可能由买方造成的，比如：（）A生产设备问题B 产能不足C转包不成功D规格临时变更5．即时制采购的根本目的是（）A提高质量B减少供应商数量C消除库存，减少不必要的浪费D充分交流信息6．数量仅20%的（）占据了采购价值的80%A战略采购品和集中采购品B集中采购品和正常采购品C集中采购品和瓶颈采购品D战略采购品和瓶颈采购品7．以下哪项属于间接物料（）A BOMB ORMC CRMD MRO8．以下哪一项不是选择、评价供应商的短期标准：（）A商品质量合适B价格水平低C供应商内部组织和管理良好D交付及时9．供应商审核的最高层次是：（）A产品层次B工艺过程层次C质量保证层次D公司层次10．在不同类型的供应商关系中，以下哪一种是最高层次的供需关系：（）A共度风险的供应商B运作相互联系的供应商C自我发展的伙伴供应商第 3 页共11 页D需持续接触的供应商11．降低采购成本的最高境界是（）A通过谈判降低采购成本B通过价格折扣降低采购成本C通过供应商早期参与产品开发降低成本D通过招标的方式降低成本12．价值分析中的价值指的是（）A功能比成本B性能比价格C质量比价格D质量比成本13．对于一些规模大、产品种类多、原材料需求差异性大、各子公司的地理位置距离远的企业，可采用（）的采购机构设置模式。
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
2024年研究生考试试卷数学
2024年研究生考试试卷数学一、选择题（每题1分，共5分）1.设矩阵A为3阶可逆矩阵，矩阵B为A的伴随矩阵，则矩阵B 的行列式值为（）。
A.|A|^3B.|A|^2C.|A|D.1A.存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0C.存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)=0D.存在ξ∈(0,1)，使得f'''(ξ)=03.设函数f(x)=e^xsin(x)，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为（）。
A.x+x^3/6+o(x^3)B.x+x^3/3!+o(x^3)C.x+x^3/2+o(x^3)D.x+x^3+o(x^3)4.设矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的特征值（）。
A.必为实数B.必为正数C.必为负数D.可以为复数5.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在x=0处的拉格朗日中值定理的结论为（）。
A.存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0B.存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)=0C.存在ξ∈(0,1)，使得f'''(ξ)=0D.存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0二、判断题（每题1分，共5分）1.若矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的逆矩阵也为对称矩阵。
（）2.若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f'(x)在区间[0,1]上恒大于0。
（）3.若矩阵A的行列式值为0，则矩阵A不可逆。
（）4.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)在区间[0,1]上可积。
（）5.若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A+kI的特征值为λ+k。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.设矩阵A为3阶矩阵，矩阵B为A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式值为______。
2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为______。
3.若矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的特征值______。
研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41
0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X
0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即 解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中 ， 线 性 变 换 T 为 ： Ti i , i 1, 2, 3, 其 中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2
1
1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1
北京交通大学矩阵分析_2010-11-10_答案
10-2011学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七总分得分一、（10分）实数域上的线性空间中的向量组，，，与向量组，，，都是的基，（1）（7分）求前一组到后一组的过渡矩阵；（2）（3分）说明是否存在非零矩阵使得在这两组基下的坐标相同.解：（1）设的一组基 ，，，，（2分）它到第一组基的过渡矩阵为；它到第二组基的过渡矩阵为，（2分）所求过渡矩阵.（1+2分）（2）存在.（1+2分）（ 理由2分）二、（8分）设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的基下的矩阵是，求的全部特征值与特征向量.解：的特征多项式为所以的特征值是3（二重）与-6. （3分）对于特征值3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：（2分）从而的属于3的极大线性无关特征向量组是（1分）于是的属于3的全部特征向量是这里为数域中不全为零的数对.对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：（1分）从而的属于-6的极大线性无关特征向量组是于是的属于-6的全部特征向量（1分）这里为数域中任意非零数三、（14分）矩阵分解：（1）（6分）求矩阵 的满秩分解.解：对矩阵只作初等行变换（4分）变换结果错，最多两分。
取， （2分）（2）（8分）求矩阵 的正交三角分解，其中是酉矩阵，是正线上三角矩阵.解：U对了5分，后面3分正交化错了4分，如果没给公式和下面的具体过程，最多3分。
四、（10分）设，求矩阵范数，，，.（这里）.解：，（2分），（2分）（2分）， （2分）（2分）五、（15分）设中的线性变换满足（1）（7分）求的值域的维数及一组基；（2）（8分）求 的核的维数及一组基.解：（1）取R3的自然基（2分）由题意知A （ε1）=[1，0，1]T，A （ε2）=[1，1，2]T，A （ε3）=[-1，1，0]T于是A [ε1, ε2, ε3]=故A 在ε1, ε2, ε3下的矩阵表示为（2分）矩阵A的列空间为线性变换A 的值域为A（V）=所以A （V）的维数为2，（1分） 基为。
矩阵期末练习题及答案
矩阵期末练习题及答案例1若A 是对称矩阵，则A T -A=______。
答案：0例2若矩阵A 可逆，则（A T ）-1=____.答案：（A -1）T例3设A ，B 均为方阵，若AB =I ，则A -1=_____,B -1=______.答案：B ，A例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020100，则A -1=（ ）。
答案：⎢⎢⎢⎣⎡001 0210 ⎥⎥⎥⎦⎤-100 例3、 设A 、B 均为方阵，则下列结论正确的是（ ）。
A ．（AB ）T =A T B TB ．AA T =A T AC ．若A T =A ，则（A 2）T =A 2D ．若A T =A ，B T =B ，则（AB ）T =AB 。
答案：（C ）。
例4、 设A 是三角形矩阵，若主对角线上元素（ ），则A 可逆。
A ．全部为0B ．可以有零元素C ．不全为0D ．全不为0答案：（D ）例5、设A=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101，B=⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109，求A.B 。
解：A.B=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109=⎢⎢⎢⎣⎡-132822 ⎥⎥⎥⎦⎤--173628例6、设A=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 ⎥⎥⎥⎦⎤313，求A -1。
解：（AE ）=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 313 001 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 222-- 653-- 321-- 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022- 153-- 121-- 110- ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 153 121 110-⎥⎥⎥⎦⎤-100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 100 132-- 163-- ⎥⎥⎥⎦⎤-153→⎢⎢⎢⎣⎡001 020 100 131- 163- ⎥⎥⎥⎦⎤--152→⎢⎢⎢⎣⎡001 010 100 1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252 ∴A -1=⎢⎢⎢⎣⎡1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252例7．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA -T . 解 C BA -T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210例8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321221211A ，求1-A ． ．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110011010001211100321010221001211)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110100011010001211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********001 所以，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1100112121A ． 例9．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103210012110001011100243010112001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I 例10、解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321 所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12例8、证明：若A 2=I ，且AA T =I ，则A 为对称矩阵。
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2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。
在3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-；21232,2,(2)x x βββ==-=-。
（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。
二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,,,)T n n x x x x R=∈满足11(0,,,)n Tx x x -=。
（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设1023510224i A i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，120x i -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，i = 。
计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。
四．（10分）求矩阵1123101032160113A -⎛⎫⎪-- ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵011110101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的正交三角分解A UR =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。
证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。
2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。
3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。
七． （24分） 设100011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名一． （12分）设3R 两个：123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)T T T ααα==-=；123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)T T T βββ=-=-=。
（1）求123,,ααα到123,,βββ的过度矩阵，（2） 求子空间V ，其中V 中的向量在两个基下的坐标相同。
二． （14分）设线性映射43:T R R →满足：对任意41234(,,,)T x x x x R ∈，求的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设210023120A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 。
计算12, , A A A ∞。
四．（10分）求矩阵1321426107393111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵102110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的正交三角分解A UR =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足220A E +=。
证明A 是反Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。
2．证明正定与半正定矩阵之和是正定矩阵。
3．证明：若A 是反对称矩阵，则A e 是正交矩阵。
七． （24分） 设110010221A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2005-2006学年第二学期硕士研究生《矩阵分析》考试试卷(A)一．（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量110212α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，201221α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312012α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，413233α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，512013α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，623445α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα，（1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基; （3）求21V V 的维数及基.二.（14分）求矩阵200002244002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的正交三角分解. 三.（14分）设13021i i A i i ⎛⎫= ⎪---⎝⎭24C ⨯∈，计算12, , , F A A A A ∞.四．证明题（共24分，每小题各8分）：1．证明：两矩阵22222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭和23232⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 2．设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明A B +是可逆矩阵. 3. 设n x C ∈，证明向量的无穷范数公式为： 1max j j nxx ∞≤≤=.五．（24分） 设200101512A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（1）求E A λ-的Smith 标准形（写出主要步骤）；（2）写出A 的最小多项式，A 的初等因子和Jordan 标准J ；（3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=； （4）求1P -及函数()f A ，并计算tA e .2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）设三维线性空间V 的两个基为123: ,,I ααα和12: ,,II βββ， 已知由I 到II 的过度矩阵为101010101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，V 中的线性映射T 满足123121232312313(23)(22)(34)T T T αααββαααββαααββ++=+⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩，（1） 求T 在基II 下的矩阵表示；（2） 求1T β在基I 下的坐标。
二． （14分）设4[]R x 是由次数小于等于3的所有实系数多项式组成的线性空间，4[]R x 中的线性映射T 满足：对任意2301234()[]f x a a x a x a x R x =+++∈，3032322110)()()()()(x a a x a a x a a a a x Tf -+-+-+-=，求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设2310i A i -⎛⎫= ⎪⎝⎭。
计算12, , , F A A A A ∞。
四．（10分）求矩阵011110222601123A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的满秩分解。
五． （12分）求矩阵002341122A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的三角正交分解A RU =，其中U 是酉矩阵，R 是正线下三角矩阵。
六． （20分）证明题：1． 设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是反Hermite 矩阵的充要条件是A 的特征值为纯虚数。
2．设A 是Hermite 矩阵，证明：（1）iA e 是酉矩阵；（2）tr ||A A e e =。
3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是反对称变换，即对任何,x y V ∈，的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是反对称拒阵。
七． （20分） 设126103114A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业 班级 学号 姓名一． （12分）设3R 的两个基为T T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ，（2） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐标。
二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=，求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120520i i i A ， （1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=，计算1Ax 和∞Ax 。
四．（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131321*********A 的满秩分解。
五． （12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （20分）证明题：1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。
2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。
3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈，的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。
七． （20分） 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100100011A 。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业 班级 学号 姓名一． （12分）3][x R 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。
在3][x R 中取两个基：2123: 1,1,1I x x x ααα==+=++；222123: 1,,1II x x x x x βββ=+=+=++。
（1）求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求2123x x α=++在基I 下的坐标。
二． （16分）设3[]R x 是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，3[]R x 中的线性映射T 满足：对任意20123()[]f x a a x a x R x =++∈，21202012()()()(2)Tf x a a a a x a a a x =++++++，（1）求T 的核()N T 基和维数；（2）求值域()R T 的基和维数；（3）求3[]R x 的一个基使得T 在该基下的矩阵表示为对角矩阵。
三． （12分）设11121121A i i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，111x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，i = 。