第一届六年级“高思杯”数学试题详解

高思杯六年级试卷评析
第一试
一、 填空题Ⅰ
1. 计算：321456123654×−×=__________．
「答案」 65934．
「简答」 本题考验的是学生的计算能力．这道题虽然也有速算的方法，但是速算方法本身并不容
易想到．如果对分配律运用不熟练，速算也就不那么“速”了．而直接计算只需要计算两次
三位数的乘法，并不难做到．速算方法如下：
原式()()()321123333123321333321333123333321123333=×+−×+=×−×=−×
()19833320023336660066665934=×=−×=−=．
2. 计算：0.10.20.30.1
0.20.3++=×× __________． 「答案」 81． 「简答」 本题考验的是循环小数与分数的转化．只要知道10.19= ，20.29= ，310.393
== ，解决这道题目就不成问题．
3. 小明上周去百货商店用30元买了2支钢笔和4支铅笔．这周去百货商店时，他发现钢笔降价10%，
铅笔加价20%．于是小明花30元买了3支钢笔和1支铅笔．现在．．
买1支钢笔和1支铅笔一共需要__________元．
「答案」 12．
「简答」 本题考验的是解应用题的能力．不管利用和差倍分问题的解法还是利用方程，都能很轻
松的解决．这里推荐大家采用方程的解法．和小学不同，中学时绝大多数应用题要求必须用
方程来解，直接列算式是不合要求的．
4. 把2000分解为若干互不相等的自然数的乘积，这些自然数的总和最小是__________．
「答案」 37．
「简答」 将2000分解质因数4325×，然后对不同的分解状况讨论就可以了．显然这些自然数越
多越接近，总和就越小．但具体怎样分解是最好的，很难直接推理出来．不妨把最后几种情
况列举出来，分别求和比较一下就可以了．2000251020=×××这种情况是最好的．
5. 如图，在一个4厘米×4厘米的方格纸内画了一个格点八边形，那么这个八
边形内部所有阴影部分的面积之和是________平方厘米．
「答案」 2．
「简答」 仔细看图，容易发现这个八边形中的阴影部分是8个直角三角形，每个直角三角形的面积都是14
平方厘米，故总面积为2平方厘米．
6. 今年6月份的挂历如右图所示，明年__________月份的挂历恰好和它是
一模一样的．
「答案」 11．
「简答」 本题综合考察了周期问题
和数表问题．依次计算2011年每月的1号是星期几，其中2月1日、3月1日和11月1日是星期二，那么排列情况就和图
中所示情况相同．还应该注意到该月应该恰有30天，故答案为11月．
本大题难度一般，但解题时需要仔细，不少题目很容易因为粗心导致错误．第一题错误的同学必须练习计算基本功，上了初中，基础运算题的正确率就应该做到100%．第四题和第六题都涉及多种情况讨论比较，中学非常重视思维的严谨性和过程的周密性，做题时绝对不能想当然．
二、 填空题Ⅱ
7. 360可以分解为两个自然数m ，n 的乘积，已知m 有a 个约数，n 有b 个约数，且a b >，如果13a b +=，
那么a b −=__________．
「答案」 5．
「简答」 将360分解质因数得32360235=××，讨论m ，n 的所有情况即可．这里有一个简单一
点的方法：由于13a b +=，故a ，b 中一定有一个奇数，即m ，n 中一定有一个完全平方数，
故只需讨论1360×，490×，940×，3610×这四种情况．最后发现36m =，10n =，9a =，
4b =，故5a b −=
8. 将3个相同的红球和5个相同的绿球分给三个人（允许有人没有分到球），有___________种分法． 「答案」 210．
「简答」 由于允许有人没有分到球，故红球和绿球可以分开考虑，再利用乘法原理即可．将3个
相同的红球分给三个人，利用插板法，共有2510C =种方法（也可直接枚举出来）
．将5个相同的绿球分给三个人，利用插板法，共有2721C =种方法（也可直接枚举出来）
．故一共有210种方法．
9. 右图中的每一块都是正方形，已知正方形A 的边长为1，那么正方形B 的边长为__________．
「答案」 138125． 「简答」 依次考虑各块正方形的边长比．因为正方形A 的边长为1，
故A 右侧正方形边长为12，再往右的大正方形边长为45．设正方形B 的边长为x ，故B 左侧大正方形边长为34x ，再往左的正方形边长为13x ．于是311414325x x x ++=++，解得138125
x =． 星期日星期一星期二星期三星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
10. 小赵是铁人三项运动的爱好者，如果他用2小时骑自行车，用3小时长跑，用4小时游泳则行进
总路程为74公里；如果他用4小时骑自行车，用2小时长跑，用3小时游泳则行进总路程为91公里．又知道他进行三个项目的速度都是整数公里每小时．则他三个项目速度之和为__________公里/小时．
「答案」 28．
「简答」 本题考察了不定方程的知识．设骑自行车每小时x 公里，长跑每小时y 公里，游泳每小
时z 公里，可得2347442391x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解不定方程，整数解只有1774x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，故答案为28．
11. 下列算式中每个字母都代表3、4、6、8、9这五个数字中的一个，不同的字母代表不同的数字，那么五位数ABCDE =________．
157122
A B C D E ++=××× 「答案」 43689（或43698，46389，46398，填对任意一个均可）．
「简答」 注意到3、6均含有一个质因子3，而9含有两个质因子3．要想最后约去3，只可能把
3、6放在一起，再和9通分时约去，分别对每种情况验算即可．
12. 甲从A 地，乙丙从B 地同时出发，相向而行．甲乙先相遇．甲乙相遇后，乙又行了3.2小时到达
A 地，相遇后甲又行了2小时后遇见丙．甲丙相遇后，甲继续前进，3小时后到达
B 地；丙12小时后到达A 地．如果乙比丙每小时多行40千米，则AB 两地相距________千米．
「答案」 480．
「简答」 由题意，甲乙相遇后，乙又行了3.2小时到达A 地，甲又行了5小时到达B 地．这个时间比为22::v v v v v v ××=甲乙乙甲乙甲相遇时间相遇时间，故甲乙的速度比为4:5，同样可以求得甲丙的速度比为2:1，故甲乙丙的速度比为4:5:2．再根据“乙比丙每小时多行40千米”算出他
们的速度，并求出AB 的距离为480千米．
这道大题难度较大，要求对各种技巧能够灵活运用．第8题只要能想到乘法原理，其实不用插板法也可通过枚举得到，但大多数同学没有注意到红球和绿球可以分开考虑．第9题本身涉及到的知识并不难，但形式比较特别，不少同学无法从图中发现数量关系，导致这道题得分偏低．第12题是难度最大的一道，从时间比转化为速度比的平方，很多同学一时无法想到，或是直接把时间比当成了速度比．另外这道题目中三人的速度也均不是整数，这也进一步加深了难度．
三、 解答题
13. L 博士乘坐飞行器要到正东方向1公里处的地方，他将飞行器交由机器人控制，自己去睡觉了．但
是机器人出了故障，飞行器每行进3米，机器人就会将飞行器向左转动90°，每行进n 米就会将飞行器向右转动90°，如果里程是3和n 的公倍数，则两次操作抵消，飞行器保持航向．假设飞
行器的速度是每秒1米，问：
（1）当6n =时，L 博士能到达目的地吗？如果能，多少秒后才能到达目的地；如不能说明理由； （2）当7n =时，L 博士能到达目的地吗？如果能，多少秒后才能到达目的地；如不能说明理由； （3）当8n =时，L 博士能到达目的地吗？如果能，多少秒后才能到达目的地；如不能说明理由． 「简答」 解：（1）按题目所说过程画出飞行器前进路线（图1），发现每24秒，飞行器绕过一个
正方形回到出发点，故L 博士不可能到达目的地．
（2）由于[]3,721=，画出飞行器前进路线（图2），发现每21秒，飞行器向正东前进1米．故
L 博士可以到达目的地．一共要前进1000米，注意到每个周期的最开始飞行器可以向正东先
前进3米，故L 博士一共需要()1000321320940−×+=秒．
（3）由于[]3,824=，画出飞
行器前进路线（图3）
，发现每24秒，飞行器向前飞2米，向
左飞2米．继续下去，每过96
秒飞行器回到出发点，故L 博
士不可能到达目的地．
本题严格说来只是一个周期问题，只要能理解题意，顺利作出飞行器的路线图，这道题可以说已经解决了一大半．但是在做题时有很多地方都容易粗心犯错误．最明显的错误是对“向左转动”和“向右转动”理解不对，误以为飞行器越开越偏，实际上飞行器只是在绕圈子而已．最可惜的错误是第二问中，有些同学已经画对了图，但是发现飞行器20秒后回到出发点，就误以为飞行器一直在绕圈子了，没有按照21秒的周期进行计算．另外在这一问中，很多同学没有注意到每个周期的头3秒一直向东，只注意到每21秒向东飞行1米，于是结果算成了21000秒．本题总体得分情况并不太理想，可见对于处理这种题干很长且叙述语言较多的问题，大多数同学缺乏经验． 出发点图1出发点图2出发点
图3。