2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

① ② ③
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F
由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
有D2－4F＝36.
④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，
E＝－8，F＝0，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0 或x2＋y2－6x－8y＝0.
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 x ＋y ＋Dx ＋Ey＋F＝0
2 2
条件
图形 不表示任何图形
D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F=0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示一个点
7．已知x2＋y2＋( 3t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)若圆的直径为6，求t的值．
解：(1)∵方程表示一个圆，则有D2＋E2－4F>0， ∴( 3t＋1)2＋t2－4(t2－2)>0. ∴2 3t>－9， 3 3
即t>－ 2 .
(2)由条件知，圆的半径是3， 1 ∴3＝2 ∴2 3t＋12＋t2－4t2－2.
3t＋9＝36. 9 3 3.
3 ∴t＝ 2 >－2 9 ∴t＝2 3.
圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要确
定D、E、F的值．
对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程 对比如下：
条件 圆心在原 点 a＝b＝0 D＝E＝0 标准方程(x－a)2＋(y 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey
－b)2＝r2(r>0)
立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
[精解详析]
法一：由方程x2＋y2－4mx＋
2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝ 20(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m，－m)， 1 半径为r＝2 D2＋E2－4F＝ 5|m－2|.
[一点通]
在解决圆在实际生活中的应用问题时，
借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效 果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问 题的解决会有很大帮助．
6．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为5米的半圆形 隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车 篷篷顶距离地面的距离不得超过4米，试用数学 知识进行验证． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)， 当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4米．
法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10.
∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10 ＝20－40＝－20<0. ∴此方程不能表示圆．
法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0. 配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆． (4)∵2x2＋2y2－4x＝0， ∴x2＋y2－2x＝0， ∴(x－1)2＋y2＝1. ∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0.
解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，
x2的系数为2，y2的系数为1.
∵2≠1，∴不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0， ∵方程中含xy项， ∴此方程不能表示圆． (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.
－4＋2 1 kBC＝ ＝ . －3－1 2 ∴BC边的垂直平分线方程为y＋3＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋7＝0.
x－7y＋10＝0， 由 2x＋y＋5＝0， x＝－3， 解得 y＝1.
∴圆心为(－3,1)． 半径r＝ 0＋32＋5－12＝5. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
方程 x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0
条件
图形
D2＋E2－4F>0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示以 为圆心， 1 D2＋E2－4F 以2 为半径的圆
1．圆的一般方程与标准方程可以互化
形式
转化
标准方程
一般方程
对应关系
D＝－，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2
形式 圆心 半径
标准方程 (a，b) r
整理得x2＋y2＋2x－3＝0， ∴所求曲线方程即为x2＋y2＋2x－3＝0. 将其左边配方，得(x＋1)2＋y2＝4，
∴此曲线是以点C(－1,0)为圆心，2为半径的圆．如图.
[例3]
如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置
时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水
面宽多少米？
[思路点拨]
首先建立适当的平面直角坐标系，根
据条件求出圆的方程，再应用方程求解．
[精解详析] 以圆拱桥顶为坐标原点，以
过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6， －2)，B(－6，－2)， 设圆拱所在的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为原点在圆上，所以F＝0，
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
＋F＝0(D2＋E2－>0)
条件
标准方程(x－a)2＋ (y－b)2＝r2(r>0) a2+b2=r2 b＝0
一般方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0) F＝0 E＝0
过原点 圆心在x轴上
圆心在y轴上
圆心在x轴上 且过原点
a＝0
b＝0且|a|＝r
b＝0
E＝F＝0
标准方程(x－a)2 条件 ＋(y－b)2＝ r2(r>0) 圆心在y轴上 且过原点 与x轴相切 与y轴相切 a＝0且|b|＝r
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
一般方程 D E (－ 2 ，－ 2 ) 1 2 r＝2 D ＋E2－4F
2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件， 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0 的条件下才表示圆．
[例1]
判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否
表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨] 解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成
[精解详析] Dx＋Ey＋F＝0.
法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋
把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方 程，整理得 5E＋F＋25＝0， D－2E＋F＋5＝0， 3D＋4E－F－25＝0. D＝6， 解之，得E＝－2， F＝－15.
则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2. 2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．
1 3 法二：∵AB的中点坐标为(2，2)，斜率为 －2－5 kAB＝ 1 ＝－7. 3 1 1 ∴AB边的垂直平分线的方程为y－2＝7(x－2)， 即x－7y＋10＝0. ∵BC的中点为(－1，－3)，斜率为
40＋6D－2E＝0， 另外点A，点B在圆上，所以 40－6D－2E＝0.
∴D＝0，E＝20，∴圆的方程为x2＋y2＋20y＝0. 当水面下降1m后，可设点A′的坐标ຫໍສະໝຸດ Baidu(x0，－3) (x0>0)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方 程，求得x0＝ 51 ，所以，水面下降1 m后，水面宽为 2x0＝2 51(m)．
1 5．已知一曲线为与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离比为 2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：在给定的坐标系里，设点M(x，y)是曲线上的 |OM| 1 任意一点，也就是点M(x，y)满足 |AM| ＝ 2 ，即 x2＋y2 x2＋y2 1 1 ＝ ， 2 2＝ . x－32＋y2 2 x－3 ＋y 4
一般方程x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
E＝F＝0
|b|＝r |a|＝r
D2－4F＝0 E2－4F＝0
因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注 意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平 面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的 问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定 理等可简化过程．
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
[一点通]
一般地，已知圆上的三个点的坐标或已
知圆上的两点的坐标以及其他条件求圆的方程时，一般 采用圆的一般方程求解．
4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的
弦长等于6的圆的方程．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P、Q点的坐标分别代入，
2D－4E－F＝20， 得 3D－E＋F＝－10.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ 5|m－2|.
[一点通]
解决这种类型的题目，一般先看这个方
程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数是否 相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时， 再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准 ”形式后，观察等号右边是否为正数．