概率论与数理统计第一章 刘建亚 吴臻主编
概率论与数理统计第一章

具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。 由于它是概率论发展初期的主要研究对象,所以 也称之为古典概型.
设试验E是古典概型,由于基本事件两两互不相容 n n 因此 1 = P( ) = P( {wi }) = P{wi } = nP{w i }
1 从而 P{w i } = n
i =1
i =1
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
AAຫໍສະໝຸດ 按差事件和对立事件的定义,显然有A B = AB
A
B
A
B
运算规律
1.交换律 A B = B A A B = B A 2.结合律 A ( B C ) = ( A B) C
A ( B C ) = ( A B) C
A B = 事件A和事件B不能同时发生
A
B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件,记做 A
即A = A
事件 A发生 事件A不发生
A A= A A=
故在每次试验中事件A , A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件,所以称事件A与A互逆
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
抛硬币实验
试验者
出现正面的 频率
n
2048 4040 12000 24000 80640
出现正面的 试验次 次数 数 n
nH
1061 2048 6019 12012 39699
f n (H ) =
A
n
德摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊 罗曼诺夫斯基
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4923
( i = 1, 2, , n )
概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念word资料25页

第一章概率论的基本概念在现实世界中发生的现象千姿百态,概括起来无非是两类现象:确定性的和随机性的.例如:水在通常条件下温度达到100℃时必然沸腾,温度为0℃时必然结冰;同性电荷相互排斥,异性电荷相互吸引等等,这类现象称为确定性现象,它们在一定的条件下一定会发生.另有一类现象,在一定条件下,试验有多种可能的结果,但事先又不能预测是哪一种结果,此类现象称为随机现象.例如:测量一个物体的长度,其测量误差的大小;从一批电视机中随便取一台,电视机的寿命长短等都是随机现象.概率论与数理统计,就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科.这里我们注意到,随机现象是与一定的条件密切联系的.例如:在城市交通的某一路口,指定的一小时内,汽车的流量多少就是一个随机现象,而“指定的一小时内”就是条件,若换成2小时内,5小时内,流量就会不同.如将汽车的流量换成自行车流量,差别就会更大,故随机现象与一定的条件是有密切联系的.概率论与数理统计的应用是很广泛的,几乎渗透到所有科学技术领域,如工业、农业、国防与国民经济的各个部门.例如,工业生产中,可以应用概率统计方法进行质量控制,工业试验设计,产品的抽样检查等.还可使用概率统计方法进行气象预报、水文预报和地震预报等等.另外,概率统计的理论与方法正在向各基础学科、工程学科、经济学科渗透,产生了各种边缘性的应用学科,如排队论、计量经济学、信息论、控制论、时间序列分析等.第一节样本空间、随机事件1. 随机试验人们是通过试验去研究随机现象的,为对随机现象加以研究所进行的观察或实验,称为试验.若一个试验具有下列三个特点:1°可以在相同的条件下重复地进行;2°每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以明确试验所有可能出现的结果;3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.则称这一试验为随机试验(Random trial),记为E.下面举一些随机试验的例子.E1:抛一枚硬币,观察正面H和反面T出现的情况.E2:掷两颗骰子,观察出现的点数.E3:在一批电视机中任意抽取一台,测试它的寿命.E4:城市某一交通路口,指定一小时内的汽车流量.E5:记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度.2.样本空间与随机事件在一个试验中,不论可能的结果有多少,总可以从中找出一组基本结果,满足:1°每进行一次试验,必然出现且只能出现其中的一个基本结果.2°任何结果,都是由其中的一些基本结果所组成.随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间(Sample space),记为Ω.样本空间的元素,即E的每个基本结果,称为样本点.下面写出前面提到的试验E k(k=1,2,3,4,5)的样本空间Ωk:Ω1:{H,T};Ω2:{(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6};Ω3:{t|t≥0};Ω4:{0,1,2,3,…};Ω5:{(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度,y表示最高温度,并设这一地区温度不会小于T0也不会大于T1.随机试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件(Random event),简称事件①,通常用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.例如,在掷骰子的试验中,可以用A表示“出现点数为偶数”这个事件,若试验结果是“出现6点”,就称事件A发生.特别地,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.例如,试验E1有两个基本事件{H}、{T};试验E2有36个基本事件{(1,1)}、{(1,2)}、…、{(6,6)}.每次试验中都必然发生的事件,称为必然事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,每次试验中都必然发生,故它就是一个必然事件.因而必然事件我们也用Ω表示.在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件.空集∅不包含任何样本点,它作为样本空间的子集,在每次试验中都不可能发生,故它就是一个不可能事件.因而不可能事件我们也用∅表示.3.事件之间的关系及其运算事件是一个集合,因而事件间的关系与事件的运算可以用集合之间的关系与集合的运算来处理.下面我们讨论事件之间的关系及运算.1°如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A包含于事件B(或称事件B包含事件A),记作A⊂B(或B⊃A).A⊂B的一个等价说法是,如果事件B不发生,则事件A必然不发生.若A⊂B且B⊂A,则称事件A与B相等(或等价),记为A=B.为了方便起见,规定对于任一事件A,有∅⊂A.显然,对于任一事件A,有A⊂Ω.2°“事件A与B中至少有一个发生”的事件称为A与B的并(和),记为A∪B.由事件并的定义,立即得到:对任一事件A,有A∪Ω=Ω;Α∪∅=A.A=Y nii A1=表示“A1,A2,…,A n中至少有一个事件发生”这一事件.A=Y∞=1iiA表示“可列无穷多个事件A i中至少有一个发生”这一事件.3°“事件A与B同时发生”的事件称为A与B的交(积),记为A∩B或(AB).由事件交的定义,立即得到:对任一事件A,有A∩Ω=A;A∩∅=∅.①严格地说,事件是指Ω中满足某些条件的子集.当Ω是由有限个元素或由无穷可列个元素组成时,每个子集都可作为一个事件.若Ω是由不可列无限个元素组成时,某些子集必须排除在外.幸而这种不可容许的子集在实际应用中几乎不会遇到.今后,我们讲的事件都是指它是容许考虑的那种子集.B=I nii B1=表示“B1,…,B n n个事件同时发生”这一事件.B=I∞=1iiB表示“可列无穷多个事件B i同时发生”这一事件.4°“事件A发生而B不发生”的事件称为A与B的差,记为A-B.由事件差的定义,立即得到:对任一事件A,有A-A=∅;A-∅=A;A-Ω=∅.5°如果两个事件A与B不可能同时发生,则称事件A与B为互不相容(互斥),记作A∩B=∅.基本事件是两两互不相容的.6°若A∪B=Ω且A∩B=∅,则称事件A与事件B互为逆事件(对立事件).A的对立事件记为A,A是由所有不属于A的样本点组成的事件,它表示“A不发生”这样一个事件.显然A=Ω-A.在一次试验中,若A发生,则A必不发生(反之亦然),即在一次试验中,A与A二者只能发生其中之一,并且也必然发生其中之一.显然有A=A.对立事件必为互不相容事件,反之,互不相容事件未必为对立事件.以上事件之间的关系及运算可以用文氏(V enn)图来直观地描述.若用平面上一个矩形表示样本空间Ω,矩形内的点表示样本点,圆A与圆B分别表示事件A与事件B,则A与B的各种关系及运算如下列各图所示(见图1-1~图1-6).图1-1 图1-2 图1-3图1-4 图1-5 图1-6 可以验证一般事件的运算满足如下关系:1°交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;2°结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;3°分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);分配律可以推广到有穷或可列无穷的情形,即A∩(Y nii A1=)=)(1Y IniiAA=, A∪(1niiA=I)=I YniiAA1)(=;A∩(Y∞=1iiA)=)(1Y I∞=iiAA, A∪(1iiA∞=I)=I Y∞=1)(iiAA.4°A-B=A B=A-AB;5°对有穷个或可列无穷个A i,恒有例1.1 设A ,B ,C 为三个事件,用A ,B ,C 的运算式表示下列事件:(1) A 发生而B 与C 都不发生:A C B 或A -B -C 或A -(B ∪C ). (2) A ,B 都发生而C 不发生:AB C 或AB -C .(3) A ,B ,C 至少有一个事件发生:A ∪B ∪C .(4) A ,B ,C 至少有两个事件发生:(AB )∪(AC )∪(BC ).(5) A ,B ,C 恰好有两个事件发生:(AB C )∪(AC B )∪(BC A ).(6) A ,B ,C 恰好有一个事件发生:(A C B )∪(B C A )∪(C B A ).(7) A ,B 至少有一个发生而C 不发生:(A ∪B )C .(8) A ,B ,C 都不发生:C B A I Y 或C B A .例1.2 在数学系的学生中任选一名学生.若事件A 表示被选学生是男生,事件B 表示该生是三年级学生,事件C 表示该生是运动员.(1) 叙述AB C 的意义.(2) 在什么条件下ABC =C 成立?(3) 在什么条件下B A ⊂成立?解 (1) 该生是三年级男生,但不是运动员.(2) 全系运动员都是三年级男生.(3) 全系女生都在三年级.例1.3 设事件A 表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,求其对立事件A .解 设B=“甲种产品畅销”,C =“乙种产品滞销”,则A =BC ,故C B BC A Y ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.第二节 概率、古典概型除必然事件与不可能事件外,任一随机事件在一次试验中都有可能发生,也有可能不发生.人们常常希望了解某些事件在一次试验中发生的可能性的大小.为此,我们首先引入频率的概念,它描述了事件发生的频繁程度,进而我们再引出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率.1.频率定义1.1 设在相同的条件下,进行了n 次试验.若随机事件A 在n 次试验中发生了k 次,则比值k /n 称为事件A 在这n 次试验中发生的频率(Frequency ),记为f n (A )= k /n . 由定义1.1容易推知,频率具有以下性质:1° 对任一事件A ,有0≤f n (A )≤1;2° 对必然事件Ω,有f n (Ω)=1;3° 若事件A ,B 互不相容,则f n (A ∪B )=f n (A )+f n (B )一般地,若事件A1,A2,…,A m两两互不相容,则事件A发生的频率f n(A)表示A发生的频繁程度,频率大,事件A发生就频繁,在一次试验中,A发生的可能性也就大.反之亦然.因而,直观的想法是用f n(A)表示A在一次试验中发生可能性的大小.但是,由于试验的随机性,即使同样是进行n次试验,f n(A)的值也不一定相同.但大量实验证实,随着重复试验次数n的增加,频率f n(A)会逐渐稳定于某个常数附近,而偏离的可能性很小.频率具有“稳定性”这一事实,说明了刻画事件A发生可能性大小的数——概率具有一定的客观存在性.(严格说来,这是一个理想的模型,因为我们在实际上并不能绝对保证在每次试验时,条件都保持完全一样,这只是一个理想的假设).历史上有一些著名的试验,德·摩根(De Morgan)蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Pearson)曾进行过大量掷硬币试验,所得结果如表1-1所示.表1-1试验者掷硬币次数出现正面次数出现正面的频率德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120190.5005可见出现正面的频率总在0.5附近摆动,随着试验次数增加,它逐渐稳定于0.5.这个0.5就反映正面出现的可能性的大小.每个事件都存在一个这样的常数与之对应,因而可将频率f n(A)在n无限增大时逐渐趋向稳定的这个常数定义为事件A发生的概率.这就是概率的统计定义.定义1.2设事件A在n次重复试验中发生的次数为k,当n很大时,频率k/n在某一数值p的附近摆动,而随着试验次数n的增加,发生较大摆动的可能性越来越小,则称数p 为事件A发生的概率,记为P(A)=p.要注意的是,上述定义并没有提供确切计算概率的方法,因为我们永远不可能依据它确切地定出任何一个事件的概率.在实际中,我们不可能对每一个事件都做大量的试验,况且我们不知道n取多大才行;如果n取很大,不一定能保证每次试验的条件都完全相同.而且也没有理由认为,取试验次数为n+1来计算频率,总会比取试验次数为n来计算频率将会更准确、更逼近所求的概率.为了理论研究的需要,我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发,给出概率的公理化定义.2.概率的公理化定义定义1.3设Ω为样本空间,A为事件,对于每一个事件A赋予一个实数,记作P(A),如果P(A)满足以下条件:1°非负性:P(A)≥0;2°规范性:P(Ω)=1;3°可列可加性:对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,…,A n,…,有则称实数P(A)为事件A的概率(Probability).在第五章中将证明,当n→∞时频率f n(A)在一定意义下接近于概率P(A).基于这一事实,我们就有理由用概率P(A)来表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小.由概率公理化定义,可以推出概率的一些性质.性质1P(∅)=0证令A n=∅ (n=1,2,…),则Y ∞=1n n A=∅,且A i A j =∅(i ≠j ,i ,j =1,2,…). 由概率的可列可加性得P (∅)=∑∑∞=∞=∞===111)()(n n nn n P A P A P Y (∅), 而P (∅)≥0及上式知P (∅)=0.这个性质说明:不可能事件的概率为0.但逆命题不一定成立,我们将在第二章加以说明. 性质2 (有限可加性) 若A 1,A 2,…,A n 为两两互不相容事件,则有证 令A n +1=A n +2=…=∅,则A i A j =∅.当i ≠j ,i ,j =1,2,…时,由可列可加性,得 性质3 设A ,B 是两个事件,若A ⊂B ,则有);()()(A P B P A B P -=- 或 ()()P A P B ≤.证 由A ⊂B ,知B =A ∪(B -A )且A ∩(B -A )=∅.再由概率的有限可加性有P (B )=P (A ∪(B -A ))=P (A )+P (B -A ),即 P (B -A )=P (B )-P (A );又由P (B -A )≥0,得P (A )≤P (B )性质4 对任一事件A ,P (A )≤1证 因为A ⊂Ω,由性质3得P (A )≤P (Ω)=1性质5 对于任一事件A ,有 )(A P =1-P (A )证 因为A ∪A =Ω,A ∩A=∅,由有限可加性,得1=P (Ω)=P (A ∪A )=P (A )+P (A ),即 P (A )=1-P (A )性质6(加法公式) 对于任意两个事件A ,B 有P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )证 因为A ∪B =A ∪(B -AB )且A ∩(B -AB )=∅.由性质2,3得P (A ∪B ) =P (A ∪(B -AB )) =P (A )+P (B -AB )=P (A )+P (B )-P (AB )性质6还可推广到三个事件的情形.例如,设A 1,A 2,A 3为任意三个事件,则有P (A 1∪A 2∪A 3) =P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)-P (A 1A 2)-P (A 1A 3)-P (A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)一般地,设A 1,A 2,…,A n 为任意n 个事件,可由归纳法证得P (A 1∪…∪A n ) =).()1()()()(211111n n n k j i kj i n i n j i j i i A A A P A A A P A A P A P ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+--≤<<≤=≤<≤∑∑∑例1.4 设A ,B 为两事件,P (A )=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1,求:(1) A 发生但B 不发生的概率;(2) A 不发生但B 发生的概率;(3) 至少有一个事件发生的概率;(4) A ,B 都不发生的概率;(5) 至少有一个事件不发生的概率.解(1) P (A B )=P (A -B )=P (A -AB )=P (A )-P (AB )=0.4;(2) P (A B )=P (B -AB )=P (B )-P (AB )=0.2;(3) P (A ∪B )=0.5+0.3-0.1=0.7;(4) P (B A )=P (B A Y )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3;(5) P (A ∪B )=P (AB )=1-P (AB )=1-0.1=0.9.3. 古典概型定义1.4 若随机试验E 满足以下条件:1°试验的样本空间Ω只有有限个样本点,即Ω={ω1,ω2,…,ωn };2°试验中每个基本事件的发生是等可能的,即P ({ω1})=P ({ω2})=…=P ({ωn }),则称此试验为古典概型,或称为等可能概型.由定义可知{ω1},{ω2},…,{ωn }是两两互不相容的,故有1=P (Ω)=P ({ω1}∪…∪{ωn })=P ({ω1})+…+P ({ωn }),又每个基本事件发生的可能性相同,即P ({ω1})=P ({ω2})=…=P ({ωn }),故 1=nP ({ωi }),从而 P ({ωi })=1/n ,i=1,2,…,n设事件A 包含k 个基本事件即 A ={ωi 1}∪{ωi 2}∪…∪{ωik },则有P (A )=P ({ωi 1}∪{ωi 2}∪…∪{ωik })=P ({ωi 1})+P ({ωi 2})+…+P ({ωik })=444344421Λ个k n n n /1/1/1+++=k /n 由此,得到古典概型中事件A 的概率计算公式为P (A )=k /n =A 所包含的样本点数/Ω中样本点总数 (1.1)称古典概型中事件A 的概率为古典概率.一般地,可利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识计算k 和n ,进而求得相应的概率.例1.5 将一枚硬币抛掷三次,求:(1) 恰有一次出现正面的概率;(2) 至少有一次出现正面的概率.解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间Ω={HHH ,HHT ,HTH ,THH ,HTT ,THT ,TTH ,TTT }Ω中包含有限个元素,且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.(1) 设A 表示“恰有一次出现正面”,则 A ={HTT ,THT ,TTH },故有 P (A )=3/8.(2) 设B 表示“至少有一次出现正面”, 由B ={TTT },得P (B )=1-P (B )=1-1/8=7/8当样本空间的元素较多时,我们一般不再将Ω中的元素一一列出,而只需分别求出Ω中与A 中包含的元素的个数(即基本事件的个数),再由(1.1)式求出A 的概率.例1.6 一口袋装有6只球,其中4只白球,2只红球.从袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑两种取球方式:(a ) 第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再任取一球.这种取球方式叫做有放回抽取.(b ) 第一次取一球后不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽取.试分别就上面两种情形求:(1) 取到的两只球都是白球的概率;(2) 取到的两只球颜色相同的概率;(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解 (a )有放回抽取的情形:设A 表示事件“取到的两只球都是白球”,B 表示事件“取到的两只球都是红球”,C 表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”.则A ∪B 表示事件“取到的两只球颜色相同”,而C =B .在袋中依次取两只球,每一种取法为一个基本事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而可利用(1.1)式来计算事件的概率.第一次从袋中取球有6只球可供抽取,第二次也有6只球可供抽取.由乘法原理知共有6×6种取法,即基本事件总数为6×6.对于事件A 而言,由于第一次有4只白球可供抽取,第二次也有4只白球可供抽取,由乘法原理知共有4×4种取法,即A 中包含4×4个元素.同理,B 中包含2×2个元素,于是P (A )= (4×4)/(6×6)=4/9,P (B )= (2×2)/(6×6)=1/9由于AB = ,故P (A ∪B )=P (A )+P (B )=5/9,P (C )=P (B )=1-P (B )=8/9.(b)不放回抽取的情形:第一次从6只球中抽取,第二次只能从剩下的5只球中抽取,故共有6×5种取法,即样本点总数为6×5.对于事件A 而言,第一次从4只白球中抽取,第二次从剩下的3只白球中抽取,故共有4×3种取法,即A 中包含4×3个元素,同理B 中包含2×1个元素,于是P (A )= (4×3)/(6×5) =2624P P =2/5,P (B )=(2×1)/(6×5) =2622P P =1/15. 由于AB=Φ,故P (A ∪B )=P (A )+P (B )=7/15,P (C )=1-P (B )=14/15.在不放回抽取中,一次取一个,一共取m 次也可看作一次取出m 个,故本例中也可用组合的方法,得P (A )=2624C C =2/5, P (B )=2624C C =1/15. 例1.7 箱中装有a 只白球,b 只黑球,现作不放回抽取,每次一只.(1) 任取m +n 只,恰有m 只白球,n 只黑球的概率(m ≤a ,n ≤b );(2) 第k 次才取到白球的概率(k ≤b +1);(3) 第k 次恰取到白球的概率.解 (1)可看作一次取出m +n 只球,与次序无关,是组合问题.从a +b 只球中任取m +n 只,所有可能的取法共有n m b a ++C 种,每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a 只白球中取m 只,共有m a C 种不同的取法,从b 只黑球中取n 只,共有n b C 种不同的取法.由乘法原理知,取到m 只白球,n 只黑球的取法共有m a C n b C 种,于是所求概率为p 1=n m ba nb ma ++C C C . (2) 抽取与次序有关.每次取一只,取后不放回,一共取k 次,每种取法即是从a+b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列,每种取法是一个基本事件,共有k b a +P 个基本事件,且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k -1次都取到黑球,从b 只黑球中任取k -1只的排法种数,有1P -k b 种,第k 次抽取的白球可为a 只白球中任一只,有1P a 种不同的取法.由乘法原理,前k -1次都取到黑球,第k 次取到白球的取法共有11P P a k b -种,于是所求概率为p 2=k ba a kb +-P P P 11. (3) 基本事件总数仍为kb a +P .第k 次必取到白球,可为a 只白球中任一只,有1P a 种不同的取法,其余被取的k -1只球可以是其余a+b -1只球中的任意k -1只,共有11P --+k b a 种不同的取法,由乘法原理,第k 次恰取到白球的取法有111k a a b P P -+-种,故所求概率为 p 3=111k a a b k a b P P a P a b-+-+=+. 例1.7(3)中值得注意的是p 3与k 无关,也就是说其中任一次抽球,抽到白球的概率都跟第一次抽到白球的概率相同,为ba a +,而跟抽球的先后次序无关(例如购买福利彩票时,尽管购买的先后次序不同,但各人得奖的机会是一样的).例1.8 有n 个人,每个人都以同样的概率1/N 被分配在N (n<N )间房中的任一间中,求恰好有n 个房间,其中各住一人的概率.解 每个人都有N 种分法,这是可重复排列问题,n 个人共有N n 种不同分法.因为没有指定是哪几间房,所以首先选出n 间房,有nN C 种选法.对于其中每一种选法,每间房各住一人共有n !种分法,故所求概率为 p =n n NNn !C . 许多直观背景很不相同的实际问题,都和本例具有相同的数学模型.比如生日问题:假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,那么随机选取n (n ≤365)个人,他们的生日各不相同的概率为p 1=nn n 365!C 365, 因而n 个人中至少有两个人生日相同的概率为p 2=1-n n n 365!C 365. 例如n =64时p 2=0.997,这表示在仅有64人的班级里,“至少有两人生日相同”的概率与1相差无几,因此几乎总是会出现的.这个结果也许会让大多数人惊奇,因为“一个班级中至少有两人生日相同”的概率并不如人们直觉中想象的那样小,而是相当大.这也告诉我们,“直觉”并不很可靠,说明研究随机现象统计规律是非常重要的.例1.9 12名新生中有3名优秀生,将他们随机地平均分配到三个班中去,试求:(1) 每班各分配到一名优秀生的概率;(2) 3名优秀生分配到同一个班的概率.解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为(1) 设A 表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3!种分法,而其他9名学生平均分配到3个班共有3)!3(!9种分法,由乘法原理,A 包含基本事件数为 3!·3)!3(!9=2)!3(!9故有P (A )=2)!3(!9/3)!4(!12=16/55 (2) 设B 表示“3名优秀生分到同一班”,故3名优秀生分到同一班共有3种分法,其他9名学生分法总数为!4!4!1!9C C C 444819=,故由乘法原理,B 包含样本总数为3·!4!4!1!9.故有 P (B )=()2!4!9·3/()3!4!12=3/55 4.几何概型上述古典概型的计算,只适用于具有等可能性的有限样本空间,若试验结果无穷多,它显然已不适合.为了克服有限的局限性,可将古典概型的计算加以推广.设试验具有以下特点:(1) 样本空间Ω是一个几何区域,这个区域大小可以度量(如长度、面积、体积等),并把Ω的度量记作m (Ω).(2) 向区域Ω内任意投掷一个点,落在区域内任一个点处都是“等可能的”.或者设落在Ω中的区域A 内的可能性与A 的度量m (A )成正比,与A 的位置和形状无关.不防也用A 表示“掷点落在区域A 内”的事件,那么事件A 的概率可用下列公式计算:P (A )=m (A )/m (Ω),称它为几何概率.例1.10 在区间(0,1)内任取两个数,求这两个数的乘积小于1/4的概率. 解 设在(0,1)内任取两个数为x ,y ,则0<x <1,0<y <1图1-7即样本空间是由点(x ,y )构成的边长为1的正方形Ω,其面积为1.令A 表示“两个数乘积小于1/4”,则A ={(x ,y )|0<xy <1/4,0<x <1,0<y <1}事件A 所围成的区域见图1-7,则所求概率P (A ) =2ln 2141d 414311d )411(11d d 114/114/111/411/4+=+-=--=-⎰⎰⎰⎰x x x x yx x 图1-8例1.11 两人相约在某天下午2∶00~3∶00在预定地方见面,先到者要等候20分钟,过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的,求约会的两人能会到面的概率.解 设x ,y 为两人到达预定地点的时刻,那么,两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内,这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是|x -y |≤20,即x-y ≤20且y-x ≤20.令事件A 表示“两人能会到面”,这区域如图1-8中的A .则P (A ) =.95604060)()(222=-=Ωm A m第三节 条件概率、全概率公式1. 条件概率的定义定义1.5 设A ,B 为两个事件,且P (B )>0,则称P (AB )/P (B )为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率,记为P (A |B ),即P (A |B )= P (AB )/P (B )易验证,P (A |B )符合概率定义的三条公理,即:1° 对于任一事件A ,有P (A |B )≥0;2° P (Ω|B )=1;3°,)()(11∑∞=∞==i i i B A P B A P Y 其中A 1,A 2,…,A n ,…为两两互不相容事件.这说明条件概率符合定义1.3中概率应满足的三个条件,故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如,对于任意事件A 1,A 2,有P (A 1∪A 2|B )=P (A 1|B )+P (A 2|B )-P (A 1A 2|B )又如,对于任意事件A ,有P (A |B )=1-P (A |B ).例1.12 某电子元件厂有职工180人,男职工有100人,女职工有80人,男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工,求:(1) 该职工为非熟练工人的概率是多少?(2) 若已知被选出的是女职工,她是非熟练工人的概率又是多少? 解 题(1)的求解我们已很熟悉,设A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件,则 P (A )=25/180=5/36而题(2)的条件有所不同,它增加了一个附加的条件,已知被选出的是女职工,记“选出女职工”为事件B ,则题(2)就是要求出“在已知B 事件发生的条件下A 事件发生的概率”,这就要用到条件概率公式,有P (A |B ) =P (AB )/P (B )/=(5/180)/(80/180)= 1/16此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做,既然已知选出的是女职工,那么男职工就可排除在考虑范围之外,因此“B 已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人,并选出了非熟练工人.从而ΩB 样本点总数不是原样本空间Ω的180人,而是全体女职工人数80人,而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人,因此所求概率为P (A |B )=5/80=1/16例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.解 设A 表示“活到20岁以上”的事件,B 表示“活到25岁以上”的事件,则有 P (A )=0.7,P (B )=0.56且B ⊂A.得 P (B |A )=P (AB )/P (A ) =P (B )/P (A ) =0.56/0.7=0.8.例1.14 一盒中装有5只产品,其中有3只正品,2只次品,从中取产品两次,每次取一只,作不放回抽样,求在第一次取到正品条件下,第二次取到的也是正品的概率. 解 设A 表示“第一次取到正品”的事件,B 表示“第二次取到正品”的事件 由条件得P (A )=(3×4)/(5×4)= 3/5,P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10,故有 P (B |A )=P (AB )/P (A )=(3/10)/( 3/5)= 1/2.此题也可按产品编号来做,设1,2,3号为正品,4,5号为次品,则样本空间为Ω={1,2,3,4,5},若A 已发生,即在1,2,3中抽走一个,于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品,其中有2只正品,故得P (B |A )=2/4=1/2.2.乘法定理由条件概率定义P (B |A )=P (AB )/P (A ),P (A )>0,两边同乘以P (A )可得P (AB )=P (A )P (B |A ),由此可得定理1.1(乘法定理) 设P (A )>0,则有P (AB )=P (A )P (B |A )易知,若P (B )>0,则有P (AB )=P (B )P (A |B )乘法定理也可推广到三个事件的情况,例如,设A ,B ,C 为三个事件,且P (AB )>0,则有P (ABC )=P (C |AB )P (AB )=P (C |AB )P (B |A )P (A )一般地,设n 个事件为A 1,A 2,…,A n ,若P (A 1A 2…A n -1)>0,则有P (A 1A 2…A n )=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)…P (A n |A 1A 2…A n -1).事实上,由A 1⊃A 1A 2⊃…⊃A 1A 2…A n -1,有P (A 1)≥P (A 1A 2)≥…≥P (A 1A 2…A n -1)>0故公式右边的条件概率每一个都有意义,由条件概率定义可知P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)…P (A n |A 1A 2…A n -1)=P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P ΛΛΛ =P (A 1A 2…A n ) 例1.15 一批彩电,共100台,其中有10台次品,采用不放回抽样依次抽取3次,每次抽一台,求第3次才抽到合格品的概率.解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件,则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0.0083.例1.16 设盒中有m 只红球,n 只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回,再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次,试求第一次,第二次取到红球,第三次,第四次取到白球的概率.解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件,i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有例1.17 袋中有n 个球,其中n -1个红球,1个白球.n 个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不再放回袋中,求第i (i =1,2,…,n )人取到白球的概率.解 设A i 表示“第i 人取到白球”(i=1,2,…,n )的事件,显然P (A 1)=1/n.由21A A ⊃,故A 2=1A A 2,于是。
概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第1章

1-16
解:设 A1, A2 , A3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产, B 表示为正品。
A1, A2 , A3 构成一个完备事件组,且有 P(A1) 0.5, P(A2 ) 0.3, P(A3 ) 0.2 ;
P(B / A1) 9 /10, P(B / A2 ) 14 /15, P(B / A3 ) 19 / 20 。
1
(1) P( A) nA A133 1312 11 132 ;(2) P( A) 1 P( A) 37 。
n 133
133
169
169
1-5 解:
(1) P( ABC) P( A) P( AB) P( AC ) P( ABC ) 0.45 0.10 0.08 0.03 0.30
0.238
220 220
1-18 解:设 A1, A2 分别表示甲、乙击中目标,由题意知 A1, A2 相互独立。 (1) P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.8 0.9 0.72 (2) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1)P( A2 ) P( A1)P( A2 ) 0.8 0.1 0.9 0.2 0.26 (3) P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) 1 P( A1 )P( A2 ) 1 0.2 0.1 0.98 (4) P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.2 0.1 0.02
1-19 解:与 1-10 题类似。 P(B | A) P( AB) P(B) 0.85 0.9239 P( A) P( A) 0.92
1-20
解法 1:设 Ai={3000 小时未坏},(i=1,2,3),A1,A2,A3 相互独立,所以
《概率论与数理统计电子教案第一章

随机变量的定义
根据随机变量可能取值的性质,可以分为离散型随 机变量和连续型随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量分布律
分布律的定义 二项分布、泊松分布等。
常见离散型随机变量的分布 律
对于一个离散型随机变量X,其所有可能取 的值xi(i=1,2,...)与取这些值的概率 P{X=xi}(i=1,2,...)构成的表格或公式称为 离散型随机变量X的分布律。
叁 多维随机变量函数的概率密度求法
对于多维随机变量的函数,其概率密度可以通过换元法和雅可比行 列式求得。
随机变量数字特征
数学期望与方差概念
数学期望(期望值)
01
描述了随机变量取值的"平均"水平,是概率加权的平均
值。
方差
02
描述了随机变量取值的离散程度,即取值与期望值的偏
离程度。方差越大,说明随机变量的取值越分散。
大数定律应用
大数定律概念
中心极限定理内容及意义
中心极限定理内容
中心极限定理指出,大量相互独立、同分布 的随机变量之和的分布,当变量个数足够大 时,将趋于正态分布。
中心极限定理意义
中心极限定理是概率论和数理统计中的基本 定理之一,为许多统计方法的推导和应用提 供了理论基础,如置信区间、假设检验等。
棣莫弗-拉普拉斯定理
事件的独立性
计算多个事件同时发生的概率。
两个或多个事件的发生互不影响。
条件概率
在给定条件下,某事件发生的概 率。
独立试验
每次试验的结果与其他次试验的 结果无关。
随机变量及其分布
随机变量概念及分类
设随机试验的样本空间为 S={e}, X=X{e}是定义在 样本空间S上的实值单值 函数。称X=X{e}为随机变 量。
概率论与数理统计 1章共64页文档

n
Ai是指事A件 1, An同时发生的事件。
i1
可列多个事件的积事件
是指一列 A1, 事An件 , 全都发生的事件Ai ,记 i1
例4:设A、B、C为任意三个事件,写出下列事件的
表达式: 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。
也可这样定义:
不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。
注意:基本事件是相对的,不是绝对的。
例2:在下列试验中,试用集合表示下列事件。 1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子,出现偶数点的事件。 解:{出现偶数点}={2,4,6}。
{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件, {出现偶数点} ={出现2点}∪{出现4点}∪{出现6点} 但上述三事件不能再分解为更简单的事件,是基本事件。
这些试验具有如下特点:
1)试验可以在相同的条件下重复进行。
2)试验可能出现的所有结果种类已知
3)在未试验之前,不知道下次试验出现的结果,但试 验结果必是所有可能结果中的某一个。
具有这些特点的试验称为随机试验。
说明:
1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。
3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质,
1)、交换律 A∪B=B∪A AB=BA
称为统计规律性。
概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性
§1.2 随机事件
样本空间:随机试验所有可能结果的集合称为样本 空间。常用Ω表示。
样本点:样本空间的元素称为样本点,常用ω表示。
例1:
试验1:投掷一枚匀质的硬币,观察哪一面向上。规 定带有国徽图案的是正面。
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率

AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5.事件的差: 若事件 A 发生而事件 B 不发生,则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作: A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解: S1 {正面,反面}
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 :射手射击一个目标, 直到射中为止,观 察 其射击的次数
E4:从一批产品中抽取十 件,观察其次品数。
E5:抛一颗骰子,观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型:
(H,T): H (T,H): T (T,T): T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4.若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解:因为该试验的样本点是一非负数,
《概率论与数理统计》第1章

事件的运算法则
对于任意三个事件A,B,C,满足下列运算: 对于任意三个事件A,B,C,满足下列运算: A,B,C,满足下列运算 (1) 交换律
AU B = B U A;
AB = BA
(2) 结合律 ( AUB) UC = AU(BUC) , (3) 分配律
( AB)C = A(BC)
随机事件的频率与概率
概率的统计定义 古典概型 概率的性质 概率的计算
概率的统计定义
设事件A 设事件A在n次试验中出现了r次,则比值 r/n 次试验中出现了r 称为事件A 称为事件A在n次试验中出现的频率。而在同一组条件 次试验中出现的频率。 下所作的大量重复试验中,事件A出现的频率总是在区 下所作的大量重复试验中,事件A 间[0,1]上的一个确定的常数p附近摆动,并且稳定于 [0,1]上的一个确定的常数p附近摆动, 上的一个确定的常数 p,则 称为事件A的概率。 p,则p称为事件A的概率。
事件A与事件B的积,就是指A、B都 事件A与事件B的积,就是指A、B都 A、B 发生。 发生。 表示为:AB :AB或 表示为:AB或 A I B 例如抛骰子时: 例如抛骰子时: A=“出现2点或4 A=“出现2点或4点” , B=“出现2点或6 B=“出现2点或6点” ; AB=“出现两点” 则AB=“出现两点”
概
率
论
——研究和揭示随机现象数量规律性 的一门数学学科
第一章 随机事件与概率
随机事件 随机事件的频率与概率 古典概型与几何概型 条件概率 事件的独立性
随机事件
现象——现象分为确定性现象和随机现象。 现象分为确定性现象和随机现象。 ★ 现象 现象分为确定性现象和随机现象
随机现象——在个别试验中,其结果呈不确定性, 在个别试验中,其结果呈不确定性, 随机现象 在个别试验中 在大量重复试验中,结果又具有统计规律性。 在大量重复试验中,结果又具有统计规律性。 * 随机现象的结果是偶然性的,但在随机试验下 随机现象的结果是偶然性的, 呈必然性
概率论与数理统计第01章概率论的基本概念第1讲-1

28
(一)频率 定义 在相同条件下, 进行了n次试 验, 在这n次试验中, 事件A发生的次数nA称为 事件A发生的频数. 比值nA/n称为事件A发生的 频率, 并记成fn(A). 由定义, 易见频率具有下述基本性质: 1, 0≤fn(A)≤1; 2, fn(S)=1; 3, 若A1,A2,...,Ak是两两互不相容的事件, 则 fn(A1∪A2∪...∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An).
29
历史上的掷硬币试验
试验者 德.摩尔根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼 抛掷次数 正面出现次 正面出现频 数m 率m/n n 2048 4040 12000 24000 30000 1061 2048 6019 12012 14994 0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
A, A = S − A.
A
S
A
23
在进行事件运算时, 经常要用到下述定律. 设 A,B,C为事件, 则有 交换律: A∪B=B∪A; A∩B=B∩A. 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 德•摩根律:
概 率 论 与 数 理 统 计
( 第三版 )
浙江大学
盛 骤 谢式千 潘承毅 编
高等教育出版社
1
概率论与数理统计
2
第一章 概率论的基本概念
第1讲
3
在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现 象. 在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试 验中其结果又具有统计规律性的现象, 称为随 机现象. 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统 计规律性的一门数学学科.
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与及其概率教案

第一章随机事件与及其概率§1.1随机事件及其运算教学目的要求:掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解.教材分析:1.概括分析:概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,了解事件之间的关系和事件之间的一些运算.2.教学重点:随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关系和事件之间的一些运算.3.教学难点:事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明.教学过程:1.1.1随机现象必然现象(确定性现象):只有一个结果的现象。
例如“在一个标准大气压下,纯水加热到100C 时必然沸腾。
”“同性电荷相吸。
”随机现象(偶然现象):是在一定条件下,并不总是出现相同的结果的现象。
特点:1、结果不只一个;2、哪一种结果出现,人们事先又不知道。
例1.1.1随机现象的例子(1)抛一枚质地均匀的硬币,可能是正面朝上,也可能是反面朝上;(2)掷一颗骰子,出现的点数‘(3)一天内进入某超市的顾客数;(4)某种型号电视机的寿命;(5)测量某物理量(长度、直径等)的误差。
概率论与数理统计是一门处理随机现象的学科。
概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科,它的理论严谨,应用广泛,并且有独特的概念和方法,同时与其它数学分支有着密切的联系它是近代数学的重要组成部分;数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究,就是利用概率论的结果,深入研究统计资料,观察这些随机现象并发现其内在的规律性,进而作出一定精确程度的判断,将这些研究结果加以归纳整理,形成一定的数学模型。
虽然概率论与数理统计在方法上如此不同,但做为一门学科,它们却相互渗透,互相联系。
随机试验:对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、试验。
1.1.2样本空间在一个试验中,不论可能的结果有多少,总可以从中找出一组基本结果,满足:1)每进行一次试验,必然出现且只能出现其中的一个基本结果;2)任何结果,都是由其中的一些基本结果所组成。
概率论与数理统计第一章ppt课件

事件独立的例题:
P ( A 1 ) 1 / 5 , P ( A 2 ) 1 / 3 , P ( A 3 ) 1 / 4
P (A 1 A 2 A 3) 1P (A 1 A 2 A n)
3
1
1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
❖练习 某人从外地赶来参与紧急会议, 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4,假设他乘 飞机来就不会迟到;而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。
❖〔1〕求他迟到的概率;
❖〔2〕假设他迟到了,试推断他是怎样 来的,说说他的理由。
❖例4 据以往的临床记录,某种诊断 糖尿病的实验具有以下的效果:假设 一被诊断者患有糖尿病那么实验结果 呈阳性的概率为0.90;假设一被诊断 者未患糖尿病,那么实验结果呈阳性 的概率为0.06。又知受实验的人群患 糖尿病的概率为0.03。假设一被诊断 者其实验结果呈阳性,求此人患糖尿 病的条件概率。
这一节我们引见了
全概率公式
贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同窗们可经过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是,后来的学者根据贝叶斯公 式的思想开展了一整套统计推断方法,叫 作“贝叶斯统计〞. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式:由因遡果 贝叶斯公式:由果索因
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❖例2 甲、乙两人独立地对同一目的射击 一次,其命中率分别是0.5和0.4。现知 目的被命中,那么它是乙射中的概率是 多少?
❖例3 设0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B|A ), 试证:A、B相互独立.
高等教育出版社《概率论与数理统计统计》第一章

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实例
“用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”. 结果: “弹落点会各不相同”. 实例 “抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
察出现的点数”.
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7/13
有关赌博的最早一个数学问题出现在1494年意大利修 士、数学家巴乔罗(Luca Pacciolo)的著作《算术,几何,比 例和比值要义》中.
应该按赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本.比如: s 3, a 2, b 1 就按2:1分配. 热衷于占星术和掷骰子的代数学家卡丹(J.Cardan)和 塔塔利亚(N.Tartanlia)指出巴乔罗的分法是错误的,认为巴 的分法没有考虑甲乙双方取得最终胜利还需要赢的局数. 但是他们两人也没有给出正确的解法.
2. 不可能事件:每次试验一定不发生的事件,记
3. 基本事件:一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果)
例: E1 有两个基本事件 { H } 和 { T }
机动
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结束
三、事件间的关系及其运算
1.事件的关系
① 包含、相等关系
A B
事件B包含事件A
x A x B
E2 : 将一枚硬币连抛三次,观察出现正反面的情况。 E3 :记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 E4:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。
二、随机事件与样本空间
Ⅰ. 样本空间 定义1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω ,样本空间的元素,即E的每个结果, 称为样本点,记为e。
概率论与数理统计 第一章 概率论基础

3) 事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 设 C=“长度合格但直径不合格” ,A = “长度合格”,B= “直径合则格”C. A B.
图示 A 与 B 的差. B A
AA B
B
B A
B A AB
1.2.2 事件间的关系及运算
称为必然现象;
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
1.1.1 随机试验
【概率论简史】
1933 年 , 柯 尔 莫 哥 洛 夫 ( Kolmogorov , 俄 , 1903-1987)在他的名著《概率论基础》一书中, 提出了概率公理化定义,并得到数学家们的普遍承 认.公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础,使概率论成为一门严格的演绎科学,取得了与其 他数学学科同等的地位,并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来.
1 = {正面,反面}.
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”:
2 = {1,2,3,4,5,6}.
“某品牌电视机的寿命”:
3 = {t | t 0}.
“110每天接到的报警次数”:
4 = {0,1,2,…}.
“圆心在原点的单位圆内任取一点”:
5 = {(x,y) | x2 + y2 1}.
在公理化的基础上,现代概率论不仅在理论上取得 了一系列突破,在应用上也取得了巨大的成就,其应 用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报、地震预 报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研 究、金融和管理等领域.
概率论与数理统计 第一章1.1随机事件

样本空间
尽管一个随机试验 将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的,我们把随机试验 的每一种可能的结果 称为一个样本点,常记为
. 它们的全体称为样本空间,记反面} 或 S {e1,e2 }(e1 正面,e2 反面).
样本空间 2. 在将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T 出现情况的试验中,有8个样本点,样本空间:
随机现象的统计规律性 随机试验具有下列特点: 1. 可重复性:试验可以在相同的条件下重复进 行; 2. 可观察性:试验结果可观察,所有可能的结 果是明确的; 3. 不确定性:每次试验出现的结果事先不能准 确预知. 历史上,研究随机现象统计规律最著名的试验
是投掷硬币的试验.
随机现象的统计规律性
历史上,研究随机现象统计规律最著名的试验
S {HHH , HHT , HTH ,THH , HTT ,THT ,TTH ,TTT }.
3. 在抛掷一枚骰子,观察其出现的点数的试验中, 有6个样本点:1点,2点,3点,4点,5点,6点, 样本空间可简记为
S {1,2,3,4,5,6}.
样本空间 4. 观察某电话交换台在一天内收到的呼叫次数,
随机现象 在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现 象, 一类是在一定条件下必然出现的现象,称 为确定性现象. 例如:
1. 一物体从高度为 h (米)处垂直下落,则经过时 刻 t (秒) 后必然落到地面,且由
h
1 2
gt
2
t 2gh, 其中 g 9.8 (米/秒2).
2. 设有一块长方形的金属板,
是投掷硬币的试验. 下表是历史上投掷硬币试验 的记录.
试验者 投掷次数(n) 正面次数(rn)正面频率( rn )
De Morgan Buffon Pearon Pearon
概率论与数理统计 第一章 第一节

3.概率论的研究内容
概率论——研究随机现象的数学分支。 自然界中的两种现象: 一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下, 它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定 性现象。特点:在相同的条件下,重复进行实验或 观察,它的结果总是确定不变的。 另一类现象的结果是无法预知的,在一定条件下, 某种现象可能发生也可能不发生,事先不能断定出 现哪种结果,这种现象就是随机现象。特点:在相同 的条件下,重复进行观测或试验,它的结果未必是 相同的
3.2概率论与数理统计的应用和渗透
• 赌博
概率论起源
• 分析,测度,概率的公理化体系
概率论发展
数理统计
• 研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性 的数据,以对所观测的问题作出推断和预测
第一章:随机事件及其概率
1.1随机事件 一、随机事件的概念 随机试验:对随机现象进行一次观察和试验,统称 为随机试验。随机试验简称为试验,用E表示。 随机试验的特点:(1)重复性:可以在相同条件下 重复进行; (2)可观察性:每次试验的可能结果不 止一个,但试验的所有可能结果是明确的;(3)试验 结果的随机性:进行一次试验之前不能确定哪一个 结果会出现.
7.完备事件组 若事件A1,A2,…,An两两互不相容,且 ,则称n个 事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组. 掷一颗骰子,观察点数,令A表示掷出奇数点,B表 示掷出点数不超过3,C表示掷出点数大于2,D表示 掷出5点. A={1,3,5},B={1,2,3},C={3,4,5, 6},D={5} A B ={1,2,3,5} A B ={1,3},BD=φ A ={2,4,6}, AC = {4,6},A-B={5},B-A={2}
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
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• 定义1.2.2 (概率的统计定义) 在大量重复试 验中,若事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 的附近摆动,则称该常数 p 为事件 A 发生的 概率,并记为 P(A),即P(A) = p; • 频率是变动的,而概率则为常数。 • 通常所说的产品的合格率,彩票的中奖率等均 为频率
优点:直观 易懂
历史上概率的三次定义
义 基于频率的定义 于1933年由前
③ 公理化定义
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
1. 频率与概率
定义1.2.1 设在相同的条件下,进行了 n 次试验, 在这 n 次试验中事件 A 出现了 m 次,则称
事件A出现的次数m f n ( A) 试验总次数n
m 2 98 7 6 5 4 3
2 98 7 6 5 4 3 P( A) 0.018 7 2 10
例1.2.3 (2)随机抽取一个电话号码后三位都是 8 的概率
用 B 表示“抽取一个电话号码后三位数都是 8”,则事件 B 所包含的基本事件数
m 2 104
ABC ABC ABC
AB BC AC
AB BC C A
1.2 随机事件的概率
事件的概率,是刻画事件出现可能性大小的一种 数量指标,应满足以下两个要求: 它应是事件本身固有的,不随人们的意志而改 变的一种客观属性量度; 它必须符合一般常情,即事件发生可能性大的, 它的值就大;事件发生可能性小,它的值就小。
稳定性
某一定数
例1.2.1 掷一枚均匀的硬币,出现正面与反面的 机会是相等的,即在大量重复试验中,出现正 面的频率应接近于 0.5 。历史上曾有几位数学 家做过该试验。
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷硬币次数 4 040 12 000 24 000 正面朝上次数 2 048 6 019 12 012 频率 0.506 9 0.501 6 0.500 5
例1.2.3 某城市电话号码为八位数,且第一位为 6 或8. 求 (1) 随机抽取一个号码为不重复的八位数的概率;
基本事件总数:第一位数为 6 或 8 ,其他位数是 0 到 9 的 任意一个,总数: n 2 107 用 A 表示“抽取一个号码为不重复的八位数”,事件 A 包 含的基本事件数:
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
在我们所生活的世界上,充满了随机性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机 会游戏,到复杂的社会现象;从婴儿的出 生,到世间万物的繁衍生息;从流星坠落, 到大自然的千变万化……,我们无时无刻 不面临着随机性. 概率统计的研究对象
随机现象是不是没有规律可言?
为随机事件 A 在 n 次试验中出现的频率,m 称 为频数
频率的基本性质
f n () 1 fn () 0
0 fn ( A) 1
非负性 规范性
事件 A, B互斥,则
f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
可加性
若 A1,A2,…An 是两两互不相容事件,则
—— 抽取的是精装中文版数学书 —— 精装书都是中文书
—— 非数学书都是中文版的,且 中文版的书都是非数学书
又如: 利用事件关系和运算表达多个 事件的关系
A ,B ,C 都不发生——
ABC
A B C
A ,B ,C 不都发生——
ABC
A B C
例1.1.4 设 A,B,C 表示任意三个随机事件, 用 A,B,C 及其运算符号表示下列事件:
缺点:粗糙 模糊
不便 使用
2. 古典概率模型
有限性
每次试验中,所有可能发生的结果只有有限个,即样本 空间Ω是个有限集:
1, 2 ,, n
等可能性
每次试验中,每一种可能结果的发生的可能性相同,即:
1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) n
第一章 随机事件及其概率
• • • • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 随机事件及其运算 随机事件的概率 概率的基本运算法则 全概率公式与贝叶斯公式 伯努利概型 随机数的生成与应用
自然界和人类社会的两类现象:
在一类条件下必然发生或不可能发生的,称为确定 性现象。比如:1个标准大气压下水的沸点为100度, 电流通过导线产生磁场,太阳从东方升起等 在相同条件下可能发生也可能不发生,或者 可能出现不同的结果,称为随机现象。比如 掷一枚硬币,明天的最高气温,新生婴儿的 体重等
3. 事件间的关系与运算
随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
A
(1)包含 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则
称事件 B 包含事件 A ,或称 A 包含于事件 B , 记为: B A或A B
事件 A 发生必导致事件 B 发生 Ø B
2. 随机事件
• 随机试验 E 的样本空间 Ω 的子集称为试 验 E 的随机事件,简称为事件,常用英 文大写字母 A, B, C, …表示。 • 基本事件是最简单的随机事件。 • 一般随机事件是由若干个基本事件组成的, 称为复合事件。
随机事件的两个极端:
I. 由样本空间 Ω 中的所有元素组成的集合, 称之为必然事件,用 Ω 表示,它在每一 次试验中都发生。比如投骰子,“出现点数都不大于6” II. 不含任何元素的空集合,称之为不可能 事件,用 Ø 来表示。比如投骰子,“出现点数大于6”
否!
在一定条件下对随机现象进行大量观 测会发现某种规律性.
随机现象的统计规律性
从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是 随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现, 在大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种随机 现象所呈现出的固有规律性,称为随机现象的统 计规律性. 概率统计的研究内容 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性 的数学学科
A B A B 且 B A
A
B
B不发生,A必不发生
(1)包含的例子
投骰子,事件 A =“出现点数是1”,事件 B=“出现的点数小于4”. 那么,如果A发生,即出现的点数是1,那么B发 生了。 B不发生,A必不发生 A
B
(2) 事件的并 若事件 A 与事件 B 至少有一
个发生,这样构成的事件成为事件 A 与事件 B 的并事件(和事件),记为 A B 或 A B
i 1
i 1
i
(4) 事件的差 事件 A 发生而事件 B 不发生,
这样构成的事件称为事件 A 与事件 B 的差事件, 记为 A B
B
A
A-B
在一次试验中,若事件 A 与事件 B 不能同时发生,即 AB Ø,则称 A 与 B 为互不相容事件(互斥事件)
(5)互不相容事件
A1 , A2 ,, An 两两互斥
A B
A
B
(3) 事件的交 由事件 A 与事件 B 同时发生
而构成的事件称为事件 A 与事件 B 的交事件 (积事件),记为 A B或AB
A1 , A2 ,, An 的积事件
B
A∩B
Ai A
i 1
i 1
n
n
i
A
A1 , A2 ,, An , 的积事件
Ai A
例1.1.2 掷一枚骰子,观察其出现的点数,所 有可能出现的结果有六个:出现 1 点,出现2 点,…,出现 6 点。分别用 1,2,…,6 来表 示,则样本空间为 Ω = {1,2,…,6}
例1.1.3 在一批日光灯中任意抽取一只,测试其 寿命,用 t(单位:小时)表示日光灯的寿命,则 t 可取所有非负实数:t ≥0,对应了试验的所有可 能结果,则样本空间为 Ω = {t |t ≥0}
其中
Ai {i } ,
i 1, 2,, n
定义1.2.3(概率的古典定义) 设试验结果共有 n 个基本事件 ω1,ω2,...,ωn ,而且这些事件 的发生的可能性相等。事件 A 由其中的 m 个基 本事件组成,则事件 A 的概率为:
事件A包含的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
A
A
性质
注意:“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
AA Φ
A A
( A) A
事件之间的运算律 事件 运算 吸收律
对应
集合 运算
A A A
A A A
A ( AB ) A A ( A B) A
重余律
B
A B A
A1 , A2 ,, An 的和事件
Ai A
i 1
i 1
n
n
i
A1 , A2 ,, An , 的和事件
Ai A i 1
i 1
i
(2) 事件的并
例如, 10 件产品中有 3 件次品,从中任取 2 件, 若 A 表示“取到一件次品”, B 表示“取到正 好两件次品”,那么 A B 表示“至少取到一 件次品”
德摩根律
A B A B A B A B
A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An
运算顺序: 逆交并差,括号优先
比如:在图书馆中随意抽取一本书, 事件 表示数学书, 表示中文书, 表示平装书. 则
A 发生而 B, C 都不发生: ABC 或 A B C 或 A ( B C)
A 发生且 B, C 至少有一个发生: A, B 发生而 C 不发生:
A, B, C 中只有一个发生: A, B, C 至少有两个发生: A, B, C 至多有一个发生:
A (B C)
ABC 或 AB C