概率论与数理统计第一章 刘建亚 吴臻主编

历史上概率的三次定义
① 古典定义 ② 统计定义
概率的最初定义 基于频率的定义 于1933年由前
③ 公理化定义
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
1. 频率与概率
定义1.2.1 设在相同的条件下，进行了 n 次试验， 在这 n 次试验中事件 A 出现了 m 次，则称
事件A出现的次数m f n ( A) 试验总次数n
缺点：粗糙 模糊
不便 使用
2. 古典概率模型

有限性
每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本 空间Ω是个有限集：
1, 2 ,, n

等可能性
每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即：
1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) n
例1.2.3 某城市电话号码为八位数，且第一位为 6 或8. 求 (1) 随机抽取一个号码为不重复的八位数的概率；
基本事件总数：第一位数为 6 或 8 ，其他位数是 0 到 9 的 任意一个，总数： n 2 107 用 A 表示“抽取一个号码为不重复的八位数”，事件 A 包 含的基本事件数：
f n ( A1 A2 An ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( An )
频率的稳定性
大量经验表明，当试验的次数相当大时， 频率总是稳定于某一常数附近，即它以 某一常数为中心作微小的摆动，而发生 较大偏离的可能性不大。这一性质称为 频率的稳定性
2 104 P( B) 0.001 7 2 10

例2.1.4 设有一批产品共计 100 件，其中 80 件 为正品， 20 件为次品，现按以下两种方法抽 取产品： (a) 每次任意抽取一件，经观察后放回，再从中任 取下一件，这种抽取方法叫做有放回抽样. (b) 每次任取一件，经观察后不放回，在剩下的产 品中再任取一件，这种抽取方法叫做不放回抽 样. 问题：分别按这两种抽样方法，求从这 100 件产 品中任意抽取 3 件，其中有 2 件次品的概率.
其中
Ai {i } ,
i 1, 2,, n
定义1.2.3（概率的古典定义） 设试验结果共有 n 个基本事件 ω1，ω2，...，ωn ，而且这些事件 的发生的可能性相等。事件 A 由其中的 m 个基 本事件组成，则事件 A 的概率为：
事件A包含的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
ABC ABC ABC
AB BC AC
AB BC C A
1.2 随机事件的概率
事件的概率，是刻画事件出现可能性大小的一种 数量指标，应满足以下两个要求： 它应是事件本身固有的，不随人们的意志而改 变的一种客观属性量度； 它必须符合一般常情，即事件发生可能性大的， 它的值就大；事件发生可能性小，它的值就小。

A
A
性质
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
AA Φ
A A
( A) A
事件之间的运算律 事件 运算 吸收律
对应
集合 运算
A A A
A A A
A ( AB ) A A ( A B) A
重余律
A
B
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
(6) 对立事件 在一次试验中，若事件 A 与事
件 B 二者必有一个且仅有一个发生，则称 A 与 B 为对立事件(互逆事件)，A 的对立事件记为 A
A 发生而 B, C 都不发生： ABC 或 A B C 或 A ( B C)
A 发生且 B, C 至少有一个发生： A, B 发生而 C 不发生：
A, B, C 中只有一个发生： A, B, C 至少有两个发生： A, B, C 至多有一个发生：
A (B C)
ABC 或 AB C
比如：掷骰子观测点数，日光灯的使用寿命，候车室 内的人数等，通常用 E表示
1. 随机试验与样本空间
试验E中的每一个可能结果称为基本事件， 或称为样本点，常记为 所有基本事件组成的集合称为试验E的样 本空间，记为 Ω = {}
例1.1.1 在抛掷一枚硬币试验中，有两个可能 的结果：出现正面，出现反面.。若分别用 “正”、“反”来表示，即有两个基本事件， 这个试验的样本空间为 Ω = {正，反}
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观 测会发现某种规律性.
随机现象的统计规律性
从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是 随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现， 在大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种随机 现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统 计规律性. 概率统计的研究内容 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性 的数学学科
为随机事件 A 在 n 次试验中出现的频率，m 称 为频数
频率的基本性质
f n () 1 fn () 0
0 fn ( A) 1
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
可加性
若 A1，A2，…An 是两两互不相容事件，则
—— 抽取的是精装中文版数学书 —— 精装书都是中文书
—— 非数学书都是中文版的，且 中文版的书都是非数学书
又如： 利用事件关系和运算表达多个 事件的关系
A ,B ,C 都不发生——
ABC
A B C
A ,B ,C 不都发生——
ABC
A B C
例1.1.4 设 A，B，C 表示任意三个随机事件， 用 A，B，C 及其运算符号表示下列事件：
第一章 随机事件及其概率
• • • • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 随机事件及其运算 随机事件的概率 概率的基本运算法则 全概率公式与贝叶斯公式 伯努利概型 随机数的生成与应用
自然界和人类社会的两类现象：
在一类条件下必然发生或不可能发生的，称为确定 性现象。比如：1个标准大气压下水的沸点为100度， 电流通过导线产生磁场，太阳从东方升起等 在相同条件下可能发生也可能不发生，或者 可能出现不同的结果，称为随机现象。比如 掷一枚硬币，明天的最高气温，新生婴儿的 体重等
德摩根律
A B A B A B A B
A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An
运算顺序： 逆交并差，括号优先
比如：在图书馆中随意抽取一本书， 事件 表示数学书， 表示中文书， 表示平装书. 则
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
在我们所生活的世界上，充满了随机性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机 会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出 生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落， 到大自然的千变万化……，我们无时无刻 不面临着随机性. 概率统计的研究对象
随机现象是不是没有规律可言?
3. 事件间的关系与运算
随机事件的关系和运算 类同集合的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
A
(1)包含 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则
称事件 B 包含事件 A ，或称 A 包含于事件 B ， 记为： B A或A B
事件 A 发生必导致事件 B 发生 Ø B
概率统计的应用： 经济管理，金融保险，生物医药……
1.1 随机事件及其运算
1. 随机试验与样本空间 为确定随机现象的规律性，要进行多次的试验、 实验、调查或观察，这些工作称之为试验。随 机试验具有下面三个特征：
试验可在相同条件下重复进行； 试验的结果不止一个； 每次试验之前不能判定哪一个结果将会出现。
B
A B A

A1 , A2 ,, An 的和事件
Ai A
i 1
i 1
n
n
i
A1 , A2 ,, An , 的和事件
Ai A i 1
i 1


i
Байду номын сангаас
(2) 事件的并
例如， 10 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件， 若 A 表示“取到一件次品”， B 表示“取到正 好两件次品”，那么 A B 表示“至少取到一 件次品”
m 2 98 7 6 5 4 3
2 98 7 6 5 4 3 P( A) 0.018 7 2 10
例1.2.3 （2）随机抽取一个电话号码后三位都是 8 的概率
用 B 表示“抽取一个电话号码后三位数都是 8”，则事件 B 所包含的基本事件数
m 2 104
2. 随机事件
• 随机试验 E 的样本空间 Ω 的子集称为试 验 E 的随机事件，简称为事件，常用英 文大写字母 A, B, C, …表示。 • 基本事件是最简单的随机事件。 • 一般随机事件是由若干个基本事件组成的， 称为复合事件。
随机事件的两个极端：
I. 由样本空间 Ω 中的所有元素组成的集合， 称之为必然事件，用 Ω 表示，它在每一 次试验中都发生。比如投骰子，“出现点数都不大于6” II. 不含任何元素的空集合，称之为不可能 事件，用 Ø 来表示。比如投骰子，“出现点数大于6”
A B A B 且 B A

A
B
B不发生，A必不发生
(1)包含的例子
投骰子，事件 A =“出现点数是1”，事件 B=“出现的点数小于4”. 那么，如果A发生，即出现的点数是1，那么B发 生了。 B不发生，A必不发生 A

B
(2) 事件的并 若事件 A 与事件 B 至少有一
个发生，这样构成的事件成为事件 A 与事件 B 的并事件（和事件），记为 A B 或 A B
i 1
i 1

i
(4) 事件的差 事件 A 发生而事件 B 不发生，
这样构成的事件称为事件 A 与事件 B 的差事件， 记为 A B

B
A
Ａ－Ｂ
在一次试验中，若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB Ø，则称 A 与 B 为互不相容事件（互斥事件）
(5)互不相容事件

A1 , A2 ,, An 两两互斥
• 定义1.2.2 （概率的统计定义） 在大量重复试 验中，若事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 的附近摆动，则称该常数 p 为事件 A 发生的 概率，并记为 P(A)，即P(A) = p； • 频率是变动的，而概率则为常数。 • 通常所说的产品的合格率，彩票的中奖率等均 为频率
优点：直观 易懂
稳定性
某一定数
例1.2.1 掷一枚均匀的硬币，出现正面与反面的 机会是相等的，即在大量重复试验中，出现正 面的频率应接近于 0.5 。历史上曾有几位数学 家做过该试验。
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷硬币次数 4 040 12 000 24 000 正面朝上次数 2 048 6 019 12 012 频率 0.506 9 0.501 6 0.500 5
A A
幂等律 差化积 交换律 结合律
A A A
A A A
A B AB A ( AB)
A B B A
AB BA
( A B) C A ( B C )
( AB)C A( BC )
分配律
( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
A B
A
B

(3) 事件的交 由事件 A 与事件 B 同时发生
而构成的事件称为事件 A 与事件 B 的交事件 （积事件），记为 A B或AB

A1 , A2 ,, An 的积事件
B
Ａ∩Ｂ
Ai A
i 1
i 1
n
n
i
A
A1 , A2 ,, An , 的积事件
Ai A
例1.1.2 掷一枚骰子，观察其出现的点数，所 有可能出现的结果有六个：出现 1 点，出现2 点，…，出现 6 点。分别用 1，2，…，6 来表 示，则样本空间为 Ω = {1，2，…，6}
例1.1.3 在一批日光灯中任意抽取一只，测试其 寿命，用 t（单位：小时）表示日光灯的寿命，则 t 可取所有非负实数：t ≥0，对应了试验的所有可 能结果，则样本空间为 Ω = {t |t ≥0}