第2讲、有限元与弹性力学的基本原理

1 F 2 ( x) dE = F ( x)∆l = l ( x) 2 2 EA F 2 ( x) dE = dx 2 EA
E=∫
l
F 2 ( x) dx 2 EA
1 E = σε 2
源自文库0 P
对于空间三维体
1 U = 2
∫∫∫ εσ dV
V
弹性体的剪切形变
一、剪切形变 当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平 行移动时的形变叫做剪切形变。例如：用剪刀剪断物体前即 发生这类形变。 二、剪应力
∂τ ∂τ dx dx dy dy τ xy + xy dx dy ×1× + τ xy dy ×1× − τ yx + yx dx ×1× − τ yx dx ×1× =0 ∂x 2 2 ∂y 2 2
上式两边除dxdy,可得:
τ xy = τ yx
F ∆l n =Y A l0
其中：Y 或E称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力，A截面积 。
四、拉伸或压缩的形变势能——属于形变物体本身所有
1 2 Ep = Yε V 2
（ 7）
V-弹性体体积.同时有：弹性势能密度，即单位体积中 的弹性势能：
1 2 E = Yε 2
0 p
（ 8）
回顾知识:弹性变形能 对于一维结构(拉压杆),在线弹性范围下,受力-变形关系所包含 的面积,数值上等于外力所做的功 W = EP 在一小段dx上的变形能为：
有限元分析的基本原理
有限元与弹性力学的基本原理
之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅 显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可 以按严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复 杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而 且还可以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传 导、电磁场、流体力学等问题。
梁的弯曲
中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层， 如图中的 CC' 层。 对于纯梁弯曲形变有：
1 12τ ρ= = R Ybh3
其中：R 和 ρ 分别为中性层的半径和曲率；h 和b 分 别为梁的高度和宽度，τ为梁仅受的靠端部的力偶。
杆的扭曲
产生扭转的力偶
τ
和实心圆柱扭转角 ϕ 的关系：
τ=
D称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量E 和泊桑比
ν
表征弹性体的弹性，也可以采用拉梅(Lam'e)常数G ,λ
E Eν G= ,λ = (1+ν )(1− 2ν ) 2(1 +ν )
G为弹性模量。
E(1 -ν ) (1 +ν )(1 − 2 ) ν 物理方程中的弹性矩阵D亦可表示为 D
µ U = υ = [µ υ ω] ω
称作位移列阵域位移向量。
ε 弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量：x ,ε y ,ε z ,γ xy ,γ yz ,γ zx
其中 ε x ,ε y ,ε z 为正应变 γ xy , γ yz , γ zx 为剪应变。应变的正负 号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负; 剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正， 反之为负。 应变的矩阵形式是:ε x ε y εz ε = = [ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ] γ xy γ yz γ zx 称作应变列阵或应变向量。
弹性力学的基本方程
弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可 由六个应力分量：
σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx
应力分量的正负号规定如下:如 果某一个面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，这个面上的应力分 量就以沿坐标轴正方向为正，与坐 标轴反向为负;相反，如果某一个面 的外法线方向与坐标轴的负方向一 致，这个面上的应力分量就以沿坐 标轴负方向为正，与坐标轴同向为 负。应力分量及其正方向见图1
τ=
F S
（ 1）
其中：S为假想截面ABCD的面积， 力F在该面上均匀分布。 三、剪切形变 ∆l 特征：表现为平行截面间的相对滑移。 tgψ = l ∆l 若 ψ 很小，则 （ 2） tgψ ≈ψ = l
切应角
四、剪切形变的胡克定律 若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：
τ = Nψ
（ 3）
在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数 的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有：
∂µ ∂υ ∂ω ε x = ,ε y = ,εz = , ∂x ∂y ∂z ∂µ ∂υ ∂υ ∂ω ∂µ ∂ω γ xy = + = γ yx ,γ zy = + = γ yz ,γ zx = + = γ xz ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x
图1
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
σ x σ y σ z σ = = [σ x σ y σz τ xy τ yz τ zx ] τ xy τ yz τ zx
弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置 的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标 轴方向的3个位移分量 µ,υ,ω 来表示。它的矩阵形式是：
πNR4
2l
ϕ = cϕ
其中：R和 l 分别为圆柱的半径和长度，N是剪切模量， 式中c 是圆柱的扭转系数：
c=
πNR4
2l
弹性力学可分为空间问题(3D)和平面问题(2D)
任何弹性体总是处于空间受力状态，因而任何实际问题都是空间问题。但是 在某些情况下，空间问题可以近似地按平面问题处理。弹性力学平面问题可分为 两类：平面应力问题和平面变形问题。两类问题有许多共同特点，合称为弹性力 学平面问题。
区别:
平面应力： 平面应力： 只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略 例如薄板拉压问题。 垂直方向的应力可忽略， 只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。 平面应变： 平面应变： 只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略 例如水坝侧向水压问题。 垂直方向的应变可忽略， 只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
其中，N 为剪切模量，反映材料抵抗剪切应变的能力。 通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有： Y N= 2(1+ µ) 上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：Y 是 杨氏模量，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力；N 是剪切模量， 反映材料抵抗剪切形变的能力； µ 是泊松系数，描写材料横向 收缩或膨胀的特性。几个不同特性的量是有联系的。
具体说来： 具体说来： 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面， OXY平面 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力 σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内) 没有σz τyz，τzx。 τxy(它们都在一个平面内 σz， σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面， OXY平面 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应 εx，εy和剪应变 xy，而没有εz γyz，γzx。 εz， 变εx，εy和剪应变 γ xy，而没有εz，γyz，γzx。
弹性力学的分类
平面问题的基本理论
直角坐标解答 极坐标解答 温度应力 理论弹性力学
空间问题的基本理论
薄板理论 薄壳理论
应用弹性力学
弹性体力学的基本概念简介
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。 其实，最基本的形变有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转 和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
弹性体的拉伸和压缩形变
三维问题的弹性力学基本方程
平衡方程 几何方程(应变-位移关系) 物理方程（应力-应变关系） 力的边界条件 几何边界条件 弹性体的应变能和余能
平面(二维)平衡方程
平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺 寸取一个单位长度.
∑ MC = 0
两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程 ∑ M c = 0
几何方程的矩阵形式为：ε
= LU
(在V内)
其中,L为微分算子
∂ ∂x L= ∂ ∂y ∂ ∂z ∂ ∂z = AT ∂ ∂y ∂ ∂x
∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂z
物理方程（应力-应变关系）
弹性力学由应力-应变之间的转换关系也称弹性 关系。对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的 表达式可用矩阵形式表示：
以X轴为投影轴,满足平衡方程:
剪力互等关系
∑F =0
∂τ ∂σ σ x + x dx dy × 1 − σ x dy × 1 + τ yx + yx dy dx × 1 − τ yx dx × 1 + f x dxdy × 1 = 0 ∂x ∂y
一、正压力（拉伸压缩应力）
Fn σ＝ S
例如图示， > 0 ，σ
（ 1）
其中，F 沿作用力截面的法线方向。 。
二、线应变（相对伸长或压缩） 绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或 压缩）。公式： ∆l
ε=
当
ε ε > 0 时，为拉伸形变； < 0 时，为压缩形变，因而，
b − b0 ∆b = b0 b0
f x , f y , f z单位体积的体积力在z，y，z方向的分量。
平衡方程的矩阵形式为 Aσ + f = 0 （在V内）
其中，A是微分算子
∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ A= 0 0 0 ∂y ∂x ∂z ∂ ∂ ∂ 0 0 0 ∂z ∂y ∂x
上式两边除dxdy,可得:
同理
∂σ x ∂τ yx + + fx = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂τ xy + + fy = 0 ∂y ∂x
平衡方程(纳维叶)
弹性体v域内任一点沿坐标轴x，y，z，方向的平衡方程为:
∂σ x ∂τ yz ∂τ zx + + + fx = 0 ∂y ∂x ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
l0
（ 2）
它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横 向形变，则对应的应变(或形变)为：
ε1 =
（ 3）
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 b0,横向形变后为 b 。 横向形变和纵向形变之比为泊松系数：
µ=
ε1 ε
（ 4）
三、胡克定律 当应变较小时，应力与应变成正比：
σ＝ ε Y
或
（ 5） （ 6）
f 是体积力向量， f
T
= fx , f y , fz
[
]
平面(二维)几何方程
经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段 PA=dx,PB=dy见图
εx =
∂µ ∂x
εy =
∂υ ∂y
γ xy = α + β =
∂υ ∂µ + ∂x ∂y
几何方程(应变-位移关系) 又叫柯西方程
（1）平面应力问题:如梁，由于梁的厚度很小，而荷载 又都与Oxy平面平行，且沿z轴为均匀分布，因此可以认为沿 z轴方向的应力分量等于零。这种问题称为平面应力问题。
（2）平面变形问题:如一圆形隧洞的横截面。由于隧洞的 长度比直径大得多，而荷载又都与Oxy平面平行，且沿z轴为 均匀分布，因此可以认为，沿z轴方向的位移分量等于零。 这种问题称为平面变形问题。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、 应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹 性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论 等，都可以从三大基本规律推导出来。
弹性力学的基本假设
物体是连续的 物体是完全弹性的 物体是均匀的 物体是各向同性的 位移和形变是很小的 理想弹性体
σ = Dε
0 0 0 1− 2 ν 2(1 −ν )
ν 1 1 −ν 1 D= 对
1 −ν 1 −ν 1
ν
0 0 0 0 1− 2 ν 2(1 −ν )
ν
称
0 0 0 0 1− 2 ν 2(1 −ν ) 0