第四讲函数

第四讲 函数

一、函数的发展

运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。

函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16－17世纪才逐渐产生。 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数22

1gt S =。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出y x ,是变量的同时，还注意到y 依赖于x 而变化，这正是函数思想的萌芽。

牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的函数()()t y y t x x ==,。牛顿创立微积分的时候，用“流数”（Fluent ）一词表示变量间的关系。莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function ”一词。李善兰在《代微积拾级》一书中将Function 一词翻译为“函数”，并一直沿用至今。

函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。

1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。

1851年，黎曼定义：“我们假定Z 是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W 的一个值与之对应，则称W 是Z 的函数”。

1939年，布尔巴基学派的著作认为，若F E ,是两个集合，二者的笛卡儿积是指

(){}Y y X x y x ∈∈,|,。XY 中的任何子集S 称为y x ,之间的一种关系。如果关系F 满足：对于每一个X x ∈，都存在唯一的一个y ，使得()F y x ∈,，则称关系F 是一个函数。

这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。

在20世纪以前，中学数学的中心是方程。1908年，数学家F ·克莱因担任国际数学教育委员会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。

中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。

《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。

二、函数概念的三种定义

⒈函数概念的定义

定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数学家柯西）

定义2 在某变化过程中，有两个变量x 和y 。如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把y 称为x 的函数；x 称为自变量。（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出）

定义3 A 和B 是两个集合，如果按照某种对应关系，使A 的任何一个元素在B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A 到集合B 的函数。（19世纪70年代德国数学家康托）

定义4 从集合A 到集合B 的映射B A f →:称为从集合A 到集合B 的函数，简称为函数f 。（高等代数课程）

定义5 从集合A 到集合B 的函数f 是满足以下条件的从A 到B 的一个关系：

⑴()A f D =；⑵如果()f y x ∈,，并且()f z x ∈,，那么z y =。

函数f 记作B A f →:。

⒉函数概念的三种定义

⑴函数的变量说定义

一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，那么就说x 是自变量，y 是因变量，也称y 是x 的函数。

这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。

⑵函数的对应说定义

设A 为非空实数集，如果存在一个对应规律f ，对A 中每个元x 按照对应规律f ，存在R 中唯一的一个实数y 与之对应，则称对应规律f 是定义在A 上的函数，表为

R A f →:

这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本上就用这种定义。

目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。

⑶函数的关系说定义

设f 是集合X 与集合Y 的关系，即Y X f ⨯⊆。如果还满足()f y x f y x ∈∈),(,,2111，则21y y =，那么称f 是集合X 到集合Y 的函数。

函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。

然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。

上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。

⒊函数在中学数学中的重要作用

函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。

例如，

代数式1322-+a a ，可以看成是函数1322-+=x x y 在a x =时的值；

方程()0=x f 的根，可以看成是函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标；

不等式()0>x f 的解，可以看成是函数)(x f y =的图像上位于x 轴上方部分的点的横坐标集合；

等比数列Λ,8,4,2,1，可以看成是函数),3,2,1(2Λ==x y x

的另一种表示；等等。

函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如

证明：n n n n n n C C C C 2210=++++Λ ，只要令函数n n n n n n n x C x C x C C x y ++++=+=Λ2210)1(中的1=x 即可。

又如：已知b a >，那么，

b

a 11> 成立的充要条件是（ ）。 (A)0>>

b a (B)0<>0 (D)10<<

y 1=，此函数在区间()()+∞∞-,0,0,上都是减函数。易知，当条件A 、B 或D 之一成立时，均有b a 11< ，当且仅当C 成立时，有b a 11> 。所以选C 。 函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。

第四讲函数 家庭作业1

自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种分析其优缺点。