沪科版七年级上册数学：二元一次方程组(公开课课件)
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沪科版数学七年级上册3.3二元一次方程组
(1)2x+5y=10 (2)2x+y+z=1
(3)x2+y=20
(4)x2+2x+1=0
(5)2a+3b=5 (6)2x+10xy=0
议一议:
在上面的方程X+Y=8和5X+3Y=34中,X的含 义相同吗?Y呢?
X,Y的含义分别相同.因而X,Y必须同时满足方程 X+Y=8和5X+3Y=34.把它们联立起来,得:
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
二元一次方程组
小马:你还累？这么大的个，才比我多驮了2个。 老牛:哼!我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
解:设老牛驮了X个包裹,小马驮了Y个包裹.根 据题意得到方程: X-Y=2和X+1=2(Y-1)
例:暴风雨即将来临,一群蚂蚁正忙着搬家.其中有大
蚂蚁和小蚂蚁,已知大小蚂蚁总共有100只,小蚂蚁一 次只能搬一粒食物,大蚂蚁一次能搬两粒,一场忙碌过 后,洞里的160粒食物刚好一次被安全转移,求大小蚂 蚁各有几只? 解:设小蚂蚁有X只,大蚂蚁有Y只,根据题意得到方程:
X-Y=2X+1=2(Y-1).X+Y=100X+2Y=160.
X+Y=85X+3Y=34
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1
的方程~叫~~~做~~二~~~元~~~一次方程.
***************************
请判断下列各方程中，哪些是 二元一次方程，哪些不是？并 说明理由。
X+Y=8
5X+3y=34
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的
一组方程,叫做二元一次方程组.
(3)x2+y=20
(4)x2+2x+1=0
(5)2a+3b=5 (6)2x+10xy=0
议一议:
在上面的方程X+Y=8和5X+3Y=34中,X的含 义相同吗?Y呢?
X,Y的含义分别相同.因而X,Y必须同时满足方程 X+Y=8和5X+3Y=34.把它们联立起来,得:
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
二元一次方程组
小马:你还累？这么大的个，才比我多驮了2个。 老牛:哼!我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
解:设老牛驮了X个包裹,小马驮了Y个包裹.根 据题意得到方程: X-Y=2和X+1=2(Y-1)
例:暴风雨即将来临,一群蚂蚁正忙着搬家.其中有大
蚂蚁和小蚂蚁,已知大小蚂蚁总共有100只,小蚂蚁一 次只能搬一粒食物,大蚂蚁一次能搬两粒,一场忙碌过 后,洞里的160粒食物刚好一次被安全转移,求大小蚂 蚁各有几只? 解:设小蚂蚁有X只,大蚂蚁有Y只,根据题意得到方程:
X-Y=2X+1=2(Y-1).X+Y=100X+2Y=160.
X+Y=85X+3Y=34
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1
的方程~叫~~~做~~二~~~元~~~一次方程.
***************************
请判断下列各方程中，哪些是 二元一次方程，哪些不是？并 说明理由。
X+Y=8
5X+3y=34
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的
一组方程,叫做二元一次方程组.
最新沪科版七年级上3.31二元一次方程组及其解法—二元一次方程PPT课件
注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用大 括号来连接，表示“且”。
知识探究
例1、已知方程3xm+3-2y1-2n=0是一个二元一次方程，
则m= −2 , n= 0
.
7
例2、若 x 2Βιβλιοθήκη 是方程组 2 x y1 的解，则k= 2 .
y3
kx3 y2
例3、若 x a 是方程组 2x+y=0的解，则6a+3b+2= 2 . yb
题目解说：
2001年11月11日，在经过15的艰苦谈判后，我国终于完成了 加入世贸组织的所在法律程序，根据世贸组织的规定，在2001年 12月11日正式成为世贸组织成员。
2000年，在中国入世进入最后关键阶段的时候，作为中国首 席谈判代表的龙图和他的同事们在面临着某些西欧国家的蓄意阻 挠，还面临着国内一些不明事理的以讹传讹。对此，江泽民总书 记要求他们“要让全国大企业和各行各业了解什么是世贸组织，‘ 世’有什么利弊，以使全社会对‘入世’这样一个外交政治的重大 有深刻的认识”。为此龙永图主动召集新华社、中新社、中国日报 等重要媒体的记者，宣传有关于加入世贸组织的重要意义，本文 即龙永图与记者的一番谈话。
2x+y=60.
满足这个方程 的x、y的值有 哪些？什么关 系？
满足这个方程 的x、y的值又 有哪些？
显然这里的x，y既要满足树苗的总数关系，又要满 足购买树苗的总费用关系，也就是说它们必须同时 满足上面两个方程。
x y45
表示为： 2 x y 60
思考：这个 问题中的x,y 要满足什么 样的关系呢？
相关概念
二元一次方程组： 把两个二元一次方程结合在一起，就组成了二元一次方程组（确切的
说法是含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组 ，叫二元一次方 程组） 二元一次方程的解：
知识探究
例1、已知方程3xm+3-2y1-2n=0是一个二元一次方程，
则m= −2 , n= 0
.
7
例2、若 x 2Βιβλιοθήκη 是方程组 2 x y1 的解，则k= 2 .
y3
kx3 y2
例3、若 x a 是方程组 2x+y=0的解，则6a+3b+2= 2 . yb
题目解说：
2001年11月11日，在经过15的艰苦谈判后，我国终于完成了 加入世贸组织的所在法律程序，根据世贸组织的规定，在2001年 12月11日正式成为世贸组织成员。
2000年，在中国入世进入最后关键阶段的时候，作为中国首 席谈判代表的龙图和他的同事们在面临着某些西欧国家的蓄意阻 挠，还面临着国内一些不明事理的以讹传讹。对此，江泽民总书 记要求他们“要让全国大企业和各行各业了解什么是世贸组织，‘ 世’有什么利弊，以使全社会对‘入世’这样一个外交政治的重大 有深刻的认识”。为此龙永图主动召集新华社、中新社、中国日报 等重要媒体的记者，宣传有关于加入世贸组织的重要意义，本文 即龙永图与记者的一番谈话。
2x+y=60.
满足这个方程 的x、y的值有 哪些？什么关 系？
满足这个方程 的x、y的值又 有哪些？
显然这里的x，y既要满足树苗的总数关系，又要满 足购买树苗的总费用关系，也就是说它们必须同时 满足上面两个方程。
x y45
表示为： 2 x y 60
思考：这个 问题中的x,y 要满足什么 样的关系呢？
相关概念
二元一次方程组： 把两个二元一次方程结合在一起，就组成了二元一次方程组（确切的
说法是含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组 ，叫二元一次方 程组） 二元一次方程的解：
沪科版七年级数学上册二元一次方程组及其解法课件(共18张)
3x-2y=9 ②
解：
①×2，得：
4x＋6y=38
③
②×3，得：
9x－6y＝27 ④
加减法消元时,先 要把相同未知数的系数 化 把x＝5代入①，得：
y＝3 ∴原方程组的解是 x=5
y=3
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤：
(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等；
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
(2)
a 2b 3 a 3b 4
① ②
解：②-①， 得 b=1
把b＝ 1 代入①得 a+2×1=3
解得
a＝ 1
a 1 所以这个方程组的解是 b 1
例1、用加减法解二元一次方程组
利用相反数相加消去一个未知数
① 左边 +左边 ② = ①右边 + ② 右边
5x+6y +（5x-6y）=81 + 9
10x=90 把x=9代入① y=6
X=9，
｛5x ＋6y =81 ① 5x －6y =9 ②
再视察上面方程组中方程(1)与方程(2)，又可以发 现什么？
利用相同数相减消去一个未知数
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程的解 .
1、 用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知
解：
①×2，得：
4x＋6y=38
③
②×3，得：
9x－6y＝27 ④
加减法消元时,先 要把相同未知数的系数 化 把x＝5代入①，得：
y＝3 ∴原方程组的解是 x=5
y=3
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤：
(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等；
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
(2)
a 2b 3 a 3b 4
① ②
解：②-①， 得 b=1
把b＝ 1 代入①得 a+2×1=3
解得
a＝ 1
a 1 所以这个方程组的解是 b 1
例1、用加减法解二元一次方程组
利用相反数相加消去一个未知数
① 左边 +左边 ② = ①右边 + ② 右边
5x+6y +（5x-6y）=81 + 9
10x=90 把x=9代入① y=6
X=9，
｛5x ＋6y =81 ① 5x －6y =9 ②
再视察上面方程组中方程(1)与方程(2)，又可以发 现什么？
利用相同数相减消去一个未知数
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程的解 .
1、 用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知
数学沪科版七年级(上册)3.3二元一次方程组(共21张PPT)
3.3 二元一次方程组（1）
一切问题都可以转化为
数学问题，一切数学问题都
可以转化为代数问题，而一
切代数问题又都可以转化为
方程问题。因此，一旦掌握
了方程问题，一切问题便迎
刃而解。
法国著名的数学家·笛卡尔
—笛卡尔
动手操作 画一个周长为20cm的长方形，并标出它的
长与宽各是多少.
3.5cm 6.5cm
(4) 6x- 1 y=1；是； 2
(5) xy+y=7 ； 不是，最高项的次数为2；
1
(6) 2x+ y
=3 ；不是，方程左边的式子不是整式.
问题5：你能仿照一元一次方程的解给二元一次 方程的解下个定义吗？
使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的 值，叫做二元一次方程的解。
问题6：如何解二元一次方程？以x+y=10为例说明.
y
3z
5
不是
x 2
(3)
y
1
是
(4)
x
1 y
2
不是
x y 0
问题10：什么叫二元一次方程组的解呢？
使二元一次方程组中每个方程都成立的两 个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 这 个解就是它们的公共解。
练一练
的1解.判？断下列各对值是不是二元一次方程组2xx1
y
y
7
x 1
x 2
x 6 y 4 是x+y=10的一个yc解m。
xcm
问题7：你能说说一元一次方程和二元一次方程的 区别与联系吗?
区别
一元一次方程 含有一个未知
数，有唯一解
二元一次方程 含有两个未知
数,有无数个解
联系
一切问题都可以转化为
数学问题，一切数学问题都
可以转化为代数问题，而一
切代数问题又都可以转化为
方程问题。因此，一旦掌握
了方程问题，一切问题便迎
刃而解。
法国著名的数学家·笛卡尔
—笛卡尔
动手操作 画一个周长为20cm的长方形，并标出它的
长与宽各是多少.
3.5cm 6.5cm
(4) 6x- 1 y=1；是； 2
(5) xy+y=7 ； 不是，最高项的次数为2；
1
(6) 2x+ y
=3 ；不是，方程左边的式子不是整式.
问题5：你能仿照一元一次方程的解给二元一次 方程的解下个定义吗？
使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的 值，叫做二元一次方程的解。
问题6：如何解二元一次方程？以x+y=10为例说明.
y
3z
5
不是
x 2
(3)
y
1
是
(4)
x
1 y
2
不是
x y 0
问题10：什么叫二元一次方程组的解呢？
使二元一次方程组中每个方程都成立的两 个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 这 个解就是它们的公共解。
练一练
的1解.判？断下列各对值是不是二元一次方程组2xx1
y
y
7
x 1
x 2
x 6 y 4 是x+y=10的一个yc解m。
xcm
问题7：你能说说一元一次方程和二元一次方程的 区别与联系吗?
区别
一元一次方程 含有一个未知
数，有唯一解
二元一次方程 含有两个未知
数,有无数个解
联系
2024七年级数学上册第3章3.4二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程(组)课件新版沪科版
【解】小明发现的结论正确.
= + ，
理由：把ቊ
代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左
= +
边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，
所以左边＝右边，即小明发现的结论正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
返回
15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不
【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0，
解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程.
返回
1
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13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数
的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程
组，不必求解)
【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得
超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足
1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程
为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，
花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一
次方程组.
1
2
3
4
5
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【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每
返回
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= + ，
理由：把ቊ
代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左
= +
边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，
所以左边＝右边，即小明发现的结论正确.
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15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不
【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0，
解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程.
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13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数
的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程
组，不必求解)
【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得
超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足
1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程
为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，
花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一
次方程组.
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【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每
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上海沪科版初中数学七年级上册3.3 第2课时 用代入法解二元一次方程组ppt课件
2x+y 40 40 40 … 40 … 40
不难发现x=18,y=4既是 x+y=22的解，也是2x+y=40
的解，也就是说它是这两个方程的公共解，我们把
它们叫做方程组 x+y=22 的解. 2x+y=40
x=18 记作：
y=4
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未
知数的值，叫做二元一次方程组的解.
x y 22; 2x y 40.
昨天，我们8个 人去红山公园玩, 买门票花了34元
每张成人票 5 元， 每张儿童票 3 元，
问题2：他们到底去了几个 成人，几个儿童呢? 设他们中有x个成人,y个 儿童.根据题意得：
x y 8; 5x 3y 34.
讲授新课
一 二元一次方程（组）的解
合作探究
有哪些值满足方程x+y=22且符合问题的实际意义？
x 0 1 2 … 18 … 22
y 22 21 20 … 4 … 0
x+y 22 22 22 … 22 … 22
x+y=22
使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值,
叫做这个二元一次方程的一个解
x=2
通常记作： y=20
······
若不考虑实际意义你还能再找出几个方程的解吗？
x y 20, ① 2x y 35 ②
由①得
y=20-x . ③
将③代入②,得 2x+20-x=35 .
解得
x=15.
将
x=15代入③得y=5.则这个方程组的解是xy
15, 5
当堂练习
x y 4
1.二元一次方程组
x
y
2
的解是（
二元一次方程组的定义沪科版七年级数学ppt课件
举例
某班有男生和女生共50人， 男生的3倍比女生多10人， 求男生和女生各多少人？
PART 05
总结与回顾
REPORTING
WENKU DESIGN
本节课的重点与难点
重点
理解二元一次方程组的定义，掌 握解二元一次方程组的方法。
难点
如何将实际问题抽象为数学模型 ，以及如何求解复杂的二元一次 方程组。
二元一次方程组的定 义沪科版七年级数学 ppt课件
REPORTING
https://
• 引言 • 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 实例解析 • 总结与回顾
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
数学的重 要内容之一，是解决实际问题的 重要工具之一。
复杂二元一次方程组
方程组形式
含有多个未知数和多个方程的二元一次方程组
求解方法
高斯消元法、矩阵法等
举例
$begin{cases}3x + 2y = 5 4x - y = 7end{cases}$
应用题中的二元一次方程组
01
02
03
应用场景
实际问题中涉及两个未知 数的问题
解题步骤
建立方程组、求解方程组、 检验解的合理性
代入法的步骤包括：首先选择一个方程中的一个未知数，用另一个未知 数表示出来，然后将其代入另一个方程中，解出其中一个未知数，最后 将解出的未知数代回原方程中求出另一个未知数。
代入法适用于方程组中有一个未知数系数的方程是另一个未知数系数的 倍数的情况。
消元法
消元法是通过消去一个未知数来解二元 一次方程组的一种方法。
在平面直角坐标系中，二元一次方程 组可以表示为两条直线的交点。
2024年沪科版七年级数学上册 3.4 第1课时 二元一次方程与二元一次方程组(课件)
能否设两个未知数解决？
1 二元一次方程组的定义
探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
(1) 找出，上述趣题中的等量关系： (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
(2) 若设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量 关系列出两个方程吗？
(4) 2x2 - x + 1 = 0 ；(5)2(x + y) - 3(x - y) = 1；(6)2x + 5 = 10.
答：(1)是；(2)不是，y 出现在分母中；(3)不是，是
二元二次方程；(4) x 的最高次数是 2，不是1；(5)是；
(6)不是，是一元一次方程.
2. 若 x2m1 y 0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m = 1 .
总结 判断要点：
①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知
数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0.
典例精析
例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元 一次方程，则 m＋n ＝___0__．
| m |＝1
|m－1|≠0 2n－1 ＝ 1
m ＝ －1
n＝1
m＋n ＝0
练一练
1. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程， 则 m =__1__，n =__1__.
2m - 1 = 1 ∠m1 ==∠12 3n - 2m = 1
n=1
知识要点
如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？
x＋y＝35 4x＋2y＝94
两个等量关系需要 同时成立.
3. 根据题意及题中给出的未知数，列二元一次方程组.
1 二元一次方程组的定义
探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
(1) 找出，上述趣题中的等量关系： (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
(2) 若设兔有 x 只，鸡有 y 只，你能根据两个等量 关系列出两个方程吗？
(4) 2x2 - x + 1 = 0 ；(5)2(x + y) - 3(x - y) = 1；(6)2x + 5 = 10.
答：(1)是；(2)不是，y 出现在分母中；(3)不是，是
二元二次方程；(4) x 的最高次数是 2，不是1；(5)是；
(6)不是，是一元一次方程.
2. 若 x2m1 y 0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m = 1 .
总结 判断要点：
①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知
数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0.
典例精析
例2 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元 一次方程，则 m＋n ＝___0__．
| m |＝1
|m－1|≠0 2n－1 ＝ 1
m ＝ －1
n＝1
m＋n ＝0
练一练
1. 若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程， 则 m =__1__，n =__1__.
2m - 1 = 1 ∠m1 ==∠12 3n - 2m = 1
n=1
知识要点
如何解决上述“鸡兔同笼”问题呢？
x＋y＝35 4x＋2y＝94
两个等量关系需要 同时成立.
3. 根据题意及题中给出的未知数，列二元一次方程组.
数学沪科七年级上册3.3 二元一次方程组及其解法【课件】 (共22张PPT)
将第一个方程中的 x用 2y+6 表示，再代入第二个方程，得到一个关于 y
的一元一次方程.
问题：这个方程组的两个方程中未知数前的系数有什么特征？还有什么方法
能将方程组转化为一个一元二元一次方程组.
问题：这个方程组的两个方程中未知数前的系数有什么特征？还有什么方法
二元一次方程组．
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 3. 代入消元法解二元一次方程组的步骤： ①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式； ②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解；
③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 4. 加减消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形，使某个未知数的系数相等或互为相反数； ②加减消元；
③解一元一次方程；
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
巩固练习
巩固练习
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1. 二元一次方程的概念： 含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念： 方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程组，叫做
做代入消元法，简称代入法．
问题：你能总结一下代入消元法解二元一次方程组的步骤吗？
①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形
式； ②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解； ③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.
探究新知 4. 利用加减消元法解二元一次方程组.
… …
22 23
24
25
… …
y
…
…
12.5 12 11.5 11
最新沪科版七年级数学上3.3二元一次方程与二元一次方程组ppt公开课优质课件
解：
10 x 12 y, (1) 12( x 1) y.
1 x y 10, (2) 5 x y 6.
x y 12 3, (3) 3x y 19.
课堂小结
含有
两个
未知数.
二 元 一 次 方 程 组
二元一次方程
（45-x)棵，花了（45-x)·1元.买树苗一共花了60元. 依据题意，得
解方程 得
2x+(45-x)·1=60.
x=15.45-x=30
答：樟树苗买了15棵，杨树苗买了30棵.
问题2：如果设两个未知数x,y,你能列出几个独立的方程？
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，根据两种树苗总数为
45棵，得
联立在一起的几个方程，称为方程组； 有两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组叫做二 元一次方程组.
注意
1.二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个，所含 未知数项的最高次数是“1”，这里要特别注意项的次 数． 2.二元一次方程组中，两个方程都是一次的，方程组 中含有两个未知数.
练一练
1.判断下面哪些方程是二元一次方程.
（1）设有x节车厢，y吨货物，若每节车厢装10吨，则
还剩下12吨未装下，若每节车厢装12吨，则还剩下一 节车厢. 1 （2）甲数与乙数之差为6，且甲数比乙数的 大10， 5 设甲数为x,乙数为y.
（3）足球比赛中胜场积3分，平场积1分，负场积0分. 中天队第12轮比赛战罢，输了3场，共积19分.设其胜 了x场，平了y场.
x y 4, A. xy 3. 1 1 x y 6, 2 3 C. 2 x 1 y 4. 2 3
x z 2, B. 2 x 3 y 7.
3.4二元一次方程组及其解法(第2课时代入消元法)(课件)-七年级数学上册(沪科版2024)
2
4
(2)根据(1)中的数据写出方程组的解.
【解】
＝ − ，
= .
10. [新考法 情境辨析法法]甲、乙两人共同解关于 x ， y 的方程组
+ = ，①
解完以后有下面一段对话，请认真阅读对
− ＝ − ，②
话内容，然后求出 a2 025＋
−
的值.
=
即笼中有鸡23只，兔子12只.
概念归纳
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，
叫作二元一次方程组的解.
上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就
是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化
成解一元一次方程.
从一个方程中求出某一个未知数的表达式， 再把
它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作
b 2.
分层练习-基础
知识点1
二元一次方程组的解
＋ = ，
1. 方程组
的解是( A
− ＝ −
= ，
A.
=
C.
= ，
=
)
＝ − ，
B.
＝ −
D.
= ，
＝ −
+ = ，
2. 已知 x ， y 满足的方程组是
则 x ＋ y 的值为 5
解得 a ＝ .
分层练习-拓展
12. [新考法 整体代入法]阅读材料：善于思考的小军在解方程组
− = ，①
时，采用了一种“整体代换”的解法.
− = ②
解：将方程②变形，得6 x －4 y － y ＝7，即2(3 x －2 y )－ y ＝7.③
七年级数学上册3.3解二元一次方程组(第1课时)课件(新
y = 22 - x 2x + (2y2-x) =40
尝试发现、探究新知
第一站——发现之旅
解这个方程组除了用代入法，
x y 22 ① 2x y 40 ②
还有别的方法吗？
探讨：如果用②－①看能不能消去y，之后
能得到怎样的等式？
x y 22 2x y 40
x 3
y
2
学习了本节课你有哪些收获？
加减消元法解方程组基本思想是什么？ 前提条件是什么？
基本思想: 加减消元: 二元
一元
前提条件：同一未知数的系数互为相反数或相同
系数互为相反数
相加
系数相同
相减
作业： P104 练习（1）、（3）、（4）
基本思想: 二元
消元 转化
一元
3、用代入法解方程组的步骤是一什元么？
主要步骤：
变形
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
代入
消去一个元
求解 分别求出两个未知数的值
检验 写解
把两个未知数的值代入原方程组 写出方程组的解
温故而知新：三
4 、 之前我们用什么方法解过下面这个方程组？
x y 22 ① 2x y 40 ②
把这两个方程中的两边分别相减,
消去这个未知数
解方程组:
x y 22 ① 2x y 40 ②
解： ②﹣①，得
(2x y) (x y) 40 22
x 18
把x 18代入 ①得
18 y 22
y4
∴经检验：
x y
18 4
是原方程组的解。
①
二元
②
通
由“两个等式的左边之和（差）=右边之和（差）”过
尝试发现、探究新知
第一站——发现之旅
解这个方程组除了用代入法，
x y 22 ① 2x y 40 ②
还有别的方法吗？
探讨：如果用②－①看能不能消去y，之后
能得到怎样的等式？
x y 22 2x y 40
x 3
y
2
学习了本节课你有哪些收获？
加减消元法解方程组基本思想是什么？ 前提条件是什么？
基本思想: 加减消元: 二元
一元
前提条件：同一未知数的系数互为相反数或相同
系数互为相反数
相加
系数相同
相减
作业： P104 练习（1）、（3）、（4）
基本思想: 二元
消元 转化
一元
3、用代入法解方程组的步骤是一什元么？
主要步骤：
变形
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
代入
消去一个元
求解 分别求出两个未知数的值
检验 写解
把两个未知数的值代入原方程组 写出方程组的解
温故而知新：三
4 、 之前我们用什么方法解过下面这个方程组？
x y 22 ① 2x y 40 ②
把这两个方程中的两边分别相减,
消去这个未知数
解方程组:
x y 22 ① 2x y 40 ②
解： ②﹣①，得
(2x y) (x y) 40 22
x 18
把x 18代入 ①得
18 y 22
y4
∴经检验：
x y
18 4
是原方程组的解。
①
二元
②
通
由“两个等式的左边之和（差）=右边之和（差）”过
沪科版七年级数学上册同步教学3.3.1.1二元一次方程与二元一次方程组 (课件)
两个， 樟树的棵数、白杨树的棵数 思考：2、列一元一次方程能解吗？ 解：设樟树苗买了 x 棵，则白杨树苗买了 (45–x) 棵. 根据题意，得
2x+(45－x)=60
解得 x=15 45-x= 45-15 =30 (棵) 答：樟树苗买了 15 棵，白杨树苗买了 30 棵.
问题 1 某班同学在植树节时植樟树和白杨树共 45 棵.已知樟树 苗每棵 2 元，白杨树苗每棵 1 元，购买这些树苗用了 60 元，问 樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
概念学习 含有两个未知数， 并且所含未知数的项的次数都是
1 的 整式方程， 叫做 二元一次方程.
关于 x，y 的二元一次方程的一般形式为 ax+by=c (其中 a≠0，b≠0，c为任意数)
对应练习
1、判断下列各式是不是二元一次方程.
× (1) x+3=6
× (2) xy=3
× (3) x2+y=20
x＋y＝20
的解，也是
x
=3y
的解， 也就是说
是这两个方程的公共解， 我们把这个公共解叫做这个 二元一次 概念学习 方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做
二元一次方程组的解.
对应练习
C 1、下列不是二元一次方程 2x+y=6 的解得是( )
x＝-2 A.
y＝10
x＝1 B.
× × √ x+y=1
(1) y-z=0
xy=-2 (2)
x+y=1
x=2 (3)
y=1
× x y 3,
(4)
1
x
1 y
3. 2
√ x=y+11
(5) x2-2x=y+x2
2x+(45－x)=60
解得 x=15 45-x= 45-15 =30 (棵) 答：樟树苗买了 15 棵，白杨树苗买了 30 棵.
问题 1 某班同学在植树节时植樟树和白杨树共 45 棵.已知樟树 苗每棵 2 元，白杨树苗每棵 1 元，购买这些树苗用了 60 元，问 樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
概念学习 含有两个未知数， 并且所含未知数的项的次数都是
1 的 整式方程， 叫做 二元一次方程.
关于 x，y 的二元一次方程的一般形式为 ax+by=c (其中 a≠0，b≠0，c为任意数)
对应练习
1、判断下列各式是不是二元一次方程.
× (1) x+3=6
× (2) xy=3
× (3) x2+y=20
x＋y＝20
的解，也是
x
=3y
的解， 也就是说
是这两个方程的公共解， 我们把这个公共解叫做这个 二元一次 概念学习 方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做
二元一次方程组的解.
对应练习
C 1、下列不是二元一次方程 2x+y=6 的解得是( )
x＝-2 A.
y＝10
x＝1 B.
× × √ x+y=1
(1) y-z=0
xy=-2 (2)
x+y=1
x=2 (3)
y=1
× x y 3,
(4)
1
x
1 y
3. 2
√ x=y+11
(5) x2-2x=y+x2
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2.请小组讨论，并在卡片上写出一 个二元一次方程组。
94
35
解：设鸡有x只，兔有y只，则
x+y+35 ① 2x+4y=94 ②
小组合作探究，交流完成
1. 根据题意，列出二元一次方程组：
（1）小华买了60分和80分的邮票共10枚，
花了7元2角，那么，60分和80分的邮票各买
了多少枚？
解：设60分的邮票买了x枚， 80分
2.如果 x a 1 5y 100 是二元一次 方程，求a的值。
归纳总结二：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
像这样由两个一次方程组成的含 有两个未知数的方程组叫做二元一次 方程组
思考： 二元一次方程组中的每个方程都必须
是二元一次方程吗？
1.下列方程组中, 是二元一次方程组的是（ ）B。.
由两个一次方程组成的含有两个未知 数的方程组叫做二元一次方程组。
③根据题意列出二元一次方程组
作业
P99 练习 第 2题 请你根据生活中的某一事例， 编拟一道数学问题并列出方程组。
无目的读书是散步而不是 学习。
———— 胡适
1 次数都是 的整式方程，叫做二元一
次方程。
挑战自我（抢答环节，看谁回答得又快又好！）
1.判断题：下列方程是二元一次方程的打 ，不是 打。
1.x+y+2z=6 （ ） 2. 3x²-2y²=10 （ ）
3. xy+4y-5y=9 （ ）
x2 5. 3 + y =1 （ ）
4. x=7y
（）
6. 3x+5=x-2y （ ）
男生vs女生
比一比，看谁能快速找出一元一 次方程 。
1、认识二元一次方程（组）、 理解二元一次方程（组）的 含义。
2、能分析实际问题中蕴含的 数量关系，列出二元一次方 程组。
问题1.某班同学在植树节时植樟 树和白杨树共45棵，已知樟树苗 每棵2元，白杨树苗每棵1元,购买 这些树苗用了60元，问樟树、白 杨树各买了多少棵？
的邮票买了y枚，根据题意，得：
x+y=10
①
60x+80y=720 ②
小组合作探究，交流完成
（2）甲、乙两人共植树138课，甲 所植的树比乙所植的树的 2 多8棵，
3 试问甲乙两人各植树多少棵？
①二元一次方程概念
方程中含有两个未知数，并且未知数的项 次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
②二元一次方程组概念
归纳总结一：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
观察上面两个方程是否为一元一次方程？ 这两个方程有什么共同特点？
特点：1.未知数有几个？ 2个 2.每个未知数的项最高次
数是几次？ 1次 3.等号两边都是 整式 。
归纳总结一：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
2 像这样，含有 个未知数，未知数的
回顾旧知，解决新知
列方程解实Байду номын сангаас问题的一般步骤： 1.弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x,y）表
示问题里的未知数；
2.分析题意，找出相等关系（可借助于示意 图、表格）； 3.根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程； 4.解这个方程，求出未知数的值； 5.检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出
x 2y 1, A. y z 3
x 5, B. x y 4
x 7y 3, C. xy 2
2x 3y 11,
D.
x
3
2
y
2
2请些1..方方你特说点程程一？组组说（中有二互共2元相个有一讨一次论2个方一次程下不整组）同式有的方哪未程知；数;
3.一般用大括号把两个方程连起来。
合作探究（看看哪个小组做最快）：
答案（包括单位名称）。
奇数小组完成（1），偶数小组完成（2）
（1）你能列出怎样的一元一次方程？
解：设樟树x棵，则白杨树的棵数 (45–x)棵，根据题意，
得：
2x+(45－x)=60
（2）如果设两个未知数x,y，你能列出几个独立
的方程？
解：设樟树苗x棵，白杨树苗y棵，根据题意，得：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
94
35
解：设鸡有x只，兔有y只，则
x+y+35 ① 2x+4y=94 ②
小组合作探究，交流完成
1. 根据题意，列出二元一次方程组：
（1）小华买了60分和80分的邮票共10枚，
花了7元2角，那么，60分和80分的邮票各买
了多少枚？
解：设60分的邮票买了x枚， 80分
2.如果 x a 1 5y 100 是二元一次 方程，求a的值。
归纳总结二：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
像这样由两个一次方程组成的含 有两个未知数的方程组叫做二元一次 方程组
思考： 二元一次方程组中的每个方程都必须
是二元一次方程吗？
1.下列方程组中, 是二元一次方程组的是（ ）B。.
由两个一次方程组成的含有两个未知 数的方程组叫做二元一次方程组。
③根据题意列出二元一次方程组
作业
P99 练习 第 2题 请你根据生活中的某一事例， 编拟一道数学问题并列出方程组。
无目的读书是散步而不是 学习。
———— 胡适
1 次数都是 的整式方程，叫做二元一
次方程。
挑战自我（抢答环节，看谁回答得又快又好！）
1.判断题：下列方程是二元一次方程的打 ，不是 打。
1.x+y+2z=6 （ ） 2. 3x²-2y²=10 （ ）
3. xy+4y-5y=9 （ ）
x2 5. 3 + y =1 （ ）
4. x=7y
（）
6. 3x+5=x-2y （ ）
男生vs女生
比一比，看谁能快速找出一元一 次方程 。
1、认识二元一次方程（组）、 理解二元一次方程（组）的 含义。
2、能分析实际问题中蕴含的 数量关系，列出二元一次方 程组。
问题1.某班同学在植树节时植樟 树和白杨树共45棵，已知樟树苗 每棵2元，白杨树苗每棵1元,购买 这些树苗用了60元，问樟树、白 杨树各买了多少棵？
的邮票买了y枚，根据题意，得：
x+y=10
①
60x+80y=720 ②
小组合作探究，交流完成
（2）甲、乙两人共植树138课，甲 所植的树比乙所植的树的 2 多8棵，
3 试问甲乙两人各植树多少棵？
①二元一次方程概念
方程中含有两个未知数，并且未知数的项 次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
②二元一次方程组概念
归纳总结一：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
观察上面两个方程是否为一元一次方程？ 这两个方程有什么共同特点？
特点：1.未知数有几个？ 2个 2.每个未知数的项最高次
数是几次？ 1次 3.等号两边都是 整式 。
归纳总结一：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
2 像这样，含有 个未知数，未知数的
回顾旧知，解决新知
列方程解实Байду номын сангаас问题的一般步骤： 1.弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x,y）表
示问题里的未知数；
2.分析题意，找出相等关系（可借助于示意 图、表格）； 3.根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程； 4.解这个方程，求出未知数的值； 5.检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出
x 2y 1, A. y z 3
x 5, B. x y 4
x 7y 3, C. xy 2
2x 3y 11,
D.
x
3
2
y
2
2请些1..方方你特说点程程一？组组说（中有二互共2元相个有一讨一次论2个方一次程下不整组）同式有的方哪未程知；数;
3.一般用大括号把两个方程连起来。
合作探究（看看哪个小组做最快）：
答案（包括单位名称）。
奇数小组完成（1），偶数小组完成（2）
（1）你能列出怎样的一元一次方程？
解：设樟树x棵，则白杨树的棵数 (45–x)棵，根据题意，
得：
2x+(45－x)=60
（2）如果设两个未知数x,y，你能列出几个独立
的方程？
解：设樟树苗x棵，白杨树苗y棵，根据题意，得：
x+y=45 ① 2x+y=60 ②