§3-3 静定拱受力分析
结构力学的拱的受力与挠度分析解析
结构力学的拱的受力与挠度分析解析结构力学是一个研究物体在外力作用下的力学性质的学科，拱是一种重要的结构形式。
在本文中，我们将探讨拱的受力与挠度的分析解析。
一、拱的基本概念和受力特点拱是由一定数量的弧形构件组成的结构体系，具有以下几个基本概念和受力特点：1. 拱脚：拱脚指的是拱的两个支点或固定端。
2. 拱顶：拱顶是拱的上部中点，也是受力最大的位置。
3. 拱轴线：拱轴线是拱的中心线，通过拱顶、拱脚和拱的几何形状。
4. 受力特点：拱的受力特点是主要由轴力和弯矩组成，其中轴力负责承受垂直于拱轴线的力，而弯矩则负责承受沿拱轴线的力。
二、受力分析解析对于一个静定拱，其受力分析可以通过以下几个步骤来实现：1. 选择合适的坐标系：根据拱的几何形状和受力情况，选择合适的坐标系，通常选择拱轴线作为x轴，垂直于拱轴线的方向作为y轴。
2. 建立平衡方程：根据受力平衡条件，建立拱在x和y方向上的平衡方程，考虑到拱的对称性，通常只需要考虑一半的力学模型。
3. 解析受力分布：通过求解平衡方程，可以得到拱轴线上的轴力和弯矩的分布情况，这对于进一步分析拱结构的受力特点非常重要。
4. 弹性分析：对于非静定的拱结构，需要进行弹性分析，考虑拱的材料性质和几何形状等因素，通过弹性力学理论，可以计算出拱的挠度和变形情况。
三、挠度分析解析拱的挠度分析是结构力学中一个重要的问题，可以通过以下几个方法进行解析：1. 弦索法：弦索法是一种常用的解析方法，根据拱的轴线、支点位置和受力条件，假设拱为一根从支点悬挂的弦或悬链。
通过求解拉力分布和挠度方程，可以得到拱的挠度情况。
2. 力学方程法：利用弯曲方程和力学平衡条件建立拱的挠度方程，再通过求解微分方程，可以得到拱的挠度函数和挠度分布。
3. 有限差分法：有限差分法是一种数值解法，将拱的轴线划分为若干个小段，通过差分近似的方式离散挠度方程，再通过迭代计算，得到拱的挠度分布。
这些方法并非穷尽拱的受力与挠度分析解析的所有途径，但是对于常见拱结构而言，它们是非常有效的工具。
静定结构内力分析-3静定拱
采用描点法绘制内力图
四、三铰拱的合理拱轴线
M M 0 FH y(x) 0
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称 为与该荷载对应的合理拱轴。
M 0 (x) y(x)
FH
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵坐标 与相应简支梁弯矩图的竖标 成比例。
第二章 静定结构受力分析
§2-3 三铰拱受力分析
一.概述 1.拱的定义
P
0
曲梁
拱—杆轴线为曲线，在竖向荷载作用
下会产生水平推力的结构。
P
2P /3 l/3
2l/3
2P /3 l/3
2l/3
2 Pl 9
M图
P
2 Pl
M图
9
拱
2.拱的受力特点
M图
三铰拱
两铰拱
无铰拱
三铰拱
带拉杆三铰拱
例 已知三铰拱的高度为f，跨度为l，试求在满跨竖向 均布荷载作用下的合理拱轴，荷载分布集度为q 。
解： M 0 (x) 1 q(lx x2 )
2
FH
ql 2 8f
q y
C f
A
Bx
y(x) M 0 (x) FH
4f l2
(lx x2 )
l/2
l/2
A
q
B
ql x
ql
2
2
FAx
1 f
M
0 C
FBx
FAx
FH
1 f
M
0 C
三. 三铰拱的内力计算
y
P1 D C φ
P2
y FH A
第3章静定结构受力分析三铰拱
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
003★结构力学A上★第三章★静定结构的受力分析-刚架桁架组合结构及拱.ppt资料
5m 6 30m B1 A
43
5m
D 2C
100kN 100kN 100kN 100kN 100kN
FR左 250kN
FR右 250kN
37
38
39
1
FN 1
40
③ 联合应用——适于复杂桁架或截面上未知 多于3根时的内力计算问题
FP
FP
FP
FP
FP
FNEC 1.789kN
FNCD 1.86 sin 0.985 sin 1.789 cos 0
FNCD 0.839kN
18
§3-5 静定平面桁架的内力
31
由多根直杆组成
铰结点相联
荷载作用于结点上
钢筋混凝土组合屋架
19
武汉长江大桥采用的桁架形式
20
21
y
yx
MM0
0
x
HH
56
yx M0x
H
例：试求图示三铰拱的合理拱轴线。
q
y
C
A
x
0.5l
0.5l
q
H
M
0 C
ql 2
f 8f
f
B M 0 x 1 qlx 1 qx2
22
y x
4f l2
xl x
57
§3-7 组合结构
13
由桁架杆件和受弯杆件组成。
K
C FNK K
M xK , yK K FQK
FQK FNf K
FQ0K cosK H sinK FQ0K sinK H cosK
A
第3章 静定结构的受力分析
θ qlcosθ
qlsinθ
θ A (qlcosθ)/2
B (qlcosθ)/2
【例3.5】求图示简支斜梁的内力图。
解：（1） 求A、B截面剪力和轴力
q
MA 0
ql2 cos
FQBA 2 l
1 ql cos
2
s
qlcosθ r
FNAB A
θ FQAB
ql θ
l/cosθ
l
B FQBA
Fr 0
7
4
4
4
16)
1 8
136
17kN ()
Fy 0 FyF (8 4 4 17) 7kN()
（2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值
已知 MA＝0， MF＝0。
取右图AC段为隔离体：
MC 0
MC 8117 2 0 MC 34 8 26kN.m(下拉)
8kN
A 1m
17kN
MC C
五、斜梁受力分析
以下图示斜梁为例进行讨论。 q B
FxA=0 A FyA=ql/2
x
ql FyB=ql/2 l tgθ
C
θ
θ
qlcosθ
qlsinθ
l
1.求支座反力
2.求任一截面C的MC、FQC、FNC
取右图AC段为隔离体：
q
MC Aθ
ql/2 x
s C FNC
FQC r
(qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2
从几何组成上，静定多跨梁由两部分组成，即基本部 分和附属部分。组成的次序是先基本后附属，见下图。
A
B
C
D
B A
基本部分
附属部分1 C 附属部分2 D
结构力学静定拱
28
§3-4 静定拱
合理拱轴线 小结： ➢ 三铰拱在不同的荷载作用下，具有不用的合理拱轴线。 ➢ 如果某三铰拱要承受多种不同荷载作用，在设计中，通 常以主要荷载作用下的合理拱轴作为三铰拱的轴线。
29
§3-4 静定拱
拱的内力特征
➢ 1.三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有关，而且 与各铰间拱轴线的形状有关。
➢ 2.由于水平推力的存在，使得拱截面上的弯矩比跨度、荷 载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。
➢ 3.由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能 良好而抗拉性能较差的材料来建造。
➢ 主要缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构（墙、柱、墩、台等）。
P P
拉杆
拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
7
§3-4 静定拱
三铰拱的构造
拱趾
拱顶 起拱线 拱高 f
跨度
拱轴线 拱趾
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 拱高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
m 1
➢ 填土荷载作用下，拱的合理轴线为悬链线。
25
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
试求图示三铰拱在垂直于拱轴的均布荷载作用下的合理拱轴线。
分析：非竖向荷载作
用，不能应用内力计算 式。
假定拱处于无弯 矩状态，根据平衡条件 推求合理拱轴线的方程。
q
C
A
l/2
f
B
l/2
26
§3-4 静定拱
径向均匀荷载
取出一微段为隔离体，设微段两端横截面上弯矩、剪力均为 零，而只有轴力N和N＋dN。
第三章静定结构的受力分析PPT课件
A
点、集中力偶作用点、分布荷载作用点的起点 FQA
和终点等）为控制界面
MA
⑵ 在两控制截面弯矩值作出的虚线上，
叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。
A
七、简易法作内力图
q
l
q l2 8
MB B
FQB
MB B
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值或利用积分关系定值。
基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
剪力 — 截面上应力沿杆轴法线方 向的合力, 使杆微段有顺时针方向转动 趋势的为正，画剪力图要注明正负号。
M
M
二、计算截面内力的截面法
弯矩 — 截面上应力对截面形心的 力矩之和。在水平杆件中，当弯矩使杆 件下部受拉时，弯矩为正。弯矩图画在 杆件受拉一侧，不注符号。
⑴ 先求支座反力（悬臂结构除外）
⑵ 将拟求内力的截面断开，选取外力少的部分作隔离体受力图。
m 2
2、力偶作用点 M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变； F Q 图没有变化。
五、内力图形状特征
l
ql 2
ql 2
q 8
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸； F Q 图为斜直线，荷载向 下直线由左向右下斜
7
1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有 集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结 点无 m 作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用，该端弯矩为零。
第3章静定结构的受力分析
M0
1 2 ql 8
弯矩图的叠加指纵坐标的叠加， 不是图形的简单拼合。
任意直段杆的弯矩图：以(a)中的AB端为例，其隔离体如图(b)。
与图(c)中的简支梁相比， 显然二者的弯矩图相同。
因此：作任意直杆段弯矩图
就归结为作相应简支 梁的弯矩图。 AB段的弯矩图如图(d)。
M0 1 2 ql 8
§3-5 静定平面桁架
武汉长江大桥
1
桁架的特点和组成 由杆件组成的格构体系， 荷载作用在结点上， 各杆内力主要为轴力。
钢筋混凝土组合屋架
优点：重量轻，受力合理，能承受较大荷载，可作成较大 跨度。
武汉长江大桥采用的桁架形式
第3 章
静定结构的内力分析
§3-1 杆件内力计算 §3-2 静定梁 §3-3 静定刚架 §3-4 三铰拱 §3-5 静定桁架 §3-6 静定结构的内力分析和受力特点
第3章 静定结构的内力分析
本章讨论静定结构。 内容：静定结构的内力分析。 静定结构分析的要点： 1、如何选择“好的”隔离体； 2、怎样建立比较简单而又恰当的平衡方程， 计算最为简捷。
FQB FQA q y dx xA xB M B M A FQ dx xA
xB
积分关系的几何意义： B端的剪力=A端的剪力-该段荷载qy图的面积
B端的弯矩=A端的弯矩+此段剪力图的面积
5. 分段叠加法作弯矩图
图(a)结构荷载有两部分： 跨间荷载q和端部力偶MA、MB 端部力偶单独作用时，弯 矩图为直线，如图(b): 跨间荷载q单独作用时，弯 矩图如图(c): 总弯矩图为图(b)基础上叠加图 (c)，如图(d):
FQ >0 F <0 增函数 降函数 Q 自左向右折角 斜直线 曲线
第三章 静定结构受力分析-三铰拱
F N FQ
sin FH cos
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
M
0 Fy B 1 12 (100 3 20 6 9) 115 kN
A
FY
P2
B
FY 0
A
FQ 0
0 K
K
P1 A a1 FY
0 A
K
M
K
K
M
0 K
FH y
C b1
B FQ FQ cos FH sin
F N FQ
K 0 K
sin FH cos
a2
b2 FY
0 B
§3-3
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有 关。
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零； ②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱 ③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； ④水平推力与拱高成反比。
y P 1
A
2、内力计算
K
C
P2
B
FQ
P1
FX
B
M
K
K
x
y f l/2 x l/2 l
FN
P1
0 K
K
FX
A
FX
FY
M
A
A
FY
§3-3
三铰拱
§3-3
一、拱式结构的特点及应用 1、拱的定义
三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载
3静定结构的受力分析-三铰拱结构力学
1 结构力学多媒体课件一、拱式结构的特征 1、拱与曲梁的区别拱式结构：指的是杆轴线是曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）的结构。
FABH A ＝0 FABH A ＝0 三铰拱F PF P曲梁H≠0H≠0是否产生水平推力，是拱与梁的基本区别。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱桥 （无铰拱）超静定拱 世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥) 万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥 灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”、“渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：三峡工程对外交通专用公路下牢溪大桥（上承式钢管混凝土拱桥，主跨：160米 ，建成时间：1997）2、拱的类型三铰拱两铰拱无铰拱拉杆拱静 定 拱超 静 定 拱3、拱的优缺点a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。
同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大4、拱的各部分名称lf 高跨比 BACf拱顶拱轴线拱高 f拱趾 起拱线跨度 l 平拱斜拱二、三铰拱的计算 1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBAfF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3B M =∑0Pi iYA YAFbF FL ==∑0A M =∑0Pi iYB YBF a F FL==∑取左半跨为隔离体：CM=∑()()01111212YA P P CH F L F L a F L a M F ff⨯----==F HF H1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBA fF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。
静定结构的受力分析
(4) 校核。
静定结构的受力分析 3.1 梁的内力计算的回顾
3.1.5 举例 例1
2020-11-4-00:18
解： (1) 求出结构的支座反力
Fx 0 M B 0 FRA 8 40 4 20 6 1 0
FxA 0 FRA 35kN()
M A 0 FRB 8 40 4 20 6 7 0 FRB 125kN()
Chapter 3 静定结构的受力分析
3.1 梁的内力计算的回顾 3.2 静定多跨梁 3.3 静定平面刚架和 3.4 静定空间刚架 3.5 静定平面桁架和 3.6 静定空间桁架 3.7 静定组合结构 3.8 三铰拱 3.9 小结
3.1 梁的内力计算的回顾
3.1.1 截面的内力分量及其正负号规定 3.1.2 荷载与内力之间的关系 3.1.3 分段叠加法作弯矩图 3.1.4 作内力图的步骤 3.1.5 举例
静定结构的受力分析 3.1 梁的内力计算的回顾
例1：
2020-11-4-00:18
解：
(1) 求反力 Fx 0
FxA 0
MB 0
M A 0 FRB 30kN()
(2) 求C截面的内力
Fx 0
FNLC 0
Fy 0 FQLC 30kN
MC 0
M
L C
90kNm
FRA 30kN()
(3) 根据比例画出剪力图和弯矩图，弯矩图一般规定画在受拉一 侧；
(4) 内力必须要标注有数值、正负号（剪力图）、名称等。
静定结构的受力分析 3.1 梁的内力计算的回顾 2020-11-4-00:18
例2
解
(1) 求出结构的支座反力
Fx 0
FxA 0
M B 0 FRA 6 3 3 1 6 3 6 0 FRA 2.5kN()
最新结构力学龙驭球第3章静定结构的受力分析语文ppt课件
练习：画出该梁的内力图
130KN 1m 1m 2m
4m
M图
130
340
140
210
280
130
FQ图
30
310KN 2m
160
120 40
190
第3章 静定结构受力分析
第3章 静定结构受力分析
§3-2 静定多跨梁
计算简图
计算简图 支撑关系
第3章 静定结构受力分析
第3章 静定结构受力分析
1）静定多跨梁的组成 由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的
弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号。
第3章 静定结构受力分析
2. 截面法：将杆件在指定截面切开，取其中一部 分为隔离体，利用平衡条件，确定此截面的三 个内力分量。
注意：取隔离体后，未知力一般假设为正方向
轴力=截面一边的所有外力沿杆轴线方向的投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。
集中力 偶m作 用处
铰 处
剪力图 水平线 斜直线
有突变
(突变值=FP)
无变化
无 影 响
一般 弯矩图 为斜
直线
抛物线 下凸
有尖角 (向下）
有突变 （突变 为零 值=m）
用分段叠加法画弯矩图
简支梁的弯矩图 必须熟记
▲ 简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力作 用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作 用下的弯矩图
第3章 静定结构受力分析
静定结构
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的相反
第三章静定结构受力分析三铰拱
第三章静定结构受力分析三铰拱三铰拱是指拱脚处设置了三个支座，可以在三个方向（横向、纵向和垂直）上无约束移动。
在受力分析中，三铰拱是一个非常重要的结构。
本文将对三铰拱的受力分析进行详细介绍。
三铰拱的受力分析首先需要了解其受力形式。
三铰拱受力主要包括水平向力和垂直向力。
水平向力主要来自于拱腹对拱脚的水平压力，而垂直向力主要来自于拱腹对拱脚的垂直压力。
在分析中，我们需要计算拱脚处的支座反力和弯矩大小。
首先，我们考虑横向受力平衡。
根据平衡条件，拱脚处的水平向力和法线向力之和为零。
即：∑Fx=0∑Fy=0其中，∑Fx表示水平向力的总和，∑Fy表示垂直向力的总和。
在接下来的分析中，我们假设拱脚处三个支座的反力分别为F1、F2和F3、由于三铰拱的支座可以自由移动，在计算反力时需要考虑拱腹对支座的约束力。
接下来，我们考虑拱腹对支座的约束力。
根据平衡条件，拱腹受到的约束力可以通过对整个拱腹的受力分析来得到。
我们将拱腹切割成多个小段，每个小段的受力可以看做静定问题。
对于每个小段，我们可以分别计算其水平向力和垂直向力。
在计算过程中需要注意，由于拱脚处的支座反力的未知，我们需要通过整个拱腹的受力平衡来解算这些未知。
最后，我们通过将每个小段的受力结果进行积分，得到拱脚处支座反力的大小和作用点位置。
在进行受力分析时，还需要考虑拱腹的几何特征，如拱的形状、拱腹曲线的方程等。
这些特征对于计算拱脚处的支座反力非常重要。
总的来说，三铰拱的受力分析是一个复杂而重要的过程。
通过考虑拱腹对支座的约束力，我们可以计算得到拱脚处支座反力的大小和作用点位置。
这些结果对于设计和分析三铰拱结构非常有帮助。
【毕业论文】静定拱的受力分析
静定拱的受力分析仪21 马骥驰（020818）拱是在竖向载荷作用下产生水平推力（指向拱内的水平支座反力）的曲杆结构。
它被广泛应用于廊道，桥梁，屋顶等工程建设中，是一种重要的承重结构形式。
下面以对称三铰拱受竖向载荷为例，分析静定拱的受力，并讨论其在房屋及桥梁设计中的应用。
三铰拱是由两根曲杆及地基之间按三刚片规则组成的静定结构，如图所示。
A,B 为拱脚， 为拱高， 为拱的跨度。
1．反力在理论力学课程中，我们已学习过三铰拱的支座约束力的计算方法，考虑拱ACB 的整体平衡：0)(00=--⇒=⎰dx x l l l xA B q Y M （1） X X F q X Y M q Y M AB x l x A AC lx B A dx x l f l dx x l =⇒==---⇒==-⇒=⎰⎰00)2(20002/00 （2）2．内力设拱轴方程为y=f(x),拱上任意点K(x,y)（不妨设K 点在AC 杆上），切取K 点左侧部分分析（如图）：f ldt t x x y dx dx xt A A k A x x A n N A x x A q Y X M Y q X N F Y q XN F ⎰⎰⎰-+-==-++⇒==--+⇒=000)(0sin )(sin 00sin )(cos 0ϕϕϕϕττ 其中ϕ值可由dx dy =ϕtan 计算。
3．拱与梁的比较拱与梁最基本的区别是：在竖向载荷作用下，水平推力的有无。
为了便于比较梁与拱的受力特性，我们考虑具有相同跨度，受相同载荷的梁的受力，分析方法与拱类似。
反力：000)(000=-⇒==--⇒=⎰⎰dx x l dx x l l l x B A l xA B q N M q N M内力：x dt t x N q M A xt k --=⎰00)( 比较可得，N Y N Y B B A A ==,拱在K 点的弯矩：y X M M A k k -=0由此可见，由于拱有水平推力X A 的存在，拱的弯矩比同跨度同载荷梁的弯矩要小得多，这使拱成为一个以受压为主或近似单纯受压的结构，这样就可以充分利用抗拉强度低，抗压强度高的廉价建筑材料（如砖，石，混凝土等）。
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(拱、隔离体法、虚位移法)
特点： 杆件都是二力杆；
分类：简单桁架、联合桁架、复杂桁架；
简单桁架 联合桁架 复杂桁架
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9
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回顾
桁架
内力计算：结点法、截面法、联合法；
结点法：结点为隔离体，2个平衡方程，适用于简单桁架； 截面法：隔离体包含两个以上几点，非交汇力系，3个平衡方程； 联合法：结点法和截面法的结合应用；
三铰拱受力分析
内力计算: K点
⑴ 弯矩 MK = MK 0 - FH y 拱的弯矩等于等代梁相应截面 的弯矩再减去推力引起的弯矩 ⑵ 截面力分量 Fx = - FH - Fy = FVA - F1 - F2 = FQK0 ⑶ 剪力和轴力 FQ = FQK0 cosθ - FH sinθ FN = - FQK0 sinθ - FH cosθ
FHA FHB FH 1 FH f l l l F F a F a yA 1 1 2 2 2 2 2
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FV0 A
a1 a2 a3
FVB
0
等代梁
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三铰拱
y F F K A x l/ 2 FVA x l/ 2 FVB C f B FHB F
A
三铰拱
F1 F2 K C F3 B
同跨度、同荷载的简支梁。 其反力、内力记为
0 0 0 0 M F FV F 、 、 、 VB A S
FV0 A
a1 a2 a3
FVB
0
等代梁
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三铰拱
y F F K A F HA x l/ 2 FVA x l/ 2 FVB C f B FHB F
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（6）描点法绘制内力图
FH
y
A
C 4m
4kN
x
4m 4m 4m 4m
B
FH FBy
FAy
四、三铰拱的合理拱轴线
M M FH y( x) 0
0
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称 为与该荷载对应的合理拱轴。
M 0 ( x) y ( x) FH
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线的纵坐 标与相应简支梁弯矩图的竖标成比例。
Q ( FAy P 1 )cos F Hsin
N ( FAy P 1 )sin F H cos
0 Q0 FAy P 1
M F xP 1 ( x a1 )
0 0 Ay
M M 0 FH y
Q Q0cos FHsin
N Q0sin FHcos
（2）求各分点 y, φ，cosφ,sinφ。
FH FAy y
A 4m C 4m
x
4m 4m 4m
B
FH FBy
B
0 FBy
1kN/m
4kN
dy 4f tan 2 (l 2 x) dx l
FAy
0
A
C
（3）求简支梁各分点截面的弯矩和剪力。
FAy x qx2 / 2 0 x 8 M 0 FBy (l x) 8 x(12 x) 8 x 12 F (l x) 12 x 16 By FAy qx 0 x8 0 FQ FAy 16 8 x 12 F 16 8 12 x 16 Ay
x
第3章 静定结构受力分析
§3-3 三铰拱受力分析
一.概述
1.拱的定义
P
拱—杆轴线为曲线，在竖向荷载作用 下会产生水平推力的结构。
P
0
曲梁
l/3 2l/3
2P /3
2P /3
M图
l/3
2l/3
2 Pl 9
P
2 Pl 9
M图
拱
2.拱的受力特点
P
P
M图
M图
M图
3.拱的分类
三铰拱
两铰拱
无铰拱
三铰拱
带拉杆三铰拱
（4）求水平推力
FH M 6kN f
φ
0 0.9375 1.75 2.4375 3 3.4375 3.75 3.9375 4 0.785398 0.71883 0.643501 0.558599 0.463648 0.358771 0.244979 0.124355 0 cosφ 0.707107 0.752577 0.8 0.847998 0.894427 0.936329 0.970143 0.992278 1 sinφ 0.707107 0.658505 0.6 0.529999 0.447214 0.351123 0.242536 0.124035 0
K
y
4m
K
4m
x
4m 4m
8kN
B
FH FBy
B
0 FBy
2kN/m
0
tan K 0.5
K 26.565
cos K 0.894
A
K
C
sin K 0.447
FAy
0 MK MK FH yK 40kN m 12kN 3m=4kN m
0 QK QK cos K FH sin K 6kN 0.894 12kN 0.447=0 0 NK QK sin K FH cosK 6kN 0.447 12kN FH FAy
M0 0 6.5 12 16.5 20 22.5 24 24.5 24 Q0 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
C A 4m 4m
4kN
x
4m
M 0 0.875 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0
B 4m
N -9.19239 -8.46649 -7.8 -7.20799 -6.7082 -6.32022 -6.06339 -5.95367 -6
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为 （3）求三铰拱K截面弯矩、 解： 剪力、轴力
dy 4f tan 2 (l 2 x) dx l
2kN/m
4f y 2 (lx x 2 ) l
K
C 8kN
y
A 4m
4 4m 2 FH yK [16m 4m (4m) ] 3m (16m) 2 FAy
-0.12435
-0.24498 -0.35877 -0.46365 -0.46365 -0.5586 -0.6435 -0.71883 -0.7854
0.992278
0.970143 0.936329 0.894427 0.894427 0.847998 0.8 0.752577 0.707107
例 已知三铰拱的高度为f，跨度为l，试求在满跨竖向 均布荷载作用下的合理拱轴，荷载分布集度为q 。
1 解： M ( x) q(lx x 2 ) 2
0
q y A l/2
A
ql 2
ql FH 8f
2
C
f l/2
q
B
x
M 0 ( x) y ( x) FH
B
ql 2
4f 2 (lx x 2 ) l
-0.12403
-0.24254 -0.35112 -0.44721 -0.44721 -0.53 -0.6 -0.6585 -0.70711
23
22 21 20 20 15 10 5 0
-1
-1 -1 -1 -5 -5 -5 -5 -5
-0.625
-0.5 0.375 2 2 0.375 -0.5 -0.625 0
FH FBy
（5）求各分点内力
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y
4m
Q 0.707107 0.564433 0.4 0.212 0 -0.23408 -0.48507 -0.74421 -1
9
10 11 12 12 13 14 15 16
3.9375
3.75 3.4375 3 3 2.4375 1.75 0.9375 0
二.三铰拱支座反力计算
P1 FAx A FAy A FAy
0
C f
P2 B l/2 P2 FBy B FBx
0 FAy FAy
0 FBy FBy
l/2 P1 a1 C a2
在竖向荷载作用下 竖向反力与简支梁相同
a3
0 FBy
P1 FAx A FAy A FAy
0
C f
P2 B l/2 P2 FBy B FBx
-0.24807
0.485071 1.170411 1.788854 -1.78885 -1.06 -0.4 0.188144 0.707107
-6.0777
-6.06339 -5.9691 -5.81378 -7.60263 -7.73798 -7.8 -7.80798 -7.77817
1kN/m
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为 解： （1）求简支梁的支座反力、 C截面弯矩、K截面弯矩和剪力
F 14kN( )
0 Ay
4f y 2 (lx x 2 ) l
K
C 8kN
2kN/m
y
A
K
y
4m
K
4m
FH FAy
x
4m
2kN/m
B 4m
8kN
FH FBy
B
0 FBy
4m
0 FBy 10kN( )
M 48kN m
0 C 0 MK 40kN m
FAy
0
A
K
C
0 FQ K 6kN
（2）求三铰拱支座反力
0 FAy FAy 14kN 0 FBy FBy 10kN 0 FH MC / f 48kN m/4m=12kN
三铰拱的内力图
----采用描点法绘制内力图
M M FH y
0
Q Q0cos FHsin
N Q0sin FHcos
1kN/m 4kN
例 作图示三铰拱的内力图。已知：跨度l=16m，拱高f=4m，
4f 2 y ( lx x ) 拱轴方程为 2 l
（1）沿跨度16等分，得等分点。 解：
K
y
4m
K
4m
x
4m 4m
8kN
B
FH FBy
B
0 FBy
2kN/m
0
tan K 0.5
K 26.565
cos K 0.894
A
K
C
sin K 0.447
FAy
0 MK MK FH yK 40kN m 12kN 3m=4kN m
0 QK QK cos K FH sin K 6kN 0.894 12kN 0.447=0 0 NK QK sin K FH cosK 6kN 0.447 12kN 0.894= 13.41kN
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为 （3）求三铰拱K截面弯矩、 解： 剪力、轴力
dy 4f tan 2 (l 2 x) dx l
2kN/m
4f y 2 (lx x 2 ) l
K
C 8kN