§3-3 静定拱受力分析

三铰拱的内力图
----采用描点法绘制内力图
M M FH y
0
Q Q0cos FHsin
N Q0sin FHcos
1kN/m 4kN
例 作图示三铰拱的内力图。已知：跨度l=16m，拱高f=4m，
4f 2 y ( lx x ) 拱轴方程为 2 l
（1）沿跨度16等分，得等分点。 解：
（4）求水平推力
FH M 6kN f
φ
0 0.9375 1.75 2.4375 3 3.4375 3.75 3.9375 4 0.785398 0.71883 0.643501 0.558599 0.463648 0.358771 0.244979 0.124355 0 cosφ 0.707107 0.752577 0.8 0.847998 0.894427 0.936329 0.970143 0.992278 1 sinφ 0.707107 0.658505 0.6 0.529999 0.447214 0.351123 0.242536 0.124035 0
（2）求各分点 y, φ，cosφ,sinφ。
FH FAy y
A 4m C 4m
x
4m 4m 4m
B
FH FBy
B
0 FBy
1kN/m
4kN
dy 4f tan 2 (l 2 x) dx l
FAy
0
A
C
（3）求简支梁各分点截面的弯矩和剪力。
FAy x qx2 / 2 0 x 8 M 0 FBy (l x) 8 x(12 x) 8 x 12 F (l x) 12 x 16 By FAy qx 0 x8 0 FQ FAy 16 8 x 12 F 16 8 12 x 16 Ay
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为 （3）求三铰拱K截面弯矩、 解： 剪力、轴力
dy 4f tan 2 (l 2 x) dx l
2kN/m
4f y 2 (lx x 2 ) l
K
C 8kN
y
A 4m
4 4m 2 FH yK [16m 4m (4m) ] 3m (16m) 2 FAy
0 C
1kN/m
y FH FAy
M0 0 6.5 12 16.5 20 22.5 24 24.5 24 Q0 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
C A 4m 4m
4kN
x
4m
M 0 0.875 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0
B 4m
N -9.19239 -8.46649 -7.8 -7.20799 -6.7082 -6.32022 -6.06339 -5.95367 -6
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为 （3）求三铰拱K截面弯矩、 解： 剪力、轴力
dy 4f tan 2 (l 2 x) dx l
2kN/m
4f y 2 (lx x 2 ) l
K
C 8kN
y
A 4m
4 4m 2 FH yK [16m 4m (4m) ] 3m (16m) 2 FAy
-0.24807
0.485071 1.170411 1.788854 -1.78885 -1.06 -0.4 0.188144 0.707107
-6.0777
-6.06339 -5.9691 -5.81378 -7.60263 -7.73798 -7.8 -7.80798 -7.77817
1kN/m
x
FAx A FAy A
0
P1
C
l/2 P1 a1 C a2
l/2 P1 a1
C
0 MC
a3
FBy
FAy
0
l l FAy P 水平反力与拱轴线 1 ( a1 ) FAx f 0 2 2 形状无关.荷载与跨度一 1 l l FAx [ FAy P 定时，水平推力与矢高 1 ( a1 )] f 2 2 成反比。 l l 0 0 MC FAy P ( a1 ) 1 2 2 1 0 1 0 FAx M C FBx FAx FH M C f f
FH FBy
（5）求各分点内力
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y
4m
Q 0.707107 0.564433 0.4 0.212 0 -0.23408 -0.48507 -0.74421 -1
9
10 11 12 12 13 14 15 16
3.9375
3.75 3.4375 3 3 2.4375 1.75 0.9375 0
K
y
4m
K
4m
x
4m 4m
8kN
B
FH FBy
B
0 FBy
2kN/m
0
tan K 0.5
K 26.565
cos K 0.894
A
K
C
sin K 0.447
FAy
0 MK MK FH yK 40kN m 12kN 3m=4kN m
0 QK QK cos K FH sin K 6kN 0.894 12kN 0.447=0 0 NK QK sin K FH cosK 6kN 0.447 12kN 0.894= 13.41kN
三. 三铰拱的内力计算
y FH FAy A FAy
0
P1 D x A y
C
φ
P2 x B FBy P2 B FBy
0
P1
M
f l
FH
FH A FAy A FAy
0
φ D Q
N
P1 a1
D C
P1 a1 D
M0 Q0
FAy x FH y P 1 ( x a1 ) M 0
M FAy x FH y P 1 ( x a1 )
第3章 静定结构受力分析
§3-3 三铰拱受力分析
一.概述
1.拱的定义
P
拱—杆轴线为曲线，在竖向荷载作用 下会产生水平推力的结构。
P
0
曲梁
l/3 2l/3
2P /3
2P /3
M图
l/3
2l/3
2 Pl 9
P
2 Pl 9
M图
拱
2.拱的受力特点
P
P
M图
M图
M图
3.拱的分类
三铰拱
两铰拱
无铰拱
三铰拱
带拉杆三铰拱
二.三铰拱支座反力计算
P1 FAx A FAy A FAy
0
C f
P2 B l/2 P2 FBy B FBx
0 FAy FAy
0 FBy FBy
l/2 P1 a1 C a2
在竖向荷载作用下 竖向反力与简支梁相同
a3
0 FBy
P1 FAx A FAy A FAy
0
C f
P2 B l/2 P2 FBy B FBx
Q ( FAy P 1 )cos F Hsin
N ( FAy P 1 )sin F H cos
0 Q0 FAy P 1
M F xP 1 ( x a1 )
0 0 Ay
M M 0 FH y
Q Q0cos FHsin
N Q0sin FHcos
例 求图示三铰拱的支座反力及K截面的弯矩、剪力和轴力。
已知：跨度l=16m，拱高f=4m，拱轴方程为 解： （1）求简支梁的支座反力、 C截面弯矩、K截面弯矩和剪力
F 14kN( )
0 Ay
4f y 2 (lx x 2 ) l
K
C 8kN
2kN/m
y
A
K
y
4m
K
4m
FH FAy
x
-0.12403
-0.24254 -0.35112 -0.44721 -0.44721 -0.53 -0.6 -0.6585 -0.70711
23
22 21 20 20 15 10 5 0
-1
-1 -1 -1 -5 -5 -5 -5 -5
-0.625
-0.5 0.375 2 2 0.375 -0.5 -0.625 0
4m
2kN/m
B 4m
8kN
FH FBy
B
0 FBy
4m
0 FBy 10kN( )
M 48kN m
0 C 0 MK 40kN m
FAy
0
A
K
C
0 FQ K 6kN
（2）求三铰拱支座反力
0 FAy FAy 14kN 0 FBy FBy 10kN 0 FH MC / f 48kN m/4m=12kN
K
y
4m
K
4m
x
4m 4m
8kN
B
FH FBy
B
0 FBy
2kN/m
0
tan K 0.5
K 26.565
cos K 0.894
A
K
C
sin K 0.447
FAy
0 MK MK FH yK 40kN m 12kN 3m=4kN m
0 QK QK cos K FH sin K 6kN 0.894 12kN 0.447=0 0 NK QK sin K FH cosK 6kN 0.447 12kN 0.894= 13.41kN
例 已知三铰拱的高度为f，跨度为l，试求在满跨竖向 均布荷载作用下的合理拱轴，荷载分布集度为q 。
1 解： M ( x) q(lx x 2 ) 2
0
q y A l/2
A
ql 2
ql FH 8f
2
C
Baidu Nhomakorabeaf l/2
q
B
x
M 0 ( x) y ( x) FH
B
ql 2
4f 2 (lx x 2 ) l
（6）描点法绘制内力图
FH
y
A
C 4m
4kN
x
4m 4m 4m 4m
B
FH FBy
FAy
四、三铰拱的合理拱轴线
M M FH y( x) 0
0
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称 为与该荷载对应的合理拱轴。
M 0 ( x) y ( x) FH
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线的纵坐 标与相应简支梁弯矩图的竖标成比例。
-0.12435
-0.24498 -0.35877 -0.46365 -0.46365 -0.5586 -0.6435 -0.71883 -0.7854
0.992278
0.970143 0.936329 0.894427 0.894427 0.847998 0.8 0.752577 0.707107