《线性代数(一)》2011年下半年第一次
全国自考线性代数(经管类)试题及答案2011年4月.
全国2011年4月高等教育自学考试线性代数(经管类试题课程代码:04184说明:A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列等式中,正确的是(A .B .3=C .5D .2.下列矩阵中,是初等矩阵的为(A .B .C .D .3.设A 、B 均为n 阶可逆矩阵,且C =,则C -1是(A .B .C .D .4.设A 为3阶矩阵,A 的秩r (A =3,则矩阵A *的秩r (A *=(A .0B .1C .2D .35.设向量,若有常数a ,b 使,则(A .a =-1, b =-2B .a =-1, b =2C .a =1, b =-2D .a =1, b =26.向量组的极大线性无关组为(A .B .C .D .7.设矩阵A =,那么矩阵A 的列向量组的秩为(A .3B .2C .1D .08.设是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于(A .B .C .D .9.设矩阵A =,则A 的对应于特征值的特征向量为(A .(0,0,0TB .(0,2,-1TC .(1,0,-1TD .(0,1,1T10.二次型2221213212,,(x x x x x x x f +-=的矩阵为(A .B .C .D .二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式__________.12.行列式2235001011110403--中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 13.设矩阵A =,B =(1,2,3,则BA =__________.14.设3阶方阵A 的行列式|A |=21,则|A 3|=__________. 15.设A ,B 为n 阶方阵,且AB =E ,A -1B =B -1A =E ,则A 2+B 2=__________.16.已知3维向量=(1,-3,3,(1,0,-1则+3=__________.17.设向量=(1,2,3,4,则的单位化向量为__________.18.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0,且A 的秩为n -1,则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________.19.设3阶矩阵A 与B 相似,若A 的特征值为41,31,21,则行列式|B -1|=__________. 20.设A =是正定矩阵,则a 的取值范围为__________.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分21.已知矩阵A =,B =,求:(1A T B ;(2|A T B |.22.设A =,B =,C =,且满足AXB =C ,求矩阵X .23.求向量组=(1, 2, 1, 0T ,=(1, 1, 1, 2T ,=(3, 4, 3, 4T ,=(4, 5, 6, 4T 的秩与一个极大线性无关组.24.判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=-+-1542421343143214321x x x x x x x x x x x 是否有解,有解时求出它的解.25.已知2阶矩阵A 的特征值为=1,=9,对应的特征向量依次为=(-1,1T , =(7,1T ,求矩阵A .26.已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=,求行列式|A -E |的值.四、证明题(本大题共6分27.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵.证明:(1AB -BA 为对称矩阵;(2AB +BA 为反对称矩阵.。
2011考研数学1线性代数教材上要学习的任务和课后题
第二章
2.5小时
第3章第1节
n维向量及其线性相关性
n维向量的概念，n维实向量空间Rn的定义
向量的加法、数乘运算及其运算规则
向量的线性组合和线性表示的定义
向量组的线性相关、线性无关的定义
向量组线性相关性判定的几个定理
第3章习题
1,3,5,8,9,10,11★
26,27,28,29
25
3小时
第6章
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法，总结归纳单元测试题中错题的知识点、题型
《考研数学学习进程监控习题汇编》线性代数部分
第五章
4
3(2)(3)
1．了解 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．
2．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．
3．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．
4．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．
第4章第2节
Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵
内积的定义和运算性质
2．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．
4．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．
第3章第5节
非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
非齐次线性方程组有解的几个等价命题（定理3.15）和推论
非齐次线性方程组的解的性质
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．
3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．
第6章第2节
化二次型为标准形
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
Mqfiul2011年考研数学线性代数打印资料
|||生活|一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..|-----郭敬明线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。
我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。
阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。
换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。
线性代数1a
0 a2 0
22
线性代数
第一章 n阶行列式
第二节 n阶行列式的性质
定理1.2 对任意 n 阶行列式 D ，总可以经过若干次行倍加运算 化为上三角行列式，也可以经过若干次列倍加运算化为上三 角行列式． 例8 证明 r s 阶准上三角行列式的结果。
a11 a1r a r1 a rr D 0 0 0 0 c11 c1s c r1 b11
a11 as1 as' 1 an1 a12 a1n ' as 2 as' 2 asb asn an 2 ann
a11 as1 an1
a12
a1n
a11
a12
a1n
as 2 asn as' 1 an1 an 2 ann
a12 a11 a22 a21 , x2 a12 a11 a22 a21
b1 b2 a12 a22
线性代数
第一章 n阶行列式
第一节 n阶行列式的定义
定义1.2 九个数排成三行三列的方形数表，加上记号“| |”， 表示一个三阶行列式：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x1
b1a22 b2 a12 b a b a , x2 2 11 1 21 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
4
线性代数
第一章 n阶行列式
第一节 n阶行列式的定义
定义1.1 四个数排成二行二列的方形数表，加上记号“| |”， 表示一个二阶行列式 a11 a12 ，其值为 a11a22 a12a21 ，即 a21 a22
的值也可同理求得。
兰大《线性代数》一
线性代数一一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设行列式|1212k 0110|，则k 的取值为（ C ）A. -1B.0C. 2D. 12.设k 为不为零的实数，则k ×|1234|=（ B ） A.|1k 234| B.|1k 2k 34| C.|1k 2k 3k 4| D.|1k 2k 3k 4k|3.设矩阵A=[-1 2]，B=[1 -1]T ，则AB=（ D ）A. 1B. -3C. [-2]D. [-3]4.对任意n 阶方阵A 、B ，总有（B ）A. AB=BAB.|AB|=|BA|C. (AB)T =A T B TD. |A T |=-|A|5.矩阵A=[143286012] 的秩为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知A 是三阶矩阵，则|-2A|=（C ）A. -2|A|B. -6|A|C. -8|A|D. 6|A|7.当k=（ B ）时，方程组{kx1+x2+x3=02x1+x2+x3=0x1−x2+3x3=0有非零解A. 1B. 2C. 3D. -18.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，1，0，则|A+E|=（ B ）A. 3B. 6C. 9D. 129.若A 和B 相似，则下列说法错误的为（ B ）A. A 与B 等价B. A 与B 合同C. |A|=|B|D. A 与B 有相同的特征值10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，3，0，则（ A ）A. A 正定B. A 半正定C. A 负定D. A 半正定二、填空题（每空2分，共10分）1. |311131113|=（ 45 ）2. A= [23−1312]，B=[−12342−1]，A-B=（ [31−4−1−13] ）3. 设向量（2,4,-1）与（-2，k,1）线性相关，则k=（ -4 ）4. 设矩阵A=[101210010]，已知α=[121]是A 的一个特征向量，则α所对应的特征值为（2）5矩阵A=[10202020−3]所对应的二次型X T AX=（ x 2+2y 2-3z 2+4xz）三、简答题（每小题10分，共40分）1.通过对线性代数的学习，请谈谈对矩阵和行列式的理解。
2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案 - 副本
2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩.一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列18.设A 为3阶矩阵，且|A |=6，若A 的一个特征值为2，则A *必有一个特征值为_________. 19.二次型f 123(,,)x x x =2221233x x x -+的正惯性指数为_________.20.二次型f 123(,,)x x x =22212323224x x x x x --+经正交变换可化为标准形______________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D =3512453312012034---- 22.设A =130210002-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式A+X=XA ,求X. 23.设234αβγγγ，，，，均为4维列向量，A =（234αγγγ，，，）和B =（234βγγγ，，，）为4阶方阵.若行列式|A |=4，|B |=1，求行列式|A+B |的值.24.已知向量组1α=(1,2,-1,1)T ,2α=(2,0,t ,0)T ,3α=(0,-4,5,-2)T ,4α=(3,-2,t+4,-1)T （其中t 为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.25.求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解..（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26.已知向量1=α(1,1,1)T ，求向量23αα，,使123ααα，，两两正交.四、证明题（本题6分）27.设A 为m ⨯n 实矩阵，A T A 为正定矩阵.证明：线性方程组A x =0只有零解.全国2012年1月自考 《线性代数(经管类)》试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
《线性代数》第1章习题详解
一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列 （4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－ （2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－ （3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？ 解 因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解 （1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明 （1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。
线性代数(1)
(除1之外)
4前面比4大的数有n 2个
2(n 1)前面比2(n 1)大的数有1个 : 2n 1 •
(除1,3之外)
(135 (2n 1)246 2n) 1 (n 1) (n 2) 2 1 0 n(n 1) 2
例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列 解:由定义:i,j只能取6,8两个数 当i=6 τ
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a12 a23 a13a22 a31 a23a32 a11 a12 a21a33
（展开式）
对角线展开法则：主对角线的元素乘积之 和减去次对角线元素乘积之和
注意：1.对角线法则只适用二阶、三
阶行列式。 2.展开式的每一项都是由不同 的行，不同的列的元素相乘而得的。 3.符号规律：主对角线方向为 正，次对角线方向为负。换个说法， 当行标按自然数排列排好后，列标为 偶排列取正号，列标为奇排列取负号。
为奇数时，称为奇排列
( j1 j2 jn )
公式
=kn+kn-1+…+k2
其中kn是第k个数前面比它大的数的个
数。 注意：由定义可知，一个n元排列的逆 序数的计算方法：先算出jn前面比jn大 的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
(行标按自然排列)
τ
(52143)=2+1+2+1=6
∴选(D)
例7
下列各项，哪些是五阶行列式
a11 a 21 a 51 a12 a 22 a 52 a15 a 25 a 55
的项？若是，决定该项的符号： （1）a13a25a32a41a54 （2）a31a12a43a52a24 （3）a43a21a35a12a54 （4）a21a42a53a14a25 解：（2），（4）不是五阶行列式的项 而（1），（3）是五阶行列式的项 （1）的符号为正号，（3）的符号为负号
(0343)《线性代数》网上作业题及答案
（0343）《线性代数》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]行列式部分主观题参考答案：主观题答案2：[单选题]8.已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于A:5B:-10C:-15参考答案：C主观题答案3：[单选题]7.行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：A:29B:-29C:0参考答案：B主观题答案4：[单选题]6.排列3721456的逆序数是：A:6B:7C:8参考答案：C主观题答案5：[单选题]5.行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：A:k=3B:k=1C:k=3或k=1参考答案：C主观题答案6：[单选题]3.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：A:4B:2C:5参考答案：C主观题答案7：[单选题]4.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：A:9B:-1C:1参考答案：B主观题答案8：[单选题]2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11B:7C:3参考答案：A主观题答案9：[单选题]1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是:A:-1B:1C:7参考答案：B1.参考答案：《周易》对中国古代数学发展的影响主要表现在以下三个方面:第一，易数在各领域的广泛应用和发展；第二，《周易》对中国古代数学家知识结构的影响；第三，《周易》对中国古代数学思维方式的影响。
2011年自考线性代数真题
全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T表示矩阵A 的转置，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ）A.32 B.1 C.2D.382.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ）A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 =（ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡96642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2011年考研数学线性代数考点分析-姜亚健
2011年考研数学线性代数考题特点分析万学教育·海文考研---姜亚健2011年考研已经落下帷幕，对考研数学线性代数的解析也已初步完成，想必参加考试的同学对自己的成绩都非常的关心，而计划2012年参加考研的考生则更关心今年考试的难度、考点等一些试卷的概况。
下面就今年线性代数的概况做一下分析：首先从整体上来看一下今年的线代试题。
应该可以这么说，线性代数在数一、数二和数三中的考试内容基本一致，2011年的考题中除了客观题目有一点区别，两个大的计算题是完全一样的。
事实上，2011年线性代数数一、数二和数三的考研大纲也是基本一致的，唯一不同的是数一多要求了一个向量空间。
今年的考研线代题给我们的整体感觉是计算量不大，难度也不大。
线性代数具有这样一个特点，它的各个章节彼此联系，这样的特点反应到考研中就是出题人极容易出一题多点的题，事实上今年的考研线代题出题人也是这样出的。
线性代数是一个整体，所以考生们在复习的时候一定要注意了，要将各个知识点联系起来理解，只有这样才能将线性代数复习考。
下面我们来说说两个大题，数一、数三就是第20、21题，数二是22、23题。
首先来看第一个线性代数的大题。
这是一个有关线性表出的题，这个题不难，如果我没有记错的话，海文的VIP讲义上面有类似的题，那个题我们是作为基础题来讲解的，我想对于认真听讲的学生做这个题是绝对没有问题的，因为今年考得这个题比我们在讲义上讲的那个题还要简单。
本题主要考查的是线性表出与线性方程组之间的关系，线性表出问题转化为方程组的求解问题。
第一问可以根据以方程组无解的条件求得，也可以通过方阵的秩或者行列式求解，这也是本题比海文VIP讲义上的例题简单的一个原因，有多种解法。
下面我们来看一下后面那个大题，这个题考查实对称矩阵的相似对角化的基本知识点。
其实这个题也很简单，-1，1这两个特征值及其他门对应的特征向量的求解比较简单，要说称的上这个题的难点的是那个0特征值的特征向量的求解。
线性代数第一次作业
学号：______________ 班级：______________ 姓名：______________第1次作业一. 填空题1、排列25431的逆序数为 7 ，为 奇 （奇偶）排列；2、排列217986354的逆序数为 18 为 偶 （奇偶）排列；3、行列式4253-= 22 ；4、设a,b 为实数，则当a= 0 ,b= 0 时10100---a b ba=0。
二、选择题1、若44535231a a a a a j i 是五阶行列式中带有正号的一项，则i ，j 的值为：（ C ） （A ）i=1，j=3； (B) i=2，j=3； (C) i=1，j=2； (D) i=2，j=1。
2、下列各项中为某五阶行列式中带有正号的项是：（ D ） （A ）5541324413a a a a a ； （B ）；5415413221a a a a a （C ）5214432531a a a a a ； （D ）5344223115a a a a a 。
三、利用对角线法则计算下列行列式：1、ba b a ab a --+2； 2、412153231-；解：)()2)((b a a b a b a D ---+= 解：1*3*22*1*34*)5(*1++-=D222b ab a -+= 251*1*14*3*32*)5(*2-=----3、ba c a c bcb a 。
解：222b ac cba bac acb D ---++=2223c b a abc ---=四、解下列方程：1、421x =0； 2、xx--211111111=0。
解：方程左端行列式x D 24-= 解：方程左端行列式 由024=-x ，解得2=x -++--=11)2)(1(x x Dx x x x -=----21)2()1( 由02=-x x ，解得10==x x 或五、求排列1，3，)2(,,4,2),12(,n n ΛΛ-的逆序数。
数学一线代部分真题(1987~2013)
x2 x4
0 0
,
又已知某线性齐次方程组②的通解为 k1(0,1,1, 0) k2 (1, 2, 2,1).
(I)求线性方程组①的基础解析. (II)问线性方程组①和②是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解. 若没有,则说明理由.（8）
(2)设 A 为 n 阶非零方阵 , A* 是 A 的伴随矩阵 , A 是 A 的转置矩阵,当 A* A
(2) 设 A 为 n 阶 矩 阵 , 满 足 AA I(I 是 n 阶 单 位 矩 阵 , A 是 A 的 转 置 矩 阵
), A 0, 求 A I . （6）
1996 年数学（一）线性代数部分 一、选择题（每题 3 分）
a1 0 0 b1 (1)四阶行列式 0 a2 b2 0 的值等于
2 1
二、填空题（每题 3 分）
a1b1 a1b2
(1)
设
A
a2b1
a2b1
anb1 anb2
0 1 1 (D) 4 2 2
0 1 1
a1bn
a2bn
,
其中
ai
0, bi
0, (i
1, 2,, n).
标准形 f y12 2 y22 5 y32 , 求参数 a 及所用的正交变换矩阵.（8）
(2)设 A 是 n m 矩阵 , B 是 m n 矩阵,其中 n m, I 是 n 阶单位矩阵,若 AB I, 证明 B 的列向量组线性无关.（6）
1994 年数学（一）线性代数部分 一、选择题（每题 3 分）
(2)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 3, 对应的特征向量依次为
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数第一次答疑
线性代数第一次语音答疑答疑提纲一、关于课程自学线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。
这三种对象在一定情况下可以相互转化。
熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。
也是大家应该掌握和熟悉的。
三种对象表述问题的形式不同，视角也不同，向量偏向于从整体性和结构性考虑方面来考虑问题，矩阵则是更易于表示和操作的方式，而线性方程组则是一种更为直观、清楚地表示方式。
大家掌握矩阵、方程组和向量其中的的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易。
在学习的过程中，大家对书中的一些定义定理及重要结论，首先记忆、在记忆的基础上理解、通过做题练习来巩固所学。
不能硬背，数学课程的考试不会纯考概念、定理的证明等，一定是在具体的题目中应用这些概念。
因此大家一定要多动手练习，同一类型的题目反复练习，做到熟能生巧。
二、课程资源教材课本《线性代数》杨荫华著这本书是我们课程的主要教材，大家需要认真阅读，弄懂书上面的定义、定理，能够独立做出书上面的例题，对于课后主要习题认真练习。
完成这些，线性代数基本上就学的不错了。
课程录像自学时可以参照课程录像学习，关于课程录像的下载地址，找相关老师询问。
课程论坛，上面公共课程->线性代数板块这是我跟大家沟通交流的主要场所，大家在学习中遇到什么问题可以在论坛上提出来，我会帮大家进行解答。
面授课这是根据大纲的内容来对课程做一个讲解，对于北京地区的的学生，有时间希望大家周六上午尽量来北大听课，本学期有五次面授课程，听课之前最好做好预习，课上有问题可以随时提问，这样效率也会比较高。
作业作业希望大家一定要独立完成，弄懂作业中的问题，学会举一反三，灵活运用。
三、课程主要内容《线性代数》书本总共七章，学习范围是前六章，考试范围是前五章，重点是行列式计算，线性方程组求解，线性相关与无关，矩阵的计算及矩阵逆的求法。
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
10-11-2线性代数1A卷答案(评分细则)
2010—2011学年度第二学期 农机、电气、电子、机制、网络、土木工程、工 管、物理、计算机、工管接本、机制接本 专业线性代数Ⅰ试卷（A 卷）答案一.选择题（每小题5分，共25分）1．设,A B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则有（ C ）A ．A O =或B O =； B ．A B O +=；C ．0A =或0B =；D ．0A B +=。
2． 若2317A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，1213B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB A B E --+=( B ) A ． 3-； B. 6； C. 9-； D. 12. 3．设矩阵12340113004503A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4维列向量1α ，2α ，3α ，4α 线性无关，则向量组1A α ，2A α ，3A α ，4A α 的秩为（ D ）A ．1； B. 2； C ．3； D ．4；4. 设1α ，2α ，3α 是0Ax =的基础解系，则基础解系还可以是（ B ）A ．112233k k k ααα++ ；B ．122331,,αααααα+++； C ．1223,αααα-- ； D ．112332,,αααααα-+-。
5. 若二次型22212312313(,,)2f x x x a x b x a x c x x =+++是正定的，数,,a b c 满足条件( D )A 0,0,0a b c >>>B ,0a c b >>C ,0a c b <>D ,0a c b >> 二．设121314A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，解矩阵方程16AXA A AX -=+。
（13分） 答案：方程两边左乘1A -,右乘A ，得6X A X A =+,所以()6X E A A -=,所以16()X A E A -=-，-----------------------5分因为122334E A ⎛⎫ ⎪⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,()123243E A -⎛⎫ ⎪⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ -----------------3分 则11226136()633224134X A E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-----------5分 三．求4阶行列式1123234a a a ab b b b Dc c c c dddd +---+=++的值。
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《线性代数（一）》2011年下半年第一次作业答案一.填空题（4x6=24分）1.计算3阶行列式231127382-=- 。
解：解法一：按照111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 得2311272*2*(2)2*8*(7)382-=---+-3*(7)*33*1*(2)1*1*81*2*349---+-=。
解法二：由行列式性质得23123111512702238277022-−−−−−−−−→---1第一行乘以-加到第二行23第一行乘以-加到第三行223111502249−−−−−−−−→-第二行乘以-7加到第三行12**49492==2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为 。
解：奇排列即为逆序数为奇数的排列，根据逆序数的求法，看每个数前面比它大的数有几个，然后相加（网络课件中有详细讲解）。
由于排列是9级排列，所以可供r 、s 、t 选择的元素有2，5，8。
不妨令r=2，s=5，t=8，则N （124659783）=9（奇数）。
由于对换改变排列的奇偶性，故r=2，s=5，t=8或r=5，s=8，t=2或r=8，s=2，t=5。
3.用行列式的性质计算：=+++111cba b ac a c b 。
解：考察行列式性质的运用：111111b c a a b c a c a b a b c b a bca b cc++++−−−−−−→+++++第二列加到第一列11110()11()100111a a abc b a b c b cc-=++−−−−−−−−→++=第一列乘以加到第三列4.设A 为3阶方阵，而且9A =-， 则=A A T ； *A A = ；=**)(A ； 1*4AA --= .（注：*A 为A 的伴随矩阵.）解：考察矩阵的基本性质和各种运算，尤其是其伴随矩阵和逆矩阵的行列式值问题。
注意：T A A =，1*n A A-=（如果A 是n 阶矩阵），*1AAA-=，11A A-=，n kA k A =以上公式非常重要，一定要记住。
本题中：（1）=A A T 2*81T A A A ==（2）*23(9)81814782969A A A A A =-===- (-9)的7次方（3）3**1*11111132341()()[]()*()*(9)6561A A A A A A A A A A AAA A A --------======-=（4）1*11131219744*13139A A A A A A A ------=-===-。
5.设111400125A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 则 =AB ；TB A = ；=2A ；nA = 。
解： 11140345012525A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1213114044010505TB A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111111201010101A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22111111111211101010101010101nn n nn A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…=注：考察的是矩阵的一般运算，只要细心就可以计算出来的。
6. 设2()53p t t t =-+与矩阵3162A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则22()53p A A A I =-+= 。
解：同样是考察矩阵的各种运算，以及与原来多项式的转换能力，原来多项式中常数项在矩阵多项式中变成了（常数*单位矩阵）。
直接运算即可：22()53p A A A I =-+=1551553030301030100303--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二.选择题（4x9=36分） 1.12021k k -≠-的充分必要条件是（）。
A 、1k ≠-B 、3k ≠C 、31k k ≠≠-且D 、31k k ≠≠-或 解：应选C 。
因为212(1)4(1)(3)021k k k k k -=--=+-≠-所以上述不等式成立的充分必要条件是31k k ≠≠-且。
2、如果1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，1D =113112321333313233212223441631228652015a a a a a a a a a a a a +--+---，那么1D =（）。
A 、80B 、-120C 、120D 、60解：应选B 。
观察D 1，交换第二三行，再将第一行减去第二行的两倍，再提出各行的公约数，得到D 。
逆过来，由D 得到D 1 的过程如下：111213111213212223212223313233313233432(4)*34343a a a a a a D a a a D D a a a a a a a a a -=⇒=-=--111213212223313233433(5)*2*252015286a a a D D a a a a a a -⇒=-=---（其中（-5）乘到第二行，2乘到第三行）113112321333313233121222344163124328652015a a a a a a D D a a a D a a a +--+⇒=-=-=--（第一步：将D3中第三行乘以2后加至第一行，行列式值不变；第二步：第二行与第三行互换，行列式变号）所以，1(1)*(5)*2*(4)*3120D D =---=-，选B3.如果304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则（）A 、01k k ==或B 、01k k ==-或C 、11k k ==-或D 、31k k =-=-或 解：应选D 。
因为若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式为零。
即有23104143(3)(1)051k k k k k k-=++=++=-- 所以当31k k =-=-或时，该方程组有非零解。
4.设cdbaa cb d a d bcd c b aD =4，则=+++44342414A A A A ( )。
A 、0;B 、1；C 、2()a b c d +++D 、22222()a b c d +++. 解：应选A 。
解法一：考察代数余子式的定义和计算，直接按定义计算即可，但要细心=+++44342414A A A A14243444(1)(1)(1)(1)cb d a bc a b c a b cd b c d b c c b d c b d abdabdabddbc++++=-+-+-+- =0解法二：注意到44342414A A A A +++是第四列的代数余子式的和，即111144342414dbac bd d b c c b aA A A A =+++观察得到上面的 行列式的第二列和第四列的对应元素相等，由行列式的性质知道，上面的行列式为0.5.设,(2)A B n n ≥为阶方阵，则必有（ ）.A 、AB A B +=+ B 、AB BA =;C 、 A B B A =;D 、 BA AB =.解：应选D 。
选项A 显然不一定不成立。
可以举出反例。
例子：令1122;1154A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则33365A B ⎛⎫+==-⎪⎝⎭，而022A B +=-=-B 、参考课本第59页例3。
C 、若A 的阶数为n, B 的阶数为n ，则,A B B A n=,nB A AB =显然两者不一定成立。
D 、B A AB =,A B BA =,故两者相等。
6．设,,A B A B +以及11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+等于（） A 、11A B --+ B 、A B + C 、1()A A B B -+ D 、1()A B -+ 解：应选C 。
考察矩阵的逆运算。
A 的逆必须满足11*AA A A I --==，11()A A --=，因此将 各选项一一进行运算。
同时，再由教材P77的方法，要证明可逆，只需证明上述两个等式中任一个成立即可（ 这个非常重要，一定要记住）选项A 中，1111112()()()A B A B A B ------++=+不会恒等于I ；选项B 中 11111111()()2A B A B AA BA AB BB I BA AB --------++=+++=++，不恒等于I ；同理运算D ，不是答案；选项C 中，设1()A A B B -+的逆为P ，要证P 即为11A B --+1111(())()()A A B B P I A B BP A BP A B A----+=⇒+=⇒=+11111111()P B A B A BAAB BABA--------⇒=+=+=+111(())()A A B B AB I---⇒++=，进一步，可证1(())P A A B B I -+= 选C7.设A 是s p ⨯的矩阵，B 是n m ⨯的矩阵，如果B AC T 有意义，则C 是（ ）矩阵.A 、n p ⨯B 、m p ⨯C 、 s m ⨯D 、 m s ⨯.解：应选C 。
由矩阵可以相乘的条件：前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等。
C T 应该是m s ⨯的矩阵，故C 应是s m ⨯的矩阵。
8．设A 为n 阶对称可逆矩阵，则以下哪一项错误（ ）A 、11()()T T A A --=B 、1T A A -=；C 、||||T A A =;D 、T A 可以表示为一些初等矩阵的乘积 解：应选B 。
选项A 中，11()()T T A A --=是所有n 阶可逆矩阵都能满足的，正确；选项C 中，||||T A A =是所有n 阶矩阵都能满足的，正确；选项D 中，T A 可以表示为一些初等矩阵的乘积是矩阵可逆的等价定义，见教材P86页；选项B 中1TA A -=，即是正交矩阵的定义，条件更强，n 阶对称可逆矩阵不一定能满足此式，错误，因此选B 。
9．下列矩阵中与矩阵111121235A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是（） A 、 ()347 B 、240151⎛⎫⎪-⎝⎭C 、130212401⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 、211422135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解：应选C 。
考察求矩阵秩的方法，主要通过初等行变换来做，见教材P92。
111111111121010010235013003A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，rank(A)=3; 选项A 中，为行向量，明显rank=1，错误; 选项B 中，秩最多也只能是2，错误；选项D 中，2112112115942200002213559000022⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→−−−−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭第二三行行互换，秩为2，错误；选项C 中，130130130212052052401012119005⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，秩为3，选C 。