傅里叶分析教程
傅里叶分析报告教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
《信号的傅里叶分析》课件
傅里叶分析的基本原理
学习傅里叶分析的基本原理， 包括信号的频率分解和重构。
数字信号处理的背景和 应用
了解数字信号处理的发展背 景及其在各个领域的应用。
傅里叶级数
1 傅里叶级数的定义
详细介绍傅里叶级数的定义，包括周期信号的频域表示。
2 傅里叶级数展开式
学习如何将周期信号展开为一系列正弦和余弦函数的组合。
3 正弦级数和余弦级数
深入探讨正弦级数和余弦级数的特性和应用。
傅里叶变换
1 傅里叶变换的定义
2 傅里叶变换的性质
详细介绍傅里叶变换的定 义和信号在频域中的表示。
探讨傅里叶变换的基本性 质，如平移、尺度变换和 线性性质。
3 傅里叶变换的逆变换
学习如何通过逆变换将频 域信号转换回时域。
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
1 傅里叶级数与周期信 2 傅里叶变换与非周期 3 信号重构
号
信号
探讨如解傅里叶变换在非周期
和傅里叶变换进行信号的
号分析中的应用及其与傅
信号分析中的作用及其特
重构。
里叶变换的区别。
点。
数字信号处理中的傅里叶分析
1 离散傅里叶级数
介绍离散傅里叶级数的应用及其在数字信号 处理中的重要性。
2 发展趋势
展望傅里叶分析的未来发展趋势，包括新技术和应用领域。
3 实际应用中的注意事项
探讨在实际应用中使用傅里叶分析时需要注意的问题和解决方法。
2 离散傅里叶变换
深入了解离散傅里叶变换的原理和在信号处 理中的实际应用。
3 快速傅里叶变换
学习快速傅里叶变换算法及其在高效信号处 理中的作用。
4 应用案例
通过实际应用案例展示数字信号处理中傅里 叶分析的重要性和优势。
傅里叶分析之掐死教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]«»作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
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傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
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但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
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这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…….本文无论是cos 还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
傅里叶变换分析法
22
电路基础教学部
2004年11月25日10时7分
3.3.3 频谱密度函数(2)
Fn 2π F (ω ) = lim TFn = lim Fn = lim ∆ω → 0 ∆ ω ∆f → 0 ∆ f T →∞
表明：F (ω ) 是单位频带的复振幅，具有密度的概念，故称 其为频谱密度函数，简称为频谱函数或频谱密度(Spectral density)。
1 T /2 1 − jnω 0 t Fn = ∫ f ( t )e dt = (a n − jbn ) −T / 2 2 T nω 0τ nω 0τ A Aτ = sin( )= ) Sa ( 2 2 nπ T
f (t ) =
sin x x
1
-3π -π 2π -2π 0 π 3π
∞
x
n = −∞
∞ −∞ ∞ −∞
f ( t )e − jωt dt =| F (ω ) | e jθ (ω )
∞ −∞
f ( t ) cos ωtdt − j ∫
f ( t ) sin ωtdt
* f(t)为实函数 F (ω ) = F ( −ω )
| F (ω ) |~ ω
θ (ω ) ~ ω
f(t)为实偶函数 f(t)为实奇函数
…
…
ω0 2ω0 3ω0 nω0 ϕn ϕ1 ϕ2 ϕ3
-3ω0 -2ω0 -ω0 0
ω0 2ω0 3ω0 nω0 θn θ1 θ2 θ3
…
…
-3ω0 -2ω0 -ω0
…
0
ω0 2ω0 3ω0 nω0
…
θ-3 θ -2
电路基础教学部
θ-1
0
ω0 2ω0 3ω0 nω0
单边频谱
傅里叶教程
（2-1）
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
整理上式后，可得
2 1 d i ( t ) d i ( t ) di ( t) d i ( t) S L L L ( i t) i ( t) )R ( )L 2 R S( L 1 2 C d t d t d t d t
2
2
(2)求系统的完全响应
完全解＝齐次解＋特解 齐次解
特征方程为：
特征根为： 齐次解为：
7 10 0
2
2 , 5 1 1
i ( t ) A e A e h 1 2
2 t 5 t
特解： 由于t 0+时,e(t)=4V 右端为4X4，令特解为I p（t）＝B 即
系统分析的任务：给定系统模型和输 入信号求系统的输出响应。
f T[.] y
求响应系统分析方法很多，系统时 域分析法不通过任何变换，直接求 解微分、积分方程； 时域分析方法，直观、物理概念清建立和求解
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模 型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的基本依 据有如下两方面:元件约束、结构约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻R uR(t)=R· iR(t)；
11-6 光波的傅里叶分析 物理光学 教学课件
线性系统中 不同振幅、相位、频率的单色光波 叠加 复杂波（非单色波） 复杂波 傅里叶分解 不同振幅、相位、频率的单色光波
一、非简谐周期波的分析 周期波： 相邻的相等时间和空间内运动完全重复一次的波
分析方法：用傅立叶级数定理作周期波的分解 傅里叶级数定理：一个空间周期为 2 的周期函数f(z)满足狄里赫
分析： （1）波列包含有 k 0 以外其它空间频率取值为k的无数个单色波
（2）存在一个有限空间频率范围△k，决定着实际光源的光强度
强度的第一对零值对应的频宽的一半：
k
k
k0
L
（3）光波单色性的表示 (a) k 2
L 2L
波列长度2L长， △k小； 2L→∞，△k→0
光波单色性好
单一角频率 的光波 简谐波是理想单色光波
2
z
2
f (z)
+1
2
/2
0
z
-1 矩形周期波
（2） 求傅里叶系数
f z是奇函数 A0 0, An 0
Bn
2
0
f
zsin
nkzdz
2
n
1 cosn
B1
4
,
B2
0,
B3
4
3
,
B4
0,
B5
4
5
,
（3） 写出 f(z)
则矩形波的傅里叶级数表示式为
f
z
4
sin
kz
1 3
s
in
3k
z
Hale Waihona Puke 1 5sink
利条件[f(z)在一周期内只有有限个极值点和第一类不连续点]，则 f(z)可以用下式的傅里叶级数表示：
傅立叶分析_图文
脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析一、实验简介任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。
利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。
也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。
二、实验目的1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义三、实验仪器脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器四、实验原理1、周期信号傅里叶分析的数学基础任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000000001()(cos sin )21()()1()cos()()1()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t ππππππωωωωπωωωπωωωπ∞=---=++===∑⎰⎰⎰ 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。
任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:(0t<)2() (-t 0)2h f t h ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：0100041()()sin(21)21411(sin sin 3sin 5)35n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞==--=+++∑ 同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：4t (-t <)44()232(1) (t )44h T T f t t T T h T π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：1202100022281()(1)()sin(21)21811(sin sin 3sin 5)35n n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞-==---=-++∑图1 方波 图2 三角波从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
傅立叶分析及应用方法
傅立叶分析及应用方法傅立叶分析，又称Fourier分析，是用来描述周期性现象的数学工具。
它由法国数学家傅立叶在19世纪初提出，并广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学、热传导等科学领域。
傅立叶分析的基本思想是将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合，也就是将一个非周期函数分解成一系列周期函数的叠加。
这种方法可以将原始信号转换为频域表示，从而更好地理解和处理信号。
傅立叶变换是傅立叶分析的基础，它是一种将连续时域信号转换为连续频域信号的数学运算。
傅立叶变换可以将原始信号表示为复数的频谱分量，每个分量表示了该频率的强度和相位。
傅立叶变换的公式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt其中，F(ω)表示频谱分量，f(t)表示时域信号，ω表示频率。
通过傅立叶变换，我们可以得到信号的频率分布情况，进而了解信号的周期性特征、频谱特征以及频率分量的强度和相位。
这对于信号处理非常重要，比如在通信系统中，可以通过傅立叶变换将信号调制到不同的频率带宽，实现多路复用。
傅立叶级数是傅立叶分析的另一种形式，它适用于周期函数的分析。
傅立叶级数将周期函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合，也就是将一个周期函数分解成一系列频率成倍数的正弦和余弦函数的叠加。
傅立叶级数的公式如下：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，an和bn是傅立叶级数的系数，n表示频率成倍数，ω表示基频。
傅立叶级数可以将周期信号表示为一系列频率分量的叠加，从而更好地理解和处理周期信号。
通过傅立叶级数，我们可以得到周期信号的频率分布情况，进而了解周期性特征、频谱特征以及频率分量的强度和相位。
傅立叶分析在实际应用中有着广泛的应用。
首先，傅立叶分析被广泛应用于信号处理领域。
通过傅立叶变换，我们可以将时域信号转换为频域信号，从而实现信号过滤、降噪、解调等操作。
例如，在音频处理中，我们可以用傅立叶变换来对音频信号进行频谱分析，从而实现音频的均衡器和音乐合成。
傅里叶红外光谱分析解析最新优质PPT课件
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1.4、红外吸收峰强度
intensity of Infrared absorption bend
问题：C=O 强；C=C 弱；为什么？ 吸收峰强度? 跃迁几率? 偶极矩变化
1.1、概述
分子中基团的振动和转动能级跃迁产生：振-转光谱 辐射→分子振动能级跃迁→红外光谱→官能团→分子结构 近红外区 中红外区 远红外区
00:11:15
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红外光谱与有机化合物结构
红外光谱图： 纵坐标为吸收强度， 横坐标为波长λ （ ?m ） 和波数1/λ 单位：cm-1 可以用峰数，峰位， 峰形，峰强来描述。
光源发出的辐射经干涉仪转变为干涉光，通 过试样后，包含的光信息需要经过数学上的傅立 叶变换解析成普通的谱图。 特点：(1) 扫描速度极快 (1s)；适合仪器联用；
(2) 不需。
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傅里叶变换红外光谱仪工作原理图
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迈克尔干涉仪工作原理图 （动画）
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3、制样方法
sampling methods
1）气体——气体池
2）液体：
①液膜法——难挥发液体（BP》80?C） ②溶液法——液体池
溶剂： CCl4 ，CS2常用。
3) 固体:
①研糊法（液体石腊法） ②KBR压片法 ③薄膜法
在定性分析中，所制备的样品最好使最强的吸收峰透过率为 10%左右。
物理实验中使用傅里叶分析的方法与技巧
物理实验中使用傅里叶分析的方法与技巧物理实验是科学研究中不可或缺的环节，而傅里叶分析作为一种重要的数学工具，在物理实验中具有广泛的应用。
本文将介绍物理实验中使用傅里叶分析的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和应用傅里叶分析。
一、傅里叶分析的基本原理傅里叶分析是指通过将一个周期性函数或非周期性函数分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加，来研究函数的频域特性。
其基本原理是根据欧拉公式，将实函数表示为复指数函数的线性叠加，然后进行频域分析。
使用傅里叶分析可以将时域上的波形转换为频域上的频谱，用于分析信号的频率成分和幅值。
二、物理实验中傅里叶分析的应用1. 信号处理傅里叶分析在信号处理中有重要的应用。
例如，音频信号的频谱分析可帮助分析声音的频率成分和音量。
在光学实验中，傅里叶分析可以帮助分析光的频谱，研究光的衍射、干涉等现象。
此外，在无线通信领域，傅里叶分析可用于信号调制和解调。
2. 振动分析傅里叶分析在振动分析中也有广泛应用。
通过对振动信号进行傅里叶变换，可以得到振动信号的频谱，进而分析和判断振动系统的稳定性和特性。
在机械工程中，通过对机械零件的振动信号进行傅里叶分析，可以判断是否存在共振现象或者故障。
3. 光谱学物理实验中傅里叶分析还在光谱学中起到重要作用。
光谱学是研究光的频谱分布和光学材料特性的学科。
通过将光信号进行傅里叶变换，可以得到光的频谱分布，从而分析光的成分和特性。
傅里叶光谱学广泛应用于化学、天文学和生物学等领域。
三、使用傅里叶分析的技巧1. 选择适当的采样频率在进行傅里叶分析之前，需要选择合适的采样频率。
根据奈奎斯特采样定理，采样频率应至少是原始信号最高频率的两倍。
如果采样频率太低，可能导致频谱中出现混叠现象，使得频谱分析结果不准确。
2. 增加数据点数目增加数据点数目可以提高傅里叶分析的精度。
当数据点数目较少时，可能导致频谱分辨率不够高，无法准确分辨信号的频率成分。
因此，在进行傅里叶分析时，尽量增加数据点数目，以提高频谱分析的准确性。
第5章傅里叶分析
ck
1 2
(a k
ib k ),
(5 .5)
c k
1 2
(a k
ib
k
)
则其复数形式为：
其中：
f ( t ) c k e ik t k
c k
1 T
T
2 f ( t ) e ik t
T 2
(5 .6 ) (5 .7 )
三、傅里叶变换
为了得到傅里叶变换的
具体形式，
首先考虑定义在－ l x l上的傅里叶
5 n 阶导数的傅里叶逆变换
为：
F － 1 f ( n ) (t ) ( it ) n F 1 f (t )
6 平移的傅里叶变换为：
F f (t a )( ) e ia F f ( )
7 傅里叶变换的比例性质 为：
F f (bt )( ) 1 F f ( )
b
b
8若t0时有f (t) 0,则：
由下式给出：
F t n f ( t ) ( ) i n d n F f ( ) dn
3 f与 n 乘积的傅里叶逆变换
由下式给出：
F 1 n f ( ) (t ) ( i ) n d n F 1 f (t ) dn
4 n 阶导数的傅里叶变换为
：
F f ( n ) ( ) (i ) n F f ( )
(5.2)
上式为一三角级数，当
n 时，即
f (t ) a 0 2 ( a k cos k t b k sin k t ) k 1
称为傅里叶级数。其中
a k , b k 为傅里叶系数，
可按最小二乘原理解出
为：
a 0
2 T
a k
2 T
T
傅里叶分析教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
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《傅里叶分析》课件
通信系统
傅里叶分析可以用 于调制解调过程中 的频谱分析，以及 信道估计和均衡等 关键问题的解决， 提高通信系统的性 能。
图像处理
傅里叶分析可以用 于图像的频域滤波、 去噪和增强等操作， 以及图像压缩和特 征提取等应用，提 高图像处理的效果 和质量。
其他领域的 应用
除了信号处理、通 信系统和图像处理 外，傅里叶分析还 在许多其他领域中 有着广泛的应用， 如物理学、经济学 等。
《傅里叶分析》PPT课件
傅里叶分析是一种广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域的数学 工具。本课件将介绍傅里叶分析的定义、傅里叶级数和傅里叶变换，以及其 在各个领域中的实际应用。
傅里叶级数
傅里叶级数是用正弦和余弦函数将周期函数分解为一系列振幅和相位不同的谐波信号的方法。它可以表 示周期函数在频域上的相关信息。
总结
傅里叶分析是一种重要的数学工具，它可以用于分析和处理各种信号，并在信号处理、通信系统、图像 处理等领域中发挥作用。
1 傅里叶分析的重要性和应用
2 学习和研究傅里叶分析的意义
傅里叶分析在现代科学和工程中具有重要 地位，它为我们理解和处理信号提供了有 力的工具和方法。
学习和研究傅里叶分析不仅能够提高我们 的数学能力，还能够拓宽我们的科学视野， 培养我们的创新思维。
3 傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换具有平移性、尺度性和对称性等重要性质，它在信号处理、通信系统等领域 中有着广泛的应用。
傅里叶分析的实际应用
傅里叶分析在许多领域中发挥着重要作用，包括信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域的实际应 用。
信号处理
傅里叶分析可以用 于分析和处理各种 信号，包括音频信 号、视频信号等， 以提取有用的信息 或实现信号压缩等 功能。
002-信号的傅里叶分析 81页PPT
20Hz
叠加后得到
80Hz
120Hz
20Hz
80Hz 120Hz
北京科技大学 机械工程学院
17/ 80
周期信号的频谱特性
离散性：每条谱线代表一个频率分量 谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上 收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小
对于复杂周期信号： 周期的确定根据各频率值的最大公约数的倒数来确定
t0T x(t)dt
t0
工程中的信号都满足上述条件
北京科技大学 机械工程学院
7/ 80
周期信号的傅里叶级数—举例
例：周期性三角波的傅里叶级数
x(t)
A
...
-T0/2 0
T0/2
...
t
A
2A T0
t
(T0 t 0) 2
2A
x(t) A
T0
t
(0 t T0 ) 2
x t Fnejn0t n
周期T内，n次谐波的幅值按下式计算，称为傅里叶系数：
F T x t e dt n
1
0
T0 2
jn0t
T20待分析信号
如何理解傅里叶系数的物理含义？
北京科技大学 机械工程学院
13/ 80
典型周期信号的谱图
频谱的定义：将信号x(t)的傅里叶系数Fn称为信号x(t)的频谱 系数（Spectral Coefficients），简称频谱（Spectrum）。
连续时间周期信号
T
连续时间非周期信号
2 0d
离散频谱
T
连续频谱
傅里叶级数
傅里叶变换
x(t) F(n0)ejn0t n
第三章傅里叶分析教材
第3章傅里叶分析傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若 干个不同频率的正弦波之和。
它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。
3.1傅里叶变换概述我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱 函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。
所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。
一、时间连续、频率连续的傅里叶变换( FT )其傅里叶变换公式为： 正变换 X(j 「」)=j-x(t)e jtdt反变换x(t)1"X(j.^e ji d^2兀J连续时间非周期信号 x(t)的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X(j Q )，如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性， 而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、时间连续、频率离散的傅里叶变换一一傅里叶级数(FS )周期为T 的周期性连续时间函数x(t)可展开成傅里叶级数，其系数为X(jk Q 0), X(jk Q o )是离散频率的非周期函数。
x(t)和X(jk Q °)组成变换对，其变换公式为： 1 T/2正变换 X(jk ，S)=〒 _2X (t)e dt 反变换 x(t) = a X( j^10)e j^°tk =JO C I式中，k谐波序号；Q o =2 n /T ――两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔;x(t)和 X(jk Q °)之间的变换关系如图所示。
iztl)可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性， 而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、时间离散、频率连续的傅里叶变换一一序列的傅里叶变换( DTFT )1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为:X e (n)=1尹(n) 5]X °( n) 尹(叭xE]正变换O0X(e j')二 '、x(n)en 二 3反变换x(n)1X(e j)e j nd ‘2兀5注意:序列x( n )只有当n 为整数时才有意义，.否则没有定义。
数学分析傅里叶章节课件
定理 2( R n点列收敛与数列收敛的关系)
设 R n中点列X i = ( xi 1 , xi 2 , ..... xin ) 和向量A = ( a1 , a2 , .....an )
m →∞ m →∞
则 lim X m = A ⇔ lim xml = al , l = 1, 2, ....., n
m =1 ∞
因此A = B .
定 理 7 ( H eine-B orel, 有 限 覆 盖 定 理 )
则 {w α , α ∈ I } 一 定 有 有 限 个 集 合 覆 盖 E .
设 E ⊂ R n 为 紧 集 ,{ w α , α ∈ I } 为 E 的 开 覆 盖 ,
Cauchy收敛定理, Bolzano-Weierstrass定理 定理, Cauchy收敛定理, Bolzano-Weierstrass定理, 收敛定理 Cantor 闭区域套定理 , Heine-Borel 定理称为 HeineEuclid空间的基本定理 它们相互等价. 空间的基本定理, Euclid空间的基本定理, 它们相互等价. 思考相互等价的证明方法. 思考相互等价的证明方法
引理2 引理 2 A为集合 E ⊂ R n 聚点的充分必要条件 E 中存在 收敛到 A的点列.
下面给出定理5的证明. 下面给出定理5的证明.
首先证明必要性 为紧集. 证明 : 首先证明必要性 设E ⊂ R n为紧集. 根据引理1 得到E 为闭集.如果E无界 ,则 根据引理1, ∀m ∈ N ⋅ , ∃X m ∈ E ,: X m > m , 没有任何收敛的子列 可见 { X m } 没有任何收敛的子列, 矛盾 !
k =1
∀ε > 0, ∃N ∈ N , ∀k > N , ∀m > 0 : ∑ X l +1 − X k + l −1 < ε ,
傅里叶分析之掐死教程
傅里叶分析之掐死教程（完整版）2014年06月23日⁄字号小中大作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
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傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：昊知乎：Heinrich微博：花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及晶泊老师。
的同学请保留上面这句话，。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。
上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：时域：频域：在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。
在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。
傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。
但是看看下图：第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)第三幅图是4个发春的正弦波的叠加第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。
一个矩形就这么叠加而成了。
但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。
（上帝：我能让你们猜着我？）不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。
这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。
而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。
这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。
一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。
所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……想看动图的同学请戳这里：File:Fourier series square wave circlesanimation.gif以及这里：File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：这是什么奇怪的东西？这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——再清楚一点：可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。
振幅为0的正弦波。
动图请戳：File:Fourier series and transform.gif老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。
记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。
想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。
我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。
那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。
在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。
我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。
而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。
这样说来有些宿命论的感觉。
说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱上一章的关键词是：从侧面看。
这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。
无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。
频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。
下面大家尝试一件事：先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。
不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。
这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。
这就是需要傅里叶变换的地方。
尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。
（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。
各行各业都用的到。
但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。
因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。
而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
下面我们继续说相位谱：通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。
因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。
基础的正弦波 A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。
那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。
在图中就是那些小红点。
小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。