(完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习

1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域 解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =

++-+

221cos 22sin cos 22x x x x =

++-

1cos 22cos 222

x x x =

+- sin(2)6

x π

=-

2T 2

π

π=

=周期∴ 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

（2）

5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-

在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调

递减，

所以 当3

x π=

时，()f x 取最大值 1

又

1()()12

22f f π

π-

=<=，当12

x π

=-时，()f x 取最小值-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为[

2．已知函数2

π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的取值范围．

解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=

+11sin 2cos 2222

x x ωω=-+

π1sin 262x ω⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭．

因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以

2π

π2ω

=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262

f x x ⎛⎫=-

+ ⎪⎝

⎭． 因为2π03

x ≤≤， 所以ππ7π2666

x --≤≤，

所以1πsin 2126x ⎛⎫-

- ⎪⎝

⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛

⎫-

+ ⎪⎝

⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，．

3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1

2sin()1,sin().662

A A ππ-=-=

由A 为锐角得 ,6

6

3

A A π

π

π

-

=

=

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1

cos ,2

A =

所以2

2

1

3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2

2

f x x x x s x =+=-+=--+

因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3

2

.

当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，

4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点

π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，，，且3()5f α=，12()13f β=，

求()f αβ-的值．

【解析】（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1

(,)32M π代入得1

sin()32

πϕ+=，而0ϕπ<<，536π

ϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2

f x x x π

=+=； （

2

）

依

题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)

2

π

αβ∈，

45

sin ,sin 513

αβ∴====，

3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365

f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=

。

5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12

f t

g x x f x x f x x π

π=

=⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.

解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x

x

g x x

x

x x

--=+++

2

2

22(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x

x

x x

--=+

1sin 1cos cos sin .cos sin x x

x

x x x

--=+

17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤

∈π∴=-=- ⎥⎝⎦

1sin 1cos ()cos sin cos sin x x

g x x

x x x

--∴=+--

sin cos 2x x =+-