同济大学马洪宽老师博弈论复习资料

博弈是一些个体，面对一定的环境，在一定的规章制度下，同时或先后，一次或多次在其允许的策略集中选择其行为并加以实施，最终获得一定结果的过程

博弈论从衡量利弊得失的角度出发，分析形势得出相应的对策，在决策的过程中考虑到参与的其他人的行为会相互影响的决策者，需要博弈论，决策中不考虑他人的行为的决策者不需要博弈论。

博弈论通常记为G或Γ，局中人的集合通常为N，为局中人n，局中人的策略集记为S，则某一策略记为αi，局中人i的策略组合为(αi,α-i)，其中α-i表示局中人i以外所有人的策略组合。局中人的收益U是α的函数，则博弈也记为G(N,S,U)，若考虑信息则是G(N,S,U,I)

上策均衡：每个人都有上策，博弈时必取上策，形成的均衡为上策均衡。

囚徒困境：对每一行在第二个分量中划线，即甲策略不变时乙的策略。反之亦然

两人都有上策均衡，亦为纳什均衡

智猪博弈：有一开关，大猪小猪都按，则大猪得7单位，小猪得3单位；大猪按，小猪不按，大猪得6单位，小猪得4单位；小猪按，大猪不按，大猪得9单位，小猪得1单位；但是按一下会消耗2单位（此处隐含条件，两者都不按则无收益与支出）。

此时小猪有上策[不按]，但是大猪无上策——小猪选择不同，大猪选择也相应不同。此时（大猪，小猪）的纳什均衡为（按，不按）此情境可推广至投资机构与散户的投资行为。机构研究市场动向，之后散户跟风。

娱乐博弈：甲爱象棋，乙爱围棋，甲乙一起下象棋，甲得5，乙得2；甲乙一起下围棋，甲得2，乙得5；但是两人选择不同则游戏无法开始。

两人均无上策，（甲，乙）的纳什均衡为（象，象）或（围，围）

便士博弈：甲乙同时放一枚硬币，如同面则乙给甲1块钱，如异面则甲给乙1块钱

此题不存在纯策略静态博弈的纳什均衡，但有混策略均衡。混策略的原则是做出某种概率，使对方的收益无差异。

设甲取正概率为p，可写出乙的期望收益，欲使乙无差异，则p=0.5；同样，对乙的选择亦如此。

定理：任意有限博弈必定存在一纳什均衡。

古诺模型（产量决策模型）：甲乙两厂商生产一产品，价格函数为P=8-Q，单位成本C=2，问甲乙应如何定产量？

解：设甲产q1，乙产q2，则Q=q1+q2

π1=Pq1-Cq1=(8-q1-q2) q1-2 q1=-q12+(6-q2)q1

∂π1

=−2q1−q2+6

∂q1

同理可得：

∂π2

=−2q2−q1+6

∂q2

令两偏导数均为零，解得q1=q2=2

则π1=π2=4

卡特尔：甲乙约定“各产一半，利润均分”

π=(8-Q)Q-2Q，求导得Q=3时π最大，即各产1.5，各得4.5

但根据π1=-q12+(6-q2)q1可算出在q2=1.5时甲利润最大的产量并不是1.5，而是2.25，此时甲可得利润5.0625，因此合作不牢固

下策：无论对方如何行动，甲在α和β两个策略中都有α优于β，则称β为下策；与上策不同，上策是优于所有其他策略的策略，而下策是只要劣于任意一个其他策略的策略

博弈树：描述动态博弈的工具，注意两个节点是否因信息未知而实际为一个

借钱还钱博弈：甲向乙借钱，乙可以选择借或不借，如果不借则两者均无收益支出，选择借，则甲可以选择还或者不还，选择还则甲乙收益均为1，选择不还则乙可选择诉讼还是不诉讼，诉讼收益为甲1.5，乙0.5，不诉讼则甲4，乙-2。

画博弈树，利用递推归纳法

斯塔克伯格模型：

P=8-Q ，单位成本C=2，甲先确定其产量，之后已确定其产量，

问

两者产量各多少。

先看第二阶段，乙的利润函数π2=6q2-q1q2-q22，对q2求偏导，可得q2=(6-q1)/2，之后将此式代入π1，得π1=3q1-q12/2，求导得q1=3，q2=1.5

工资的确定：

第一阶段，工会定工资，收益U(w,L)，w为工资，L为被雇佣人数。

第二阶段，企业雇佣人，利润π=R(L)-wL，R为L个人生产的产值。

解：先分析第二阶段，企业雇佣人数为π对L的偏导，求出L，继而进入第一阶段，将L代入U(w,L)，求U对w的偏导，即可求出w。

这种方法现实中并非双方默契，而需要双方谈判达成。

折现率：明年100元在今年值a元，则折现率δ=a/100。注意：老师上课将δ称为贴现率，这是错误的。

讨价还价博弈：

甲乙分钱，甲先提出一种分法，乙可以选择同意或拒绝，如拒绝则乙提一种分法，甲同意或拒绝，如拒绝则甲提一种分法，乙必须同意。

如果规则仅仅如此，则结果必然是甲全拿，乙无收获，即(1,0)。

理由如下：如果博弈可以进入第三阶段，则甲必然将钱全部据为既有，则在第二阶段无论乙如何划分，甲都必须拒绝，则在第一阶段甲亦会做出甲得1，乙得0的划分，第一阶段乙无论同意或拒绝都改变不了最终结果。

规则修改：每一阶段的折现率为δ (0<δ<1)，即假设博弈进入第二阶段，则总钱数将不为1而是δ。

解：博弈树如下：

之所以将第二阶段与第三阶段的分钱方案写为δq2与δ2q3，是因为这样会简化计算，无实质性差异。

第三阶段的分法是(δ2q3,δ2(1-q3))，而如果在第二阶段有δq2>=δ2q3，则在第二阶段甲会选择同意而不会进入第三阶段（注意，如果甲此时选择进入下一阶段则甲收益不少，但乙收益会减少，而我们假设每个

理性人只考虑自己利益最大化，而不理会其他人利益，故在保证自己利益的情况下不会去损害他人，当然零和博弈保护自己即是损害他人，如每一阶段独立来看都是广义零和博弈）。同样，如果在第一阶段有1-q1>=δ(1-q2)，则乙会直接同意而不进入第二阶段。取临界等式，可得q1=1-δ+δ2q3。

即如果在第三阶段有一分法(δ2q3,δ2(1-q3))，则相应的在第一阶段必定有双方同意分法(1-δ+δ2q3,δ-δ2q3)。显然，在第三阶段甲会独吞剩余钱数，即q3=1，甲得到δ2，则第一阶段的分法将会是(1-δ+δ2,δ-δ2)，即如果折现率为1或0，则甲都会独吞，但折现率在0和1之间，甲不会独吞。甲乙永远不会相等，差距最小时为δ=0.5，说明该规则先下手为强。

规则改变2：假设可进行无限多次讨价还价，即如有一方不同意，则永远按上述规则讨论下去，直到双方同意为止，同样现值也会以每回合δ的比率折减。

博弈树如图