第5章 空间任意力系

求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
MOx — 滚转力矩 M Oy — 偏航力矩 MOz — 俯仰力矩
例5-5
F 2 F , 30 , 60 , 各尺寸如图 F 2000N, 2 1 已知： 求： F1 , F2 及A、B处约束力
解：研究对象，曲轴
列平衡方程
F
Fx 0
y
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
0
00
F1 xC l P
l ' l cos
H sin l
xC ' xC cos h sin
l2 H 2 cos l
h为重心与前轮的高度差
h zc r
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H
例5-1 已知：正方体上作用两个力偶
4R 4(r b) y1 , y2 , y3 0 3π 3π
由 yC
Ay A
i i
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 40.01mm 得 yC A A A 1 2 3
（5）力螺旋
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直 FR
M O sin 力螺旋中心轴距简化中心为 d F R
（5）平衡 0, MO 0 FR
合力.合力作用线距简化中心为
d M O FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴） 之矩的矢量和.
（2）合力偶
0, MO 0 FR
一个合力偶，此时与简化中心无关。
空间平行力系的平衡方程
F 0 M
z
x
0
M
y
0
2.空间约束类型举例 5.空间力系平衡问题举例
§5-3 重 心
1.计算重心坐标的公式
P xC P 1 x1 P 2 x2 .... P n xn Pi xi
xC
Px P
i i
P yC P 1 y1 P 2 y2 .... P n yn Pi yi
AB
M 0 M 0 M 0
AE AC
M BC F 0
a ab F6 a P F1 0 EF 2 2 2 a b b M FG F 0 Fb 2 P F2b 0 b
F F F F
M
0 M M sin 45 0 y 2 3
M1 M 2
设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB 2 F1 F2
杆 A1 A2 受拉，B1B2 受压。
各尺寸如图 例5-2 已知： P=8kN, P 1 10kN, 求： A、B、C 处约束力 解：研究对象：小车
第5章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系向一点的简化 §5-2 空间任意力系的平衡方程 §5-3 重 心
§5-1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
Py
i
i
zC
Pz
i i
yC
Vy
i i
Ax A
i i
yC
V Ai yi A
zC
Vz
i i
zC
V Ai zi A
--称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法
（1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l 则
欲测定zc，将前轮抬离地面H处 F2 有 xC l P
P a F6 a P 0 F6 2 2 F5 0 F4 0
F1 0
F2 1.5P

F2 b P F3 cos 45 b 0 2
F3 2 2 P
例5-6
已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
x 1 15mm y 1 45mm
A 1 300mm 2
x 2 5mm
x 3 15mm
y 2 30mm A 2 400mm 2
y 3 5mm
A 3 300mm 2
则
Ai x i A1 x 1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3
yC
i
Py P
i
P zC P 1 z1 P 2 z2 .... P n zn Pi zi
zC Pz P
i i
计算重心坐标的公式为
P P 对均质物体，均质板状物体，有 xC xC Vx V
i i
xC
Px P
i i
yC
M F 0
x
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0 D M F 0 F R F2 F1 0 y 2 M F 0 ( F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0 z
Ai y i A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例5-7
已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm, b 13mm 求：其重心坐标.
解：用负面积法，为三部分组成.
由对称性，有 x C 0
π 2 π A1 R , A2 (r b)2 , A3 πr 2 2 2
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
F1 3000N, F2 6000N,
FAx 1004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例5-4 已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N,
Fr 0.36 F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
Fz 17N,
x — 有效推进力 FR FRy — 有效升力 z — 侧向力 F R
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转
飞机转弯 飞机仰头
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
（1） 合力 0, MO 0 FR
过简化中心合力
0, MO 0, FR MO FR
(F 1, F 1 ), ( F 2, F 2 ),
CD // A2 E ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
解：两杆为二力杆，取正方体，画
M
受力图建Baidu Nhomakorabea标系如图b 以矢量表示力偶，如图c
x
0
M 1 M 3 cos 45 0