第5章 空间任意力系
理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即F R=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
5章空间力系(交)
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
工程力学(静力学与材料力学)单辉祖5
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工程力学电子教案
第五章 空间任意力系
X 0, TA TB cos60 0
T A TB cos60 3 1 80 11.5 ( N ) 6 2
Z F cos F sin
力沿坐标轴分解
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由式（*）知 合力的大小：
* 合力的方向：
空间汇交力系的合力与方向余弦为：
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力对轴的矩的概念
P39--P40
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[例] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内。求:力P对坐标轴的矩。
解：
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
力对轴的矩的解析式
mx ( F ) yFz zFy m y ( F ) zFx xFz mz ( F ) xFy yFx
力对轴的矩的解析式
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《工程力学》课程的知识体系和内容结构
《工程力学》课程的知识体系和内容结构1、课程的知识体系《工程力学》是一门是既与工程又与力学密切相关的技术基础课程，在基础课程和专业课程之间起桥梁作用。
通过本课程的学习，使学生掌握工程力学的理论和方法，具备从力学角度对工程问题的思维能力和初步解决此类问题的实践能力，并且获得大量的工程背景知识，为学习后续课程、掌握机械等工程设计技术打下牢固的基础。
本课程涵盖了“静力学”和“材料力学”两部分的内容。
“静力学”主要研究刚体的受力和平衡的规律；“材料力学”主要研究构件强度、刚度和稳定性的问题，在保证构件既安全适用又经济的条件下，为合理设计和使用材料提供理论依据。
静力学主要研究的问题：物体的受力分析、力系的简化和力系的平衡条件。
材料力学主要研究的问题：杆件在发生拉伸或压缩、剪切、扭转和弯曲基本变形时内力、应力和变形的计算，在各种基本变形下的强度和刚度计算；应力状态的基本理论；材料在复杂应力作用下破坏或失效规律及其应用；压杆稳定性问题。
2、课程的内容结构第一章介绍静力学的基本概念，常见的几类典型约束及约束力的特征，物体的受力分析。
第二章介绍汇交力系的简化和平衡条件。
第三章介绍力偶的概念及其对刚体的作用效应，力偶系的合成与平衡条件。
第四章介绍平面任意力系的简化、平衡条件和平衡方程，刚体系的平衡问题求解。
第五章介绍空间任意力系的简化和平衡条件。
第六章静力学专题：桁架杆件内力的求解；滑动摩擦、摩擦角和自锁现象、以及滚动摩擦的概念。
第七章介绍材料力学的研究对象、基本假设、外力和内力、应力和应变的概念。
第八章介绍拉压杆的内力、应力、变形及材料在拉伸与压缩时的力学性能，拉压杆的强度和刚度问题，简单静不定问题，拉压杆连接部分的强度计算。
第九章介绍圆轴扭转的外力、内力、应力与变形，圆轴的强度和刚度计算，静不定轴的扭转问题。
第十章介绍梁的外力和内力（剪力与弯矩），内力图的绘制。
第十一章介绍对称弯曲时梁的正应力、切应力、强度计算和梁的合理强度设计。
工程力学第五章：重心及形心
W x
i i
yC
y
W Wi yi
zi xC xi
zC
zC
W Wi zi W
yC
x
有影响，可使物体
被分割成任意个部分进行计算。通常，对均质连续的物体 通常对物体在极限情况下 (n-∞)进行分割， 此时重心坐标 公式转化成积分形式。
2 R sin 3
y
R
2 C
x
扇形形心为
xC 2 R sin 3
y
当α为90°时，扇形为半圆
R C
x
xC
2 R sin
2 4R 3 3 2
对这类常用的简单几何图形和均质物体的重心或形心位置，均 可采用积分法进行求解。也可直接查询工程手册的形心表。
常 见 平 面 图 形 的 形 心 公 式 表
C
C
C
2. 积分法
例2：求半径为R，顶角为2 的扇形的形心。
如图所示建立参考直角坐标系，x为对称轴 yC 0
y
微元部分的面积为:
A
d
1 1 2 dA dL R R d 2 2
dA
O
C
B
扇形形心为
2 微元部分的形心坐标：x R cos 3 2 1 2 xdA R cos R d 3 2 A x x C 2 A R 2 2 1 3 R cos d 3 R 2 sin 2 R 3
M z ( FR ) M z ( F1 ) M z ( F2 ) M z ( Fn ) M z ( Fi )
即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有 分力对同一轴的矩的代数和。
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
工程力学第五章 空间力系(2)
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
工程力学第五章 空间任意力系
例5
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36F,R50mm, r30mm
各尺寸如图
求：(1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Fy 0
M x 1 . 7 k m , N M y 0 . 5 k 1 m , N M z 0 . 2 k 2 m N
例6
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
M AB F0
a
F6
a P0 2
F6
P 2
M AE F0
Fz 0
F 1 c 4 o s 3 5 i s F 2 n 0 c 4 o s 3 5 i s F A n 0 c 3 o P 0 0 s 结果： F1F23.5k 4NFA8.66kN
例2
已知： 两圆盘半径均为200mm， AB =800mm,
圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，
例3
已知：P=8kN, P110kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
受力：P,P1,FA,FB,FD,
列平衡方程
Fz 0 P P 1 F A F B F D 0
MxF0 0 .2 P 1 .2 P 1 2 F D 0 MyF0 0 .8 P 1 0 .6 P 1 .2 F B 0 .6 F D 0
F5 0
M AC F0
F4 0
M EF F0F6aa 2PF1
ab 0 a2b2
空间任意力系
Mz bF cos sin F cos cos 8 N m
MO
M x2
M
2 y
M
2 z
124.3 N m
32
第33页/共68页
例题
空间任意力系
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
力。
48
第49页/共68页
例题
空间任意力系
例题7
z
FA
FB
O1
E
M
D
x
O2
G
FC
y
解：
1.取货车为研究对象，受力分析如
图。
2.列平衡方程。
O3
Fz 0, FA FB FC G 0
Mx 0, FC O3D G EM 0
3.联立求解。
M y 0, G O1E FC O1D FB O1O2 0
动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化
9
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动画
第5章 空间任意力系
空间力系向任一点的简化意义
10
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动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
11
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动画
第5章 空间任意力系
力线平移实例
12
第13页/共68页
动画
第5章 空间任意力系
主矢F'R≠0 ，主矩 MO≠0 ， 若 主 矢 F'R 垂 直 于 主矩MO ，则原空间任意力 系合成为一个力FR。
M y F zFx xFz
工程力学课后习题含答案
第一章 静力学基本概念与物体的受力分析下列习题中，未画出重力的各物体的自重不计，所有接触面均为光滑接触。
1.1 试画出下列各物体（不包括销钉与支座）的受力图。
解：如图(g)(j)P (a)(e)(f)WWF F A BF DF BF AF ATF BA1.2画出下列各物体系统中各物体（不包括销钉与支座）以及物体系统整体受力图。
解：如图F BB(b)(c)C(d)CF D(e)AFD(f)FD(g)(h)EOBO E F O(i)(j) BYFB XBFXE(k)1.3铰链支架由两根杆AB、CD和滑轮、绳索等组成，如题1.3图所示。
在定滑轮上吊有重为W的物体H。
试分别画出定滑轮、杆CD、杆AB和整个支架的受力图。
解：如图'D1.4题1.4图示齿轮传动系统，O1为主动轮，旋转方向如图所示。
试分别画出两齿轮的受力图。
解：1o xF2o xF2o yF o yFFF'1.5结构如题1.5图所示，试画出各个部分的受力图。
解：第二章 汇交力系2.1 在刚体的A 点作用有四个平面汇交力。
其中F 1＝2kN ，F 2=3kN ，F 3=lkN ， F 4=2.5kN ，方向如题2.1图所示。
用解析法求该力系的合成结果。
解 00001423cos30cos45cos60cos45 1.29Rx F X F F F F KN ==+--=∑ 00001423sin30cos45sin60cos45 2.54Ry F Y F F F F KN ==-+-=∑2.85R F KN ==0(,)tan63.07Ry R RxF F X arc F ∠==2.2 题2.2图所示固定环受三条绳的作用，已知F 1＝1kN ，F 2=2kN ，F 3=l.5kN 。
求该力系的合成结果。
解：2.2图示可简化为如右图所示023cos60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑013sin600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑2.77R F KN ==0(,)tan6.2Ry R RxF F X arc F ∠==-2.3 力系如题2.3图所示。
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk
静力学知识要点详解
《简明理论力学》——哈尔滨工业大学第二版静力学第一章静力学公理和物体的受力分析静力学：即刚体静力学，是研究刚性物体在平衡时的受力状况。
静力学研究三个问题：（1）物体的受力分析；（2）力系的等效代换；（3）力系的平衡条件极其应用。
（一）静力学公理：（1）公理1 力的平行四边形法则(三角形法则)作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
（2）公理2 二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的等值，相反，共线。
（3）公理3 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推理1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
推理2 “三力”平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
（4）公理4 作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上。
（5）公理5 刚化原理若变形体在某一力系作用下处于平衡，则将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
（注：反之不一定成立。
因为使刚体平衡的充要条件，对变形体是必要的但非充分的。
）（二）约束和约束力自由体(free body)：位移不受限制的物体非自由体(constrained body)：位移受到某些限制的物体约束(constraint)：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体。
约束力(constraint force)：约束体作用在非自由体上的力。
注：火车是非自由体，铁轨是约束体，铁轨作用在车轮上的力为约束力。
1、工程中常见的约束（1）光滑接触约束---具有光滑接触面（线、点）的约束约束力特点：作用点：在接触处方向：沿接触处的公法线并指向受力物体；（故称为法向约束力）（2）柔索类约束--由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束约束力方向：柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。
理论力学第5章-空间任意力系
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
工程力学第四版电子课件gclx5
解：solution
Pz = P⋅sin45° Pxy = P⋅cos45° Px = − Pcos45°⋅sin60° Py = P⋅cos45°⋅cos60°
9
m z ( P ) = m z ( P x ) + m z ( P y ) + m z ( P z ) = 6× Px + ( −5× Py ) + 0 = 6 Pcos45°sin60° − 5Pcos45°cos60° = 38.2( N ⋅m)
∑X =0 Y ∑ =0 ∑Z =0
说明： 三个独立平衡方程， 说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解 三个未 知量。 知量。 we can determine three unknown forces by using three independent equations.
15
∑X =0, ∑mx (F)=0 ∑Y =0, ∑my (F)=0 ∑Z=0, ∑mz (F)=0
12
2、解析法： 、解析法 由于 Fi = X ii + Y i j + Z i k 合力 由 ∴ 代入上式
R = ∑ X i i + ∑Y i j + ∑ Z i k
为合力在x轴的投影，
∑Xi
Rx = ∑ X i
R ymethod By using the theorem of resultant projection to determine the resultant force.
5
5-2 力对轴的矩
the moment of a force about an axis 一、力对轴的矩的概念与计算
the concepts and the calculation of the moment of a force about an axis
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
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求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
空间平行力系的平衡方程
F 0 M
z
x
0
M
y
0
2.空间约束类型举例 5.空间力系平衡问题举例
§5-3 重 心
1.计算重心坐标的公式
P xC P 1 x1 P 2 x2 .... P n xn Pi xi
xC
Px P
i i
P yC P 1 y1 P 2 y2 .... P n yn Pi yi
yC
i
Py P
i
P zC P 1 z1 P 2 z2 .... P n zn Pi zi
zC Pz P
i i
计算重心坐标的公式为
P P 对均质物体，均质板状物体，有 xC xC Vx V
i i
xC
Px P
i i
yC
AB
M 0 M 0 M 0
AE AC
M BC F 0
a ab F6 a P F1 0 EF 2 2 2 a b b M FG F 0 Fb 2 P F2b 0 b
F F F F
4R 4(r b) y1 , y2 , y3 0 3π 3π
由 yC
Ay A
i i
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 40.01mm 得 yC A A A 1 2 3
第5章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系向一点的简化 §5-2 空间任意力系的平衡方程 §5-3 重 心
§5-1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi
Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力 Fi Fx i Fy j Fz k FR
F1 xC l P
l ' l cos
H sin l
xC ' xC cos h sin
l2 H 2 cos l
h为重心与前轮的高度差
h zc r
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H
例5-1 已知：正方体上作用两个力偶
M
0 M M sin 45 0 y 2 3
M1 M 2
设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB 2 F1 F2
杆 A1 A2 受拉，B1B2 受压。
各尺寸如图 例5-2 已知： P=8kN, P 1 10kN, 求： A、B、C 处约束力 解：研究对象：小车
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
x 1 15mm y 1 45mm
A 1 300mm 2
x 2 5mm
x 3 15mm
y 2 30mm A 2 400mm 2
y 3 5mm
A 3 300mm 2
则
Ai x i A1 x 1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3
例5-5
F 2 F , 30 , 60 , 各尺寸如图 F 2000N, 2 1 已知： 求： F1 , F2 及A、B处约束力
解：研究对象，曲轴
列平衡方程
F
Fx 0
y
F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0
0
00
x — 有效推进力 FR FRy — 有效升力 z — 侧向力 F R
飞机向前飞行 飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转
飞机转弯 飞机仰头
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
（1） 合力 0, MO 0 FR
过简化中心合力
0, MO 0, FR MO FR
合力.合力作用线距简化中心为
d M O FR
M O d FR M O ( FR ) M O ( F )
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴） 之矩的矢量和.
（2）合力偶
0, MO 0 FR
一个合力偶，此时与简化中心无关。
M F 0
x
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0 D M F 0 F R F2 F1 0 y 2 M F 0 ( F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0 z
Py
i
i
zC
Pz
Hale Waihona Puke i iyCVy
i i
Ax A
i i
yC
V Ai yi A
zC
Vz
i i
zC
V Ai zi A
--称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法
（1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l 则
欲测定zc，将前轮抬离地面H处 F2 有 xC l P
（5）力螺旋
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
0, MO 0, FR , MO 既不平行也不垂直 FR
M O sin 力螺旋中心轴距简化中心为 d F R
（5）平衡 0, MO 0 FR
主矢
空间力偶系的合力偶矩
M O M i M O ( Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
M O M x ( F )i M y ( F ) j M z ( F )k
MOx — 滚转力矩 M Oy — 偏航力矩 MOz — 俯仰力矩
P a F6 a P 0 F6 2 2 F5 0 F4 0
F1 0
F2 1.5P
F2 b P F3 cos 45 b 0 2
F3 2 2 P
例5-6
已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定，只求重心的x,y坐标即可.
Ai y i A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例5-7
已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm, b 13mm 求：其重心坐标.
解：用负面积法，为三部分组成.
由对称性，有 x C 0
π 2 π A1 R , A2 (r b)2 , A3 πr 2 2 2
F1 3000N, F2 6000N,
FAx 1004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例5-4 已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N,
Fr 0.36 F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
Fz 17N,
(F 1, F 1 ), ( F 2, F 2 ),
CD // A2 E ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1 , F2 的关系和两根杆受力.
解：两杆为二力杆，取正方体，画
M
受力图建坐标系如图b 以矢量表示力偶，如图c
x
0
M 1 M 3 cos 45 0