2.2.2 等差数列的性质及应用

2.2 等差数列

第2

课时：等差数列的性质及应用

编写：皮旭光

【学习目标】

1． 进一步学习等差数列的项与序号之间的关系，探索发现等差数列的性质，掌握其应用技巧；

2．

能够灵活利用等差数列的性质解决综合问题。

【知识线索】 1．等差数列中的设元技巧：一般地，若三项成等差数列，我们常记该三项分别为

d a a d a +-,,； 四个数时,设为：a －3d,a －d ，a ＋d ，a ＋3d 。

2．等差数列的项与序号的关系：设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则

① d m n a a m n )(-+= （第二通项公式）；

② 若k q p n m a a a a a k q p n m 2,2=+=+=+=+则 ),,,(*∈N q p n m 。

3．等差数列的其它性质：

(1)若}{n a 是公差为d 的等差数列，则下列数列：

①}{c a n +(c 为任一常数)是公差为_____的等差数列；

②}{n a c ∙(c 为非零常数)是公差为_______的等差数列；

③}{k n n a a ++是公差为_____的等差数列；

④}{n k a ⋅(k 为常数且*

∈N k )是公差为_______的等差数列。

（2）设}{n a ，}{n b 的公差分别为1d ，2d ，则}{n n qb pa +是公差为_______的等差数列（q p ,为常数）。

【知识建构】 1．已知数列}{n a 的公差为d ，你能证明：

d m n a a m n =--吗？由此你能得出哪些变形式子； 2．回答教材P39页第5题中的问题，你能归纳其中的结论吗，有什么特点呢？

3．回答教材P39页第４题中的问题，请你尝试探讨等差数列的性质。

【典例透析】

例1．在等差数列}{n a 中,（1）若3773=+a a ，则8642a a a a +++＝________；

(2)若815=a ，2060=a ，则75a ＝________；

（3)若===+n m n m a m a n a 则,,________。

高一必修5：第二章 数列 课时目标呈现 课前自主预习

课中师生互动

例2．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列。

例3．已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==，求数列{}n a 的通项公式。

【课堂检测】

1.在等差数列{}n a 中，（1）若3456450a a a a +++=，则18a a += ；

（2）若1235a a a ++=，45610a a a ++=，则789a a a ++= 。 ２.（1）已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求此数列；

（2）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比。

【课堂小结】

课时训练 A 组 1、在等差数列{n a }中,若1201210864=++++a a a a a ,则12102a a -的值为 （ ）

A 、20

B 、22

C 、24

D 、28

２、已知数列{}n a 中32a =，71a =，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭

为等差数列，则11a 等于（ ）

A 、0

B 、

21 C 、3

7 D 、1- ３、若,,a b c 成等差数列，则二次函数2()2f x ax bx c =++的零点个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．不确定 课后训练提升

４、已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为

14的等差数列，则m n -等于（ ） A 、1 B 、34 C 、12 D 、38

B 组

5、在等差数列}{n a 中，（1）475a a +=，566a a =，则通项公式n a = ；

（2）103,a a 是方程2

x －3x －5＝0的两根，，则85a a +＝________。

6、如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3））．依此类推，第n 个图中原三角形被剖分为n a 个三角形．则数列{}n a 的通项公式是 ；第100个图中原三角形被剖分为 个三角形？

C 组

7、若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，…，32313n n n a a a --++（ ）

A 、一定不是等差数列

B 、一定是递增数列

C 、一定是等差数列

D 、一定是递减数列

8、已知数列{}n a 中，917a =，131

n n n a a a +=+ （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列；（2）求n a 。

9、如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD cm ，这三个正方形的面积之和是1792cm ．

（1）求,,AB BC CD 的长；

（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

【纠错·感悟】