电位移 有介质时的高斯定理
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有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
电位移介质中的高斯定理复习课件
理解电位移与电场强度的关系，有助于更好地理解高斯定理的物理意义。
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
9-6有电介质时的高斯定理 电位移
∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布
09-3-电位移
ε r1 1 σ0 (2)σ1 ' = ) ε r1 ε r2 1 σ2'= σ0 ε r2
�
∑
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
在有介质存在的情况下,介质在外电场的作 在有介质存在的情况下 介质在外电场的作 用下会发生极化,产生束缚电荷 产生束缚电荷.这些束缚电荷 用下会发生极化 产生束缚电荷 这些束缚电荷 也要激发电场.基于这一思想 可以预期,只要 基于这一思想, 也要激发电场 基于这一思想 可以预期 只要 我们把这些束缚电荷考虑进去,真空中的高斯 我们把这些束缚电荷考虑进去 真空中的高斯 定理将依然成立.因此有 因此有: 定理将依然成立 因此有
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
叫电介质的电极化率, 式中 叫电介质的电极化率,它取决于介 质的性质. 相同, 质的性质.若介质中各点的 相同,就是均 匀电介质,将其代入电位移的定义式,有 匀电介质,将其代入电位移的定义式 有
(2)由上题可知
λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r
D
λ σ 1 ' = (ε r 1)ε 0 E1 = (ε r 1) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = (ε r 1)ε 0 E 2 = (ε r 1) 2π ε r R2
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
∑ q = ∑ q + ∑ q′
i S S S
E dS = ∫
S
1
ε0
(∑ q + ∑ qi′ )
S S
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
�
∑
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
在有介质存在的情况下,介质在外电场的作 在有介质存在的情况下 介质在外电场的作 用下会发生极化,产生束缚电荷 产生束缚电荷.这些束缚电荷 用下会发生极化 产生束缚电荷 这些束缚电荷 也要激发电场.基于这一思想 可以预期,只要 基于这一思想, 也要激发电场 基于这一思想 可以预期 只要 我们把这些束缚电荷考虑进去,真空中的高斯 我们把这些束缚电荷考虑进去 真空中的高斯 定理将依然成立.因此有 因此有: 定理将依然成立 因此有
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
叫电介质的电极化率, 式中 叫电介质的电极化率,它取决于介 质的性质. 相同, 质的性质.若介质中各点的 相同,就是均 匀电介质,将其代入电位移的定义式,有 匀电介质,将其代入电位移的定义式 有
(2)由上题可知
λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r
D
λ σ 1 ' = (ε r 1)ε 0 E1 = (ε r 1) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = (ε r 1)ε 0 E 2 = (ε r 1) 2π ε r R2
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
∑ q = ∑ q + ∑ q′
i S S S
E dS = ∫
S
1
ε0
(∑ q + ∑ qi′ )
S S
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
电位移有电介质时的高斯定理
荷的代数和。
1
讨论
D
0
E
P和
D dS
S
q0内
(1)
在没有电介质的情况下，P
0,
D的高斯定理
还原为第五章中的高斯定理。
(2)
将
P
0(r
1)E代入
D
0E
P
D 0r E
0r
D E
: 电介质的介电常数，其单位与 0的单位相同。2讨论D0EP和
D dS
S
的高斯定理是普遍成立的在具有某种对称性的情况下可以首先由高斯定理出发求解3的电介质放在相距d1mm的两平行带电平板之间
有介质的高斯定理
εE S
dS
Q0
电位移矢量
D
0r E
E
0E
P
电位移通量 SD dS
有介质时的高斯定理
n
D dS S
Q0i
i 1
D 的高斯定理：通过任意
封闭曲面的电位移通量等 于该封闭面包围的自由电
度P ，板和电介
质的电荷面密度，电
+++++++++++
介质内的电位移D. U εr
d
-----------
4
例题
解： E0
U d
103
kV m1
E E0 r 3.33102 kV m1
P (r 1)0E 5.89106 C m-2
r =3，
d=1 mm，
U=1 000 V
+++++++++++
3.5有电介质时的高斯定理
3.5有电介质时的高斯定理
3.5 有电介质时的高斯定理
3.5.1电介质中的场强
电介质放入外电场中产生极化，电介质中的电场是极化电荷产生的附加电场E ’和外电场E 0的矢量和。
即：E = E 0+ E ’。
电介质中的电场不为零，但显著地被削弱了。
3.5.2电位移，有电介质时的高斯定理
真空中产生电场的电荷是自由电荷。
有介质存在时，电介质的内部或表面上出现极化电荷，极化电荷也要激发电场。
可见，有介质存在时，增加了新的场源电荷即极化电荷。
但是，新的场源只改变原有静电场的大小，不改变静电场的性质。
即对有介质存在时的静电场，高斯定理和环路定理仍然成立。
1、有电介质时的高斯定理
通过前面分析，此时高斯定理应写为：
()001S d q q ε'?=+?? E S
其中q 0和q ’分别为闭合面S 所围区域内的自由点和极化电荷。
而
S
q d '=- P S 00
1S S d q d ε???=- E S P S ()0
0S d q ε+?=?? E P S 引入一个辅助性的矢量（称为电位移）
0ε=+D E P
则上式可改写为
0S d q ?=??
D S 上式叫做有电介质存在时的高斯定理。
对于各向同性电介质有
0εχ=P E
()01εχ=+D E
上式说明电介质中任一点的D 与该点的E 方向同向，大小成正比。
电介质的介电常量：
()01εεχ=+ 电介质的相对介电常量：
01r εεχε==+ 0r εεε==D E E
例1【P103】、例2【P104】。
电位移有介质时的高斯定理
P 0r1E
D 0rE E介质方程
定义 0r
有电介质时电场的计算
步骤：
[ SDdS=qf ] [D=E] [V=abEdl ] [C=qf /V]
由qf D E V C
[P = 0(r -1)E]
P
[= P n]
电位移矢量
D P0 E（任何介质）
DE（均匀介质）
有介质时的高斯定理
质的电荷面密度, 电介质内的电位移 D .
解 E 0 U d 1 1 3 0 0 V m 0 1 1 06 V 0 m 1 13 k 0 m V 1
EE0 r 3.3 3 12k 0V m 1
P (r 1 )0 E 5 .8 1 9 6 C 0 m -2
00 E 0 8 .8 1 5 6 0 C m 2
DdS
S
Q 0i
i
电容率
0r
极化电荷面密度
' Pn
CrC0 EE0 r （均匀介质）
注意
有介质时先求 D E U
例1 把一块相对电容率 r 3 的电介质,放在极 板间相距d1mm的平行平板电容器的两极板之间. 放入之前,两极板的电势差是 100V0 . 试求两极板间
电介质内的电场强度 E , 电极化强度 P , 极板和电介
l
Pn ^
n^
介质外法线方向
dS
P
dS
四.电介质的极化规律 1.各向同性线性电介质 isotropy linearity
玻璃片上熔化的石蜡呈圆形
Pe0E e r1 介质的电极化率
e 无量纲的纯数 与 E无关
2.各向异性线性电介质 anisotropy
云母片上熔化的石蜡呈椭圆形
e(从P 而 ) 与 E 、与晶轴的方位有关
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
大学物理课件有电介质时的高斯定理电位移
1
0
( 0
' )S
E
1
0
(
0
')
'
(1
1
r
)
0
补充2 导体球置于均匀各向同性介质中
求 电场的分布 ，紧贴导体球表面处的
极化电荷，两介质交界处的极化电荷?
解 (1)电场的分布
D dS q0i ,内
S
i
4r2D Q0 (r R0 )
球形高 斯面
E1 0
(r R0 )
E2
Q0
40 r1r 2
S
E0
dS
1
0
0S
0
+
E E0
r
E0 r E
0 r E dS 0S
S
+
+
+
+
+
+
+
' - - - பைடு நூலகம் - - - - -
r
S
+
+
+
+
+
+
+
+
'
-----------------
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
D dS q 0i ,内
S
i
0
• 通过高斯面的电位移通量等于高 斯面所包围的自由电荷的代数和，
E3
Q0
40r2r 2
(R1 r R2 )
Q束缚 Q'Q'' 讨
第六章 5电位移矢量介质中的高斯定理
q
II区：
V 2 r E 2 dr
q
R
r
q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
r
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板 面积为 S，面电荷密度为 0 , 其间插有厚 度为 d’ 、电容率为 r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E； d' 0 0 ②.电容器的电容。 ①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分别 经过导体和 P1 点。 高 斯 D S D d S q 0 面
也可视为两电容器串联
C1 C2
d1
d2
0 r1S
d1
0 r 2S
d2 1 C1 1 C2
串联
C
1 C
r1
r2
d
C 1C 2 C1 C 2
0S
d1
r1
d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
②.已知 U，求0、E、D、P。 解： 0
S 0 E d S q 0 S P d S S ( 0 E P ) d S q 0
高斯面
定义：D
0E P
为电位移矢量。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
S D d S q 0
介质中的高斯定理：
一、极化强度通量
结论1 极化强度通量
P S P d S q '
E0
P
0
'
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
3
E
线
D
线
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
有介质时对称电荷分布 电场求解步骤: 电场求解步骤:
D E= ε
∫s D dห้องสมุดไป่ตู้ = q
q
D
E
第六章 静电场中的导体和电介质
4
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
一半径为R的导体球壳带电荷 的导体球壳带电荷Q 例1. 一半径为 的导体球壳带电荷 > 0 ,球外有一 球壳的均匀电介质, 层同心 球壳的均匀电介质,内外半径为 R1,R2 ,相对介 电常数 为 εr . 求(1)a,b,c,d各区域 的 D , 分布. ) , , , 各区域 E 分布. (2)以上各区域 V 分 布 )
Vd =
Q 4πε 0 r
Q
1 1 Q 1 Vc = ( )+ 4πε 0 ε r r R2 4πε 0 R2
1 1 Q 1 1 Q 1 Vb = ( )+ ( )+ 4πε 0 r R1 4πε 0ε r R1 R2 4πε 0 R2
1 1 Q 1 1 Q 1 Va = ( )+ ( )+ 4πε 0 R R1 4πε 0ε r R1 R2 4πε 0 R2
第六章 静电场中的导体和电介质
2
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理 有介质时的电场线和电位移线 + + + + + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - + + + -q + - + - - - εr + + + + + + -q + - + - - - εr + + +
E
线
D
线
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
有介质时对称电荷分布 电场求解步骤: 电场求解步骤:
D E= ε
∫s D dห้องสมุดไป่ตู้ = q
q
D
E
第六章 静电场中的导体和电介质
4
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
一半径为R的导体球壳带电荷 的导体球壳带电荷Q 例1. 一半径为 的导体球壳带电荷 > 0 ,球外有一 球壳的均匀电介质, 层同心 球壳的均匀电介质,内外半径为 R1,R2 ,相对介 电常数 为 εr . 求(1)a,b,c,d各区域 的 D , 分布. ) , , , 各区域 E 分布. (2)以上各区域 V 分 布 )
Vd =
Q 4πε 0 r
Q
1 1 Q 1 Vc = ( )+ 4πε 0 ε r r R2 4πε 0 R2
1 1 Q 1 1 Q 1 Vb = ( )+ ( )+ 4πε 0 r R1 4πε 0ε r R1 R2 4πε 0 R2
1 1 Q 1 1 Q 1 Va = ( )+ ( )+ 4πε 0 R R1 4πε 0ε r R1 R2 4πε 0 R2
第六章 静电场中的导体和电介质
2
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理 有介质时的电场线和电位移线 + + + + + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - + + + -q + - + - - - εr + + + + + + -q + - + - - - εr + + +
电位移矢量及其高斯定理
电位移矢量及其高斯定理
一、介质中的高斯定理
1、数学表达式
有介质存在时，高斯定理仍然成立。
但在计算高斯面内包围的电荷时，应包括自由电荷和极化电荷，即
而
两式整理后，得
如果定义一点的电位移矢量为
则有
上式称为有介质存在时的高斯定理。
因为是电位移矢量的通量，所以它可以表述为：通过任一闭合曲面的电位移通量，等于包围在该闭合面内自由电荷的代数和。
2、关于定理的几点说明
（1）有介质存在时的高斯定理是更普遍的规律，它概括了真空中的高斯定理。
（2）在的高斯定理中，和不直接出现，在电荷和介质分布具有一定对称性的情况下，可以由自由电荷的分布，求出的分布。
（3）高斯面上任一点的是由空间总的自由电荷的分布决定，不能认为只与面内自由电荷有关。
二、电位移矢量
1、物理意义
是复合量，它既描述电场，同时也描述介质极化。
引进的目的是为了使有介质存在时高斯定理的形式简化。
2、与的关系
因为，所以
而，所以
三、应用举例
半径为的金属球，电荷为，放在均匀无限大介质中，介质的介电常数为。
求介质中的电场强度。
解：在金属球外的介质中取一点，距球心的距离为。
以为球心、为半径作一同心球面为高斯面，则由介质中的高斯定理，得
电位移矢量
介质中的场强为
若金属球放在真空中，则场强为。
4介质中的高斯定理
=
Dv
ε
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为σ0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+σσ´0
D⋅S =σ0S D = σ0
D +σ´
E = D = σ0
- σ0
ε 0ε r ε 0ε r
σ0 = σ0 −σ′
E0
=
σ0 ε0
E′ = σ′ ε0
E = E0 − E′
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
一、有介质时的高斯定理
真空中的高斯定理: 介质中的高斯定理: 以导体平板为例:
∫∫SSEEvv⋅⋅ddSvSv==ε1ε010(∑∑qqii+ ∑ qi′)
∫SPv
⋅
v dS
移出S面
∫=
Pv
⋅
v dS
S′
∫= σ ′dS S′
v P
=
ε
0
v E
∫ ∫ ∫ v D
⋅
v dS
=
ε
S
S
3.
电位移矢量
v D
量是电场强度
v 0E
⋅
v dS
=
∑
qi
v E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
是E.v一个辅助量.描写电场的基本物理
∑
qi
介质中的高斯定理
对于各向同性的电介质:
v P
=
χ
eε
0
v E
( ) v
D
=
ε
0
v E
10-3 电位移 有电介质时的高斯定理
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理
物理学教程 （第二版）
1 E dS (Q0 Q)
S
0 r 1 Q Q0 r
0 + + + + + + + + + + + - - - - - S电容率来自 Q0 E dS
S
0 r
r
R2
R1
第十章 静电场中的导体与电介质
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理
物理学教程 （第二版）
r
R2
解（1）
R1
D dS l
S
D 2π rl l
D
2π r
( R1 r R2 )
E 0 r 2π 0 r r
D
0 r
r
+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - -
电位移矢量 D 0 r E E （均匀各向同性介质）
电位移通量
D ds Q0
s
第十章 静电场中的导体与电介质
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 电位移矢量
物理学教程 （第二版）
例 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 直圆柱导体和同轴的半径为 R 的薄导体圆筒组成， 2 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度和电位移； （２）电介质内、外表面的极化电荷面密度．
第十章 静电场中的导体与电介质
物理学教程 （第二版）
1 E dS (Q0 Q)
S
0 r 1 Q Q0 r
0 + + + + + + + + + + + - - - - - S电容率来自 Q0 E dS
S
0 r
r
R2
R1
第十章 静电场中的导体与电介质
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理
物理学教程 （第二版）
r
R2
解（1）
R1
D dS l
S
D 2π rl l
D
2π r
( R1 r R2 )
E 0 r 2π 0 r r
D
0 r
r
+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - -
电位移矢量 D 0 r E E （均匀各向同性介质）
电位移通量
D ds Q0
s
第十章 静电场中的导体与电介质
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 电位移矢量
物理学教程 （第二版）
例 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 直圆柱导体和同轴的半径为 R 的薄导体圆筒组成， 2 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度和电位移； （２）电介质内、外表面的极化电荷面密度．
第十章 静电场中的导体与电介质
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
大学物理 第三篇 电位移矢量和有电介质时的的高斯定理
1Q W 2 C
2
四.场能密度
单位体积内的电能
能量储存于场中 dW we dV
以平行板电容器的场为特例可以 导出 在带电为 Q 时 We 电场能量密度为 we V (自证)
r
S
d
1 we D E 2
普遍
1 单位体积内的电能 we D E 2
例 导体球的电场能ຫໍສະໝຸດ 二. D 的高斯定理
S
D dS
q
i
0i
自由电荷
证： E dS
S
q
i
i
0
i
q q
i i
oi
0 E dS P dS qoi
S S
D dS q0i
S i
0
i
在具有某种对称性的情况下，可 以首先由高斯定理出发 解出 D
W Aq1
q2
q 2 E 1 dl q 2 E1 dl r r
q U 2 21 40 r
q1
在处的电势
q1 在 q2 所
也可以先移动 q2
q2 在 q1所
在处的电势
状态a
q2 W q1 q1U 12 40 r 作功与路径无关 q2U 21
Q E 2 40 r
We
Q D 2 4 r
r
ED
all space of field
we dV
Q 2 2 4 4 r dr 32 0 r R
2
We
Q
2
8 0 R
与前面计 算结果同
4电位移 有介质时的高斯定理
P = χε 0 E
令 得
χ:
电极化率
D = ε 0ε r E = ε E
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 (1 + χ ) E 1+ χ = εr 介质的相对电容率
E= D = D
式中εຫໍສະໝຸດ ε 0ε rε 0 : 真空电容率 ε = ε 0ε r : 介质电容率
6
8-3 电位移矢量 有介质
高
有介质时的高斯定理
∫ D ⋅ dS = ∑ Q
S i =1
n
0i
电位移通量 电位移矢量
∫ D ⋅ dS
S
D = ε 0ε r E = ε E
7
电位移矢量 有介质
高
的电介质， 例1 把一块相对电容率εr =3的电介质， 的电介质 放在相距d=1mm的两平行带电平板之间 的两平行带电平板之间. 放在相距 的两平行带电平板之间 放入之前，两板的电势差是1000V . 试求 放入之前，两板的电势差是 两板间电介质内的电场强度E 两板间电介质内的电场强度 ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
S
Q0
S
Q'
−σ' - - - - -
+++++++++++
εr
+ σ' + + + + +
-----------
6 有电介质时的高斯定理
于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.
E dS
S 0r
Q
0i
i
自由电荷 代数和
讨论 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
1、定义：电位移矢量 D 0rE E
: 电容率,决定于电介质种类的常数
说明
(1)是描述电场辅助性矢量
(2) 对应电场线起始于正自由电荷，
(3)
终止于负自由电荷
电位移通量 Ψ D
二、电介质中的静电场环路定理
l E dl 0
D dl 0 l
电位移 有介质时的高斯定理
一、电介质中的高斯定理 电位移矢量 D
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
qi
i
1
0
(
0 )S
'(1 1r Nhomakorabea)
0
EdS Q
S 0r i
E
dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
0i
自由电荷的代数和
令： D0ErE
电位移矢量
DdS
S
Q0i
i
电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等
D
s
dS
电力线与电位移线的比较
E线
D线
+Q
+Q
r
r
2、电介质中电场 强度
E
、电极化强度
P
和电位移矢量D 之间的 关系
电位移
D 0rE E
电极化强度
P
(r1)0 E
D P 0E
3、电介质中的高斯定理
D dS Q0i
S
i
(自由电荷
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解
0 Q 1 4 r 2 D 0 Q1 Q2 4 r 2
D dS Q
S i 1
n
0i
(r R1 ) ( R1 r R2 ) ( R2 r R3 ) (r R3 )
0 Q 1 4 0 r r 2 E 0 Q1 Q2 4 0 r 2
Q1
2
dr
V2
r2
Q1 Q2 Q Q2 1 dr 1 4 0 r 2 4 0 r2
1 1 ( ) 4 0 r R1 R2
Q1
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
例10-3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的 长直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， r 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度、电位移（２） 电介质内、外表面的极化电荷面密度.
r
R2
R1
E1 2π 0 r R1 E2 2π 0 r R2
(r R1 )
(r R2 )
（２）由上题可知
E 0 r 2π 0 r r
D
1 ' ( r 1) 0 E1 ( r 1) 2π r R1 2 ' ( r 1) 0 E2 ( r 1) 2π r R2
S i
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
讨论 方法①
如何求解有介质存在时的电场强度？
假设介质不存在，求出有自由电荷产生的电场 E0
再计算有介质时
E0 E r
方法②
先通过有介质时的高斯定理求出电位移D, 再求出
E D
D
0 r
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
(r R1 ) ( R1 r R2 ) ( R2 r R3 ) (r R3 )
第10章 静电场中的导体和电介质
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
（1） E1
r1
4 0 r r12
R2 r1
Q1
V1 Edl Q1
D 0E P
P ( r 1) 0 E
D r 0 E E
有介质时的高斯定理
S
D dS
Q
i
0i
D :电位移矢量
大小 :
Q0:自由电荷
方向 : 与 E 相同
D E 0 r E
单位:
C m
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
10.3.1 有介质时的高斯定理
考察当静电场中存在介质时的高斯定理
1 E dS (Q0 Q ' )
S
0
Q s S
' '
s dS
' S
S
P dS
Q0 1 S E d S e0 S P d S e0
2
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
小结：有介质时的静电场相关公式
电容率
电场强度 电极化强度 极化电荷面密度 电位移 高斯定理
0 r
E E0 r
P r 1) 0 E （
' P ( r 1) 0 E
D E 0 r E D dS Q0i
r
R2
R1
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质Leabharlann rR2解（1）
R1
D d S l
S
D2π rl l
E 0 r 2π 0 r r
D
D
2π r
( R1 r R2 )
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
0 +++++++++++ ' - - - - - S r D P ' + + + + + + 0- - - - - - - - - - -
电位移矢量
D e0 E P
D dS Q0i
S i
有介质时的高斯定理
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质
+ + +
+++++++++++
r 1 ' 0 r
E0 0 / 0 E E0 / r
r
----------P ' ( r 1) 0 E
+ + +
r 1 Q' Q0 r
'
r 1) 0 E （
10 – 3 电位移 有电介质时的高斯定理 第十章静电场中的导体和电介质 电位移矢量 D 电场强度 E 及电极化强度 P 的关系
10.3.2 电场强度、电极化强度和电位移之间的关系 E0 ：自由电荷产生的电场
'：自由电荷面密度
r r 1 E' E0
E E0 E ' E0
E ' ：极化电荷产生的电场
：极化电荷面密度
E0 0 / 0 E' ' / 0
- - - - - r d E0 E ' E
例10-2 如图所示，半径为 R1 的金属球 A 的外面，包有同心的金属球壳 B ，内半径为 R2 ，外半径为 R3，A 、B 间充满相对电容率为 r 的均匀电介质， Q2 Q1 球壳B 外是空气，A 球上带有 ，球壳B 上带有 求：(1)离球心距离为 r1 ( R1 r1 R2 ) 的 P1 点电场强度大小和电势；(2)离球心 距离为 r2 (r2 R3 )的 P2 点电场强度大小和电势；(3)球A与球壳B间的电势差。
4 0 r r 2
Q1
dr
Q1 Q2 dr R3 4 r 2 0
Q1 Q2 1 1 1 ( ) 4 0 r r1 R2 4 0 R3
Q1 Q2 （2）E2 4 0 r22
（3）U AB Edl
R1
R2
R2
R1
4 0 r r