南理工数字信号处理DSP复习提要
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anu[n] z za
| z | 1 | z | a
u[n 1] z z 1
anu[n 1] z za
| z | 1 | z || a |
离散时间系统及其性质
线性系统(满足叠加原理的系统)
T{ax1[n]+bx2[n]}=aT{x1[n]}+bT{x2[n]}=ay1[n]+by2[n]
时不变系统 T{x[n-n0]}=y[n-n0] （ n0为任意整数）
第3部分 IIR&FIR滤波器设计
数字滤波器——线性时不变离散时间系统。 根据模拟滤波器设计IIR滤波器
1. 脉冲响应不变法: h[n]=ha(nT)
Ha (s)
N i 1
Ai s si
H (z)
N i 1
Ai 1 esiT z 1
优点： ω与Ω是线性关系，ω＝ΩΤ
缺点：
由于标准的s平面与z平面的映射（ z＝esT ）为多值映 射，所以产生频谱混叠现象。
单位脉冲响应
h[n]
系统函数 频率响应
H(z) Y(z) X (z)
H (e j )
Y (e j ) X (e j )
H (z)
ze j
连续时间信号的采样
xs(t) 冲激串转换
xa(t)
为序列x[n] x[n] = xa(nT)
T (t) (t nT )
n
xs (t) xa (t) T (t) xa (nT ) (t nT )
2
2
(4)周期卷积
Y[k] X1[k]X2[k]
N 1
y[n] IDFS[Y[k]] x1[m]x2[n m]
m0
离散傅里叶变换（DFT）
N 1
X [k] DFT[x[n]] x[n]WNkn
n0
x[n]
IDFT[ X [k]]
1 N
N 1 k 0
X [k ]WNkn
0 k N 1 0 n N 1
2）右边序列
z
1、n1<0 2、n1>0
n2=∞ n2=∞
Rx1 z z Rx1
3）左边序列
1、n1=-∞ n2>0 0 z R x 2
2、n1=-∞ n2<0
z Rx2
4）双边序列（无始无终序列）
Rx1 z Rx2
逆z变换---部分分式展开法
常用序列z变换
u[n] z z 1
x1[n],0 n N1 1; x2[n],0 n N2 1
N1 1
yl[n] x1[n] x2[n] x1[m]x2[n m] x1[m]x2[n m]
m
m0
yc[n] x1[n] N x2[n] [ yl[n rN ]]RN [n] r
两个有限长序列的循环卷积和线性卷积相等的前提条件是：
快速傅里叶变换(FFT)
（1）复乘与复加运算量 直接计算DFT： N2次复乘、N(N-1)次复加
用FFT计算DFT：
N 2
log2
N
次复乘、
N log2 N
次复加
（2）原位计算(同址计算)： 节省存储单元
（3）序数重排 N=4：x(0), x(2), x(1), x(3) N=8：x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7) N=16：x(0), x(8), x(4), x(12), x(2), x(10), x(6), x(14) x(1), x(9), x(5), x(13), x(3), x(11), x(7), x(15)
3.利用DFT的圆周共轭对称性
DFT[Re{g[n]}]
X[k]
Gep[k]
1 [G[k ] 2
G*[N
k]]，
0 k N 1
Y[k] 1 [G[k] G*[N k]]， 0 k N 1 2j
实序列的DFT计算
（2）用一次N点FFT计算一个长度为2N的实序列的2N点DFT 1.DIT-FFT分解
1 2
X[k] X *[k]
Xre[k]
Байду номын сангаас
DFT{xcca[n]}
1 2
X[k] X *[k]
jXim[k]
（4）循环（圆周）卷积
若 Y[k] X1[k]X2[k]
N 1
y[n] x1[m]x2[ n m N ],
m0
0 n N 1
N点循环卷积 y [n]= x1[n] N x2[n] 有限长序列的线性卷积与循环卷积的关系
2
X (e是j )以2π为周期的周期函数,且为 连续 函数。
z变换： X (z) Z[x(n)]
x(n) z n
n
X (e j ) X (z) ze j
z变换的收敛域
1）有限长序列
当 n 1 0, n时2 ，0 收敛域为
0 z
当 n 1 0, n时2 ，0 收敛域为
z 0
当 n 1 0, n时2，0 收敛域为
N 1
X [k] X (ejk ) k (2 / N )k x[n]e j(2 / N )kn , 0 k N 1 n0
频域采样定理：如果序列x[n]长度为M，若对其 X (ej ) 在 0 2 进行等间隔采样，采样间隔为 2 / N ，采样 点频率为 k 2 k / N ，得到N点的Y[k]，仅当采样点数 时，才能由Y[k]恢复x[n]，即x[n]=IDFT [Y[k] ]，否则将产 生时域的混叠失真，不能由Y[k]无失真的恢复原序列。
2 .双线性变换法
s
2 T
1 1
z 1 z 1
z 1 (T / 2)s 1 (T / 2)s
2 tan( )
T2
2 arctan
T 2
H(z) Ha (s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
Ha
2 T
1 1
z 1 z 1
X [7] 1
m
dm sm
W
r N
1
2…
v-1
v
1
2…
2v2
2v1 N 2
N/2 N/4 …
2
1
W
0 N
W
N4 N
…
W
2i N
2i [0, N 1] 2
W
i N
i [0, N 1] 2
i : 0,1, dm 1
dm 2m1
sm 2vm
sm dm N 2
顺入倒出的DIF－FFT流图
x[0]
x[n] x[n]
x[ n N ] x[n]RN [n]
X [k ]
X [
k
N
]
X[k] X[k]RN [k]
x[n]和X[k]隐含着周期性
N 1
X [k] X (ejk ) k (2 / N )k x[n]e j(2 / N )kn , 0 k N 1 n0
DFT和DTFT的关系
n
X s ( j )
1 T
k
X a[ j(
kT
)]
奈奎斯特采样定理：Ωs≥2Ωmax
频率归一化： T
X(ej)| =T = Xs(j) 或 Xs(j)| =/T = X(ej)
Xa(j) 1
T =2/T
=T
m 0 m
Xs(j) 1/T
0 T
T
m
m
X(ej) 1/T
2 m 0 m 2
T
N N1 N2 1
复乘：
3N 2
log2
N
N
复加： 3N log2 N
直接计算线性卷积： 复乘： N1N2 复加： (N1 1)(N2 1)
实序列的DFT计算
（1）用一次N点FFT计算两个长度为N的实序列的N点DFT 1.构成复序列 g[n] x[n] jy[n]， 0 n N 1
2.对g[n]进行一次N点FFT运算 G[k] X[k] jY[k]， 0 k N 1
(2) 序列的移位
DFS[x[n m]] WNkm X[k]
(3)共轭对称性
DFS[WNnl x[n]] X[k l]
DFS[Re{x[n]}] 1 DFS[x[n] x*[n]] 1[X[k] X *[k]]
2
2
DFS[ jIm{x[n]}] 1 DFS[x[n] x*[n]] 1[X[k] X *[k]]
DFT特性
(1) 线性
DFT{ax[n]+by[n]}=aX[k]+bY[k]
(2) 循环(圆周)移位
y[n] x[ n m N ]RN [n]
Y[k] DFT[x[ n m N ]RN [n]] WNkm X[k]
IDFT[X[ k l N ]RN [k]] WNnl x[n] （3）圆周共轭对称性
N 1
X [k] x[n]WNkn DFS x[n] n0
x[n]
1 N
N 1
X [k ]WNkn
k 0
IDFS X [k]
WN e j2 / N
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS性质
(1) 线性
DFS[ax1[n] bx2[n]] aX1[k] bX 2[k]
X [0]
x[1]
WN0
X [4]
x[2] x[3]
WN0 1 WN2
1 WN0
X [2] X [6]
1
1
WN0
x[4]
X [1]
x[5]
1
WN1
WN0
X [5]
x[6] x[7]
1 WN2 1 WN3 1
WN0 1 WN2 1
1
WN0 1
X [3] X [7]
线性卷积的FFT算法
1. 求X[k]=FFT{x[n]}，H[k]=FFT{h[n]} k=0～N-1
T
2T
4
由采样序列重构带限信号
序列x[n]
恢复滤波器
x[n] 转换为冲激串 xs(t) Hr(j)
xr(t)
T
恢复滤波器
xs (t) x[n] (t nT )
n
H
r
(
j
)
T ,
0,
|
|
其它
c
,
m c T m
Xr(j)= Hr(j) Xs(j) = Xa(j)
第2部分 离散傅里叶变换及其快速算法
序列移位、反褶： y[n]= x[n – m]， y[n] = x[n]
序列的单位脉冲叠加运算： x[n] x[m][n m]
m
序列的卷积和
s[n] x[n] y[n] x[m]y[n m]
m
DTFT：
X (ej ) x[n]e jn n
IDTFT：
x[n] 1
X (e j )e jnd
倒入顺出的DIT－FFT流图
x[0] x[4] WN0 x[2] x[6] WN0
x[1] x[5] WN0 x[3] x[7] WN0
1
WN0
WN2 1
1 WN0 WN2
1
1
1 WN0
WN1 WN2 1 WN3 1
X [0]
X [1]
X [2]
X [3]
X [4] 1
X [5] 1
X [6] 1
x[r] v[2r], y[r] v[2r 1], 0 r N 1
2. 用前面一次N点FFT计算两个长度为N的实序列的 N点DFT的过程
3. v[n]的2N点DFT V[k]为
V V
[k [k
] X[k N]
] W2kNY[k] X[k] W2kNY[k
]
,
k 0,1, , N 1
DFT[x*[n]] X *[ k N ]RN [k] DFT[x*[ n N ]RN [n]] X *[k]
DFT{xre[n]}
X ccs [k ]
1 2
X[k] X *[N k]
DFT[
jxim (n)]
X cca [k ]
1 2
X[k] X *[N K]
DFT{xccs[n]}
2. 求Y[k]=H[k]X[k]
k=0～N-1
3. 求y[n]=IFFT{Y[k]} n=0～N-1
补零至N点
X[k] 0 ≤k≤N – 1
x[n]
N点 DFT
0 ≤n≤N2– 1
N点 IDFT
y[n]
h[n] 补零至N点 0 ≤n≤N1 – 1
N点 DFT H[k] 0 ≤k≤N – 1
0 ≤n≤N – 1
N N1 N2 1
连续信号的DFT分析
xa (t) X a ( j)
采样
x[n] X (e j )
截短
x[n]RN [n] X N (e j )
DFT
xN [n] X [k ]
1. 混叠 2. 频谱泄漏
采样前用模拟抗混叠滤波器
3. 栅栏效应 可采用在原序列的末端补零值
4. 频率分辨率
F 1 1 fT T0 NT N
线性时不变系统 ——既满足叠加原理又具有时不变性的系统。
y[n] x[m]h[n m] x[n] h[n]
m
稳定系统： h[n] n
H(z)的收敛域包含单位圆
因果系统：h(n)≡0，n<0
H(z)的收敛域为 z R
LTI离散时间系统
线性常系数差分方程
aN y[n] aN1y[n 1] a1y[n (N 1)] a0 y[n N] bM x[n] bM 1x[n 1] b1x[n (M 1)] b0x[n M ]
第1部分 离散时间信号与系统
常用离散序列:
[n]
1 0
n0 n0
u[n]
1 0
n≥ 0 n0
1 RN [n] 0
0 n N 1 其它
x[n] anu[n]
x[n]
sin 0
0
n
n0 n0
2/0 = N/r（p, q为互质整数）, 则正弦序列为周期序列
序列的运算:
序列的加减、乘积和数乘： x[n] = x1[n] x2[n]， x[n] = x1[n] x2[n]， y[n] = a x[n]
| z | 1 | z | a
u[n 1] z z 1
anu[n 1] z za
| z | 1 | z || a |
离散时间系统及其性质
线性系统(满足叠加原理的系统)
T{ax1[n]+bx2[n]}=aT{x1[n]}+bT{x2[n]}=ay1[n]+by2[n]
时不变系统 T{x[n-n0]}=y[n-n0] （ n0为任意整数）
第3部分 IIR&FIR滤波器设计
数字滤波器——线性时不变离散时间系统。 根据模拟滤波器设计IIR滤波器
1. 脉冲响应不变法: h[n]=ha(nT)
Ha (s)
N i 1
Ai s si
H (z)
N i 1
Ai 1 esiT z 1
优点： ω与Ω是线性关系，ω＝ΩΤ
缺点：
由于标准的s平面与z平面的映射（ z＝esT ）为多值映 射，所以产生频谱混叠现象。
单位脉冲响应
h[n]
系统函数 频率响应
H(z) Y(z) X (z)
H (e j )
Y (e j ) X (e j )
H (z)
ze j
连续时间信号的采样
xs(t) 冲激串转换
xa(t)
为序列x[n] x[n] = xa(nT)
T (t) (t nT )
n
xs (t) xa (t) T (t) xa (nT ) (t nT )
2
2
(4)周期卷积
Y[k] X1[k]X2[k]
N 1
y[n] IDFS[Y[k]] x1[m]x2[n m]
m0
离散傅里叶变换（DFT）
N 1
X [k] DFT[x[n]] x[n]WNkn
n0
x[n]
IDFT[ X [k]]
1 N
N 1 k 0
X [k ]WNkn
0 k N 1 0 n N 1
2）右边序列
z
1、n1<0 2、n1>0
n2=∞ n2=∞
Rx1 z z Rx1
3）左边序列
1、n1=-∞ n2>0 0 z R x 2
2、n1=-∞ n2<0
z Rx2
4）双边序列（无始无终序列）
Rx1 z Rx2
逆z变换---部分分式展开法
常用序列z变换
u[n] z z 1
x1[n],0 n N1 1; x2[n],0 n N2 1
N1 1
yl[n] x1[n] x2[n] x1[m]x2[n m] x1[m]x2[n m]
m
m0
yc[n] x1[n] N x2[n] [ yl[n rN ]]RN [n] r
两个有限长序列的循环卷积和线性卷积相等的前提条件是：
快速傅里叶变换(FFT)
（1）复乘与复加运算量 直接计算DFT： N2次复乘、N(N-1)次复加
用FFT计算DFT：
N 2
log2
N
次复乘、
N log2 N
次复加
（2）原位计算(同址计算)： 节省存储单元
（3）序数重排 N=4：x(0), x(2), x(1), x(3) N=8：x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7) N=16：x(0), x(8), x(4), x(12), x(2), x(10), x(6), x(14) x(1), x(9), x(5), x(13), x(3), x(11), x(7), x(15)
3.利用DFT的圆周共轭对称性
DFT[Re{g[n]}]
X[k]
Gep[k]
1 [G[k ] 2
G*[N
k]]，
0 k N 1
Y[k] 1 [G[k] G*[N k]]， 0 k N 1 2j
实序列的DFT计算
（2）用一次N点FFT计算一个长度为2N的实序列的2N点DFT 1.DIT-FFT分解
1 2
X[k] X *[k]
Xre[k]
Байду номын сангаас
DFT{xcca[n]}
1 2
X[k] X *[k]
jXim[k]
（4）循环（圆周）卷积
若 Y[k] X1[k]X2[k]
N 1
y[n] x1[m]x2[ n m N ],
m0
0 n N 1
N点循环卷积 y [n]= x1[n] N x2[n] 有限长序列的线性卷积与循环卷积的关系
2
X (e是j )以2π为周期的周期函数,且为 连续 函数。
z变换： X (z) Z[x(n)]
x(n) z n
n
X (e j ) X (z) ze j
z变换的收敛域
1）有限长序列
当 n 1 0, n时2 ，0 收敛域为
0 z
当 n 1 0, n时2 ，0 收敛域为
z 0
当 n 1 0, n时2，0 收敛域为
N 1
X [k] X (ejk ) k (2 / N )k x[n]e j(2 / N )kn , 0 k N 1 n0
频域采样定理：如果序列x[n]长度为M，若对其 X (ej ) 在 0 2 进行等间隔采样，采样间隔为 2 / N ，采样 点频率为 k 2 k / N ，得到N点的Y[k]，仅当采样点数 时，才能由Y[k]恢复x[n]，即x[n]=IDFT [Y[k] ]，否则将产 生时域的混叠失真，不能由Y[k]无失真的恢复原序列。
2 .双线性变换法
s
2 T
1 1
z 1 z 1
z 1 (T / 2)s 1 (T / 2)s
2 tan( )
T2
2 arctan
T 2
H(z) Ha (s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
Ha
2 T
1 1
z 1 z 1
X [7] 1
m
dm sm
W
r N
1
2…
v-1
v
1
2…
2v2
2v1 N 2
N/2 N/4 …
2
1
W
0 N
W
N4 N
…
W
2i N
2i [0, N 1] 2
W
i N
i [0, N 1] 2
i : 0,1, dm 1
dm 2m1
sm 2vm
sm dm N 2
顺入倒出的DIF－FFT流图
x[0]
x[n] x[n]
x[ n N ] x[n]RN [n]
X [k ]
X [
k
N
]
X[k] X[k]RN [k]
x[n]和X[k]隐含着周期性
N 1
X [k] X (ejk ) k (2 / N )k x[n]e j(2 / N )kn , 0 k N 1 n0
DFT和DTFT的关系
n
X s ( j )
1 T
k
X a[ j(
kT
)]
奈奎斯特采样定理：Ωs≥2Ωmax
频率归一化： T
X(ej)| =T = Xs(j) 或 Xs(j)| =/T = X(ej)
Xa(j) 1
T =2/T
=T
m 0 m
Xs(j) 1/T
0 T
T
m
m
X(ej) 1/T
2 m 0 m 2
T
N N1 N2 1
复乘：
3N 2
log2
N
N
复加： 3N log2 N
直接计算线性卷积： 复乘： N1N2 复加： (N1 1)(N2 1)
实序列的DFT计算
（1）用一次N点FFT计算两个长度为N的实序列的N点DFT 1.构成复序列 g[n] x[n] jy[n]， 0 n N 1
2.对g[n]进行一次N点FFT运算 G[k] X[k] jY[k]， 0 k N 1
(2) 序列的移位
DFS[x[n m]] WNkm X[k]
(3)共轭对称性
DFS[WNnl x[n]] X[k l]
DFS[Re{x[n]}] 1 DFS[x[n] x*[n]] 1[X[k] X *[k]]
2
2
DFS[ jIm{x[n]}] 1 DFS[x[n] x*[n]] 1[X[k] X *[k]]
DFT特性
(1) 线性
DFT{ax[n]+by[n]}=aX[k]+bY[k]
(2) 循环(圆周)移位
y[n] x[ n m N ]RN [n]
Y[k] DFT[x[ n m N ]RN [n]] WNkm X[k]
IDFT[X[ k l N ]RN [k]] WNnl x[n] （3）圆周共轭对称性
N 1
X [k] x[n]WNkn DFS x[n] n0
x[n]
1 N
N 1
X [k ]WNkn
k 0
IDFS X [k]
WN e j2 / N
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS性质
(1) 线性
DFS[ax1[n] bx2[n]] aX1[k] bX 2[k]
X [0]
x[1]
WN0
X [4]
x[2] x[3]
WN0 1 WN2
1 WN0
X [2] X [6]
1
1
WN0
x[4]
X [1]
x[5]
1
WN1
WN0
X [5]
x[6] x[7]
1 WN2 1 WN3 1
WN0 1 WN2 1
1
WN0 1
X [3] X [7]
线性卷积的FFT算法
1. 求X[k]=FFT{x[n]}，H[k]=FFT{h[n]} k=0～N-1
T
2T
4
由采样序列重构带限信号
序列x[n]
恢复滤波器
x[n] 转换为冲激串 xs(t) Hr(j)
xr(t)
T
恢复滤波器
xs (t) x[n] (t nT )
n
H
r
(
j
)
T ,
0,
|
|
其它
c
,
m c T m
Xr(j)= Hr(j) Xs(j) = Xa(j)
第2部分 离散傅里叶变换及其快速算法
序列移位、反褶： y[n]= x[n – m]， y[n] = x[n]
序列的单位脉冲叠加运算： x[n] x[m][n m]
m
序列的卷积和
s[n] x[n] y[n] x[m]y[n m]
m
DTFT：
X (ej ) x[n]e jn n
IDTFT：
x[n] 1
X (e j )e jnd
倒入顺出的DIT－FFT流图
x[0] x[4] WN0 x[2] x[6] WN0
x[1] x[5] WN0 x[3] x[7] WN0
1
WN0
WN2 1
1 WN0 WN2
1
1
1 WN0
WN1 WN2 1 WN3 1
X [0]
X [1]
X [2]
X [3]
X [4] 1
X [5] 1
X [6] 1
x[r] v[2r], y[r] v[2r 1], 0 r N 1
2. 用前面一次N点FFT计算两个长度为N的实序列的 N点DFT的过程
3. v[n]的2N点DFT V[k]为
V V
[k [k
] X[k N]
] W2kNY[k] X[k] W2kNY[k
]
,
k 0,1, , N 1
DFT[x*[n]] X *[ k N ]RN [k] DFT[x*[ n N ]RN [n]] X *[k]
DFT{xre[n]}
X ccs [k ]
1 2
X[k] X *[N k]
DFT[
jxim (n)]
X cca [k ]
1 2
X[k] X *[N K]
DFT{xccs[n]}
2. 求Y[k]=H[k]X[k]
k=0～N-1
3. 求y[n]=IFFT{Y[k]} n=0～N-1
补零至N点
X[k] 0 ≤k≤N – 1
x[n]
N点 DFT
0 ≤n≤N2– 1
N点 IDFT
y[n]
h[n] 补零至N点 0 ≤n≤N1 – 1
N点 DFT H[k] 0 ≤k≤N – 1
0 ≤n≤N – 1
N N1 N2 1
连续信号的DFT分析
xa (t) X a ( j)
采样
x[n] X (e j )
截短
x[n]RN [n] X N (e j )
DFT
xN [n] X [k ]
1. 混叠 2. 频谱泄漏
采样前用模拟抗混叠滤波器
3. 栅栏效应 可采用在原序列的末端补零值
4. 频率分辨率
F 1 1 fT T0 NT N
线性时不变系统 ——既满足叠加原理又具有时不变性的系统。
y[n] x[m]h[n m] x[n] h[n]
m
稳定系统： h[n] n
H(z)的收敛域包含单位圆
因果系统：h(n)≡0，n<0
H(z)的收敛域为 z R
LTI离散时间系统
线性常系数差分方程
aN y[n] aN1y[n 1] a1y[n (N 1)] a0 y[n N] bM x[n] bM 1x[n 1] b1x[n (M 1)] b0x[n M ]
第1部分 离散时间信号与系统
常用离散序列:
[n]
1 0
n0 n0
u[n]
1 0
n≥ 0 n0
1 RN [n] 0
0 n N 1 其它
x[n] anu[n]
x[n]
sin 0
0
n
n0 n0
2/0 = N/r（p, q为互质整数）, 则正弦序列为周期序列
序列的运算:
序列的加减、乘积和数乘： x[n] = x1[n] x2[n]， x[n] = x1[n] x2[n]， y[n] = a x[n]