非线性电路中的混沌现象

非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。

根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。

测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I RR=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11由此可得对应的1R I 值。

对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。

故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。

使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12- 20.02453093-0.002032UI经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。

应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U 曲线。

将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：3．观察混沌现象：（1）一倍周期：一倍周期Vc1-t （2）两倍周期：两倍周期Vc1-t （3）四倍周期：四倍周期Vc 1-t（4）单吸引子：单吸引子阵发混沌三倍周期Vc 1-t(5)双吸引子：双吸引子Vc 1-t4．使用计算机数值模拟混沌现象：（1）源程序（Matlab代码）：算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1：chua.mfunction [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=[];for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=[xx x];end文件2：chua_initial.m:function [x0]=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=[-0.03 0.6 -0.01]';k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3：chua_map.m:function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseif abs(xx(1))<=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=[0 9.0 01.0 -1.0 1.0O aaa 0];x=A*xx;x=x+[-9*hx 0 O]';文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);[x0]=chua_initial(x0,-100/7);[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2)对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。

具体代码如下：（Matlab代码）function discrete_chaidt=0.04;c1=1/9;c2=1;L=1/7;G=0.7;N=10000;a0=0.8;a1=0.1;MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];UVI=zeros(3,N);UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];for k=1:N-1;Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;endplot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)');经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。

（2）数值仿真结果：改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：I-Uc1-Uc2图同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。

同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。

六、选做实验：费根鲍姆常数的测量：以G 作为系统参数，将R V1+R V2由一个较大值逐渐减小，记录出现倍周期分岔时的参数值Gn ，得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比：nn n n n G G G G --=+-∞→11lim δ 测量时n 越大δ值越趋近于费根鲍姆常数。

在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：132321)()(R R R R R R --≈δ 实验测得：R 1=8700Ω；R 2=11060Ω；R 3=11829Ω。

代入上述公式，可得：≈δ 4.1728七、实验后思考题：1．什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？答：将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。

在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。

在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。

2．什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。

这在非线性理论中称为倍周期分岔。

倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。

3．什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？答：混沌大体包含以下一些主要内容：（1）系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；（2）具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；（3）这种不可预测性并非由外界噪声引起的；（4）系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。

混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。

因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。

4．什么叫吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？答：在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件，最终都将落入到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。

周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。

5．什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？答：对于某一系统，改变参量r ，当r=r 1时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r ，当当r=r 2时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去。

定义：nn n n n r r r r --=+-∞→11lim δ 常数δ被命名为费根鲍姆常数。

测量时n 越大δ值越趋近于费根鲍姆常数。

在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：132321)()(R R R R R R --≈δ 6．非线性电阻R 的伏安特性如何测量？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用的是哪一段曲线？答：测量非线性电阻R 时，把电感从电路中取出，这样可以把有源非线性负阻R 与移相器的连线隔开。