弯曲应力

第六章 弯曲应力

6.1 钢丝直径d=0.4mm, 弹性模量E=200GPa, 若将钢丝弯成直径D=400mm 的圆弧时，试求钢丝横截面上的最大弯曲正应力。（200MPa ） 解：钢丝的弯矩和中性层曲率半径之间的关系为：

EI

M =

ρ

1

则： ρ

EI

M =

，由弯曲正应力公式得ρ

σmax

max My =

=

ρ

max

Ey ，钢丝弯成圆弧后，产生的弯

曲变形，其中性层的曲率半径2

2D

d D ≈+=

ρ 2

)

2(max

D d

E =σ==D Ed MPa 2004004.0102003=⨯⨯

6.2 矩形截面梁如图所示。b = 8cm, h =12cm, 试求危险截面上a 、c 、d 三点的弯曲正应力。（20.8MPa, 10.4MPa, 0） 解：由平衡方程

0)(=∑F M A

得到： KN F F B A 4422

1

=⨯⨯=

= 危险截面在梁的中点处：

KNm ql M 4428

1

8122max =⨯⨯==

I z =121

2h b ⨯⨯=4431011521208012

1mm ⨯=⨯⨯

MPa

I My MPa I My I

My z d d z c c z

a

a 83.201011526010442.1010115230

10404

646=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯====

σσσ

A F B

F s F M

M

机械

土木

6.3 从直径为d 的圆木中截取一矩形截面梁，试根据强度观点求出所截取的矩形截面的最合理的高h 和宽b 。(h=

d 36, b=d 3

3) 解：最大弯曲正应力： z

z W M

y I M max max max max ==

σ h/b 的最佳值应应使梁的抗弯截面系数为最大。抗弯截面系数： )(6

1

)(616132222b b d b d b bh W -=-==

为b 为自变量的函数。

由 06

322=-=b d dt dW 3

6 333222d

b d h d d b =-===

6.4 图示两根简支梁，其跨度、荷载及截面面积都相同。一个是整体截面梁，另一个是由两根方木叠置而成（二方木之间不加任何联系），试画出沿截面高度的弯曲正应力分布

图，并分别计算梁中的最大弯曲正应力。（3

2a 16ql 3,

3

2a 8ql 3）

解：做出梁的弯矩图如右所示：

（1）对于整体截面梁：

32

23

2)2(3161a a a bh W z =⋅==

故：3232max

max 1633

281a ql a ql

W M z

=

==

σ （2）对于两根方木叠置

由于这是两个相同的方木叠合而成， 且其之间不加任何的联系，故有

32

32

11max 3max 21836

1)

81(21,

61

,21a ql a ql W M a W M M M z z =

⋅=====σ 3

2163a ql 3

2163a ql M

1

机械

土木

M 8

6.5 某梁的矩形截面如图，弯曲剪力Q y ＝40kN ，求截面上a 、b 、c 三点的弯曲剪应力。（MPa 2a =τ，MPa 5.1b =τ，0c =τ）

解：从图形上可以看出截面形心在其对称中心上， 且有48331020015012

1

121mm bh I z =⨯⨯==

3510625.57515050mm S z ⨯=⨯⨯

=

再有矩形截面梁的弯曲正应力

b

I S F z z S *

=

τ ，故 ,0=c τ 0.2200150104023233

=⨯⨯⨯=⨯=A F S a τ MPa 5.1150

1010625.510408

5

3=⨯⨯⨯⨯==*

b I S F z z S b τ MPa 6.6 图示简支梁由三块木板胶合而成，l=1m, 胶缝的许用剪应力为[]MPa 5.0=τ，木材的许用弯曲正应力为[]MPa 10=σ，许用剪应力为[]MPa 1=τ，试求许可荷载P 。（P=8.1kN ）

解：依题给条件，对梁进行受力分析， 由平衡条件，列平衡方程，做出剪力图

和弯矩图如右所示 （1）按木材弯曲正应力强度要求确定许可荷载

[]10120906

11

41

412

max max

=≤⨯⨯⨯===σσP W

Pl W M

N P 8640≤⇒

（2）按木材剪应力强度要求确定许可荷载

[]1120

902123

23max =≤⨯⨯=⨯=ττP

A F S

N P 14400≤⇒

（3）按胶合面剪应力强度要求确定许可荷载

[]

5.0901209012

1)

409040(21

'3'=≤⨯⨯⨯⨯⨯⨯==*ττP b

I S F z z

S

N P 8100≤⇒

综上所述可知 P=8100N=8.1KN

s

F 2

P Pl 4

1M

2

P Pl 4

1机械

土木