3.泊松过程1
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第二章小结:
时间增量 正交增量过程 独立增量过程
EX2<∞ EX=0,EX2<∞
时间平移 宽平稳随机过程 严平稳随机过程
平稳独立增量过程
维纳过程
泊凇过程
高斯过程
增量服从正态分布
增量服从泊凇分布 马尔可夫过程
有限维联合变量服从 正态分布
时间Leabharlann Baidu忆
第三章 泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
3.2 泊松过程的基本性质 3.3 非齐次泊松过程 3.4 复合泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
引言:泊松过程是一个理论上比较简单, 而在实际中常被应用的计数随机过程。 它所描述的是考虑特定事件发生次数随 时间变化的规律,它在随机过程的理论 和应用方面都起着重要的作用,特别在 运筹学和排队论中的作用更为显著。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
泊松过程的实例举不胜举,例如,在[0,t] 时间内:
定理3.1 定义3.2与定义3.3是等价的。
证 由定义3.2知 P X t+h X t 1 e
h
h
h 1 h h h h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
P X t+h X t 2
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程 N t , t 0为计数过程, 若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数,且N t 满足下列条件:
(1) N t 0;
(2) N t 取正整数值; (3)若s t, 则N s N t ;
(4)当s t时,N t N s 等于区间
s,t中“事件A”发生的次数。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
*独立增量计数过程:若t1 t2 t3 t4 , 则在
t1 , t2 内事件A发生的次数N t2 N t1 与在 t3 , t4 内事件A发生的次数N t4 N t3 相互
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”,“到达一次呼唤”,“维
修一台机器”,“接收一个粒子”,“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目,这个数目也是 随机的,它随着这段时间的延伸而不断变化,则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
所以 P0 t h P0 t h P0 t
h
h
P0 t
取h 0的极限,得
由于P ,代入上式得 0 0 P X 0 0 1
t P t e 0
所以ln P P 0 t t C1 , 0 t Ce
t
t
n!
n
, n 0,1,
.
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
注:(1)由(3)知,X t+s X s 只与t有关,与s无关, 因而泊松过程是平稳增量过程;
(2)数字特征函数: 分布列:P X t n P X t X 0 n 所以EX t DX t t ;
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.2(泊松过程):称计数过程 X t , t 0 为具有参数 0的泊松过程,若它满足下列条件: () 1 X 0 0; (2) X t 是独立增量过程; (3)在任一长度为t的区间s,t+s中,事件A发生 的次数 X t+s X s 服从参数为 t 的泊松分布, 即对任意 s, t 0,有 P X t+s X s n e
1 h P n t hP n1 t h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
所以 Pn t h Pn t h Pn t Pn1 t
h
h
取h 0的极限,得
P n t P n t P n1 t
t et P t P t e Pn 1 t n n
d t t e Pn t e Pn 1 t dt
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
d t t t t n 1时, e P t e P t e e 1 0 dt
为具有参数 0的泊松过程,若它满足下列条件:
() 1 X 0 0;
(2) X t 是独立、平稳增量过程;
(3)X t 满足下列两式: P X t h X t 1 h h , P X t h X t 2 h .
(3)自相关函数: s t , RX s , t E X s X t E X s X s X t X s EX 2 s E X s X 0 X t X s
P0 t P0 t , 且P0 0 P X 0 0 1
t
当n 1时,有:
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
P n t h P X t h n P X t h X 0 n
n j 2
P n t P 0 h P n1 t P 1 h h
h P t e P n n1 t h h
P n t 1 h h P n1 t h h
D X s E X s
2
s s s t s s t 1
独立,此时计数过程是独立增量计数过程。 即:计数过程N t 在不相重叠的时间间隔内, 事件A发生的次数是相互独立的。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
平稳增量计数过程:若计数过程N t 在 t,t+s 内s>0 ,事件A发生的次数 N t+s N t 仅与时间差s有关,而 与初始时刻 t 无关,则计数过程是平 稳增量计数过程。
et P 1 t t C
t P t t C e 1
P 0 C 0 1 0 P X 0 1
P 1 t te
t
n 1
设n 1时结论成立,即Pn1 t t
e t n 1!
t
n
Pn t
t
n!
n
e t
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由数学归纳法知:Pn t
由条件(2)有:
t
n
e t
n!
P X t s X s n P X t X 0 n P X t n Pn t
即:P X t s X s n
t t e n
n!
,n 1, 2,
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设 X t , t 0 是泊松过程,对任意的 t , s 0, , 且s t , 有:
E X t X s D X t X s t s
我们利用数学归纳法证明Pn t
t 先证明P t e 0
t e t
n
n!
P0 t h P X t h 0 P X t h X 0 0 P X t X 0 0, X t h X t 0 P X t X 0 0 P X t h X t 0 P0 t 1 h h
n2
h
n
e
h
1 h h 1 h 1 h h h
n!
e h 1 h e h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
记P n t P X t n P X t X 0 n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
注:(1)条件(3)说明,在充分小的时间 间隔内,最多有一个事件发生,而不能有两 个或两个以上事件同时发生,这个性质称为 普通性。
(2)因此可以说:泊松过程具有 零初值性、独立增量性、时齐性(即平 稳增量过程)和普通性。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
两个定义的等价性
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由(*)式,
t n n 1 d t e t n 1 t e Pn t e t dt n 1! n 1!
n t t t e Pn t C Pn t C e n! n! P n 0 P X 0 n 0, 得0 C
P X t X 0 n, X t h X t 0 P X t X 0 n 1, X t h X t 1 P X t X 0 n j , X t h X t j
由于X 0 0,故
2 (2)方差函数: X t DX t D X t X 0 t
(1) 均值函数:m X t E X t E X t X 0 t;
3.2 泊松过程的基本性质
(1)到达某超级市场的顾客数N(t); --接待一位顾客 (2)某电话交换台的呼唤数N(t); --到达一次呼唤 (3)某车间发生故障的机器数N(t); --修一台机器 (4)某计数器接受到的粒子数N(t); --接收一个粒子 (5)某通讯系统出现的误码数N(t); --发现一个误码 (6)某十字路口通过的汽车数N(t); --通过一辆汽车
(3) EX t
t e t
n
n!
t 泊松过程的速率或强度,称泊松过程为参数(或平均率, 强度)为的(齐次)泊松过程。
增量具有平稳性称为具有齐次性
表示单位时间内事件A发生的平均次数。称为
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定义3.3(泊松过程) 称计数过程X t , t 0
时间增量 正交增量过程 独立增量过程
EX2<∞ EX=0,EX2<∞
时间平移 宽平稳随机过程 严平稳随机过程
平稳独立增量过程
维纳过程
泊凇过程
高斯过程
增量服从正态分布
增量服从泊凇分布 马尔可夫过程
有限维联合变量服从 正态分布
时间Leabharlann Baidu忆
第三章 泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
3.2 泊松过程的基本性质 3.3 非齐次泊松过程 3.4 复合泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
引言:泊松过程是一个理论上比较简单, 而在实际中常被应用的计数随机过程。 它所描述的是考虑特定事件发生次数随 时间变化的规律,它在随机过程的理论 和应用方面都起着重要的作用,特别在 运筹学和排队论中的作用更为显著。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
泊松过程的实例举不胜举,例如,在[0,t] 时间内:
定理3.1 定义3.2与定义3.3是等价的。
证 由定义3.2知 P X t+h X t 1 e
h
h
h 1 h h h h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
P X t+h X t 2
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程 N t , t 0为计数过程, 若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数,且N t 满足下列条件:
(1) N t 0;
(2) N t 取正整数值; (3)若s t, 则N s N t ;
(4)当s t时,N t N s 等于区间
s,t中“事件A”发生的次数。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
*独立增量计数过程:若t1 t2 t3 t4 , 则在
t1 , t2 内事件A发生的次数N t2 N t1 与在 t3 , t4 内事件A发生的次数N t4 N t3 相互
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”,“到达一次呼唤”,“维
修一台机器”,“接收一个粒子”,“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目,这个数目也是 随机的,它随着这段时间的延伸而不断变化,则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
所以 P0 t h P0 t h P0 t
h
h
P0 t
取h 0的极限,得
由于P ,代入上式得 0 0 P X 0 0 1
t P t e 0
所以ln P P 0 t t C1 , 0 t Ce
t
t
n!
n
, n 0,1,
.
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
注:(1)由(3)知,X t+s X s 只与t有关,与s无关, 因而泊松过程是平稳增量过程;
(2)数字特征函数: 分布列:P X t n P X t X 0 n 所以EX t DX t t ;
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.2(泊松过程):称计数过程 X t , t 0 为具有参数 0的泊松过程,若它满足下列条件: () 1 X 0 0; (2) X t 是独立增量过程; (3)在任一长度为t的区间s,t+s中,事件A发生 的次数 X t+s X s 服从参数为 t 的泊松分布, 即对任意 s, t 0,有 P X t+s X s n e
1 h P n t hP n1 t h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
所以 Pn t h Pn t h Pn t Pn1 t
h
h
取h 0的极限,得
P n t P n t P n1 t
t et P t P t e Pn 1 t n n
d t t e Pn t e Pn 1 t dt
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
d t t t t n 1时, e P t e P t e e 1 0 dt
为具有参数 0的泊松过程,若它满足下列条件:
() 1 X 0 0;
(2) X t 是独立、平稳增量过程;
(3)X t 满足下列两式: P X t h X t 1 h h , P X t h X t 2 h .
(3)自相关函数: s t , RX s , t E X s X t E X s X s X t X s EX 2 s E X s X 0 X t X s
P0 t P0 t , 且P0 0 P X 0 0 1
t
当n 1时,有:
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
P n t h P X t h n P X t h X 0 n
n j 2
P n t P 0 h P n1 t P 1 h h
h P t e P n n1 t h h
P n t 1 h h P n1 t h h
D X s E X s
2
s s s t s s t 1
独立,此时计数过程是独立增量计数过程。 即:计数过程N t 在不相重叠的时间间隔内, 事件A发生的次数是相互独立的。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
平稳增量计数过程:若计数过程N t 在 t,t+s 内s>0 ,事件A发生的次数 N t+s N t 仅与时间差s有关,而 与初始时刻 t 无关,则计数过程是平 稳增量计数过程。
et P 1 t t C
t P t t C e 1
P 0 C 0 1 0 P X 0 1
P 1 t te
t
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设n 1时结论成立,即Pn1 t t
e t n 1!
t
n
Pn t
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n!
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3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由数学归纳法知:Pn t
由条件(2)有:
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P X t s X s n P X t X 0 n P X t n Pn t
即:P X t s X s n
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,n 1, 2,
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设 X t , t 0 是泊松过程,对任意的 t , s 0, , 且s t , 有:
E X t X s D X t X s t s
我们利用数学归纳法证明Pn t
t 先证明P t e 0
t e t
n
n!
P0 t h P X t h 0 P X t h X 0 0 P X t X 0 0, X t h X t 0 P X t X 0 0 P X t h X t 0 P0 t 1 h h
n2
h
n
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1 h h 1 h 1 h h h
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3.1泊松过程的实际模型和数学模型
记P n t P X t n P X t X 0 n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
注:(1)条件(3)说明,在充分小的时间 间隔内,最多有一个事件发生,而不能有两 个或两个以上事件同时发生,这个性质称为 普通性。
(2)因此可以说:泊松过程具有 零初值性、独立增量性、时齐性(即平 稳增量过程)和普通性。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
两个定义的等价性
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由(*)式,
t n n 1 d t e t n 1 t e Pn t e t dt n 1! n 1!
n t t t e Pn t C Pn t C e n! n! P n 0 P X 0 n 0, 得0 C
P X t X 0 n, X t h X t 0 P X t X 0 n 1, X t h X t 1 P X t X 0 n j , X t h X t j
由于X 0 0,故
2 (2)方差函数: X t DX t D X t X 0 t
(1) 均值函数:m X t E X t E X t X 0 t;
3.2 泊松过程的基本性质
(1)到达某超级市场的顾客数N(t); --接待一位顾客 (2)某电话交换台的呼唤数N(t); --到达一次呼唤 (3)某车间发生故障的机器数N(t); --修一台机器 (4)某计数器接受到的粒子数N(t); --接收一个粒子 (5)某通讯系统出现的误码数N(t); --发现一个误码 (6)某十字路口通过的汽车数N(t); --通过一辆汽车
(3) EX t
t e t
n
n!
t 泊松过程的速率或强度,称泊松过程为参数(或平均率, 强度)为的(齐次)泊松过程。
增量具有平稳性称为具有齐次性
表示单位时间内事件A发生的平均次数。称为
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定义3.3(泊松过程) 称计数过程X t , t 0