3.泊松过程1

第二章小结：
时间增量 正交增量过程 独立增量过程
EX2＜∞ EX=0，EX2＜∞
时间平移 宽平稳随机过程 严平稳随机过程
平稳独立增量过程
维纳过程
泊凇过程
高斯过程
增量服从正态分布
增量服从泊凇分布 马尔可夫过程
有限维联合变量服从 正态分布
时间Leabharlann Baidu忆
第三章 泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
3.2 泊松过程的基本性质 3.3 非齐次泊松过程 3.4 复合泊松过程
3.1泊松过程的实际模型和数学模型

引言：泊松过程是一个理论上比较简单， 而在实际中常被应用的计数随机过程。 它所描述的是考虑特定事件发生次数随 时间变化的规律，它在随机过程的理论 和应用方面都起着重要的作用，特别在 运筹学和排队论中的作用更为显著。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
泊松过程的实例举不胜举，例如，在[0，t] 时间内：
定理3.1 定义3.2与定义3.3是等价的。
证 由定义3.2知 P X t+h X t 1 e
h
h
h 1 h h h h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
P X t+h X t 2
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.1 称随机过程 N t , t 0为计数过程， 若N t 表示到时刻 t 为止已发生“事件A”的 总数，且N t 满足下列条件：
(1) N t 0;
(2) N t 取正整数值； (3)若s t, 则N s N t ;
(4)当s t时，N t N s 等于区间
s,t中“事件A”发生的次数。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
*独立增量计数过程：若t1 t2 t3 t4 , 则在
t1 , t2 内事件A发生的次数N t2 N t1 与在 t3 , t4 内事件A发生的次数N t4 N t3 相互
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
若将“接待一位顾客”，“到达一次呼唤”，“维
修一台机器”，“接收一个粒子”，“发现一个误码”“通 过一辆汽车”等都作为一个“随机点”,则这种源源 不断出现的随机点的过程就称为随机点过程。如果计 算在某一段时间内出现的随机点数目，这个数目也是 随机的，它随着这段时间的延伸而不断变化，则称这 个变化的过程为伴随着随机点过程的计数过程。泊松 过程是一类特殊的计数过程。 下面给出泊松过程的定义及其数学模型。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
所以 P0 t h P0 t h P0 t
h
h
P0 t
取h 0的极限，得
由于P ，代入上式得 0 0 P X 0 0 1
t P t e 0
所以ln P P 0 t t C1 , 0 t Ce
t
t
n!
n
, n 0,1,
.
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
注：（1）由（3）知，X t+s X s 只与t有关，与s无关， 因而泊松过程是平稳增量过程;
（2）数字特征函数： 分布列：P X t n P X t X 0 n 所以EX t DX t t ;
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
定义3.2（泊松过程）：称计数过程 X t , t 0 为具有参数 0的泊松过程，若它满足下列条件： （） 1 X 0 0; (2) X t 是独立增量过程； （3）在任一长度为t的区间s,t+s中，事件A发生 的次数 X t+s X s 服从参数为 t 的泊松分布， 即对任意 s, t 0，有 P X t+s X s n e
1 h P n t hP n1 t h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
所以 Pn t h Pn t h Pn t Pn1 t
h
h
取h 0的极限，得
P n t P n t P n1 t
t et P t P t e Pn 1 t n n
d t t e Pn t e Pn 1 t dt
(*)
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
d t t t t n 1时， e P t e P t e e 1 0 dt
为具有参数 0的泊松过程，若它满足下列条件：
（） 1 X 0 0;
(2) X t 是独立、平稳增量过程；
（3）X t 满足下列两式： P X t h X t 1 h h , P X t h X t 2 h .
（3）自相关函数： s t , RX s , t E X s X t E X s X s X t X s EX 2 s E X s X 0 X t X s
P0 t P0 t , 且P0 0 P X 0 0 1
t
当n 1时，有:
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
P n t h P X t h n P X t h X 0 n
n j 2
P n t P 0 h P n1 t P 1 h h
h P t e P n n1 t h h
P n t 1 h h P n1 t h h
D X s E X s
2
s s s t s s t 1
独立，此时计数过程是独立增量计数过程。 即：计数过程N t 在不相重叠的时间间隔内， 事件A发生的次数是相互独立的。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
平稳增量计数过程：若计数过程N t 在 t,t+s 内s>0 ，事件A发生的次数 N t+s N t 仅与时间差s有关，而 与初始时刻 t 无关，则计数过程是平 稳增量计数过程。
et P 1 t t C
t P t t C e 1
P 0 C 0 1 0 P X 0 1
P 1 t te
t
n 1
设n 1时结论成立，即Pn1 t t
e t n 1!
t
n
Pn t
t
n!
n
e t
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由数学归纳法知：Pn t
由条件（2）有：
t
n
e t
n!
P X t s X s n P X t X 0 n P X t n Pn t
即：P X t s X s n
t t e n
n!
，n 1, 2,
证毕
3.2 泊松过程的基本性质
一、数字特征
1.设 X t , t 0 是泊松过程，对任意的 t , s 0, , 且s t , 有:
E X t X s D X t X s t s
我们利用数学归纳法证明Pn t
t 先证明P t e 0
t e t
n
n!
P0 t h P X t h 0 P X t h X 0 0 P X t X 0 0, X t h X t 0 P X t X 0 0 P X t h X t 0 P0 t 1 h h
n2
h
n
e
h
1 h h 1 h 1 h h h
n!
e h 1 h e h
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
记P n t P X t n P X t X 0 n
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
注：（1）条件（3）说明，在充分小的时间 间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两 个或两个以上事件同时发生，这个性质称为 普通性。
（2）因此可以说：泊松过程具有 零初值性、独立增量性、时齐性（即平 稳增量过程）和普通性。
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
两个定义的等价性
3.1泊松过程的实际模型和数学模型
由（*）式，
t n n 1 d t e t n 1 t e Pn t e t dt n 1! n 1!
n t t t e Pn t C Pn t C e n! n! P n 0 P X 0 n 0, 得0 C
P X t X 0 n, X t h X t 0 P X t X 0 n 1, X t h X t 1 P X t X 0 n j , X t h X t j
由于X 0 0，故
2 （2）方差函数： X t DX t D X t X 0 t
(1) 均值函数：m X t E X t E X t X 0 t;
3.2 泊松过程的基本性质
（1）到达某超级市场的顾客数N(t); --接待一位顾客 (2)某电话交换台的呼唤数N(t); --到达一次呼唤 (3)某车间发生故障的机器数N(t); --修一台机器 (4)某计数器接受到的粒子数N(t)； --接收一个粒子 (5)某通讯系统出现的误码数N(t)； --发现一个误码 (6)某十字路口通过的汽车数N(t)； --通过一辆汽车
(3) EX t
t e t
n
n!
t 泊松过程的速率或强度，称泊松过程为参数（或平均率， 强度）为的（齐次）泊松过程。
增量具有平稳性称为具有齐次性
表示单位时间内事件A发生的平均次数。称为
3.1泊松过程的实际模型和数学模型 定义3.3（泊松过程） 称计数过程X t , t 0