曲线积分及其及路径无关问题

曲线积分与路径无关问题

1. 第一型曲线积分

(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为

),(y x ρ求弧AB 的质量m 。

⎰=L

ds y x f m ),(,

(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1

),(L ds y x f =⎰2

),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分

与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算

设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)

()

(t y t x ψϕ ，

)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，

则曲线积分⎰L

ds y x f ),(存在，且

⎰

L

ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβ

α

+⋅⎰ )(βα<

特别,当1),(=y x f 时,

⎰

L

ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。

当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则

⎰

L

ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d

a

)(1)(,2'+⋅⎰；

把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩

⎨⎧==)(x g y x

x ，)(b x a ≤≤，

⎰

L

ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d

c

)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤

2. 第二型曲线积分

(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线

L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

dy y x Q dx y x P W L

),(),(+=⎰，

(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则

d y y x Q d x y x P L

),(),(+⎰d y y x Q d x y x P L

),(),(+-=⎰

-

即第二型曲线积分方向无关

(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()

(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α

变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L

),(),(+⎰存在，且

⎰

+L

dy y x Q dx y x P ),(),(=[][]

{}dt t t t Q t t t P ⎰+βα

ψψϕϕψϕ)()(),()()(),('' 这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。

若曲线L 的方程为),(x f y =a x =对应于L 的起点，b x =应于L 的终点，则

⎰

+L

d y y x Q d x y x P ),(),(=[][]{}

dx x f x f x Q x f x P b a

⎰+)()(,)(,'； 若曲线L 的方程为),(y g x =c y =对应于L 的起点，d y =应于L 的终点，则

⎰

+L

dy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}

dy y y g Q y g y y g P d c

⎰+),()(),('。 同样，以上并不要求b a <，d c <。

公式可推广到空间曲线C 上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线L 的参数方程为)(),(),(t z t y t x ωψϕ===，则

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P C

),,(),,(),,(++⎰

=

[][][]{}dt t t t t R t t t t Q t t t t P ⎰++β

α

ωωψϕψωψϕϕωψϕ)()(),(),()()(),(),()()(),(),('

'

'

这里

下限α为曲线C 的起点所对应的参数值，上限β为曲线C 的终点所对应的参数值。

例1 计算⎰+L

ydy xydx ，其中

(1)L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧。 (2)L 为从A 到点B 的直线段.

解法1 (1)由x y =2知y 不是x 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里2y x =，y 从1-变到1，于是

⎰+L

ydy xydx =[]

d y y y y y ⎰-+⋅⋅11'22)(=dy y ⎰104

4=5

4。 解法2 当把曲线L 分成AO 与OB 两部分时，在每一部分上y 都是x 的单值函数。在AO 上x y -=，x 由1变到0；在OB 上，x y =，x 由0变到1。于是

⎰+L

ydy xydx =⎰

+OA ydy xydx +⎰+OB

ydy xydx

=[]

d x x x x x ⎰--+-0

1

'))(()(+[]

d x x x x x ⎰+1

')(

=dx x dx x )21()21(1023

1

2

3

+++-⎰⎰

=5

4

(2) 直线AB 的方程为1=x ,0=dx ,y 从1-到1,于是

⎰

+L

ydy xydx =⎰-1

1

ydy =0

从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用

格林公式: 设平面闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则

⎰⎰⎰++=∂∂-∂∂L D

Qdy Pdx dxdy y

P

x Q )(

其中+L 是D 的正向边界曲线。

在公式(1)中取x Q y P =-=,，可得⎰⎰⎰+-=L

D

ydx xdy dxdy 2，

上式左端为闭区域D 的面积A 的两倍，因此计算有界闭区域的D 面积的公式为:

2

1

=

A ⎰

+

-L ydx xdy 。