曲线积分及其及路径无关问题
曲线积分和路径的无关性
§22.2 曲线积分和路径的无关性一 引言第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。
对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。
在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。
定理1：若函数(),P x y ，(),Q x y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则下列命题等价：⑴ 对D 内任意一条闭曲线C ，有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=⎰。
⑵ 对D 内任意一条闭曲线l ，曲线积分()(),,lP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关（只依赖曲线的端点）。
⑶存在可微函数(),U x y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy =+； ⑷P Q y x∂∂=∂∂在D 内处处成立。
定义1：当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点()00,A x y 固定而点(),B x y 为区域内任意一点，那么()()()00,,,x y x y U x y Pdx Qdy =+⎰在D 内连续并且单值。
这个函数(),U x y 称为Pdx Qdy +的原函数。
原函数的求法：（1）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C =++⎰⎰； 或（2）()()()000,,,x yx y U x y P x y dx Q x y dy C =++⎰⎰。
例1：求原函数u（1）()()222222x xy y dx x xy y dy +-+--;（2）()()222cos sin 2cos sin x y y x dx y x x y dy -+-。
定义2：只绕奇点M 一周的闭路上的积分值叫做区域D 的循环常数，记为ω。
于是，对D 内任一闭路CC Pdx Qdy n ω+=⎰， 这里n 为沿逆时针方向绕M 的圈数。
曲线积分及其与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
13第十三讲曲线积分与路径无关问题
求法：
一般取 .
例８：验证在整个 在平面内 是存在原函数,并求出一个原函数。
【解】这里 , ,
且 在整个 在平面内恒成立,因此在整个 在平面内 存在原函数.
= = .
对于常微分方程 ,由上面可知这个微分方程的通解
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
授课题目
第十三讲曲线积分与路径无关问题
课时数
4
教学
目的
通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件
重
点
难
点
1．重点两类曲线积分的计算方法；
2．难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件。
.
（ ）设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 .
①
②
比较①、②两式的右端，得
④
③
由③得 ，将 代入④得
所以 ，从而
【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
６.二元函数的全微分求法
定义：若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数。
教
学
提
纲
第十三讲曲线积分与路径无关问题
1.第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：
(2)积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
2.第二型曲线积分
(1)第二型曲线积分的模型,第二型曲线积分方向无关
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把线弧 L 的方程为
L
则 f (x, y)ds = d f x, g(x) 1 g '2 (x)dx ；
L
y
f
(
x)
a
化作参数方程
f (x, y)ds = d f h( y), y 1 h'2 ( y)dy (c y d )
c
2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场 F (x, y) P(x, y)i Q(x, y) j ，
L
的参数方程为
xx
y
g
(
x)
，
(a
x (t)
x
y
b) ，
(t)
，
W L P(x, y)dx Q(x, y)dy ，
(2)设 L 为有向曲线弧， L 为与 L 方向相反的有向曲线弧，则
L
P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
其中 P(x, y),Q(x, y) 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 A 沿光滑曲线 L 运动到点 B ，求力场的力所作的功W 。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
曲线积分与路径无关的条件
由点A(0, )移动到点B ( ,0), 求此力场所作的功.(其中r = x + y ) 2 2
解:
力场所作的功为 r → ky kx W = ∫ F ⋅ ds = ∫ 2 dx − 2 dy, 2 L L x + y2 x +y
则有
令
∂P k(x2 −y2) ∂Q = = 4 ∂y ∂x r
( x2 + y2 ≠ 0)
由 yϕ′( x ) = 2 xy
⇒ ϕ( x ) = x 2 + c ⇒ ϕ( x ) = x 2 .
由ϕ(0) = 0 ，知c = 0
故
∫( 0,0 )
1
( 1 ,1 )
xy 2dx + yϕ( x )dy
1
1 = ∫0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0dx + ∫0 ydy = . 2
2.求二元函数的原函数.
例32.5
• C ( x, y 0 )
+ ∫ Q( x, y )dy
y0
y
o
x x0
x
或
u ( x, y ) = ∫ Q( x0 , y )dy + ∫ P ( x, y )dx
y0
y
方法(ii) 方法
由du = Pdx + Qdy得 u ( x, y ) = P( x, y )dy + ϕ ( x),
∫
∂u ∂ 对x求导, 得Q = = ∫ P( x, y)dy + ϕ ′( x) ∂x ∂x ∂ ′( x)dx = ∫ Qdx − ∫ ∫ P( x, y )dydx 由此得ϕ ( x) = ∫ ϕ ∂x
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y = 1 − x 2 到点B (−1,0)的圆弧；
微积分中的曲线积分与路径无关性研究
微积分中的曲线积分与路径无关性研究曲线积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线上的积分值。
在微积分的学习中，我们经常遇到这样一个问题：曲线积分的结果是否与路径的选择相关？这个问题引发了很多讨论和研究，最终得出了路径无关性的结论。
本文将深入探讨微积分中的曲线积分与路径无关性的研究结果。
1. 曲线积分的定义曲线积分是微积分中用来计算曲线上的函数值的方法。
它是将函数沿着指定路径的弧长进行积分的过程，通常表示为∮f(x,y)ds。
其中，f(x,y)是曲线上的函数，ds表示路径的弧长元素。
曲线积分可以用来求解曲线上的质量、质心、流量等物理问题，是应用广泛的工具。
2. 路径无关性的概念路径无关性是指，如果两条曲线的起点和终点相同，且曲线上的函数在这两条曲线上有相同的连续导数，则曲线积分的结果是相同的。
也就是说，曲线积分的结果只与积分函数f(x,y)在曲线上的取值有关，而与具体的路径选择无关。
3. 曲线积分与路径无关性的证明要证明曲线积分的路径无关性，可以通过参数化曲线、做路径分割、使用定理等方法进行推导。
其中最重要的是格林公式和斯托克斯公式。
格林公式是指二维空间中的曲线积分与曲线所围成的区域的面积之间的关系。
它通过对曲线进行参数化，将曲线积分转化为两个变量的重积分。
格林公式的证明过程中，不涉及路径的选择，因此曲线积分的结果与路径无关。
斯托克斯公式是指三维空间中的曲线积分与曲线所围成的曲面的积分之间的关系。
它通过将曲线所围成的曲面分成小面元，然后对每个小面元应用格林公式得到结果。
由于小面元的选择不影响最后的结果，所以曲线积分的路径无关性得到了证明。
4. 曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
例如，它可以用来计算电场沿着闭合路径的环路积分，从而得到电势差；在流体力学中，曲线积分可以用来计算液体沿着曲线的流量；在计算机图形学中，曲线积分可以用来计算光线在曲线路径上的衰减。
总结：微积分中的曲线积分与路径无关性是一个重要的研究课题。
高数 平面曲线积分 知识点与例题精讲
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
y1Q(
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q (
y0
x0
,
y
)dy
x1 x0
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取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0 )
2
2
2
W
AB
k r2
(
y
d
x
xdy)
y A
L
k
2
o
Bx
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
Q x
o
( x 0 ) (1,0)
x
( x,0 )
由定理 2 可知存在原函数
x 1
0
dx
x
y 0
dy x2 y2
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或
y 0
1
d
y y
2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0 ) x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
曲线积分和路径无关的条件
曲线积分和路径无关的条件曲线积分是在曲线上对向量场进行积分的过程。
路径无关的条件是指，对于同一向量场和相同的起点和终点，不同的路径所得到的曲线积分值相等。
这个条件对于许多物理问题都具有重要意义，因为它允许我们在计算复杂路径上的积分时选择更简单或更方便的路径。
一、曲线积分的定义曲线积分可以看作是沿着一条曲线对一个向量场进行积分。
具体来说，设C是一条参数化曲线，即C可以表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t∈[a,b]。
向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个从三维空间中每个点到该点处的向量赋值函数。
则沿着C对F进行积分的结果为：∫CF·ds=∫baF(r(t))·r'(t)dt其中F(r(t))表示在r(t)处F的值，r'(t)表示r关于t的导数。
二、路径无关条件如果不同路径上所得到的曲线积分值相等，则称该向量场F在区域D内满足路径无关条件。
形式化地说，在D内如果任意两条起点和终点相同但路径不同的曲线C1和C2上，有∫C1F·ds=∫C2F·ds则称F在D内满足路径无关条件。
三、路径无关条件的判定对于一个向量场F，它是否满足路径无关条件取决于该向量场的旋度。
具体来说，如果F在D内存在一个连通区域，并且该区域内的旋度为零，则F在该区域内满足路径无关条件。
这个结论可以用斯托克斯定理来证明。
四、斯托克斯定理斯托克斯定理是曲线积分和曲面积分之间的一种联系。
它告诉我们，如果一个向量场在某个区域内旋度为零，那么该向量场在该区域内满足路径无关条件。
具体来说，设S是一个分段光滑的曲面，边界为曲线C。
如果向量场F在S上连续可微，则有：∫SF·dS=∫CF·ds其中左边是对曲面S进行的曲面积分，右边是对边界曲线C进行的曲线积分。
五、应用举例路径无关条件可以应用于许多物理问题中。
例如，在电磁学中，电场和磁场的旋度为零是电场和磁场满足路径无关条件的充分条件。
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
曲线积分与路径无关的充要条件是：区域d是一个单连通域，函数p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数，ap/ay=aq/ax。
对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线分数（第一类曲线分数）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线分数的区别主要是分数元素的差别，对弧长的曲线分数的分数元素就是弧长元素ds。
比如：对l的曲线分数∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对l’的曲线积分∫p （x,y）dx+q(x,y)dy。
但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
(1)平面上的单相连区域与为丛藓科扭口藓相连区域
设d是平面xy.上的区域。
如果d内的任何封闭曲线l所围成的区域di，恒有d; c d ,则d称为单连通区域;否
则，d称作为丛藓科扭口藓相连区域。
(2)平面曲线积分与路径无关的条件
定理1 [1] 设d就是平面xy.上的单相连闭合区域，函数p(x, y)与q(x,y) 在d内具备一阶已连续略偏导数，则以下1° ~ 4°。
第22章第2节曲线积分和路径的无关性
P( x, y)dx Q( x, y)dy
l
1
§22.2 曲线积分和路径的无关性
如果对于平面区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1
Pdx Qdy
y
L2
Pdx Qdy
L1
B
G
则称曲线积分 L Pdx Qdy
Q P 由格林公式 dxdy C Pdx Qdy y x
即推出了1。
0
9
§22.2 曲线积分和路径的无关性
定义：当第二类曲线积分和路径无关时，点A x0 , y0 固定， 称U x , y
x, y
x0 , y0
A '' l
B ''
A
B
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
定义：只环绕奇点M一周的闭路上的积分值 叫做区域D的循环常数,记为 .
20
§22.2 曲线积分和路径的无关性
xdy ydx 例5. 求 2 关于奇点(0,0)的循环常数. 2 x y
y x 解：P 2 , Q 2 . 2 2 x y x y
故
xy dx y ( x ) dy ( 0,0)
2
( 1 ,1 )
0 0dx 0
1
1
1 ydy . 2
19
§22.2 曲线积分和路径的无关性
区域内有一个奇点M的情况.
闭路中有一奇点，格林公式不能应用。
B'
A'
L
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
积分与路径无关
2 0 0
x
y
( x ,0 )
x2 y d y
0
y
例3
设曲线积分 xy dx y( x )dy 与路径无
2 L
关, 其中 具有连续的导数, 且 (0) 0 , 计算
解
( 1 ,1 ) ( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
2
P ( x, y ) xy ,
x0
x
例2. 验证 出这个函数.
是某个函数的全微分, 并求
2 2
P Q 2x y 证: 设P x y , Q x y, 则 y x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du x y d x x y d y
。 ( 0 ,0 )
2
2
( x, y ) 。
x 0 d x x y d y
2 2
dy
x 3 y dy BA: 2 1 2 y 4 0 y y y
2
y:0 1
A
4
2
I I1 I 2 4
o
B
x
练习 计算 ( x 2 2 xy)dx ( x 2 y 4 )dy . 其中
改变积分路径为折线 O ( 0 , 0 ) B , 0 A , 1 2 2
P 6 xy 2 2 y cos x , o y Q 2 2 y cos x 6 xy x P Q , 积分与路径无关 y x
AB Pd x Qd y A Pd x Qd y
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条
例 1验 证(eyx)dx (xye2y)d. y与 路 径 无 关 ，
L
并 求 之 。 其 中L为 过 三 点 o(0,0)， A(0,1)， B(1,2)
的 圆 周 ， 由 o(0,0)到 B(1,2)的 曲 线 弧 .
解 设 P ( x ,y ) e y x ,Q ( x ,y ) x y 2 e y .
A
则 称 曲 线 积 分 L P d Q xdoy
x
在G内与路径无关,否则与路径有关.
L1PdxQdyL2PdxQdyLPdQ x d 0y.
LL 1(L 2)
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2 设 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 , 函 数 P ( x , y ),
因此，在 xoy 面内， xy2dxx2ydy是某个函数
u (x, y) 的全微分。 取 x 0 0 ,y 0 0 .
u (x ,y)0 xx0 2 d x 0 yx 2ydyx
2y 2
2
.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D 上 P (x ,y)Q ,(x ,y)具 有 连 件 续 的 一 阶 偏 导 数 , 则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
C 所围的闭区域为 D。
G
G 是单连通的，因此， DG .
于是，在 D 内
P y
Q x
.
CD
应用格林公式，有
C P (x ,y )d x Q (x ,y )d y ( Q x P y)d0. D
即，在 G 内曲线积分 L P (x ,y)d x Q (x ,y)dy
等 (1) 在 D 内 LPdQ x 与 dy路径无关 价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
格林公式·曲线积分与路线的无关性
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示, 1 A xdy ydx 2 L 1 1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx AMO xdy ydx 2 2 2 1 0 a a a 1 2 a x ( 1)dx ( ax x )dx 0 xdx 6 a . 2 2 ax 4
xu u lim lim P ( x x , y ) P ( x , y ). x x 0 x x 0
u Q ( x , y ). 所以证得 同理可证 y
du P dx Q dy .
(iii) P dx Q dy 是 D 内某一函数 u( x , y ) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Q dy ;
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P ( x , y ),
Q( x , y ) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
P dx Q dy 0;
L
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性
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一、格林公式
边界曲线L的正向: 当观察 者沿边界行走时,区域D总 在他的左边. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
与积分路径无关的条件
L2
Pd x Qd y
L2
B
L1
A
L1 L 2
Pd x Qd y
(根据条件(1))
L2
B
Pd x Qd y
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
Q P 在 D 内有 x y
在 D 内有 d u P d x Q d y
思考与练习
1. 设
D
2
y L
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? o 1 2x xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5p 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2p
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 P Q y x
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
0 d x x 0
1
x
y
dy 2 2 x y
或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2
曲线积分与路径无关的问题之证明
曲线积分与路径无关的问题之证明第一篇：曲线积分与路径无关的问题之证明设平面上的单连通区域G内分别以A和B两点为起点和终点的弧ρρρ有连续向量函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，要使该函数的曲线积分与路径无关，就有⋯AFB，AEB和弧⋯⎰⋯AEBPdx+Qd=y⎰⋯AFBP+dx,于Qdy是有即⎰⎰⋯AEBPdx+Qdy-⎰⋯Pdx+Qdy=0,AFB⋯AEB⋯Pdx+Qdy+⎰⋯Pdx +Qdy=0,实际上弧⋯AEB和弧BFABFA构成了一封闭曲线L，上式等价为内可以取⋯⎰Pdx+Qdy=0L任意大小。
，记L围起的区域为D，D 在G用格林公式∂Q∂P(-)dxdy=⋯Pdx+Qdy⎰⎰⎰L∂x∂yD，因为⋯⎰∂Q∂PPdx+Qdy=0，得到⎰⎰(-)dxdy=0，又因为L∂x∂yD∂Q∂P∂Q∂P=-=0D可以取任意小，于是有，或者∂x∂y。
这就得到了函数∂x∂y曲面积分与路径无关的条件。
第二篇：曲线积分与格林公式总结一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为μ(x, y).求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段,∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn(∆si也表示弧长);任取(ξi ,ηi)∈∆si,得第i小段质量的近似值μ(ξi ,ηi)∆si;整个物质曲线的质量近似为M≈∑μ(ξi,ηi)∆si;i=1n令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn}→0,则整个物质曲线的质量为M=lim∑μ(ξi,ηi)∆si.λ→0i=1n这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L 上任意插入一点列M1, M2,⋅⋅⋅, Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为∆si,又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi,ηi)∆si,(i=1, 2,⋅⋅⋅, n),并作和∑f(ξi,ηi)∆si,如果当各小弧i=1n段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长n的曲线积分或第一类曲线积分,记作lim∑f(ξi,ηi)∆si.⎰Lf(x,y)ds,即⎰Lf(x,y)ds=λ→0i=1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.将L任意分成n个弧段:∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn,并用∆si表示第i段的弧长;在每一弧段∆si上任取一点(ξi,ηi),作和∑f(ξi,ηi)∆si;i=1n令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn},如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作n⎰Lf(x,y)ds,即lim∑f(ξi,ηi)∆si.⎰Lf(x,y)ds=λ→0i=1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.⎰Lf(x,y)ds根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分⎰Lμ(x,y)ds的值,其中μ(x, y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广:lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆si.⎰Γf(x,y,z)ds=λ→0i=1n如果L(或Γ)是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定⎰L+L12f(x,y)ds=⎰f(x,y)ds+⎰f(x,y)ds.L1L2闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作⎰Lf(x,y)ds.对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c1、c2为常数,则⎰L[c1f(x,y)+c2g(x,y)]ds=c1⎰Lf(x,y)ds+c2⎰Lg(x,y)ds;性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则⎰Lf(x,y)ds=⎰Lf(x,y)ds+⎰L1f(x,y)ds;2性质3设在L上f(x, y)≤g(x, y),则⎰Lf(x,y)ds≤⎰Lg(x,y)ds.⎰Lf(x,y)ds|≤⎰L|f(x,y)|ds 特别地,有|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x, y),则曲线形构件L的质量为⎰Lf(x,y)ds.x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β),另一方面,若曲线L的参数方程为则质量元素为f(x,y)ds=f[ϕ(t), ψ(t)]曲线的质量为即ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt,⎰αβf[ϕ(t), ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt.f(x,y)ds=⎰f[ϕ(t), ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt.αβ⎰L定理设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β),其中ϕ(t)、ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'2(t)+ψ'2(t)≠0,则曲线积分且⎰Lf(x,y)ds存在,⎰Lf(x,y)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt(ααβ证明（略）应注意的问题:定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:(1)若曲线L的方程为y=ψ(x)(a≤x≤b),则提示:L的参数方程为x=x, y=ψ(x)(a≤x≤b),⎰Lf(x,y)ds=? ⎰Lf(x,y)ds=⎰f[x,ψ(x)]1+ψ'2(x)dx.ab(2)若曲线L的方程为x=ϕ(y)(c≤y≤d),则提示:L的参数方程为x=ϕ(y), y=y(c≤y≤d),⎰Lf(x,y)ds=? ⎰Lf(x,y)ds=⎰cdf[ϕ(y),y]ϕ'2(y)+1dy.(3)若曲Γ的方程为x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t)(α≤t≤β),则⎰Γf(x,y,z)ds=?提示:⎰Γf(x,y,z)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)+ω'2(t)dt.αβ例1 计算⎰Lyds,其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2(0≤x≤1),因此⎰L11yds=⎰x21+(x2)'2dx=⎰x1+4x2dx=1(55-1).0012例2 计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示,则I=曲线L的参数方程为x=Rcosθ, y=Rsinθ(-α≤θ于是I=α⎰Ly2ds.⎰Ly2ds=⎰R2sin2θ(-Rsinθ)2+(Rcosθ)2dθ-α=R3⎰-αsin2θdθ=R(α-sinα cosα).3α例3 计算曲线积分⎰Γ(x2+y2+z2)ds,其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2,并且ds=(-asint)2+(acost)2+k2dt=a2+k2dt,于是⎰Γ(x2+y2+z2)ds=⎰(a2+k2t2)a2+k2dt02π=2πa2+k2(3a2+4π2k2).3小结:用曲线积分解决问题的步骤:(1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程),确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.§10.对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy面内在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x, y)所作的功.用曲线L上的点A=A0, A1, A2,⋅⋅⋅, An-1, An=B把L分成n个小弧段,设Ak=(xk , yk),有向线段AkAk+1的长度为∆sk,它与x轴的夹角为τk ,则AkAk+1={cosτk,sinτk}∆sk(k=0, 1, 2,⋅⋅⋅, n-1).→→)显然,变力F(x,y)沿有向小弧段Ak Ak+1所作的功可以近似为F(xk,yk)⋅AkAk+1=[P(xk,yk)cosτk+Q(xk,yk)sinτk]∆sk;于是,变力F(x, y)所作的功W=∑从而W=⎰[P(x,y)cosτ+Q(x,y)sinτ]ds.L这里τ=τ(x, y), {cosτ, sinτ}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量.n-1→F(xk,yk)⋅AkAk+1k=1n-1→≈∑[P(xk,yk)cosτk+Q(xk,yk)sinτk]∆sk,k=1把L分成n个小弧段: L1,L2,⋅⋅⋅,Ln;变力在Li上所作的功近似为:F(ξi,ηi)⋅∆si=P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi ;变力在L上所作的功近似为:∑[P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi];i=1nn变力在L上所作的功的精确值:W=limλ→0∑[P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi],i=1其中λ是各小弧段长度的最大值.提示:用∆si={∆xi,∆yi}表示从Li的起点到其终点的的向量.用∆si表示∆si 的模.对坐标的曲线积分的定义:定义设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1,L2,⋅⋅⋅,Ln;小弧段Li的起点为(xi-1,yi-1),终点为(xi,yi),∆xi=xi-xi-1,∆yi=yi-yi-1;(ξi,η)为Li上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值.如果极限limλ→0∑f(ξi,ηi)∆xi总存在,则称此极限为函数i=1n f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作⎰Lf(x,y)dx,即lim∑f(ξi,ηi)∆xi,⎰Lf(x,y)dx=λ→0i=1如果极限limnλ→0∑f(ξi,ηi)∆yi总存在,则称此极限为函数i=1n f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作⎰Lf(x,y)dy,即lim∑f(ξi,ηi)∆yi.⎰Lf(x,y)dy=λ→0i=1设L为xOy面上一条光滑有向曲线, {cosτ, sinτ}是与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在,我们就定义n⎰LP(x,y)dx=⎰LP(x,y)cosτds,⎰LQ(x,y)dy=⎰LQ(x,y)sinτds,前者称为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广:设Γ为空间内一条光滑有向曲线, {cosα, cosβ, cosγ}是曲线在点(x, y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x, y, z)在Γ上有定义.我们定义(假如各式右端的积分存在) ⎰ΓP(x,y,z)dx=⎰ΓP(x,y,z)cosαds,⎰ΓQ(x,y,z)dy=⎰ΓQ(x,y,z)cosβds,⎰ΓR(x,y,z)dz=⎰ΓR(x,y,z)cosγds.nlim∑f(ξi,ηi,ζi)∆xi,⎰Lf(x,y,z)dx=λ→0i=1lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆yi,⎰Lf(x,y,z)dy=λ→0i=1lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆zi.⎰Lf(x,y,z)dz=λ→0i=1对坐标的曲线积分的简写形式:nn⎰LP(x,y)dx+⎰LQ(x,y)dy=⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy;⎰ΓP(x,y,z)dx+⎰ΓQ(x,y,z)dy+⎰ΓR(x,y,z)dz⎰ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.=对坐标的曲线积分的性质:(1)如果把L分成L1和L2,则⎰LPdx+Qdy=⎰LPdx+Qdy+⎰LPdx+Qdy.2(2)设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,则⎰-LP(x,y)dx+Q(x,y)d=-⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.两类曲线积分之间的关系:设{cosτi, sinτi}为与∆si同向的单位向量,我们注意到{∆xi,∆yi}=∆si,所以∆xi=cosτi⋅∆si,∆yi=sinτi⋅∆si,lim∑f(ξi,ηi)∆xi ⎰Lf(x,y)dx=λ→0i=1n=limf(ξi,ηi)cosτi∆si=⎰f(x,y)cosτds,∑Lλ→0i=1nnlim∑f(ξi,ηi)∆yi⎰Lf(x,y)dy=λ→0i==limλ→0∑f(ξi,ηi)sinτi∆si=⎰Lf(x,y)sinτds.i=1n即⎰LPdx+Qdy=⎰L[Pcosτ+Qsinτ]ds,⎰LA⋅dr=⎰LA⋅tds.或其中A={P, Q}, t={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=tds={dx, dy}.类似地有或⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=⎰Γ[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds,⎰ΓA⋅dr=⎰ΓA⋅tds=⎰ΓAtds.其中A={P, Q, R}, T={cosα, cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x, y, z)处单们切向量, dr=T ds ={dx, dy, dz }, A t为向量A在向量t上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线 L: x=ϕ(t), y=ψ(t),上的连续函数,当参数t单调地由α变到β时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,则讨论:提示:β⎰LP(x,y)dx=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt,⎰LQ(x,y)dy=⎰Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)dt.αβ⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=？⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dt.αβ定理:若P(x, y)是定义在光滑有向曲线L:x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β)上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致,则β⎰LP(x,y)dx=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt.简要证明:不妨设α≤β.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{ϕ'(t),ψ'(t)},所以cosτ=ϕ'(t),22ϕ'(t)+ψ'(t)从而⎰LP(x,y)dx=⎰LP(x,y)cosτds=β⎰αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)ϕ'2(t)+ψ'2(t)dtϕ'2(t)+ψ'2(t)=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt.应注意的问题:下限a对应于L的起点,上限β对应于L的终点,α不一定小于β.例1.计算⎰Lxydx,其中L为抛物线y=x上从点A(1,-1)到点B(1, 1)的一段弧.2解法一:以x为参数. L分为AO和OB两部分:AO的方程为y=-x, x从1变到0; OB 的方程为y=x, x从0变到1.因此⎰Lxydx=⎰AOxydx+⎰OBxydx=⎰1x(-10x)dx+⎰xxdx=2⎰0113x2dx=4. 05第二种方法:以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1.因此.22'4xydx=yy(y)dy=2ydy=⎰L⎰-1⎰-151例2.计算⎰Ly2dx.(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ;(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解(1)L 的参数方程为 x=a cosθ, y=a sinθ,θ从0变到π.因此4a3.22232ydx=asinθ(-asinθ)dθ=a(1-cosθ)dcosθ=-⎰L⎰0⎰032-aππ(2) L的方程为y=0, x从a变到-a.因此⎰Lydx=⎰a0dx=0.2例3计算⎰L2xydx+x2dy.(1)抛物线y=x上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧;(2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧;(3)从O(0, 0)到A(1, 0),再到R(1, 1)的有向折线OAB .解(1)L: y=x2, x从0变到1.所以⎰L2xydx+x2dy=⎰(2x⋅x2+x2⋅2x)dx=4⎰x3dx=1.0021211(2)L: x=y2, y从0变到1.所以⎰L2xydx+xdy=⎰0(2y⋅y⋅2y+y)dy=5⎰y4dy=1 .041(3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1.⎰L2xydx+x2dy=⎰OA2xydx+x2dy+⎰AB2xydx+x2dy=(2x⋅0+x2⋅0)dx+(2y⋅0+1)dy=0+1=1.⎰01⎰01例4.计算⎰Γx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0,0, 0)的直线段AB.解:直线AB的参数方程为x=3t, y=2t, x=t,t从1变到0.所以所以I=87.3223[(3t)⋅3+3t(2t)⋅2-(3t)⋅2t]dt=87tdt=-⎰1⎰1400例5.设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, Fx2+y2=1的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0,b),2ab 求力F所作的功W.x2+y2=1例5.一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点ab2B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比,方向恒指向原点.求力F所作的功W.解:椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到→π.r=OM=xi+yj, F=k⋅|r|⋅(-其中k>0是比例常数.r)=-k(xi+yj),|r|)xdx+ydy.于是W=⎰)-kxdx-kydy=-k⎰A ABB=-k⎰02(-a2costsint+b2sintcost)dt⎰ππ=k(a2-b2)02sintcostdt=k(a2-b2).三、两类曲线积分之间的联系由定义,得⎰LPdx+Qdy=⎰L(Pcosτ+Qsinτ)ds ⎰L⎰L={P,Q}⋅{cosτ,sinτ}ds=F⋅dr,其中F={P, Q}, T={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds={dx, dy}.类似地有⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=⎰Γ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds ⎰Γ⎰Γ={P,Q,R}⋅{cosα,cosβ,cosγ}ds=F⋅dr.其中F={P, Q, R}, T={cosα, cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x, y, z)处单们切向量, dr=T ds ={dx, dy, dz }.一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L 的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D的边界曲线L的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰(D∂Q∂P-)dxdy=⎰Pdx+Qdy,L∂x∂y其中L是D的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.设D={(x, y)|ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x), a≤x≤b}.因为∂P连续,所以由二重积分的计算法有∂y∂Pdxdy=b{ϕ2(x)∂P(x,y)dy}dx=b{P[x,ϕ(x)]-P[x,ϕ(x)]}dx.21⎰⎰∂y⎰a⎰ϕ1(x)∂y⎰aD另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰LPdx=⎰LPdx+⎰LPdx=⎰aP[x,ϕ1(x)]dx+⎰bP[x,ϕ2(x)]dx12ba={P[x,ϕ1(x)]-P[x,ϕ2(x)]}dx.因此-⎰ab∂Pdxdy=Pdx.⎰⎰∂y⎰LD设D={(x, y)|ψ1(y)≤x≤ψ2(y), c≤y≤d}.类似地可证∂Q⎰⎰∂xdxdy=⎰LQdx.D由于D即是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎛∂Q∂P⎫-⎪dxdy=⎰Pdx+Qdy.⎰⎰L∂x∂y⎭D⎝应注意的问题:对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.设区域D的边界曲线为L,取P=-y, Q=x,则由格林公式得2⎰⎰dxdy=⎰Lxdy-ydx,或A=⎰⎰dxdy=2⎰Lxdy-ydx.D1D例1.椭圆x=a cosθ, y=b sinθ所围成图形的面积A.分析:只要∂Q∂P∂Q-=1,就有⎰⎰(-∂P)dxdy=⎰⎰dxdy=A.∂x∂y∂x∂yDD解:设D是由椭圆x=acosθ, y=bsinθ所围成的区域.令P=-1y, Q=1x,则∂Q-∂P=1+1=1.∂x∂y2222于是由格林公式,A=1ydx+1xdy=1-ydx+xdy dxdy=-⎰⎰⎰L222⎰LD=2π112π(absin22θ+abcosθ)dθ=ab⎰dθ=πab.⎰0220例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明⎰L2xydx+x2dy=0.∂Q∂P-=2x-2x=0.∂x∂y证:令P=2xy,Q=x2,则因此,由格林公式有⎰L2xydx+x2dy=±⎰⎰0dxdy=0.(为什么二重积分前有“±”号？) D2例3.计算⎰⎰e-ydxdy,其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.D分析:要使∂Q∂P-y22-=e,只需P=0, Q=xe-y.∂x∂y2解:令P=0, Q=xe-y,则∂Q∂P-y2-=e.因此,由格林公式有∂x∂y-y2⎰⎰eD-y2dxdy=OA+AB+BO⎰xedy=⎰xeOA-y2dy=⎰xe-xdx=1(1-e-1).0212例4 计算xdy-ydx⎰Lx2+y2,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.-y∂Qy2-x2∂Px22解:令P=2, Q=2.则当x+y≠0时,有.==∂x(x2+y2)2∂yx+y2x+y2记L 所围成的闭区域为D.当(0,0)∉D 时,由格林公式得xdy-ydx⎰Lx2+y2=0;当(0, 0)∈D时,在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得xdy-ydxxdy-ydx⎰Lx2+y2-⎰lx2+y2=0,其中l的方向取逆时针方向.2πr2cos2θ+r2sin2θxdy-ydxxdy-ydxdθ=2π.=⎰22 =⎰于是⎰0Lx2+y2lx+yr2解记L 所围成的闭区域为D.当(0, 0)∉D时,由格林公式得xdy-ydx∂Q∂P=(⎰Lx2+y2⎰⎰∂x-∂y)dxdy=0.D当(0, 0)∈D时,在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D1,应用格林公式得xdy-ydx∂Q∂P=(⎰L+lx2+y2⎰⎰∂x-∂y)dxdy=0,D1即xdy-ydxxdy-ydx⎰Lx2+y2+⎰lx2+y2=0,其中l的方向取顺时针方向.于是xdy-ydxxdy-ydx2πr2cos2θ+r2sin2θdθ=2π.=⎰Lx2+y2⎰l-x2+y2=⎰0r2-y∂Qy2-x2∂Px22分析:这里P=2,Q=2,当x+y≠0时,有.==∂x(x2+y2)2∂yx+y2x+y2第三篇：曲线积分与曲面积分重点总结+例题高等数学教案曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
曲线积分和路径无关的条件
曲线积分和路径无关的条件一、引言曲线积分是微积分中的重要概念，用于计算沿曲线上的向量场的工作量或环流。
在某些情况下，曲线积分的结果与路径无关，即无论路径如何选择，得到的结果都是相同的。
本文将详细探讨曲线积分和路径无关的条件及其重要性。
二、曲线积分的定义曲线积分是对曲线上的向量场沿路径进行积分的过程。
设曲线为C，向量场为F，曲线积分的计算公式如下：其中，C为曲线，F为向量场，d?为曲线元素。
三、曲线积分的路径无关性曲线积分的路径无关性意味着积分结果与路径的选择无关。
换句话说，不同路径下的曲线积分结果相同。
这对于简化计算和研究向量场的特性非常重要。
四、证明路径无关的条件1. 梯度场的路径无关性如果向量场F是某个标量场ϕ的梯度场，即F=∇ϕ，那么曲线积分就与路径无关。
这是因为∇ϕ是保守场，曲线积分只与起点和终点有关。
2. 保守场的路径无关性如果向量场F是保守场，即存在一个标量场ϕ，使得F=∇ϕ，那么曲线积分也与路径无关。
这是因为保守场的环流为零，曲线积分只与起点和终点有关。
3. 围道积分的路径无关性如果曲线C是一个简单闭合曲线，且向量场F在C内部处处连续，那么围道积分也与路径无关。
围道积分表示在闭合曲线内部的曲线积分。
4. 向量场的旋度为零如果向量场F的旋度为零，即∇×F=0，那么曲线积分与路径无关。
旋度为零表明向量场没有局部旋转性，因此曲线积分结果是路径无关的。
五、曲线积分和路径无关的重要性曲线积分和路径无关的条件在物理学和工程学中具有重要应用。
以下是一些应用示例：1. 势能函数和功在物理学中，势能函数可以表示为标量场ϕ，并且力场可以表示为梯度场F=∇ϕ。
根据路径无关性，势能函数的变化只与起点和终点有关，与路径无关。
势能函数的变化等于沿任意路径的曲线积分，这样可以简化势能的计算。
2. 电场和电势在电磁学中，电场可以表示为向量场E。
如果电场是一个保守场（旋度为零），那么曲线积分和路径无关。
在这种情况下，电场可以表示为电势的梯度，即E=∇V，其中V是电势函数。
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曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则d y y x Q d x y x P L),(),(+⎰d y y x Q d x y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),('' 这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
若曲线L 的方程为),(x f y =a x =对应于L 的起点，b x =应于L 的终点，则⎰+Ld y y x Q d x y x P ),(),(=[][]{}dx x f x f x Q x f x P b a⎰+)()(,)(,'； 若曲线L 的方程为),(y g x =c y =对应于L 的起点，d y =应于L 的终点，则⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dy y y g Q y g y y g P d c⎰+),()(),('。
同样，以上并不要求b a <，d c <。
公式可推广到空间曲线C 上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线L 的参数方程为)(),(),(t z t y t x ωψϕ===，则dz z y x R dy z y x Q dx z y x P C),,(),,(),,(++⎰=[][][]{}dt t t t t R t t t t Q t t t t P ⎰++βαωωψϕψωψϕϕωψϕ)()(),(),()()(),(),()()(),(),('''这里下限α为曲线C 的起点所对应的参数值，上限β为曲线C 的终点所对应的参数值。
例1 计算⎰+Lydy xydx ，其中(1)L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧。
(2)L 为从A 到点B 的直线段.解法1 (1)由x y =2知y 不是x 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里2y x =，y 从1-变到1，于是⎰+Lydy xydx =[]d y y y y y ⎰-+⋅⋅11'22)(=dy y ⎰1044=54。
解法2 当把曲线L 分成AO 与OB 两部分时，在每一部分上y 都是x 的单值函数。
在AO 上x y -=，x 由1变到0；在OB 上，x y =，x 由0变到1。
于是⎰+Lydy xydx =⎰+OA ydy xydx +⎰+OBydy xydx=[]d x x x x x ⎰--+-01'))(()(+[]d x x x x x ⎰+1')(=dx x dx x )21()21(1023123+++-⎰⎰=54(2) 直线AB 的方程为1=x ,0=dx ,y 从1-到1,于是⎰+Lydy xydx =⎰-11ydy =0从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用格林公式: 设平面闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰++=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(其中+L 是D 的正向边界曲线。
在公式(1)中取x Q y P =-=,，可得⎰⎰⎰+-=LDydx xdy dxdy 2，上式左端为闭区域D 的面积A 的两倍，因此计算有界闭区域的D 面积的公式为:21=A ⎰+-L ydx xdy 。
例2 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形的面积. 解 由公式(2)得21=A ⎰+-L ydx xdy =dt t t a t a t t a t a )]sin (cos 3sin cos sin 3cos [21232023-⋅-⋅⎰π=⎰π20222cos sin 23tdt t a =283a π.例3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族x a y sin =中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分⎰+++Cdy y x dx y )2()1(3的值最小。
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令0:,0:0→=πx y C ，即AO 直线段。
⎰⎰⎰+++-+++=++++0)2()1()2()1()2()1(333C c C Cdyy x dx y dy y x dx y dy y x dx y a a dy y dx dx dxdy y x a D434)32()01()32(3sin 02032-+=+-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰ππππ。
用一元函数极值的方法得1=a 时达到最小值38-π。
4. 平面曲线积分与路径无关的条件从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；定义：（曲线积分与路径无关问题）设D 是xoy 平面上的一个开区域，),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶阶连续偏导数.如果对D 内任意两点A 与B ，以及D 内从点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L ，恒有⎰+1L Qdy Pdx =⎰+2L Qdy Pdx ，则称曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关。
定理：以下条件等价(1) 在区域D 内曲线积分与路径无关的充分； (2) D 内沿任一闭曲线的积分为零；(3) 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数且xQ y P ∂∂=∂∂在D 内恒成立； (4) Qdy Pdx +为全微分．例3 计算⎰-++Ly y dy y e x dx xe )()1(2222,其中L 是从点)0,0(O 经圆周4)2(22=+-y x 上半部到点)0,4(A 的弧段。
解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关. 这里y xe y x P 21),(+=,222),(y e x y x Q y -=, 有y xe xQ22=∂∂=y P ∂∂,且),(y x P 与),(y x Q 在全平面上有一阶连续偏导数. 因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段OA 作为积分路径.于是⎰-++Ly ydy y e x dx xe)()1(2222=⎰-++OAy y dy y e x dx xe )()1(2222=12)1(4=+⎰dx x例4 计算⎰+-=L y x ydxxdy I 22,其中L 为:（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周.解 这里22),(y x y y x P +-=,22),(y x xy x Q +=,x Py x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(,且),(y x P 与),(y x Q 在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.（1） 这个曲线积分与路径无关,所以022=+-=⎰L y x ydxxdy I .（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周L 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,)20(πϑ≤≤,则 πθθθπ2)s i n (c o s 20222222=+=+-=⎰⎰d rr y x y d x x d y I L . 例5设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cy x xy d dx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cy x x y d ydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x x y d ydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x x y d ydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx y ϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ②比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.5. 二元函数的全微分求法定义：若函数),(y x u 使dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=,则称函数),(y x u 是表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的一个原函数。