2019-2020年高考数学大题综合训练
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2019-2020年高考数学大题综合训练1
1．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <3
4.
(1)解 ∵数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22， ∴a 5＝1
2(a 2＋a 8)＝11.
∵a 4，a 7，a 12成等比数列， ∴a 2
7＝a 4·a 12，
即(11＋2d )2
＝(11－d )·(11＋7d )， 又d ≠0， ∴d ＝2，
∴a 1＝11－4×2＝3，
∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *
)． (2)证明 由(1)得，S n ＝n (a 1＋a n )
2
＝n (n ＋2)，
∴1S n
＝
1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2，
∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n
＝12⎣⎢⎡
⎝
⎛
⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋
⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2
＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n ＋1＋1n ＋2<34.
∴T n <34
.
2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，
BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE .
(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；
(2)若PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π
4，求二面角B －PD －C 的余弦值．
(1)证明 由ABCD 是直角梯形，
AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，可得DC ＝2，BD ＝2，
从而△BCD 是等边三角形， ∠BCD ＝π
3，BD 平分∠ADC ，
∵E 为CD 的中点，DE ＝AD ＝1， ∴BD ⊥AE .
又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ， 又PB ，BD ⊂平面PBD ， ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ⊂平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD .
(2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，
∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，
PO ⊂平面PBD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，
∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π
4，
又∵PB ＝PD ，
∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3，
以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，
PC →＝(0，3，－3)，PD →
＝(－1,0，－3)．
设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·PC →＝0，n ·
PD →＝0，得⎩⎨⎧
3y －3z ＝0，
－x －3z ＝0，
令z ＝1，则x ＝－3，y ＝1，得n ＝(－3，1,1)． 又平面PBD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)， 设二面角B －PD －C 的平面角为θ， 则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝15×1＝5
5，
由图可知θ为锐角，
∴所求二面角B －PD －C 的余弦值是
5
5
. 方法二 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，
∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，
PO ⊂平面PBD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，
∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π
4，
又∵PB ＝PD ，
∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3， 作OH ⊥PD 于点H ，连接CH ， 则PD ⊥平面CHO ，
又HC ⊂平面CHO ，则PD ⊥HC ，
则∠CHO 为所求二面角B －PD －C 的平面角． 由OP ＝3，得OH ＝
32
，
∴CH ＝
152
， ∴cos ∠CHO ＝
OH CH ＝32
152
＝55
. 3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A 水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．
(1)若该超市一天购进A 水果150千克，记超市当天A 水果获得的利润为X (单位：元)，求X 的分布列及期望；
(2)若该超市计划一天购进A 水果150千克或160千克，请以当天A 水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？ 解 (1)若A 水果日需求量为140千克， 则X ＝140×(15－10)
－(150－140)×(10－8) ＝680(元)，
且P (X ＝680)＝5
50
＝0.1.
若A 水果日需求量不小于150千克， 则X ＝150×(15－10)＝750(元)， 且P (X ＝750)＝1－0.1＝0.9. 故X 的分布列为
E (X )＝680×0.1＋750×0.9＝743.
(2)设该超市一天购进A 水果160千克， 当天的利润为Y (单位：元)， 则Y 的可能取值为