2018北京四中高二(下)期中数学(文)含答案

2018北京四中高二（下）期中

数 学（文）

满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 在复平面内，复数

i

i

+1的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 函数f （x ）是定义在（-∞，+∞）上的可导函数. 则“函数y=f （x ）在R 上单调递增”是“f'（x ）>0在R 上恒成立”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 曲线y=x 3

-2x+l 在点（1，0）处的切线方程为

A. y=x-1

B. y=-x+1

C. y=2x-2

D. y=-2x+2

4. 函数y=xcosx 的导数为

A. y'=cosx-xsinx

B. y'=cosx+xsinx

C. y'=xcosx-sinx

D. y'=xcosx+sinx

5. 设f （x ）=x 2

-2x-4lnx ，则函数f （x ）的增区间为

A. （0，+∞）

B. （-∞，-1），（2，+∞）

C. （2，+∞）

D. （-1，0）

6. 若复数z=（x 2

-4）+（x+3）i （x ∈R ），则“z 是纯虚数”是“x=2”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），其导函数f'（x ）在（a ，b ）内的图象如图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内极小值．．．

点的个数为

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

8. 函数f （x ）=（

2

1）x

-log 2x 的零点个数为 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9. 若函数y=f （x ）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是

A. y=sinx

B. y=lnx

C. y=e x

D. y=x 3

10. 函数f （x ）=x 3

-3x ，若对于区间[-3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）-f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是

A. 20

B. 18

C. 3

D. 0

11. 设函数f'（x ）是奇函数f （x ）的导函数，f （-1）=0，当x>0时，xf'（x ）-f （x ）<0，则使得f （x ）>0成立的x 的取值范围是

A. （-∞，-1）Y （0，1）

B. （-1，0）Y （1，+∞）

C. （-∞，-1）Y （-1，0）

D. （0，1）Y （1，+∞）

12. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即

2

n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为

A. 4

B. 6

C. 8

D. 32

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

13. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=l+i ，则z 2

=___________.

14. 如图，函数y=f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8，则f （2018）+f'（2018）=_________.

15. 已知函数f （x ）=e x

-x+a 有零点，则a 的取值范围是_________.

16. 已知函数f （x ）=x 3

+ax 2

+bx+a 2

在x=1处有极值10，则（a ，b ）=________. 17. 对于函数f （x ）=（2x-x 2

）e x

①（-2，2）是f （x ）的单调递减区间；

②f （-2）是f （x ）的极小值，f （2）是f （x ）的极大值； ③f （x ）没有最大值，也没有最小值； ④f （x ）有最大值，没有最小值. 其中判断正确的是_________.

18. 若函数e x

f （x ）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质，下列函数：

①f （x ）=

x

1（x>1） ②f （x ）=x 2 ③f （x ）=cosx ④f （x ）=2-x

中具有M 性质的是__________.

三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. 19. 已知函数f （x ）=-x 3

+3x 2

+9x+a.

（I ）求f （x ）的单调减区间；

（II ）若f （x ）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

20. 设f （x ）=a （x-5）2+61nx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）.

（I ）确定a 的值；

（II ）求函数f （x ）的单调区间与极值.

21. 已知：函数f （x ）=ax 4

lnx+bx 4

-c （x>0）在x=1处取得极值-3-c ，其中a ，b ，c 为常数.

（1）试确定a ，b 的值；

（2）讨论函数f （x ）的单调区间：

（3）若对任意x>0，不等式f （x ）≥-2c 2

恒成立，求c 的取值范围. 22. 已知函数f （x ）=e x

·（a+

x

1

+lnx ），其中a ∈R. （I ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线y=-

e

x

垂直，求a 的值； （II ）当a ∈（0，ln2）时，证明：f （x ）存在极小值.