宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年浙江省绍兴市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，则（∁U A）∪B＝（）A．{4}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3，5，6} 2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x3．已知向量＝（x，1），＝（2，﹣3）．若∥，则实数x（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．若实数x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣86．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件7．函数f（x）＝（e x+ae﹣x）x2（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}和公差不为零的等差数列{b n}都是无穷数列，当n∈N*时，则（）A．若{a n}是递增数列，则数列{na n}递增B．若{b n}是递增数列，则数列{nb n}递增C．若数列{na n}递增，则数列{a n}递增D．若数列{nb n}递增，则数列{b n}递增9．已知平面向量，，满足||＝1，•＝1，记与+夹角为θ，则cosθ的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，DA＝，∠CDA＝90°，将△ACD沿直线AC翻折成△ACD'，形成三棱锥D'﹣ABC，则（）A．存在某个位置，使得直线AB与直线CD'垂直B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD'垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD'垂直D．对任意位置，三对直线“AB与CD'”，“AC与BD'”，“BC与AD'”均不垂直二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分）11．lg2+lg50＝；＝．12．已知{a n}是等比数列，a1＝＝4，则a3＝，a1a2a3a4a5a6＝．13．在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，则AC＝，cos C＝．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是15．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），△ABC恰好被面积最小的圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2及其内部所覆盖，则a﹣2b＝，r＝．16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），点M满足，则直线FM的斜率取值范围是．17．已知数列{a n}满足，若a7＝127，则a1的取值范围是．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）＝x．（1）求函数f（x）的值域；（2）求函数f（x）单调递增区间．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．（1）证明：BD1∥平面ACE；（2）求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，S5＝3a5，n∈N*．（1）求a n与S n；（2）设b n＝，证明：b1+b2+b3+…+b n＜n+．21．如图，已知点M（1，1），N（2，1），Q（4，1）抛物线y2＝2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．22．设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；（2）若存在a∈[﹣1，1]，使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，则（∁U A）∪B＝（）A．{4}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3，5，6}【分析】先求出∁U A，由此能求出（∁U A）∪B．解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，∴∁U A＝{4，5，6}，（∁U A）∪B＝{4，5，6}．故选：C．2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x【分析】由双曲线的性质及方程直接可得双曲线的渐近线的方程．解：由双曲线x2﹣＝1方程可得渐近线方程为：x＝，即y＝x，故选：B．3．已知向量＝（x，1），＝（2，﹣3）．若∥，则实数x（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据两向量共线的坐标表示，列方程求出x的值．解：向量＝（x，1），＝（2，﹣3），若∥，则﹣3x﹣1×2＝0，解得x＝﹣．故选：A．4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．解：∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣，故选：A．5．若实数x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣8【分析】先作出不等式组表示的可行域，结合目标函数中z的几何意义可求z取得最小值的位置，即可求解．解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x﹣3y＝z，可得y＝x﹣z，则﹣z表示直线y＝x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线L：y＝x﹣z，显然当平行直线过点C时，z取得最小值为；⇒C（4，4）；故2x﹣3y的最小值为：2×4﹣3×4＝﹣4．故选：C．6．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立，若a＞|b|，当b≥0，满足a＞b，当b＜0时，a＞|b|＞b，成立，即必要性成立，故“a＞b”是“a＞|b|”必要不充分条件，故选：B．7．函数f（x）＝（e x+ae﹣x）x2（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a的符号，结合函数的奇偶性，分别求出a的值，进行判断即可．解：当a＝0时，f（x）＝e x x2，此时对应图象A，当a＞0时，f（x）＝（e x+ae﹣x）x2，若函数为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即（e﹣x+ae x）x2＝（e x+ae﹣x）x2，得e﹣x+ae x＝e x+ae﹣x，得a＝1，此时f（x）＝（e x+e﹣x）x2，此时对应图象为C，若函数为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即（e﹣x+ae x）x2＝﹣（e x+ae﹣x）x2，得e﹣x+ae x ＝﹣e x﹣ae﹣x，得a＝﹣1，此时f（x）＝（e x﹣e﹣x）x2，由f（x）＝0，得x＝0，当x＞0时，f（x）＞0，此时对应图象为B，D一定不成立，故选：D．8．已知等比数列{a n}和公差不为零的等差数列{b n}都是无穷数列，当n∈N*时，则（）A．若{a n}是递增数列，则数列{na n}递增B．若{b n}是递增数列，则数列{nb n}递增C．若数列{na n}递增，则数列{a n}递增D．若数列{nb n}递增，则数列{b n}递增【分析】可取a1＝﹣1，公比q＝，可判断A；取b1＝﹣8，公差d＝2，可判断B；取a n＝1，可判断C；由单调性的定义和恒成立思想可判断D．解：若a1＝﹣1，公比q＝，可得a n＝﹣（）n﹣1在n∈N*时递增，但{na n}不递增，比如a1＝﹣1，2a2＝﹣1，即a1＝2a2，故A错误；若b1＝﹣8，公差d＝2，则b n＝2n﹣10在n∈N*时递增，但{nb n}不递增，比如b1＝﹣8，2b2＝﹣12，即有b1＞2b2，故B错误；若a n＝1，即na n＝n在n∈N*时递增，但{a n}不递增，故C错误；若数列{nb n}递增，即有（n+1）b n+1﹣nb n＝n（b n+1﹣b n）+b n+1＞0恒成立，则b n+1﹣b n＞0，即数列{b n}递增，故D正确．故选：D．9．已知平面向量，，满足||＝1，•＝1，记与+夹角为θ，则cosθ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】设||＝x（x＞0），则＝，用数量积表示与的夹角的余弦值，转化为二次函数求最值．解：设||＝x（x＞0），则＝．又＝．cosθ＝＝＞0．则cos2θ＝＝＝＝．∵x＞0，∴x2+1＞1，则0＜＜1，∴当时，，有最大值为＝，∴cos2θ＝有最小值为，又cosθ＞0，∴cosθ的最小值是．故选：D．10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，DA＝，∠CDA＝90°，将△ACD沿直线AC翻折成△ACD'，形成三棱锥D'﹣ABC，则（）A．存在某个位置，使得直线AB与直线CD'垂直B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD'垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD'垂直D．对任意位置，三对直线“AB与CD'”，“AC与BD'”，“BC与AD'”均不垂直【分析】由已知可得CD′⊥AD′，然后逐一分析A，B，C选项，可知使A成立的D′的位置存在，使B与C成立的D′的位置不存在，从而得答案．解：对于A，CD′⊥AD′，若直线AB与直线CD'垂直，由AB∩AD′＝A，则CD′⊥平面AD′B，可得CD′⊥D′B，由BC＝3，CD′＝1，则需BD，此时三角形ABD′存在，故A正确；对于B，取AC中点O，连接BO，∵AB＝BC，则BO⊥AC，若直线AC与直线BD'垂直，又BO∩BD′＝B，可得AC⊥平面BOD′，则AC⊥OD′，得CD′＝AD′，与已知矛盾，故B错误；对于C，CD′⊥AD′，直线BC与直线AD'垂直，由CD′∩BC＝C，可得AD′⊥平面BCD′，则AD′⊥BD′，由AB＝3，AD，则需BD′＝，此时△BCD′不存在，故C错误；由A正确，可知D错误．故选：A．二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分）11．lg2+lg50＝2；＝4．【分析】利用对数的运算性质进行计算即可得解．解：lg2+lg50＝lg（2×50）＝lg100＝2．＝＝4．故答案为：2，4．12．已知{a n}是等比数列，a1＝＝4，则a3＝32，a1a2a3a4a5a6＝239．【分析】利用等比数列通项公式先求出公比，由此能求出结果．解：∵{a n}是等比数列，a1＝＝4，∴＝8，∴a3＝4×8＝32．∴a1a2a3a4a5a6＝＝＝（）6×815＝239．故答案为：32，239．13．在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，则AC＝，cos C＝．【分析】由已知利用正弦定理即可解得AC的值，根据余弦定理可得25AB2+10AB﹣13＝0，解得AB的值，由正弦定理可得sin C的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos C的值．解：∵在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，∴由正弦定理，可得AC＝＝＝，∵在△ABC中，由余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A，可得12＝（）2+AB2﹣2××AB×cos120°，整理可得：25AB2+10AB﹣13＝0，解得AB＝，负值舍去，∴由正弦定理，可得sin C＝＝＝，∴cos C＝＝＝．故答案为：，．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是4【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC的边AB＝2，AB边上的高为2，三棱柱的高为2．再由棱柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC的边AB＝2，AB边上的高为2，三棱柱的高为2．∴该几何体的体积V＝．故答案为：4．15．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），△ABC恰好被面积最小的圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2及其内部所覆盖，则a﹣2b＝，r＝．【分析】利用已知的三点求出经过该圆的方程，进一步求出结果．解：设经过A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，所以：，解得，所以圆的方程为：，转换为圆的标准式为：．所以a＝，b＝﹣，r＝，故a﹣2b＝．故答案为：16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），点M满足，则直线FM的斜率取值范围是（0，）．【分析】由椭圆的方程可得左焦点F的坐标，设M的坐标，由M满足，可得M的坐标，进而求出直线MF的斜率的表达式，平方，换元，求导可得函数的单调性，进而求出斜率的取值范围．解：由题意的方程可得左焦点F（﹣c，0），设M（x，y），因为，所以（x，y﹣b）＝2（a﹣x，﹣y），所以可得x＝，y＝，即M（，），所以直线FM的斜率为：k＝＝＝所以k2＝＝，令x＝e∈（0，1），令f（x）＝，x∈（0，1），则f'（x）＝＝＜0恒成立，所以f（x）∈（0，），即k∈（0，）．故答案为：（0，）．17．已知数列{a n}满足，若a7＝127，则a1的取值范围是[1，]．【分析】先运用绝对值不等式的性质化简，可得﹣≤a n﹣≤，变形得﹣≤﹣≤，进一步求出a1的取值范围．解：，可得﹣≤a n﹣≤，两边同除以2n，可得﹣≤﹣≤，所以﹣≤﹣≤，﹣≤﹣≤，…，﹣≤﹣≤，以上几个式子相加可得﹣（++…+）≤﹣≤++…+，即﹣（++…+）+≤≤++…++，所以﹣2（++…+）+≤a1≤2（++…+）+，所以﹣+≤a1≤+，所以﹣1+≤a1≤1+，所以1≤a1≤，故答案为：[1，]．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）＝x．（1）求函数f（x）的值域；（2）求函数f（x）单调递增区间．【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．解：（1）f（x）＝x＝sin2x+1+cos2x＝2sin（2x+）+1，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣2≤2sin（2x+）≤2，﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，即﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[﹣1，3]．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．（1）证明：BD1∥平面ACE；（2）求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，BD，交于点F，连结EF，推导出EF∥BD1，由此能证明BD1∥平面ACE．（2）取AD中点O，连结A1O，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，BD，交于点F，连结EF，∵底面ABCD是菱形，∴F是BD中点，∵E为DD1的中点．∴EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．（2）解：取AD中点O，连结A1O，CO，∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．∴A1O⊥平面ABCD，CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，设A1A＝A1D＝AD＝AC＝2，则A（0，﹣1，0），C（，0，0），A1（0，0，），D（0，1，0），E（0，，），＝（0，1，﹣），＝（，1，0），＝（0，，），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，5），设直线A1D与平面ACE所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线A1D与平面ACE所成角的正弦值为．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，S5＝3a5，n∈N*．（1）求a n与S n；（2）设b n＝，证明：b1+b2+b3+…+b n＜n+．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再求a n与S n；（2）首先证明＜1+（﹣），再由数列的分组求和，以及裂项相消法求和，化简整理即可得证．解：（1）等差数列{a n}中，设公差为d，，解得，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，S n＝2n+•2＝n2+n．（2）证明：＜1+（﹣）⇔1+（﹣）＜1+（﹣）2+（﹣）⇔（﹣）2＞0显然成立，则b n＝＝＝＜1+（﹣），所以b1+b2+b3+…+b n＝+++…+＜[1+（1﹣）]+{1+（﹣）]+…[1+（﹣）]＝n+（1﹣+﹣+…+﹣）＝n+．21．如图，已知点M（1，1），N（2，1），Q（4，1）抛物线y2＝2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．【分析】（1）由题意将M的坐标代入求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）因为直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，及点N到直线AB的距离d，求出△ABN的面积的表达式，因为A，C，N三点共线所以直线AC，AN的斜率相等，可得C的坐标与A，B的坐标的关系，同理可得D的坐标与A，B的关系，求出|CD|的表达式，再求出直线CD的方程，求出N到直线CD的距离，进而求出△CDN的面积的表达式，求出的表达式，将两根之和及两根之积代入可得面积之比为定值．解：（1）因为抛物线y2＝2px过点M（1，1），所以1＝2p•1，所以2p＝1，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程x＝m（y﹣1）+4，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣my+m﹣4＝0，则y1+y2＝m，y1y2＝m﹣4，所以弦长|AB|＝|y1﹣y2|，N到直线AB的距离d＝＝，所以S△ABN＝d＝|y1﹣y2|，设C（x3，y3），D（x4，y4），则y32＝x3，y42＝x4，因为A，N，C三点共线，k AC＝k AN，即＝＝，k AN＝＝，所以＝，解得y3＝，若y1＝，则y3＝﹣；y1＝﹣，y3＝均适合此式，同理y4＝，所以|CD|＝＝＝|y3﹣y4|•，同理可得k CD＝，直线CD的方程为y﹣y3＝（x﹣y32），整理可得：x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，所以N到直线CD的距离d'＝，所以S△CDN＝|CD|•d'＝|y3﹣y4|•|2﹣（y3+y4）+y3y4|，因为y3﹣y4＝﹣＝，2﹣（y3+y4）+y3y4＝2﹣（+）+•＝，所以S△CDN＝|y1﹣y2|•，所以＝＝＝＝＝＝9，所以为定值9．22．设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；（2）若存在a∈[﹣1，1]，使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用f（0）＝0求得a值，再验证函数为奇函数即可；（2）分类讨论，x≥a时，化简可得y无零点；x＜a，且x≥0时也无零点；因此只有x ＜a且x＜0时有零点，此时一元二次方程有实数解，转化为关于|x|的方程则有正实数解，得到a的范围，在此范围内求得方程的解|x|，根据题意，t≤|x|max，则答案可求．解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；∴f（0）＝﹣a|﹣a|＝0，即a＝0，此时f（x）＝x|x|是奇函数，故a＝0；（2）∵a∈[﹣1，1]，x≥a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝＞0，此时函数y无零点；x＜a，若a＞0，则当0≤x＜a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2﹣2ax+2＝x2﹣a2+2＞0，函数y无零点；∴函数零点在x＜a且a＜0时取得，此时函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2+2ax+2＝x2+4ax+2﹣a2．由x2+4ax+2﹣a2＝0，得|x|2﹣4a|x|+2﹣a2＝0．此时△＝16a2﹣4（2﹣a2）≥0，即，则．由于|x|≥0，∴a＞0，得．|x|＝．要使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，只需t≤，即t．∴实数t的取值范围是（﹣∞，2+]．。
浙江省温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
浙江省温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()()22x f x x ax e =++在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．][(),22,-∞-⋃+∞C ．()2,2-D ．[]2,2- 【答案】D【解析】 分析：函数()()22x f x x ax e =++在R 上单调递增，即()'0f x ≥在上恒成立 详解：()()2 2x f x x ax e =++ ()()2'22x f x x a x a e ⎡⎤=++++⎣⎦由()()22x f x x ax e =++在R 上单调递增可得 ()'0f x ≥在R 上恒成立()2220x a x a ++++≥在R 上恒成立()()22420a a ∆=+-+≤解得[]2,2a ∈-综上所述,答案选择:D点晴：导数中的在给定区间单调递增，即导函数在相应区间内≥0恒成立，在给定区间内单调递减，即导函数≤0恒成立。
2．若点(,0)A t 与曲线x y e =上点P 的距离的最小值为3t 的值为（ ）A ．ln 243-B ．ln 242-C ．ln 233+D ．ln 332+ 【答案】D【解析】【分析】设(,)mP m e ，求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两点的距离公式，解方程可得所求值．【详解】x y e =的导数为x y e '=，设(,)mP m e ，可得过P 的切线的斜率为m e ，当AP 垂直于切线时，AP 取得最小值可得1m m e m t e=--= 可得2()()120m t m t ----=，解得3m t -=-或4（舍去），即有23m e t m =-=，解得32ln m =， ∴332ln t =+， 故选：D ．【点睛】本题考查导数几何意义的应用、距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）A ．43cm B ．316cm C ．34cm D ．13cm 【答案】D【解析】【分析】利用等体积法求水面下降高度。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。
2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测(九)新人教A版必修第二册(最新整理)
2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A 版必修第二册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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章末综合检测(九)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A，B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4,为检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（)A．96 B．72C．48 D．36解析：选B。
由题意得错误!n－错误!n＝8，所以n＝72。
故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15),6;［15，20），8；［20,25),13；［25，30)，35；［30，35），46;[35,40)，34；［40,45），28；［45，50),15；[50，55)，10；［55，60],5。
则样本在［35,60]上的频率是( )A．0。
69 B．0.46C．1 D．不存在解析：选B.由题可知,样本在［35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0。
46.3．2019年高考某题的得分情况如下:得分(分）01234百分率(%)37.08。
哈尔滨师范大学附属中学2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
A。 82。5B。 83C。 93D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】
由茎叶图得出所有数据并从小到大排序，由于偶数个,则中位数为中间两个数之和再除以2。
【详解】将这组数据从小到大排列为72，74，76,81，82，83,86,93，93,99，则这组数据的中位数是 ，即82。5
A. 3B. 4C。 6D。 7
【答案】B
【解析】
【分析】
类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.
【详解】先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测。继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测。继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组,此时进行了3次检测。选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测。所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测。
【解析】
【分析】
分析图形中火柴数 变化是以3位首项2为公差的等差数列，由此可算第100个图形所用火柴棒数。
【详解】由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为 ，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201.
故答案为：201
【点睛】本题考查合情推理的应用，属于基础题.
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合，A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2} 2．下列运算结果为纯虚数的是（）A．i（1﹣i）B．i（1+i）2C．i3（1+i）D．（1+i）23．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，n⊥β，则m⊥β5．若x，y满足，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx﹣k与区域Ω有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣7，﹣1]C．（﹣∞，﹣7]D．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）6．已知函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，则下列错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是周期函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）是偶函数7．已知c＞a，随机变量ξ，η的分布列如表所示，则（）ξ123P a b cη321P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη8．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则下列说法正确的是（）A．α1＞α3B．α1＜α2C．当AC＝BC时，α2＜α3D．当AC＝BC时，α3＞α110．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝2二、填空题（共7小题）.11．双曲线x2﹣2y2＝2的焦距为，渐近线方程为12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是，表面积是．13．如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n＝，展开式中的常数项为．14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，∠BAC 的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，则cos A＝，c＝．15．现有完全相同的物理书4本，语文、数学、英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有种摆法．（结果用数字作答）16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若1，S3，S6成等差数列，则的最大值为．17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，△ADP是等腰等直角三形，且AP＝DP＝．（Ⅰ）求证：AD⊥BP；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+4（n∈N*），证明：21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G，H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最大值时点M 的坐标．22．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合，A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合，∴A＝{x|x≤2}，B＝{x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．下列运算结果为纯虚数的是（）A．i（1﹣i）B．i（1+i）2C．i3（1+i）D．（1+i）2【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案．解：∵i（1﹣i）＝1+i；i（1+i）2＝i•2i＝﹣2；i3（1+i）＝﹣i（1+i）＝1﹣i；（1+i）2＝﹣2i．∴运算结果为纯虚数的是D．故选：D．3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，n⊥β，则m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．解：对于A，若m⊥α，n⊥β，则α⊥β，错误，因为当m与n平行时，有α∥β；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，可得m与n平行、相交或异面，只有m与n平行时，再由n ⊥β，可得m⊥β，故D错误．∴正确的命题是C．故选：C．5．若x，y满足，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx﹣k与区域Ω有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣7，﹣1]C．（﹣∞，﹣7]D．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用k的几何意义，即可得到结论．解：作出x，y满足对应的平面区域如图：y＝k（x﹣1）过定点P（1，0），由交点A（，），由图象可知当直线经过点A（，）时，直线的斜率最小，此时k＝＝﹣7，由解得B（0，1）当直线经过点B时，直线的斜率最大，此时k＝﹣1，∴k的取值范围是：[﹣7，﹣1]故选：B．6．已知函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，则下列错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是周期函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）是偶函数【分析】直接利用三角函数的性质周期性和奇偶性的应用求出结果．解：由于函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，所以：当x＝2kπ时，f（2kπ）＝cos[2kπ+sin（4kπ）]＝1，故选项A正确．根据关系式f（x+2kπ）＝f（x）＝cos[（x+2kπ）+sin（2x+4kπ）]＝cos（x+sin2x），故函数的周期为2kπ，所以函数为周期函数，故选项B正确．当x＝时，f（）＝cos（+sinπ）＝0≠1，故选项C错误．根据函数的关系式：f（﹣x）＝f（x）所以函数为偶函数，故选项D正确．故选：C．7．已知c＞a，随机变量ξ，η的分布列如表所示，则（）ξ123P a b cη321P a b c A．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη【分析】根据随机变量ξ，η的分布列，根据数学期望和方差的计算公式，代入数值，根据已知c＞a，即可得结论．解：Eξ＝1×a+2×b+3×c＝a+2b+3c，Eη＝3×a+2×b+1×c＝3a+2b+c，Eξ﹣Eη＝2（c﹣a），∵c＞a，∴2（c﹣a）＞0，即Eξ＞Eη．由ξ+η＝4，所以Dξ＝D（4﹣η）＝Dη．故选：B．8．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（m，n），m，n＞0，由向量的加减运算和数量积性质可得|OP|＝c，再由两点的距离公式和P满足椭圆方程，求得P的坐标，以及直线PF的斜率k，求得圆C 的圆心和半径r，由直线和圆相切的条件：d＝r，化简整理可得a，c的方程，解方程可得所求离心率．解：设P（m，n），m，n＞0，由，即（+）•（﹣）＝2﹣2＝0，则|OP|＝|OF|＝c，由m2+n2＝c2，+＝1，解得m＝，n＝，又F（0，c），可得直线PF的斜率k＝＝，设直线PF的方程为y＝kx+c，由题意可得CQ⊥PF，圆C：的圆心C（0，c），半径为，由直线和圆相切可得＝，可得k2＝，即有（）2＝，结合b2＝a2﹣c2，化为5a4﹣14a2c2+9c4＝0，即为（5a2﹣9c2）（a2﹣c2）＝0，可得5a2＝9c2，或a2＝c2，由e＝，且0＜e＜1，可得e＝．故选：B．9．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则下列说法正确的是（）A．α1＞α3B．α1＜α2C．当AC＝BC时，α2＜α3D．当AC＝BC时，α3＞α1【分析】设△PCA的高为h1，△PCB的高为h2，三棱锥P﹣ABC的高为h，由PA＜PB ＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，得到当AC＝BC时，h1＜h2，由正弦函数性质可得α2＜α3．解：由题意设△PCA的高为h1，△PCB的高为h2，三棱锥P﹣ABC的高为h，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，∵三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，∴当AC＝BC时，h1＜h2，∴sinα3＝，sinα2＝，∵α2，α3都是锐角，∴α2＜α3．故选：C．10．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝2【分析】先假设b＝0时的特殊情况，再分a≤ln，ln＜a≤0及a＞0三种情况讨论，分别得出M，N的值，再结合选项运用排除法得解．解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．双曲线x2﹣2y2＝2的焦距为2，渐近线方程为x±y＝0．【分析】将双曲线的方程化为标准形式可得a，b的值，进而求出c的值，即求出焦距2c的值，并且求出渐近线的方程．解：双曲线x2﹣2y2＝2的标准方程为：﹣y2＝1，所以可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2+b2＝2+1＝3，解得c＝，所以焦距2c＝2，渐近线的方程为：＝±y，即x±＝0，故答案分别为：2，x±＝0．12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是6，表面积是．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2的直四棱柱体．如图所示：所以：．+＝16+2．故答案为：6；16+213．如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n＝6，展开式中的常数项为1215．【分析】先利用二项式系数和的公式求出n的值，然后利用通项法求出常数项．解：易知展开式中各项二项式系数之和为：2n＝64，解得n＝6．故该二项式为，其通项为：＝，当k＝2时，可得常数项为：．故答案为：6，1215．14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，∠BAC 的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，则cos A＝﹣，c＝6．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sin C≠0，可求得cos A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由已知正弦定理可得＝，整理可得sin B，在△ABD中，由正弦定理可得BD的值，由余弦定理可得AB2﹣2AB﹣24＝0，即可解得AB的值．解：∵，∴由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴sin A cos C﹣sin C＝sin A cos C+sin C cos A，可得：﹣sin C＝sin C cos A，∵sin C≠0，∴可得cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝，∵∠BAC的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，可得c＝2b，∴在△ABD中，由正弦定理可得＝，可得BD＝2CD＝，在△ADC中，由正弦定理可得，可得CD＝＝，∴＝，整理可得：tan B＝，可得sin B＝，∴在△ABD中，由正弦定理＝，可得BD＝＝＝2，∵由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos，可得（2）2＝22+AB2﹣2×2×AB ×，整理可得：AB2﹣2AB﹣24＝0，∴解得AB＝6，或﹣4（舍去）．故答案为：﹣，6．15．现有完全相同的物理书4本，语文、数学、英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有60种摆法．（结果用数字作答）【分析】分两类，可把完全相同的物理书4本看做1本，把完全相同的物理书4本，分每两本组合在一起，根据分类计数原理可得．解：第一类，可把完全相同的物理书4本看做1本，和语文、数学、英语书，全排即可，故有A44＝24种，第二类，把完全相同的物理书4本，分每两本组合在一起，把语文、数学、英语排好，将每两本物理书插入到所形成的空中，即有A33A42＝36种，根据分类计数原理可得共有24+36＝60种，故答案为：60．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若1，S3，S6成等差数列，则的最大值为3﹣2．【分析】由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和性质：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，化简整理为S3，S6的关系式，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n＞0，若1，S3，S6成等差数列，可得2S3＝1+S6，再由S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，可得（S6﹣S3）2＝S3（S9﹣S6），化为S9﹣S3＝﹣S6，则＝﹣＝﹣＝3﹣（+）≤3﹣2＝3﹣2，当且仅当S6＝S3，上式取得等号，则的最大值为3﹣2，故答案为：3﹣2．17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是．【分析】由且，设，，且x0≠0，y0≠0，，由向量等式可得，再由＝，可得，．则答案可求．解：∵且，∴设，，且x0≠0，y0≠0，．由，得，即，即．又，∴．则，可得，即．∵＝，∴，．∴的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．【分析】（1）展开后利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，利用复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；（2）由，得，再由＝＝，展开二倍角的余弦求解．解：（Ⅰ）由，得＝＝．令，解得．∴f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）由题意，得，∴＝＝＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，△ADP是等腰等直角三形，且AP＝DP＝．（Ⅰ）求证：AD⊥BP；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AD中点E，连接PE、BE，推导出AD⊥PE，AD⊥BE，从而AD⊥面PBE，由此能证明AD⊥BP．（Ⅱ）法一：推导出面ADP⊥面PEB，过B做BM⊥PE交PE延长线于M点，则BM ⊥面PAD，延长AD、BC交于点F，则∠BFM为直线BC与平面ADP所成角，由此能求出直线BC与平面ADP所成角的正弦值．法二：AE⊥BE，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，与平面ABCD垂直的EQ为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ADP所成角的正弦值．解：（Ⅰ）解：取AD中点E，连接PE、BE，∵△ADP是等腰直角三角形，且，∴AD⊥PE且AD＝2，∵AB＝2且∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，又BE∩PE＝E，∴AD⊥面PBE，∴AD⊥BP．（Ⅱ）解法一：∵AD⊥面PEB，AD⊂面PEB，∴面ADP⊥面PEB，过B做BM⊥PE交PE延长线于M点，∴BM⊥面PAD，延长AD、BC交于点F，∴∠BFM为直线BC与平面ADP所成角，由题意得，，∴，又∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，AB＝2CD＝2，∴，∴，即直线BC与平面ADP所成角的正弦值为．解法二：∵AE⊥BE，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，与平面ABCD垂直的EQ为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示，则，∵，∴，∵面ADP⊥面PEB，∠PEB＝150°，∴，则，，设平面ADP的法向量为，则，取z＝3，得，∴直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+4（n∈N*），证明：【分析】（Ⅰ）由已知利用递推式可得a n+1+a n＝12n+6，a n+2﹣a n＝12，可得{a n}中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，令n＝1，2，可得a1，a2的值，分类讨论即可求解其通项公式；（Ⅱ）法一，可得左边＝；法二：①当n＝1时，左边＝，右边＝成立；②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，则当n＝k+1时，转化为，由于是成立的，即可得证．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴a n+1+a n＝12n+6，…………………………∴a n+2+a n+1＝12（n+1）+6，两式相减可得：a n+2﹣a n＝12，…………………………∴{a n}中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，中令n＝1，得a1＝6，令n＝2，可得：，∴a2k﹣1＝a1+12（k﹣1）＝12k﹣6＝6（2k﹣1），a2k＝a2+12（k﹣1）＝12k＝6•2k………………………………综上所述可得：a n＝6n，………………………………（Ⅱ）（法一：放缩裂项法）b n＝6n+4，………………∴＝………………………………………法二：数学归纳法（结合分析法、放缩法等）证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝，所以不等式成立．……………②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即，则当n＝k+1时，，只需证明：，即只要证明：……………………………即证：，∵是成立的所以n＝k+1时，不等式成立．根据①②知原不等式对于任意n∈N*成立．…………………21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G，H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最大值时点M 的坐标．【分析】（Ⅰ）可设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），求得焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（Ⅱ）设M（，y0），G（2t1﹣8，t1），H（2t2﹣8，t2），t1，t2≥0，由中点坐标公式可得MG，MH的中点坐标，代入抛物线的方程，结合二次方程的韦达定理和判别式大于0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，由三角形的面积公式和函数的单调性，求得面积的最大值，即可点到所求M的坐标．解：（Ⅰ）由题意可设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），焦点，准线方程为x＝﹣，则，解得p＝2，则抛物线C的标准方程为y2＝4x；（Ⅱ）设M（，y0），G（2t1﹣8，t1），H（2t2﹣8，t2），t1，t2≥0，则由MG的中点（+t1﹣4，）在抛物线上，可得（）2＝4（（+t1﹣4），整理可得t12+（2y0﹣16）t1+64﹣y02＝0，同理可得t22+（2y0﹣16）t2+64﹣y02＝0，则t1，t2为方程t2+（2y0﹣16）t+64﹣y02＝0的两根，且t1，t2≥0，所以，解得﹣8≤y0＜0，弦长|GH|＝|t1﹣t2|＝＝2，M到GH的距离d＝＝，可得△MGH的面积为S＝d•|GH|＝•（2y02﹣16y0+64），可令r＝，由2y02﹣16y0＝2（y0﹣4）2﹣32在[﹣8，0）递减，可得2y02﹣16y0∈（0，256]，即r∈（0，16]，设f（r）＝（r3+64r），可得f（r）在r∈（0，16]上单调递增，则当r＝16时面积最大，此时点M（16，﹣8）．22．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．（2）求出函数的定义域，不等式对x∈[1，+∞）恒成立，证明a∈（﹣1，1]，原不等式f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，方法一：令，g（a）是减函数，令φ（x）＝，x≥1；利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解a的取值范围．方法二：令，利用函数的导数，判断导函数的符号，说明g（x）递增，然后求解a的取值范围．【解答】（1）解：a＝﹣1时，函数的定义域为（1，+∞），＝．令f'（x）＞0，则x＞3，f'（x）＜0，则1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）递减，（3，+∞）递增，∴f（x）min＝f（3）＝4﹣ln2．（2）解：函数的定义域不等式对x∈[1，+∞）恒成立，故a∈（﹣1，1]又令x＝1，则，，∵为减函数，且h（1）＝1﹣ln2，∴a≤1，故a∈（﹣1，1]．下面证明a∈（﹣1，1]，原不等式f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，即证恒成立，方法一：令，则g（a）是减函数，故，令φ（x）＝，x≥1；当x＞1时，，∵，故φ'（x）＞0，故φ（x）在x≥1是递增，∴φ（x）≥φ（1）＝1﹣ln2，∴a的取值范围为（﹣1，1]．方法二：令，g'（x）＝，≥＝＝，故g（x）递增，，令，则φ（a）递减，故φ（a）≥φ（1）＝1﹣ln2，∴a的取值范围为（﹣1，1]．。
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷及解析
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。
2019-2020学年宁波市慈溪市高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年宁波市慈溪市高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.若集合M ={−1,0，1}，N ={x|x =coskπ,k ∈Z}，则∁M N =( )A. ⌀B. 0C. {0}D. {−1,1}2.化简sin(π+α)cos(2π−α)cos(π2+α)所得结果为( )A. sinαB. −sinαC. cosαD. −cosα3.用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )A. 144B. 120C. 108D. 724.给出下列四个命题：①∀x ∈N ∗，C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n都是偶数；②x =−1为函数f(x)=xe x 的极大值点；③若x ，y ∈R ，且x +y >2，则x ，y 中至少有一个大于1；④复数(12+√32i)2017的共轭复数是：12−√32i. 其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知x ，y ∈R ，则“x =y ”是“|x|=|y|”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.(x −1x )6展开式中x 2的系数为( )A. −15B. 15C. −20D. 207.在直角坐标系中，若不等式组{y ≥0y ≤x y ≤k(x −1)−1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (2,+∞)8.若x ，y 满足|x|≤1−y ，且y ≥−1，且2x +y 的最大值为( )A. −7B. 1C. 3D. 79.若两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |=2丨a ⃗ 丨，则向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 的夹角为( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π610. 已知函数f (x )=4x 2−kx −8在[2,3]上具有单调性，则实数k 的可能取值为A. 22B. 20C. 18D. 16二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知(2x −3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1+a 2+a 3+a 4= ______ ．12. 对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，都有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 1)成立，则称为W 函数，下面四个命题： ①若函数f(x)为W 函数，则f(0)=0； ②函数f(x)=2x −1，x ∈[0,1]，是W 函数； ③W 函数f(x)一定不是单调函数；④若函数f(x)是W 函数，假设存在x 0∈[0,1]，使得f(x 0)∈[0,1]，且f[f(x 0)]=x 0则f(x 0)=x 0 其中真命题是：______ .(填上所有真命题的序号)13. 方程x 2−mx +2=0的解集是A ，方程x 2+6x −n =0的解集是B ，且A ∩B ={2}，那么m +n =______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14. 下表中的对数值有且仅有一个是错误的：请将错误的一个改正为lg (1) = (2) ．15. 若曲线y =g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1，则曲线f(x)=g(x)+lnx 在点(1,f(1))处切线的斜率为 ，该切线方程为 ．16. 若二项式(1+6x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则a 0+a 1= (1) ，a 1+2a 2+3a 3+⋯+8a 876= (2) ．17. 设函数f(x)={2−x ,x <1log 2x,x ≥1那么f[f(−12)]= (1) ；若函数y =f(x)−k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）=c．18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a−b)cosC+2csin2B2(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若a+b=4，c=√7，求△ABC的面积．19. 已知长方体PQRS−ABCD，底面ABCD为正方形，过AB的平面与平面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF=1：3(S△PEF表示△PEF的面积)．(1)证明：PB//平面ACE；(2)当PA=2AD=2时，求点F到平面ACE的距离．20. 已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a2，a4，a7成等比数列，且S5=50．(1)求S n；}的前n项和．(2)求数列{1a n a n+121. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=x+1与抛物线C有且只有一个公共点T．(1)求抛物线C的方程以及T点坐标；(2)设O为坐标原点，直线l′平行于OT与C交于不同的两点A，B，且与直线l交于点Q，是否存在常数m，使得|QT|2=m|QA|⋅|QB|？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=x2−mlnx(1)若函数f(x)在(,+∞)上是递增的，求实数m的取值范围；(2)当m=2时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合M={−1,0，1}，N={x|x=coskπ,k∈Z}={x|x=1或x=−1}={1，−1}，∴∁M N={0}．故选：C．化简集合N，求出它在M中的补集．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：C=cosα．解析：解：原式=−sinαcosα−sinα故选C原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.答案：C解析：解：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，①如果重复数字为0，则需要从1，2，3中再选取两个不同的数字，且0不能放在首位，故首位应从两个非零数字中选择一个，而另一个非零数字可从剩余的三个数位中选择一位进行放置，则共有：C32⋅C21⋅C31=3×2×3=18个②如果重复数字不为0，但抽取的数字含0，则需要从1，2，3中先选取一个数字重复，再选取一个不重复，从后三位中选择一位放置0，再从剩余的三位中选择一位放置非重复数字，故有C31⋅C21⋅C31⋅C31=54种③如果重复数字不为0，但抽取的数字不含0，则需要从1，2，3中先选取一个数字用做重复，再选取两个用做不重复，放置时，应先从四位中先后选择二位放置非重复数字，故有C31⋅C22⋅C41⋅C31=36种故有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为108个故选C如果重复数字为0，则须要从1，2，3中选出两个，然后根据首位不能放0，得到个数为C32⋅C21⋅C31个，如果重复数字不为0，则根据首位不能为0，得到个数为C31⋅C21⋅C31⋅C31+C31⋅C22⋅C41⋅C31，综合两个情况可得答案．本题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，本题解答中一定要注意所组成的四位数不能是0 4.答案：C解析：解：对于①、∀x∈N∗，C n0+C n1+C n2+⋯+C n n=2n，都是偶数，故①正确；对于②、由f(x)=xe x，得f′(x)=e x+xe x=e x(x+1)，当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，∴x=−1为函数f(x)=xe x的极小值点，故②错误；对于③、假设x，y均小于等于1，则x+y≤2，与x+y>2矛盾，故③正确；对于④、复数(12+√32i)2017=[(12+√32i)3]672⋅(12+√32i)=12+√32i，其共轭复数是：12−√32i，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．利用二项式系数的性质判断①；利用导数求出x=−1为函数的极小值点判断②；由反证法说明③正确；利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数(12+√32i)2017的共轭复数判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查了二项式系数的性质，考查利用导数研究函数的极值，考查复数代数形式的乘除运算，是中档题．5.答案：A解析：解：当“x=y”成立时，“|x|=|y|”一定成立，即“x=y”⇒“|x|=|y|”为真假命题；但当“|x|=|y|”成立时，x=±y即“x=y”不一定成立，即“|x|=|y|”⇒“x=y”为假命题；故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故选A本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x =y ”成立，然后判断“|x|=|y|”是否一定成立；然后假设“|x|=|y|”成立，再判断“x =y ”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．6.答案：B解析：解：(x −1x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅x 6−r ⋅(−1x )r =C 6r⋅(−1)r ⋅x 6−2r ，令6−2r =2，解得r =2； ∴(x −1x )6展开式中x 2的系数为C 62⋅(−1)2=15．故选：B ．利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为2求出展开式中x 2的系数． 本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．7.答案：A解析：解：∵直线y =k(x −1)−1表示经过定点M(1,−1)，且斜率为k 的直线， ∴不等式y ≤k(x −1)−1表示的平面区域为经过点M 的直线l 及其下方的平面区域，因此，作出不等式组{y ≥0y ≤x y ≤k(x −1)−1表示的平面区域，得到如图的△OAB 及其内部，因为该区域表示直线y =k(x −1)−1下方、直线y =x 下方且在y =0的上方，所以直线AB 的斜率k 小于0，且点A 位于直线y =x 上原点O 以上部分， ∵OM 的斜率为−1，∴k <−1，由此可得实数k 的取值范围是(−∞,−1)．故选：A．根据直线方程的点斜式，得不等式y≤k(x−1)−1表示的平面区域为经过点M(−1,1)的直线l及其下方的平面区域．由此作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△OAB及其内部．再观察直线AB的斜率变化，建立k的不等式即可得到实数k的取值范围．本题给出二元一次不等式组，当不等式组表示一个三角形平面区域时，求实数k的取值范围．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于基础题．8.答案：C解析：解：|x|≤1−y，即x+y−1≤0，x−y+1≥0，y≥−1，交点为(0,1)，(−2,−1)，(2,−1)故x=2，y=−1，2x+y的最大值为3，故选：C．利用线性规划解决问题．考查线性规划求最值，基础题．9.答案：B解析：试题分析：设|a⃗|=1，则|a⃗+b⃗ |+|a⃗−b⃗ |=2，故以a⃗、b⃗ 为邻边的平行四边形是矩形．设向量a⃗+b⃗ 与a⃗的夹角为θ，则由cosθ=|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=12求得θ的值．设|a⃗|=1，则|a⃗+b⃗ |+|a⃗−b⃗ |=2，故以a⃗、b⃗ 为邻边的平行四边形是矩形，且|b⃗ |=√3．设向量a⃗+b⃗ 与a⃗的夹角为θ，则cosθ=|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=12，∴θ=π3，故选B．10.答案：D 解析：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．解：∵函数f(x)=4x 2−kx−8的对称轴方程为x=−−k8=k8，∴要使函数f(x)在[2,3]上具有单调性，则[2,3]必在对称轴的中间，k8≤3或k8≥1，解得8≤k≤24．故选D．11.答案：−80解析：令x=0求出a0的值，令x=1即可确定出所求式子的值．此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解：令x=0得：a0=81，当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4=1，则a1+a2+a3+a4=−80．故答案为：−80．12.答案：(1)(2)(4)解析：解：对于①取x1=x2=0，代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)，可得f(0)≥f(0)+f(0)即f(0)≤0，由已知∀x∈[0,1]，总有f(x)≥0可得f(0)≥0，∴f(0)=0，故正确；对②显然f(x)=2x−1在[0,1]上满足f(x)≥0；②f(1)=1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f(x1+x2)−[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2−1−[(2x1−1)+(2x2−1)]=(2x2−1)(2x1−1)≥0故f(x)=2x−1满足条件①②③，所以f(x)=2x−1为理想函数．对于③设f(x)=4x−4已知是W函数，同时也是单调函数，故不正确；对于④)∵f(x)为W函数，依题意，任意给m，n∈[0,1]，当m<n时，必有n−m∈[0,1]，f(n−m)≥0，∴f(n)=f[(n−m)+m])≥f(n−m)+f(m)≥f(m)，又x0∈[0,1]且f(x0)∈[0,1]，f[f(x0)]=x0，∴若1≥f(x0)>x0≥0，则f[f(x0)]≥f(x0)，即x0≥f(x0)与f(x0)>x0矛盾；若0≤f(x0)<x0≤1，同理可得f(x0)≥x0，与f(x0)<x0矛盾；∴f(x0)=x0，故(4)正确．故答案：(1)(2)(4)．①首先，根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x1=x2=0，代入f(x1+x2)≥f(x1)+ f(x2)，可得f(0)≥f(0)+f(0)，由已知f(0)≥0，可得f(0)=0；②要判断函数g(x)=2x−1，(x∈[0,1])在区间[0,1]上是否为W函数，只要检验函数g(x)=2x−1，是否满足理想函数的三个条件即可；对于③设f(x)=4x−4已知是W函数，同时也是单调函数④由条件③知，任给m、n∈[0,1]，当m<n时，由m<n知n−m∈[0,1]，f(n)=f(n−m+m)≥f(n−m)+f(m)≥f(m).由此能够推导出f(x0)=x0，根据f[f(x0)]=x0，则f(x0)=x0．本题结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．着重考查推理论证、抽象思维、创新思维的综合运用．13.答案：19解析：解：∵方程x2−mx+2=0的解集是A，方程x2+6x−n=0的解集是B，且A∩B={2}，∴x=2为两方程的解，把x=2代入x2−mx+2=0得：4−2m+2=0，即m=3，此时方程为x2−3x+2=0，解得：x=1或x=2，即A={1,2}；把x=2代入x2+6x−n=0得：4+12−n=0，即n=16，此时方程为x2+6x−16=0，解得：x=2或x=−8，即B={−8,2}，则m+n=16+3=19．故答案为：19由A与B的交集，得到2为两方程的解，分别代入两方程求出m与n的值，即可确定出m+n的值．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14.答案：153a−b+c解析：解：假设lg3=2a−b，lg5=a+c，则lg8=3lg2=3(1−lg5)=3[1−(a+c)]=3−3a−3c．lg9=2lg3=2(2a−b)=4a−2b，lg15=lg3+lg5=(2a−b)+(a+c)=3a−b+c≠3a−b+c+1，故lg15是错误的．故答案为：15，3a−b+c．先假设lg3=2a−b，lg5=a+c是正确的，然后利用对数的运算法则分别求出lg8，lg9和lg15的值，由此能够得到正确答案．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的合理运用．15.答案：3y=3x解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想，属于基础题．先求出曲线y=g(x)的切点坐标，然后求出f′(x)，从而求出切线的斜率，再求出曲线f(x)的切点坐标，即可求出切线方程．解：切线方程为y=2x+1过点(1,g(1))，∴g(1)=3，切点为(1,3)，g′(1)=2，f′(x)=g′(x)+1x，∴f′(1)=g′(1)+1=3，f(1)=g(1)+ln1=3，∴切线方程为y=3x，故答案为：3；y=3x．16.答案：49336解析：解：由二项式(1+6x)8展开式通项为T r+1=C8r(6x)r=6r C8r x r得：a0=60C80=1，a1=61C81=48，故a0+a1=49，将(1+6x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8两边取导得：48(1+6x)7=a1+2a2x+⋯+8a8x7，令x=1得：48×77=a1+2a2+⋯+8a8，故a1+2a2+⋯+8a876=48×7776=336，。
金昌市永昌县第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(文科)试题含解析
【详解】解:（1)由点M的极坐标为 ，得点M的直角坐标为 ，
所以直线OM的直角坐标方程为 。
（2)由曲线C的参数方程 （ 为参数），
化成普通方程为： ,
圆心为A（1，0）,半径为 。
由于点M在曲线C外,故点M到曲线C上的点的距离最小值为
。
A. B.
C。 D.
【答案】A
【解析】
分析：先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标．
详解: 点P对应的复数为 ，则点P的直角坐标为 ，点P到原点的距离 ，
且点P第二象限的平分线上，故极角等于 ，故点P的极坐标为 ，
故选A．
点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法,复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点．
【答案】
【解析】
【分析】
先求 为真对应的参数范围，再求 都为假命题对应参数的范围，再求补集即可，则问题得解。
【详解】若 为真命题，则 ，解得 ;
若 为真命题,则 ，解得 ；
若 是假命题且 是假命题,则 ，
故若“ 或 "为真命题，则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，属综合基础题。
（2)设 且 是 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1)应用因式分解法解一元二次不等式，注意 的条件即可求得B的集合；
（2)根据 是 的必要不充分条件,即可确定 、 的包含关系,列不等式组求a的范围
【详解】（1） 有 ，而
解得 或
故， 或
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期12月月考数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高二上学期12月月考数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ） A ．若21x ≠，则1x ≠或1x ≠ B ．若1x ≠，则1x ≠或1x ≠- C ．若21x ≠，则1x ≠且1x ≠- D ．若1x ≠，则1x ≠且1x ≠-答案：D直接根据逆否命题的定义得到答案. 解：“若21x =，则1x =”的逆否命题为：若1x ≠，则1x ≠且1x ≠-. 故选：D . 点评：本题考查了逆否命题，属于基础题. 2．已知直线平面且给出下列四个命题：①若则②若则 ③若则④若则其中真命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④ 答案：C 试题分析：若，，则，又因为，所以，故①正确；若，，则或，又，则可能平行或相交，故②错误；若，，则或，又，则可能平行、相交或异面，故③错误；若，，则或，又，则，故④正确；故选C ．【考点】空间中线面位置关系的转化．3．“－3<m <5”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B求出曲线方程表示椭圆的参数m 的取值范围，然后根据充分必要条件的定义判断． 解：方程22153x ym m +=-+表示椭圆的条件是503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，即35m -<<且1m ≠，故题中应为必要不充分条件，故选B ． 点评：方程221Ax By +=或221x y A B+=表示椭圆的条件是0,0,A B A B >>≠且，方程221Ax By -=或221x y A B-=表示双曲线的条件是0AB >．4．已知空间向量()1,,2a n =r ，()2,1,2b =-r ，若2a b -r r 与b r垂直，则a r 等于（ ）A．2BC．2D．2答案：A先由向量的数量积运算求出52n =，再结合向量模的运算求解即可. 解：解：由空间向量()1,,2a n =r ，()2,1,2b =-r ，若2a b -r r 与b r垂直，则(2)0a b b -⋅=r r r， 即22a b b ⋅=r r r ， 即249n +=， 即52n =， 即51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，即25144a =++=r 35， 故选：A. 点评：本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3QP QF =u u u v u u u v，则QF =（ ） A ．8 B ．4C ．6D ．3答案：D设点()1,P t -，(),Q x y ，利用3QP QF =u u u r u u u r求出点Q 的横坐标，然后利用抛物线的定义可得出QF . 解：抛物线C 的准线l 的方程为1x =-，焦点为()1,0F .设点()1,P t -，(),Q x y ，3QP QF =u u u r u u u rQ ，即()()1,31,x t y x y ---=--， 则()131x x --=-，解得2x =，因此，213QF =+=. 故选：D. 点评：本题考查抛物线定义的应用，同时也考查了共线向量的坐标运算，解题的关键就是求出点Q 的横坐标，考查运算求解能力，属于中等题.6．如图，在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AB = 1 ，若二面角 C - AB - C 1 的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC 1 的距离为（ ）A ．34B ．43C ．35D ．53答案：A过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC ＝60°，且AB ⊥平面C 1DC ，所以平面ABC 1⊥平面C 1DC ，平面ABC 1∩平面C 1DC ＝C 1D ，所以过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C到平面ABC1的距离．解：解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC＝60°，CD3=，则C1D3=，CC132=，在△CC1D中，过C作CE⊥C1D，则CE为点C到平面ABC1的距离，CE3332243⋅==，所以点C到平面ABC1的距离为34．故选：A点评：本小题主要考查棱柱，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．7．设P为椭圆221259x y+=上一点，1,F2F为左右焦点，若1260F PF︒∠=，则P点的纵坐标为（）A33B．33C93D．93答案：B根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan2S bθ=求解即可.解：由题知12609tan332F PFS︒=⨯=V设P点的纵坐标为h则12333231F F h h⋅⋅=⇒=故选：B点评：本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.8．已知12F F 、分别为双曲线()222210,?0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
2019-2020年高二下学期第二阶段考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期第二阶段考试数学（理）试题 含答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.如果（，表示虚数单位），那么（ ）A.1B.C.2D.0 2.用反证法证明：“至少有一个为0”，应假设A ．没有一个为0B ．至多有一个为0C ．只有一个为0D ．两个都为03.已知函数f(x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x)＝ A ．4x ＋3B ．4x －1C ．4x －5D ．A ．04.等于A.1B.C.D.5.10件产品，其中3件是次品，任取两件，若表示取到次品的个数，则等于 A. B. C. D. 16.设函数在定义域内可导，y=的图象如图1所示，则导函数y=可能为7.甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲、乙两人各射击一次,有下列说法: ① 目标恰好被命中一次的概率为 ；② 目标恰好被命中两次的概率为； ③ 目标被命中的概率为； ④ 目标被命中的概率为 。
以上说法正确的序号依次是A.②③B.①②③C.②④D.①③8.设曲线y ＝在点（1，0）处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝ A ．－ B ． C ．－2 D ．29.若，且的展开式中第项的二项式系数是，则展开式中所有项系数之和为（ ）AB C DA． B．C． D．10.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某一项比赛，决出第一到第五的名次。
甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”；对丙说：“你比甲乙都好”；从这个回答分析：5人名次的排列有（）种不同情况。
A、54B、48C、36D、7212.设函数，其中为取整记号，如，，．又函数，在区间上零点的个数记为，与图像交点的个数记为，则的值是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从二项分布，则其期望= ；14.甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为．15.若函数在上可导，，则 .16.全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。
2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市慈溪市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，则∁U A＝（）A．{1，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{0，2，4}2．sin＝（）A．﹣B．﹣C．D．﹣3．若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（）A．6B．12C．18D．244．设的共轭复数为a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．15．已知函数f（x）＝sin（x+φ），其中tanφ＝m（m是常数），则“f（x）为奇函数”是“m＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在二项式的展开式中，含x5的项的系数等于（）A．8B．﹣8C．28D．﹣287．若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为（）A．3B．2C．1D．08．已知实数x，y满足x2﹣|x|y+16＝0，若x≤﹣8，则y的最小值为（）A．8B．10C．12D．169．设λ∈R，若单位向量，满足：⊥且向量与﹣λ的夹角为，则λ＝（）A．B．﹣C．D．110．已知二次函数f（x）＝x2+ax+b的图象经过四点：（x1，0），（x2，0），（1，p），（2，q），其中1＜x1≤x2＜2，则pq的最大值为（）A．2B．C．D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11．已知lg3＝a，则lg30＝（用a表示），100a＝．（用整数值表示）．12．已知函数f（x）＝4e x+e﹣x和点M（0，5），则导数f′（x）＝，y＝f（x）的图象在点M处的切线的方程是．13．若有恒等式（﹣5+5x﹣x2）3＝a0+a1（2﹣x）+a2（2﹣x）2+a3（2﹣x）3+…+a6（2﹣x）6，则a6＝，＝．14．已知函数f（x）＝，则＝，函数f（x）在上的值域为．15．若有三个重症突击小分队，已知第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，但第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队．则这三个小分队人数的总和的最小值为．16．给出下列四组函数：①f（x）＝|x|（x∈R），g（x）＝（x∈R）；②f（x）＝x（0≤x≤1），g（x）＝x2（0≤x≤1）；③f（x）＝x（x∈{0，1}），g（x）＝|x﹣1|（x∈{0，1}）；④f（x）＝x（x∈{0，1}），g（x）＝x2（x∈{0，1}）；．其中，表示不同一个函数的组的序号是．（把你认为表示不同一个函数的组的序号都写上）17．已知集合A＝{（a，b）|3a+b﹣2＝0，a∈N}，B＝{（a，b）|k（a2﹣a+1）﹣b＝0，a∈N}，若存在非零整数，满足A∩B≠∅，则k＝．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．在△4BC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若a＝5，b+c＝10，求△ABC的面积S△ABC．19．如图，五面体ABCDEF中，平面EAD⊥平面ABCD，而ABCD是直角梯形，△EAD 等腰三角形，且AB∥CD，CD＝EF，∠ABC＝∠AED＝90°，∠ADC＝120°，AB＝4，AE＝2．（Ⅰ）求证：四边形CDEF为平行四边形；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的平面角的余弦值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝4﹣|a n|（n∈N*）．（Ⅰ）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1和S4；（Ⅱ）若数列{a n}为等差数列，求a1和S n．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），其焦点到准线的距离等于1，设动点，过M作C的两条切线MA，MB（A，B为切点）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点Q；（Ⅲ）设圆（r＞0），若圆E与直线AB相切，且切点正好是线段AB 的中点，求r的值．22．已知函数f（x）＝kx﹣1﹣k+lnx，k∈R．（Ⅰ）当k＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）当k＝0时，对意b＞c＞0，若a＝，求证：a＜b．参考答案一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，则∁U A＝（）A．{1，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{0，2，4}【分析】进行补集的运算即可．解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{4，1，4}，∴∁U A＝{2，3}．故选：C．2．sin＝（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解：sin＝sin（4π﹣）＝﹣sin＝﹣．故选：D．3．若甲、乙、丙、丁四人排队照相，则甲、乙两人必须相邻的不同排法数是（）A．6B．12C．18D．24【分析】甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法（捆绑甲乙）与其余 2 人全排即可．解：由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为A A＝12种．故选：B．4．设的共轭复数为a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求其共轭复数，再由已知列式求得a，b的值，则答案可求．解：由＝，得的共轭复数为i＝a+bi，∴a+b＝1．故选：D．5．已知函数f（x）＝sin（x+φ），其中tanφ＝m（m是常数），则“f（x）为奇函数”是“m＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别根据充分必要条件的定义，借助三角函数的性质即可判断．解：函数f（x）＝sin（x+φ），若函数f（x）为奇函数，则φ＝kπ，k∈Z，若m＝0，则tanφ＝0，即φ＝kπ，k∈Z，∴f（x）为奇函数，故选：C．6．在二项式的展开式中，含x5的项的系数等于（）A．8B．﹣8C．28D．﹣28【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得含x5的项的系数．解：项式的展开式中，通项公式为T r+1＝C8r•x8﹣r•（﹣1）r•x＝（﹣1）r C8r•x，令＝4，解得r＝2，故含x5的项的系数是C82＝28，故选：C．7．若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为（）A．3B．2C．1D．0【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x＝3且y＝0时，z＝x+y取得最大值3．解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，0），C（1，0）．可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值，故选：A．8．已知实数x，y满足x2﹣|x|y+16＝0，若x≤﹣8，则y的最小值为（）A．8B．10C．12D．16【分析】由已知方程可用x表示y，然后结合对勾函数的单调性即可求解．解：因为x≤﹣8，所以x2+xy+16＝0，故y＝﹣x﹣在（﹣∞，﹣8]时单调递减，故选：B．9．设λ∈R，若单位向量，满足：⊥且向量与﹣λ的夹角为，则λ＝（）A．B．﹣C．D．1【分析】根据题意即可设，从而可得出，然后根据与的夹角为即可得出关于λ的方程，解出λ即可．解：根据题意，设，∴，，故选：A．10．已知二次函数f（x）＝x2+ax+b的图象经过四点：（x1，0），（x2，0），（1，p），（2，q），其中1＜x1≤x2＜2，则pq的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】先将二次函数f（x）写成与x轴交点的形式，然后将p，q用x1，x2来表示，再结合基本不等式或二次函数最值，即可求得答案．解：由于f（x）＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），则p＝f（7）＝（1﹣x1）（1﹣x2），q＝f（2）＝（2﹣x1）（3﹣x2），因此，故选：D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11．已知lg3＝a，则lg30＝1+a（用a表示），100a＝9．（用整数值表示）．【分析】直接根据对数的运算性质和指数式与对数式的互化即可求出．解：lg3＝a，则lg30＝lg（3×10）＝lg3+lg10＝a+1，∵lg3＝a，则10a＝3，故答案为：a+1，9．12．已知函数f（x）＝4e x+e﹣x和点M（0，5），则导数f′（x）＝4e x﹣e﹣x，y＝f（x）的图象在点M处的切线的方程是y＝3x+5．【分析】（1）利用导数公式和运算性质，即可求出f（x）的导数；（2）将x＝0代入导数，求出切线斜率，再利用点斜式写出切线方程．解：易知f′（x）＝4e x+e﹣x（﹣x）′＝4e x﹣e﹣x．所以k＝f′（0）＝4﹣2＝3，故答案为：4e x﹣e﹣x，y＝3x+5．13．若有恒等式（﹣5+5x﹣x2）3＝a0+a1（2﹣x）+a2（2﹣x）2+a3（2﹣x）3+…+a6（2﹣x）6，则a6＝﹣1，＝0．【分析】根据展开式中x的指数的特点，即可求出a6＝﹣1，再分别令x＝1和x＝3，可求出a0+a2+a4+a6＝0，即可求出结果．解：（﹣5+5x﹣x2）3中（﹣1）3C73（5﹣5x）3﹣3x3＝﹣x6，则a6＝﹣1；令x＝1，可得：a0+a1+…+a6＝﹣1，∴2（a0+a2+a4+a8）＝0，∴＝0，故答案为：﹣1，4．14．已知函数f（x）＝，则＝0，函数f（x）在上的值域为[﹣1，]．【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后取x＝求解三角函数值；再由x的范围求得相位的范围，可得函数f（x）在上的值域．解：f（x）＝＝＝cos（2x+）．由x∈，得2x+∈[，]，故答案为：0；[﹣5，]．15．若有三个重症突击小分队，已知第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，但第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队．则这三个小分队人数的总和的最小值为12．【分析】首先可根据题意设出三个小分队的人数分别为x+2，x+1，x，然后根据第三小分队人数的两倍却要多于第一小分队，即可求出x的最小值，从而求出这三个小分队人数的总和的最小值．解：因为第一小分队人数多于第二小分队，第二小分队人数多于第三小分队，这三个小分队人数的总和最小，且人数只能为正整数，所以可设第三小分队的人数为x，第二小分队人数为x+1，第一小分队人数为x+2，所以2x＞x+2，即x＞2，故答案为：12．16．给出下列四组函数：①f（x）＝|x|（x∈R），g（x）＝（x∈R）；②f（x）＝x（0≤x≤1），g（x）＝x2（0≤x≤1）；③f（x）＝x（x∈{0，1}），g（x）＝|x﹣1|（x∈{0，1}）；④f（x）＝x（x∈{0，1}），g（x）＝x2（x∈{0，1}）；．其中，表示不同一个函数的组的序号是②③．（把你认为表示不同一个函数的组的序号都写上）【分析】通过判断函数解析式和定义域是否都相同，从而判断每组函数是否表示同一个函数，从而得出答案．解：①f（x）＝|x|（x∈R），g（x）＝＝|x|（x∈R），定义域和解析式都相同，表示同一个函数；②f（x）＝x（0≤x≤1），g（x）＝x2（7≤x≤1），解析式不同，不是同一函数；③f（x）＝x（x∈{0，1}），g（x）＝|x﹣1|（x∈{0，1}），解析式不同，不是同一个函数；④∵x＝0时，f（x）＝g（x）＝5；x＝1时，f（x）＝g（x）＝1，∴表示同一个函数．故答案为：②③．17．已知集合A＝{（a，b）|3a+b﹣2＝0，a∈N}，B＝{（a，b）|k（a2﹣a+1）﹣b＝0，a∈N}，若存在非零整数，满足A∩B≠∅，则k＝﹣1．【分析】根据集合关系，集合集合的基本运算进行求解解：因为存在非零整数，满足A∩B≠∅，即有实数解且a∈N，整理得：ka2+（3﹣k）a+k﹣7＝0（k≠0）有实数解且a∈N，解得经检验知，只有k＝﹣1时才可以保证有自然数解a故答案为：k＝﹣1三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．在△4BC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若a＝5，b+c＝10，求△ABC的面积S△ABC．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理，正弦定理化简可得cos A＝，进而根据两角和的正弦函数公式，结合sin B≠0即可求解cos A的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2+c2﹣a2＝bc，进入可求得bc＝25，根据三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得：cos A＝＝，由正弦定理可得：cos A＝＝，由于sin B≠0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2+c2﹣a2＝bc，即（b+c）3﹣2bc﹣a2＝bc，所以S△ABC＝bc sin A＝＝．19．如图，五面体ABCDEF中，平面EAD⊥平面ABCD，而ABCD是直角梯形，△EAD 等腰三角形，且AB∥CD，CD＝EF，∠ABC＝∠AED＝90°，∠ADC＝120°，AB＝4，AE＝2．（Ⅰ）求证：四边形CDEF为平行四边形；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）由线面平行的判定定理可证得CD∥面ABE，再利用线面平行的性质定理可知CD∥EF，而CD＝EF，从而得证；（Ⅱ）取AD的中点N，连接BN、EN．利用面面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理可推出EN⊥BN，在△ABN中，通过边长和角度的计算可推出AN⊥BN，于是以N为原点，NA、NB、NE分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后根据法向量的性质求出平面BCF的法向量，而平面ABCD的法向量为，利用空间向量数量的坐标运算求出这两个法向量的夹角后即可得解．【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∵AB⊂面ABE，CD⊄面ABE，∴CD∥面ABE，又CD＝EF，∴四边形CDEF为平行四边形．∵面ADE⊥面ABCD，面ADE∩面ABCD＝AD，∴EN⊥面ABCD，∴EN⊥BN．以N为原点，NA、NB、NE分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，令y＝，则x＝﹣1，z＝1，∴＝（﹣1，，4），由题知，二面角D﹣BC﹣F为锐角，故二面角D﹣BC﹣F的平面角的余弦值为．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1＝4﹣|a n|（n∈N*）．（Ⅰ）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1和S4；（Ⅱ）若数列{a n}为等差数列，求a1和S n．【分析】（Ⅰ）由已知结合数列递推式可得a2＝4﹣|a1|＝4﹣a1，a3＝，再由a1，a2，a3成等比数列，得，然后对a1的范围分类求解a1及S4；（Ⅱ）a2＝4﹣|a1|，a3＝4﹣|a2|＝4﹣|4﹣|a1||，由等差数列的定义得：2a2＝a1+a3，即2（4﹣|a1|）＝a1+4﹣|4﹣|a1||，再对a1分类求解公差d，即可求得a1和S n．解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝4﹣|a1|＝3﹣a1，a3＝5﹣|a2|＝4﹣|4﹣a1|＝．①0＜a1≤8时，有，得a1＝2；②a4＞4时，有，得（舍）或．综①②可知，a1＝2或．当时，a2＝4﹣a4＜0，a3＝5﹣a1＞0，a3＝4﹣|a3|＝a1﹣4，得S4＝8．（Ⅱ）∵a2＝4﹣|a1|，a3＝4﹣|a2|＝4﹣|7﹣|a1||，当a1＞7时，可得a1＝0，矛盾；当a1≤0时，∵公差d＝a2﹣a3＝4＞0，∴必存在m≥2，使得a m＝a7+4（m﹣1）＞4，综上可知，只有a1＝2时符合条件且此时公差d＝a2﹣a8＝0．∴a n＝2，则a5＝2，S n＝2n．21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），其焦点到准线的距离等于1，设动点，过M作C的两条切线MA，MB（A，B为切点）．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点Q；（Ⅲ）设圆（r＞0），若圆E与直线AB相切，且切点正好是线段AB 的中点，求r的值．【分析】（Ⅰ）由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，再由焦点到准线的距离等于1可得p的值；（Ⅱ）设A，B的坐标，将抛物线的方程求导可得在A，B的切线的斜率，进而求出在A，B处的切线的方程，由M点在两条切线上，可得AB所在的直线方程：tx﹣y+＝0，进而可得AB恒过的定点；（Ⅲ）因为直线AB与圆相切，AB的中点D又是切点，所以圆心E到D的距离为半径，由（Ⅱ）可得直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，进而可得AB的中点D的坐标，分t是否为0分别求出相应的r的值．解：（Ⅰ）由抛物线的方程可得焦点坐标和准线方程分别为：（0，），y＝﹣，由焦点到准线的距离等于1可得：﹣（﹣）＝5，解得p＝1；设A（x1，y1），B（x2，y2），则y3＝，y2＝，同理可得在B处的切线方程为：y＝x2x﹣x62＝x2x﹣y2，所以AB所在的直线方程为：tx﹣y+＝6，即直线AB恒过定点（0，）；抛物线的方程为：x2＝2y，所以AB的中点D为：（t，t8+），由圆E与直线AB相切，且切点正好是线段AB的中点，①当t≠0时＝﹣，解得：t8＝1，这时r＝|DE|＝＝②当t＝8时，AB的中点D（0，），圆心E为：（0，），所以r＝|DE|＝﹣＝2，综上所述：圆的半径r的值为或5．22．已知函数f（x）＝kx﹣1﹣k+lnx，k∈R．（Ⅰ）当k＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）当k＝0时，对意b＞c＞0，若a＝，求证：a＜b．【分析】（Ⅰ）代入k的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数f（x）的最小值，得到关于k的不等式，解出即可；（Ⅲ）代入k＝0，根据＝以及ln≥，证明结论即可．解：（Ⅰ）当k＝1时，f（x）＝x﹣1﹣1+lnx，故f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜7，（Ⅱ）由已知得：f′（x）＝﹣＝，x∈（0，+∞），当k＞0时，若5＜x＜k，f′（x）＜0，f（x）递减，若x＞k，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（k）＝lnk+1﹣k≥0（6），故0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x＞1时，g′（x）＜7，g（x）递减，故lnk+1﹣k≤0（2），综上可得k的范围是{8}；由（Ⅱ）可知lnx+﹣1≥0，故lnx≥1﹣（当且仅当x＝1时“＝”成立），故由①②得＞即a＜b．。
2019-2020学年浙江省宁波市九校联考高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x||x﹣2|＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜5}B．{x|1＜x＜5}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＞1}2．函数f（x）＝2x+x﹣4的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A．y＝x B．y＝ln（﹣x）C．y＝xe x D．y＝x+4．从一副不含大小王的52张扑克牌（即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张）中任意抽出5张，有3张A的概率是（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝x2+cos x的导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．若函数y＝f（x），y＝g（x）的定义域均为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数B．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递减函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递减函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数7．对于不等式＜n+2（n∈N*），某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当n＝1时，＜1+2，不等式成立．②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即＜k+2，则当n＝k+1时，＝＜＝＝（k+1）+2．故当n＝k+1时，不等式成立．则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1的验证不正确C．n＝k的归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确8．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（2ξ﹣3）＝（）A．B．C．D．9．已知字母x，y，z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如xxyzyz），则不同的排法共有（）种A．36B．30C．24D．1610．设a＝，b＝，c＝log329，则下列正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c二、填空题（共7小题）.11．已知9a＝3，lgb＝a，则a＝，b＝．12．二项式（）6的展开式中各项系数之和为；该展开式中的常数项为．（用数字作答）13．已知函数f（x）＝，则f（f（2019π））＝；若关于x的方程f （x+t）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数t的取值范围是．14．已知函数f（x）＝lg（ax2+6x+18）．若f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是；若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．15．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝10，则p＝．16．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）17．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且＝x3，f（3）＝9e3，则关于x的不等式f（x）＞e的解集为．三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．是否存在正实数a，b，使得等式13+23+…+n3＝（）2对任意n∈N*恒成立？若存在，求正实数a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由．19．一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个．第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）．记两次取到球的标号之和为X．（Ⅰ）求随机变量X的分布列；（Ⅱ）求随机变量X的数学期望．20．已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值g（a）．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（Ⅰ）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当m＜0时，证明：f（x）在（0，1）内存在唯一零点．22．已知函数f（x）＝3﹣4ln，g（x）＝x4+mx3+nx2+mx+10，m，n∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1∈（0，+∞），总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求m2+n2的最小值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x||x﹣2|＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜5}B．{x|1＜x＜5}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x＞1}【分析】求出集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x||x﹣2|＜3}＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}．故选：B．2．函数f（x）＝2x+x﹣4的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】由于f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，可得函数f（x）＝2x+x﹣4的零点所在的一个区间是（1，2）．解：对于连续函数f（x）＝2x+x﹣4，由于f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，故函数f（x）＝2x+x﹣4的零点所在的一个区间是（1，2），故选：B．3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A．y＝x B．y＝ln（﹣x）C．y＝xe x D．y＝x+【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后判断函数的极值，推出结果．解：y＝x是奇函数，导数没有极值，所以A不正确；y＝ln（﹣x）定义域为（﹣∞，0），所以函数不是奇函数，所以B不正确；y＝xe x，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不是奇函数，所以C不正确；y＝x+是奇函数，当x＝2时取得极小值，x＝﹣2时取得极大值，所以D正确；故选：D．4．从一副不含大小王的52张扑克牌（即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张）中任意抽出5张，有3张A的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝，其中有3张A包含的基本事件个数m＝，由此能求出有3张A的概率．解：从一副不含大小王的52张扑克牌（即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张）中任意抽出5张，基本事件总数n＝，其中有3张A包含的基本事件个数m＝，∴有3张A的概率是p＝＝．故选：C．5．函数f（x）＝x2+cos x的导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】求导得f'（x）＝x﹣sin x，令g（x）＝x﹣sin x，再求导有g'（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，从而判断出函数f'（x）单调递增，故而得解．解：因为f（x）＝x2+cos x，所以f'（x）＝x﹣sin x，令g（x）＝x﹣sin x，则g'（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，所以g（x）单调递增，即f'（x）单调递增，故选：C．6．若函数y＝f（x），y＝g（x）的定义域均为R，且都不恒为零，则（）A．若y＝f（g（x））为偶函数，则y＝g（x）为偶函数B．若y＝f（g（x））为周期函数，则y＝g（x）为周期函数C．若y＝f（x），y＝g（x）均为单调递减函数，则y＝f（x）•g（x）为单调递减函数D．若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，则y＝f（g（x））为奇函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，若y＝f（g（x））为偶函数，则可能g（x）为奇函数，而f（x）为偶函数，如f（x）＝cos x，g（x）＝sin x，A错误；对于B，若y＝f（g（x））为周期函数，可能f（x）为周期函数，如f（x）＝sin x．g（x）＝2x，B错误；对于C，当f（x）＝﹣2x，g（x）＝﹣3x，均为单调递减函数，而y＝f（x）•g（x）＝6x2，不是减函数，C错误；对于D，若y＝f（x），y＝g（x）均为奇函数，对于y＝f（g（x）），有f（g（﹣x））＝f（﹣g（x））＝﹣f（g（x）），为奇函数，D正确；故选：D．7．对于不等式＜n+2（n∈N*），某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当n＝1时，＜1+2，不等式成立．②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即＜k+2，则当n＝k+1时，＝＜＝＝（k+1）+2．故当n＝k+1时，不等式成立．则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1的验证不正确C．n＝k的归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确【分析】数学归纳法证明与自然数有关的命题，一是要验证命题成立的第一个自然数，二是注意从n＝k到n＝k+1的推理中使用归纳假设．解：n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k+1的推理中没有使用归纳假设，只是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．故选：D．8．已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，则D（2ξ﹣3）＝（）A．B．C．D．【分析】推导出P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，得到P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，由此能得到D（ξ），再求出D（2ξ﹣3）．解：∵随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，∴P（ξ＝1）+2P（ξ＝2）＝1，P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴D（ξ）＝（0﹣1）2×+（1﹣1）2×+（2﹣1）2×＝，∴D（2ξ﹣3）＝4×＝．故选：C．9．已知字母x，y，z各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如xxyzyz），则不同的排法共有（）种A．36B．30C．24D．16【分析】分2步进行分析：先在在三组字母任选1组，作为相邻的1组，再对剩下的2组分2种情况讨论，求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：先在在三组字母任选1组，作为相邻的1组，有C31＝3种选法，假设选出为x，对于剩下的2组字母，分2种情况讨论：若剩下2组字母都不相邻，有2种排法，排好后，将选出的1组插到空位中，有C51＝5种情况，此时有3×2×5＝30种不同的排法；若剩下2组字母有1组相邻，如yzzy，有2种排法，排好后，选出相邻的1组（xx）只能相邻为1组（zz）中间，有1种情况，此时有3×2＝6种不同的排法；故有30+6＝36种不同的排法；故选：A．10．设a＝，b＝，c＝log329，则下列正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【分析】推导出＝29，b3＝29，3c＝29，需要比较三个函数，，的大小，由此能求出结果．解：∵a＝，b＝，c＝log329，∴＝29，b3＝29，3c＝29，∴需要比较三个函数，，的大小，当x＝3时，y1＜y2＝y3，当x＞0时，，，都是增函数，根据三类函数的增长性得：当y＝29时，三个横坐标a，b，c的大小为c＜b＜a．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知9a＝3，lgb＝a，则a＝，b＝．【分析】根据9a＝3即可得出a＝，，从而得出b的值．解：∵9a＝3，∴，∴．故答案为：．12．二项式（）6的展开式中各项系数之和为1；该展开式中的常数项为60．（用数字作答）【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，得出结论．解：令x＝1，可得二项式（）6的展开式中各项系数之和为1．根据通项公式T r+1＝•（﹣2）r•，令3﹣＝0，求得r＝2，故常数项为•4＝60，故答案为：1；60．13．已知函数f（x）＝，则f（f（2019π））＝2；若关于x的方程f（x+t）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，则实数t的取值范围是（，]．【分析】第一空：推导出f（2019π）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1，从而f[f（2019π）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）＝2；第二空：作出函数f（x）的图象，结合图形，能求出实数t的取值范围．解：∵2019π＞0，∴f（2019π）＝cos2019π＝cosπ＝﹣1＜0，故f[f（2019π）]＝f（﹣1）＝1﹣（﹣1）＝2；作出函数f（x）＝，的图象，如下图：设f（x）与x轴从左到右的两个交点分别为A（，0），B（，0），因为f（x+t）与f（x）的图象是平移关系，若要关于x的方程f（x+a）＝0在（﹣∞，0）内有唯一实根，∴结合图形，得实数t的取值范围是（，]；故答案为：2，（，]．14．已知函数f（x）＝lg（ax2+6x+18）．若f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是；若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是[0，]．【分析】根据题意，f（x）的定义域为R时，ax2+6x+18＞0恒成立，从而得出，然后解出a的范围即可；f（x）的值域为R时，则得出[0，+∞）是函数ax2+6x+18的值域的子集，从而得出a＝0满足题意，a≠0时，得出，然后解出a的范围即可．解：∵f（x）的定义域为R，∴ax2+6x+18＞0对任意的实数都成立，a＝0时，6x+18＞0不恒成立，∴a≠0，∴，解得，∴实数a的取值范围是；∵f（x）的值域为R，∴[0，+∞）是函数ax2+6x+18的值域的子集，①a＝0时，显然满足题意；②a≠0时，，解得，∴实数a的取值范围是．故答案为：．15．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝10，则p＝．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程，求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝10，则np＝30，npq＝10，q＝，所以p＝．故答案为：．16．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者．若甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有52种不同的选拔志愿者的方案．（用数字作答）【分析】根据题意，按甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有A43＝24种选拔方法，②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下4人中任选2人参加A、B项目即可，有A42＝12种选拔方法，③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选2人参加B、C项目即可，有A42＝12种选拔方法，④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加C项目，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选1人参加B项目，有A41＝4种选拔方法，则有24+12+12+4＝52种选拔方法；故答案为：5217．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且＝x3，f（3）＝9e3，则关于x的不等式f（x）＞e的解集为（1，+∞）．【分析】构造新函数g（x）＝，则g'（x）＝＝e x，即g（x）＝e x+C，根据f（3）＝9e3，可求得C＝0，从而得f（x）＝e x•x2，f'（x）＝e x（x2+2x），可推出f（x）在（0，+∞）上单调递增，于是有f（x）＞e＝f（1），进而得解．解：因为＝x3，所以，设g（x）＝，则g'（x）＝＝e x，所以g（x）＝e x+C，因为f（3）＝9e3，所以g（3）＝，所以C＝0，即g（x）＝＝e x，所以f（x）＝e x•x2，f'（x）＝e x（x2+2x），当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，而f（1）＝e，所以f（x）＞e的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．是否存在正实数a，b，使得等式13+23+…+n3＝（）2对任意n∈N*恒成立？若存在，求正实数a，b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由．【分析】假设存在正实数a，b，使得等式成立，取n＝1，2，得关于a，b的方程组，求得a，b的值，再用数学归纳法证明．解：假设存在正实数a，b，使得等式13+23+…+n3＝（）2对任意n∈N*恒成立．分别取n＝1，n＝2，可得，解得a＝1，b＝1．猜想13+23+…+n3＝（）2对任意n∈N*恒成立．证明：当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；假设当n＝k时，等式成立，即13+23+…+k3＝，那么，当n＝k+1时，左边＝13+23+…+k3+（k+1）3＝+（k+1）3＝（k+1）2（）＝＝＝，等式成立．综上所述，等式对于任意的n∈N*都成立．故存在正实数a＝1，b＝1，使得等式13+23+…+n3＝（）2对任意n∈N*恒成立．19．一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个．第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）．记两次取到球的标号之和为X．（Ⅰ）求随机变量X的分布列；（Ⅱ）求随机变量X的数学期望．【分析】（Ⅰ）记两次取到球的标号之和为X，则X的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．（Ⅱ）由随机变量X的分布列能求出X的数学期望．解：（Ⅰ）记两次取到球的标号之和为X，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，∴随机变量X的分布列为：X23456P（Ⅱ）随机变量X的数学期望为：E（X）＝＝3.8．20．已知函数f（x）＝x2+|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值g（a）．【分析】（Ⅰ）将f（x）化简成分段函数，对a进行讨论，得出结论．（Ⅱ）分情况讨论f（x）的单调性，分段求出f（x）的最小值，再比较两最小值的大小，得出g（a）的解析式．解：（Ⅰ）f（x）＝，①若a＞0，当x≥a时，﹣x≤﹣a＜0，f（x）＝x2+x﹣a，f（﹣x）＝x2+x+a，∴f（﹣x）≠±f（x）．∴f（x）为非奇非偶函数．②若a＜0，当x＜a时，﹣x＞﹣a＞0，f（x）＝x2﹣x+a，f（﹣x）＝x2﹣x﹣a，∴f（﹣x）≠±f（x）．∴f（x）为非奇非偶函数．③若a＝0，当x≥0时，f（x）＝x2+x，f（﹣x）＝x2+x，∴f（x）＝f（﹣x），当x＜0时，f（x）＝x2﹣x，f（﹣x）＝x2﹣x，∴f（x）＝f（﹣x）．∴f（x）是偶函数．综上，当a＝0时，f（x）是偶函数，当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；（Ⅱ）f（x）＝，（注意到两段的交点为（a，f（a））．①若a≤﹣，则f（x）在（﹣∞，a）上的最小值为f（a）＝a2，在[a，+∞）上的最小值为f（﹣）＝﹣﹣a∵a2﹣（﹣﹣a）＝（a+）2≥0，∴f（a）≥f（﹣），∴g（a）＝﹣﹣a；②若﹣﹣，则f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）＝a2，在（﹣∞，a）上的最小值为f（a）＝a2．∴g（a）＝a2；③若a，则f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）＝a2+1，在（﹣∞，a）上的最小值为f（）＝﹣+a．∵a2﹣（﹣+a）＝（a﹣）2≥0，∴f（a）≥f（），∴g（a）＝﹣+a．综上，g（a）＝．21．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（Ⅰ）当m＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当m＜0时，证明：f（x）在（0，1）内存在唯一零点．【分析】（Ⅰ）将m＝0代入函数解析式，求导得f′（x）＝e x﹣e，再求出f′（0）及f（0），然后求出曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）对f（x）求导，令g（x）＝f′（x），对函数g（x）求导后，可知g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，g（0）＜0，g（1）＞0，进而判断函数f（x）在（0，1）上的单调情况，再运用零点存在性定理判断即可．解：（Ⅰ）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，∴f′（0）＝1﹣e，又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝（1﹣e）（x﹣0），即（1﹣e）x﹣y+1＝0；（Ⅱ）证明：f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在唯一零点．22．已知函数f（x）＝3﹣4ln，g（x）＝x4+mx3+nx2+mx+10，m，n∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1∈（0，+∞），总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求m2+n2的最小值．【分析】（1）先对f（x）求导，然后利用导数符号与函数单调性的关系，即可得到单调区间；（2）先将题意转化为g（x）的值域包含f（x）的值域，进而得到g（x）min≤9，即x4+mx3+nx2+mx+1＝0 有解，再把当做整体换元，令，则方程t2+mt+n﹣2＝0 在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有解，再根据几何意义或柯西不等式，即可求m2+n2的最小值．解：（1）首先函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0⇒x＞8，所以函数f（x）的单调递减区间为（0，8），单调递增区间为（8，+∞）．（2）因为对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），所以{f（x）|x＞0}⊆{g（x）|x∈R}，由（1）知，f（x）≥f（8）＝9，又时，，且为连续函数，所以g（x）min≤9，故g（x）＝9⇒x4+mx3+nx2+mx+1＝0 有解，显然x≠0，所以，，则关于t的方程t2+mt+n﹣2＝0 在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有解，方法1（几何意义）：将（m，n）看成直线tm+n+t2﹣2＝0 上的点，m2+n2看作点（m，n）到原点的距离的平方，则，由t2+1∈[5，+∞），且函数在[5，+∞）上递增，得（当t＝±2时，不等号取等）．方法2（柯西不等式）：因为（m2+n2）（t2+1）≥（mt+n）2，所以，下同方法1．综上，m2+n2的最小值为．。
浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题 数学【含解析】
浙江省杭州市2019-2020学年度高二第二学期期末教学质量检测试题数学【含解析】一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1. 已知集合{}0,1,2,3,5A =，{}1,3,5B =，则A B =（ ）A. {}1,3B. {}3,5C. {}3,1,5D. {}0,1,2,3,5【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得AB .【详解】依题意可知，{}3,1,5A B ⋂=. 故选：C【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知()2231f x x x =-+，则()1f =（ ）A. 15B. 21C. 3D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用函数解析式，求得函数值.【详解】根据()f x 的解析式，有()21213112310f =⨯-⨯+=-+=.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 3. 125log 2516+=（ ）A.94B. 6C.214D. 9【答案】B 【解析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.【详解】112222555log 2516log 5(4)2log 546+=+=+=故选：B【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 若α是钝角，2cos 3α=-，则()sin πα-=（ ） A.23B. 23-C. 5-D.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数关系求得结果. 【详解】()sin πsin αα-=,又α是钝角，2cos 3α=-，所以25sin 1cos αα=-= 因此()sin πα-=53， 故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）2 2 C. 2D. 22【答案】C【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，由此可计算体积．【详解】把三棱柱旋转为下图，由三视图知该几何体是直三棱柱，且底面是腰长为2的等腰直角三角形，棱柱的高为2，几何体的体积为122222V =⨯⨯⨯=， 故选：C.【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，由三视图得出原几何体中的线段的长度是解题关键．6. 若圆22104x y mx ++-=与直线1y =-相切，则m =（ ） A. 22±32 D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心，根据直线与圆相切，建立方程，即可求出m .【详解】由22104x y mx ++-= 可得：2221()24m m x y +++=，故圆心为,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭21m +，又因为直线1y =-与圆相切，所以圆心到直线1y =-的距离等于半径，即2112m +=，解得3m =±， 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆相切，圆的一般方程与标准方程，考查了运算能力，属于中档题. 7. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A. 3144AB AC - B.1344AB AC - C. 3144+AB ACD. 1344+AB AC【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8. 已知不等式组y xy x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】C 【解析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若m α⊥，//m n ，βn//，则αβ⊥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m α⊥，//m n ，∴n α⊥，又∵//n β，∴αβ⊥，故B 正确； 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型. 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20210S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项.【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以2021111n q S a q -=⋅-，由于101nq q ->-，所以 2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-，所以“10a >”是“20210S >”的充要条件. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题. 11. 下列不可能．．．是函数()()ln f x x x αα=∈Z 的图象是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊值确定不可能的图象.【详解】当1x >时，0,ln 0x x α>>，所以此时()0f x >，故C 选项图象不可能成立.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 12. 已知1a =，4a b a b ++-=，则b 的最大值是（ ） 2 B. 26 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值不等式化简已知条件，由此求得b 的最大值【详解】依题意()422a b a b a b a b b b =++-≥+--==，所以2b ≤， 也即b 的最大值是2. 故选：B【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.13. 以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点A 为圆心作半径为a 的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O 及另一点B ，且存在直线y kx =使得B 点和右焦点F 关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ） 623 D. 3【答案】B 【解析】【分析】由题意可得，根据直线与圆的位置关系得点(),0A a -到by x a=-的距离22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，得a ，c 的关系，再由离心率公式计算即可得到选项.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由题意可得，OB OF c ==，设点(),0A a -到by x a=-的距离为d ，则222OB a d =- 所以22222c d b a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，整理得222a c =，所以离心率2ce a==故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标和离心率的求法，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.14. 设,x y ∈R （ ）A. 若1124239x yxy⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> B. 若1124239x yx y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< C. 若1122943yxx y ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -< D. 若1122943yxxy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20x y -> 【答案】B 【解析】 【分析】把相同变量整理在一起，然后构造函数，利用函数的单调性可判断.【详解】解：由1124239x y x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2211124222393x y yx y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以222111220333x y yx y⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以22112233xyx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()23xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在R 上为增函数，所以2x y <，即20x y -<，所以B 正确，由1122943y x xy ⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2211122922343x y yx y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22112233x yx y --⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1()23xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上为增函数，所以2x y <-，即20x y +<，所以C,D 不正确故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性判断变量间的关系，关键是构造函数，属于中档题.15. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是（ ）31521565【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【详解】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x y z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E --的正切值为()()22sin ,271082166cos ,m n t t f t t m n-+==-()2115402162766t t =⋅+⋅+--因为02t ≤≤，所以111466t -≤≤--，216125405-=-⨯ 结合二次函数的性质可知当1165t =--时，()f t 有最小值1131554021627255⨯-⨯+=； 当1166t =--时，()f t 有最大值为11540216276366⨯-⨯+=， 所以()315,6f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣，所以二面角A FM E--的正切值不可能是2155. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）16. 已知()2,0,22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则函数()f x 的零点个数为__________． 【答案】1【解析】【分析】画出()f x 的图象，由此判断()f x 零点的个数.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 有1个零点.故答案为：1【点睛】本小题主要考查分段函数零点的判断，属于基础题.17. 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为33BC 的长是____．13【解析】 由题可知：13sin 33sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 132b c a A a BC bc+-=⇒== 18. 若正数a ，b 满足225ab a b =++，则ab 的最小值是__________．【答案】25【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得ab 的最小值.【详解】依题意,a b 为正数，且225245ab a b ab =++≥， 所以450ab ab -≥， 即()510ab ab ≥525ab ab ≥⇒≥， 当且仅当5a b ==时等号成立.所以ab 的最小值是25.故答案为：25【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 已知数列{}n a 和{}n b ，满足21n n b a =-，设{}n b 的前n 项积为2n a ，则14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n S =__________． 【答案】1122n -+ 【解析】【分析】 根据21n n b a =-及前n 项积为2n a 可得递推关系121n n na a a --=，整理可知{}n a 为等差数列，利用裂项相消法即可求解.【详解】设{}n b 的前n 项积为n T ，则2n n T a =则1n =时，1111221b T a a =-==，解得14a =， 当2n ≥时，11n n n n nT a b T a --==， 又21n nb a =-， 所以121n n na a a --=， 化简得12n n a a --=（2n ≥），所以{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，42(1)22n a n n ∴=+-=+114112n n n n a a a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11111111111112=2=466881042422n n n a a n n S +⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--- ⎪ ⎪++⎝⎭∴⎝⎭， 故答案为：1122n -+ 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，考查了运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，要求写出详细的推证和运算过程．20. 已知函数()ππ23cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）最大值2，最小值3-【解析】【分析】（1）运用三角恒等变换将函数化为()2sin(2)6f x x π=-，代入可求得其函数值； （2）由x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦函数的图象与性质可求得函数()f x 在给定区间上的最值. 【详解】（Ⅰ）()ππ23sin cos cos 2cos 233f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2(cos 2cos sin 2sin )(cos 2cos +sin 2sin )3333x x x x x ππππ=--- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-． 所以5()2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭． （Ⅱ）由（1）得()2sin(2)6f x x π=-，因为π5π1212x -≤≤，所以22363x πππ-≤-≤． 所以 当226x ππ-=，即3x π=时，max 2y =；当263x ππ-=-，即12x π=-时，min 3y =-． 所以当3x π=时，max 2y =；当12x π=-时，min 3y =-．【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的最值，运用到余弦的和差角公式，二倍角公式，以及正弦函数的图象与性质，属于中档题.21. 如图，已知三棱锥P ABC -，PC AB ⊥，ABC 是边长为2的正三角形，4PB =，60PBC ∠=︒，点F 为线段AP 的中点．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2. 【解析】【分析】 （Ⅰ）在△PBC 中，根据余弦定理可求得PC ＝23，再由勾股定理可知，PC ⊥BC ，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）以C 为原点，CA 的垂线所在的直线为y 轴，CA 和CP 分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量CB 、CP 和BF ，再根据法向量的性质求出平面PBC 的法向量n →，设直线BF 与平面PBC 所成角为α，则sinα＝|cos BF,n |<>＝||||||BF n BF n ⋅⋅，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解． 【详解】（Ⅰ）证明：PBC 中，60PBC ∠=︒，2BC =，4PB =由余弦定理可得23PC =，因为222PC BC PB +=，所以PC BC ⊥，又PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，所以PC ⊥面ABC ．（Ⅱ）在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以C 为原点，CA →，CM →，CP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，(0,0,23P ，()2,0,0A ，()3,0B ，(3F ，所以()13,0CB →=，(0,0,23CP →=，(0,3,3BF →=-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z →=， 则30,230,CB n x y CP n z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 取3x =，则1y =-，0z =，即()3,1,0n =-， 所以sinα＝2cos ,4BF nBF n BF n →→→→⋅==⋅， 故直线BF 与平面PBC 所成角的正弦值24． 【点睛】本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量求线面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22. 等差数列{}n a 的公差不为0，13a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设()111n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．【答案】（Ⅰ）63n a n =-；（Ⅱ）227236=--n n T n .【解析】【分析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得d ，进而求得数列{}n a 的通项公式. （II ）利用分组求和法求得2n T .【详解】（I ）由于1a ，2a ，5a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114a d a a d +=⋅+，即()()23334d d +=⋅+，由于0d ≠，所以解得6d =，所以数列{}n a 的通项公式是()31663n a n n =+-⨯=-.（II ）依题意()()()()111116363n n n n n b a a n n +++=-⋅=-⋅-+ ()()()()11122136913619n n n n n +++=-⋅-=-⋅--⋅.所以()()()()()2222222361234212999999n T n n ⎡⎤=⨯-+-++----+-++-⎣⎦ ()()()()()()3612123434212212n n n n =⨯+-++-++-+--⎡⎤⎣⎦ ()361234212n n =-+++++-+()()221223636272362n n n n n n +⨯=-⨯=-⨯+=--. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的计算，考查等差中项的性质，考查分组求和法，属于中档题. 23. 如图所示，圆()221:11C x y +-=，抛物线22:C x y =，过点()0,P t 的直线l 与抛物线2C 交于点M ，N 两点，直线OM ，ON 与圆1C 分别交于点E ，D ．（1）若1t =，证明：OM ON ⊥；（2）若0t >，记OMN ，OED 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值（用t 表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）()21124++t t . 【解析】【分析】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，根据根与系数的关系证明1OM ON k k ⋅=-，证得OM ON ⊥；（2）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ，将l 与抛物线22:C x y =联立，得到根与系数的关系，且有OM ON k k t ⋅=-，再将,OM ON 与圆1C 联立，求得,M N 的横坐标，又121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠代入化简，求得最小值. 【详解】（1）设直线:1l y kx =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 由21y kx y x=+⎧⎨=⎩得：21x kx =+，所以121x x =-． 而221212121OM ONx x k k x x x x ⋅=⋅==-． （2）同（Ⅰ）设直线:l y kx t =+，()211,M x x ，()222,N x x ， 可得：12x x t =-，22121212OM ON x x k k x x t x x ⋅=⋅==-， 由()2211OM y k x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩得：()22120OM OM k x k x +-=， 解得：12212211OM E OM k x x k x ==++， 同理可得22222211ON D ON k x x k x ==++， 所以121sin 21sin 2M N E D OM ON MON x x S S x x OE OD MON ⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠()()2212121122111142211x x x x x x x x ++==⋅++， 因为12x x t =-， 所以()()()()2212222211221111112444x x S t x x t t S ++⎡⎤==+++≥++⎣⎦， 当且仅当12x x t =-=-12x x t =-=--【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形面积公式，基本不等式求最值，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，还考查了学生的分析能力，运算能力，难度较大.24. 已知函数()()f x x a x b c =--+，x ∈R ．（Ⅰ）当1a =，0b =时，函数()y f x =有且只有两个零点，求c 的取值范围．（Ⅱ）若0a =，0c <，且对任意[]0,1x ∈，不等式()0f x ≤恒成立，求2b c +的最大值．【答案】（Ⅰ）0c 或14c =；（Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（I ）当1,0a b ==时，令()0f x =，转化为()1y x x =-与y c =-有两个交点，由此求得c 的取值范围. （II ）当0x =时，不等式()0f x ≤恒成立.当(]0,1x ∈时，将不等式()0f x ≤恒成立转化为max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，根据函数的单调性求得max c x x -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，对c 进行分类讨论，求得b 与c 的不等关系式，由此求得2b c +的取值范围，进而求得2b c +的最大值.【详解】（Ⅰ）()()1f x x x c =-+有且仅有两个零点等价于函数()()()()21,01,01111,0,024x x x x x x y x x x x x x x ⎧--<⎧--<⎪⎪=-==⎨⎨⎛⎫-≥--≥⎪⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象与直线y c =-有两个点. 由图易知：0c 或14c =．（Ⅱ）当0a =，0c <时，()f x x x b c =-+.当0x =时，不等式()0f x ≤显然成立.当(]0,1x ∈时，0c c c c c x x b c x b x b x b x x x x x x----+≤⇔-≤⇔≤-≤⇔-≤-≤-，故c c x b x x x---≤≤+， 等价于max min c c x b x x x --⎧⎫⎧⎫-≤≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 对于函数c y x x -=-，在(]0,1x ∈上递增，故max1c x c x -⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭， 对于函数c y x x -=+，在(x c ∈-上递减，在),x c ⎡∈-+∞⎣上递增， ①当1c ≤-时，c y x x -=+在(]0,1x ∈上递减，故min 1c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 即1b c ≤-，所以2121110b c c c c +≤-+=+≤-=．②当10c -<<时，c y x x -=+在(x c ∈-上递减，在),1x c ∈-上递增， 故min2c x c x -⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭， 此时，要使b 存在，则12c c +≤- 解得：1223c -<≤，则2b c ≤- 所以21112222222b c c c c ⎫+≤-=--+≤⎪⎭， 12c -=时取等号， 综上所述，2b c +最大值为12，当14c =-，1b =时满足要求． 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
高二上学期数学人教A版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高二上学期数学人教A 版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.2.如图，已知点P 在正方体的对角线上，.设，则的值为( )D.3.已知椭圆E （）的左焦点为F ，过焦点F 作圆的一条切线l交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为( )4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为，称是r 的二次近似值．则( )222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=ABCD A B C D -''''BD '60PDC ∠=︒D P D B λ''=λ1-3-221y b+=0a b >>222x y b +=2OA OF OQ +=r ()2f x x =+()100x x -=>01x =r ()()00,x f x ()y f x =1x 1x ()()11,x f x ()y f x =2x 2x 2x =的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线6.数列的前n 项和为，，，设，则数列的前51项之和为( )A.-149B.-49C.49D.1497.已知函数的定义域为R ，其导函数为，且满足，，则不等式A. B. C. D.8.设曲线的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段的垂直平分线分别交直线二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知实数x ，y 满足圆C 的方程，则下列说法正确的是( )A.圆心，半径为1B.过点作圆C 的切线，则切线方程为D.的最大值是410.已知等差数列的前n 项和为，，，则下列说法正确的是( )219y =22y px=()0p >{}n a n S 11a =-*(1)()n n na S n n n =+-∈N (1)nn n b a =-{}n b ()f x ()f x '()()e xf x f x -+'=()00f =()()2e 1e xf x -<-11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭1e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1-()1,e -:C x =)AB x =+2220x y x +-=()1,0-()2,02x =22x y +{}n a n S 24a =742S =A. B.C.为递减数列 D.11.已知函数，对于任意实数a ，b ，下列结论成立的有( )A.B.函数在定义域上单调递增C.曲线在点处的切线方程是D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列中，，，公比，则__________.13.在正方体中，点P 、Q 分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14.已知定点，动点P满足程为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.已知圆心为的圆经过点，直线.（1）求圆M 的方程；（2）写出直线l 恒过定点Q 的坐标，并求直线l 被圆M 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长.16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E 为的中点.54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n a a +⎧⎨⎩e ()x x f x =-min ()1f x =e ()x x f x =-e ()x x f x =-(0,1)1y =0a b =->()()f a f b >{}n a 47512a a ⋅=-38124a a +=q ∈Z 10a =1111ABCD A B C D -11A B 11C D 112A P PB =112C Q QD =BP DQ ()()4,0,1,0M N MN MP ⋅ ()2,1M --()1,3:0l x my m ++=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD(1)证明：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数(a 为实常数)．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x 值；(3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围．18.已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．19.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为（1）求双曲线C的方程：（2）记双曲线C 的右顶点为A ，过点A 作直线，与C 的左支分别交于M ，N 两点，且，，为垂足.（i ）证明：直线恒过定点P ，并求出点P 坐标[1,e]()(2)f x a x ≤+n 24n n S a =-{}n nS n T //PB AEC 2AB AD ==4AP =ADE ACE 2()ln f x a x x =+2a =-()f x (1,)+∞4a =-()f x [1,e]x ∈{}n a n S {}n a n (-MA NA MA NA ⊥AD MN ⊥D MN答案以及解析1.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得，即.所以直线AB 的方程为，化简，得.2.答案：C解析：以D 为原点，以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，解得，由题可知，所以.故选：C3.答案：A解析：由题意可知：圆的圆心为点O ，半径为b ，，设椭圆E 的右焦点为，连接，因为，可知点Q 为的中点，且点O 为的中点，则，，因为Q 为切点，可知()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =12y =-31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=DA DC DD ' 1AD =()0,0,0D ()1,1,0B ()0,0,1D '()0,1,0C ()0,0,1DD '=()1,1,1D B =-' ()0,1,0DC = ()()0,0,11,1,1DP DD D P DD D B λλ'''=+=+=+-='(),,1λλλ-60PDC ∠=cos 60=︒=2210λλ+-=1λ=--1=-01λ≤≤1λ=222x y b +=c b >2F 2AF 2OA OF OQ +=AF 2FF 2//OQ AF 222AF OQ ==2222a AF a b -=-，则，解得4.答案：C解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以做曲线的切线的斜率切线为，则，整理得5.答案：A的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设点A ，在第一象限，设，则，上，所以，解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得或4.OQ AF ⊥2AF AF ⊥()()222222244b a b c a b +-==-23a b ==c a ====()01f x =()21f x x '=+()1,1()y f x =l ()113k f ='=():131l y x -=-:32l y x =-1x =()2122133f x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭21,39⎫⎪⎭()y f x =223k f ⎛⎫'== ⎪⎝⎭2l 2172:933l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭73y x =2x =219y -=()2,0()32y x =±320x y ±=)32x y +=3()2229x y -+=()2229x y -+=()220y px p =>x ()()1111,0,0A x y x y >>()11,B x y -12y =1y =)2229x y -+=()21289x -+=11x =(1,A (3,A (1,A 82p =4p =(3,A 86p =p =故选：A.6.答案：B解析：因为，当时，，即，所以是以-1为首项，1，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.7.答案：C解析：由得，即时，因，所以，即，因为，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时，又因为为偶函数，故.故选：C 8.答案：D解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，其焦点为，渐近线为.由题意，设（故A选项可排除），:1C x=≥()2211x y x-=≥221x y-=)F y x=±(:l y k x=*(1)()n nna S n n n=+-∈N2n≥1()(1)n n n nna n S S S n n-=-=+-1(1)(1)n nn S nS n n---=-11nSn--=-11a==-nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭112n n=-+-=-(2)nS n n=-2n≥()11(3)nS n n-=--()()121(3)23nn na S S n n n n n-==----=--1n=23na n=-()()()1123n nn nb a n=-=--{}n b(11)(35)...(9597)99++-+++-+-2259949=⨯-=-()()e xf xf x-+'=()()e e1x x xf x f+'=()e xf x'⎡⎤=⎣⎦)= 0x=()0f0=()e xf x x-=()()2e1ex f x-<2e xe e ex xx x--<-()e ex xx x x-=-()e xg x x x--=-+(x()e e e ex x x xg x x x--'=++-0x≥e e0x xx x-+≥e e0x x--≥()e e ex x xg x x x-'=++e0x--≥()g x[)0,+∞()11e eg-=-0x≥()e xg x x=-e exx-<)0,1()g x()eg x<-)1,1-联立得，，所以，，解得.故选：D.9.答案：BD解析：对选项A ：，即，圆心为，半径为，A 错误；对选项B ：在圆上，则和圆心均在x 轴上，故切线与x 轴垂直，为，B 正确；对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，故此时斜率最大为，C 错误；(,y k xx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩()22221210k x x k --++=()2Δ410k =+>A B x x +=A B x x =B x -===2A B N x x x +==N MN x =-==(2k =±+2220x y x +-=22(1)1x y -+=(1,0)1r =(2,0)(2,0)2x =1yx +(,)x y (1,0)A -AB ||2AC =||1BC =AB BC ⊥tan 30︒=对选项D ：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D 正确.故选：BD.10.答案：BC解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；为递减数列，C 正确；，D 错误，故选：BC.11.答案：ACD解析：对A ，对求导，，令，即，解得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在处取得最小值，即，所以，A 选项正确.对B ，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B 选项错误.对C ，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确.对D ，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D 选项正确.故选：ACD22x y +(,)x y 2(1)4r +={}n a ()177477422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+1=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11(2)(3)2n n n ==-+++11n n a a +⎧⎨⎩11114457+-++ 111583824-=-=e ()x x f x =-)1(e x f x =-'()0f x '=e x -１=00x =0x <()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x ()f x 0x =(0)1f =()min 1f x =(,0)-∞()f x (0,)+∞()f x ()()000e 010e 10.f f '=-==-=，()0,11y =0,0a b b a =->=-<()e ,()()e a a f a a f b f a a -=-=-=+()()f a f b -=e (e )e e 2a a a a a a a ----+=--()e e 2x x g x x -=--()e e 220x x g x -=+-'≥-=()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=()()0f a f b ->()()f a f b >12.答案：512解析：，，，，则得，或者，，公比q 为整数，，，，解得，即，故答案为：512.解析：设正方体中棱长为3，以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角的余弦值解析：设动点，则.又，动点P 的轨迹E的方.15.答案：（1）47512a a ⋅=- 38124a a +=3847512a a a a ∴⋅=⋅=-38124a a +=34a =-8128a =3128a =44a =- 34a ∴=-8128a =54128q ∴-=2q =-22108128(2)1284512a a q ==⨯-=⨯=1111ABCD A B C D -DA DC 1DD ()0,0,0D ()0,1,3Q ()3,3,0B ()3,2,3P ()0,1,3BP =- ()0,1,3DQ =BPBP DQ BP DQθ⋅===⋅BP DQ 213y =(),P x y ()()()4,,3,0,1,MP x y MN PN x y =-=-=--MN MP ⋅ ()34x ∴--=224x y +=213y +=∴23y +=213y +=()()222125x y +++=（2）最小值为.解析：（1）圆M 的半径，圆M 的方程为.（2）直线l 的方程为，，令解得：，定点Q 的坐标为.，点Q 在圆M 的内部，故直线l 恒与圆M 相交.又圆心M 到直线l 的距离l 被圆M 截得的弦长为当d 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为.16.答案：(1)证明见解析；解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，因为四边形为正方形，则O 为的中点，因为E 是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，四边形为正方形，以A 为坐标原点，分别以、、所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，0= 5r ==∴()()222125x y +++= 0x my m ++=(1)0x m y ∴++=010x y =⎧⎨+=⎩01x y =⎧⎨=-⎩∴()0,1-()()220211425++-+=< ∴2d ≤∴=0=BD AC BD O = OE ABCD BD PD //EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC PA ⊥ABCD ABCD AB AD AP因为，，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又为平面的一个法向量，则所以，平面与平面.17.答案：(1)答案见解析(2)当有最小值为，当时，函数有最大值为(3)解析：(1)由题可知函数的定义域，因为，所以，所以令解得，所以在上是增函数(2)因为，所以，所以2AB AD ==4AP =()0,0,0A ()2,0,0B ()0,0,4P ()0,2,0D ()0,1,2E ()2,2,0C AEC (),,m x y z = ()0,1,2AE = ()2,2,0AC = 20220m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1z =()2,2,1m =- ()1,0,0n = ADE 2cos ,31m n m n m n ⋅===⋅⨯ ADE ACE x =()f x 22ln 2f =-e x =()f x 2(e)e 4f =-[)1,-+∞(0,)+∞2a =-2()2ln f x x x =-+2()2f x x x '=-+=()0f x '>1x >()f x (1,)+∞4a =-2()4ln f x x x =-+4()2f x x x '=-+=令解得解得所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.(3)由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以即存在时，令令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数a的取值范围是.18.答案：(1)(2)答案见解析解析：(1)，当时，，两式相减，()0f x'>()0f x'<()f x)+∞⎡⎣x=22ln2f=-2(e)e41f=->()f x()(2)f x a x≤+x>0x<<()f x⎤⎦()f x(1)1f=ex=2(e)e4f=-2(ln2)a x x a x≤++()2ln2a x x x x-≤-[1,e]x∈1,ln ln e1x x≥≤=ln e lnx x≥≥1x=ln0x= lnx x>[1,e]x∈a≥[1,e]x∈a≥()g x=()g x'=()22lnh x x x=+-22()1xh xx x-'=-=2()0xh xx-'=>2ex<≤2()0xh xx-'=<12x≤< ()h x[)1,2(]2,e()(2)2(2ln2)0h x h≥=->[1,e]x∈()2(1)(22ln)()0lnx x xg xx x-+-'=≥-min()(1)1g x g==-[)1,-+∞12n+24n nS a=-∴2n≥1124n nS a--=-得，整理得，即时，，又当时，，解得，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，．(2)由(1)知，，令，易知，，设数列的前n 项和为，则，，由，得，即．（2）见解析解析：（1）由题意，双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为n K 456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ()()413332122212812n n n n K n n -++-∴=+-⋅=-⋅+-()112424n n n n S S a a ---=---12n n a a -=2n ≥12n n a a -=1n =11124S a a ==-14a =∴{}n a 11422n n n a -+∴=⨯=1222424n n n S ++=⨯-=-224n n nS n n +∴=⋅-22,4n n n b n c n +=⋅=-()()1214212n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ {}n b 34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①-①②()4133332122222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--()()()32112218n n n T K n n n n n +∴=-+=-⋅-++2116y =(-可得，解得，.（2）证明：（i ）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，，即，设，，由韦达定理可得.因为，可得，即，即，整理得，即，即，222c c e a b c a ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩2,4a b ==2116y -=()2,0A MN MN y kx m =+221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242160k x kmx m ----=()()2222444160k m k m ∆=+-+>22416k m -<()11,M x y ()22,N x y 122212224,164km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩MA ⊥2212y x =--()()1212220y y x x +--=()121212240y y x x x x +-++=()()()121212240kx m kx m x x x x +++-++=()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=()()22222162124044m km k mk m k k +++-++=--2234200m km k --=可得，解得将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M 点坐标为，所以（舍）或此时过定点，综上可知，直线恒过定点（ii ）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，所以存在定点Q 为.()()23100m k m k +-=2m km =-=2m k =-()2y kx m y k x =+⇒=-MN ()2,0A m =103y kx m y k x ⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x t =MA NA ⊥AMN (,t 22342002t t t t =-⇒+-=⇒=t =MN 10,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 10,0,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭AD MN ⊥AP 12AP =2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2019-2020学年浙江省金华市数学高二下期末预测试题含解析
2019-2020学年浙江省金华市数学高二(下)期末预测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．5(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．100B ．80C ．60D ．402．已知集合{1,2,3,4}M =，{}|28xN x =≤， 则M N ⋂＝（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2,3,4}3． “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ） 2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为 A ．9(0,]5B ．3(0,] C ．5(0,] D ．13(,]3 5．已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)＝x 2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝x 2＋8x B ．f(x)＝x 2－8x C ．f(x)＝x 2＋2x D ．f(x)＝x 2－2x6．展开式中的常数项为（ ）A ．第5项B ．第5项或第6项C ．第6项D ．不存在7．已知4cos()cos sin()sin 5αββαββ+++=，α是第四象限角，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．7-B ．17-C ．17D ．78．命题：x R ∀∈，sin 2x <的否定是（） A ．0x R ∃∈，0sin 2x < B ．x R ∀∈，sin 2x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 2x ≥D ．x R ∀∉，sin 2x >9． “指数函数是增函数，函数()2x f x =是指数函数，所以函数()2x f x =是增函数”，以上推理（ ） A ．大前提不正确B ．小前提不正确C ．结论不正确D ．正确10．已知集合U R =，2{|6}A x Z x =∈<，()2{|20}B x xx =-<，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{0,1，2}B ．{}0,2C ．{}1,2D ．{}211．已知函数21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)e -∞-B ．(,0)-∞C ．(,0)e -D ．[0,)+∞12．已知双曲线的焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 是双曲线右支上的一点，22PF c =，12PF F ∆的23c ，则该双曲线的离心率为（ ） A 7B 31+ C 3D 23二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．把一个大金属球表面涂漆，共需2.4公斤油漆，若把这个大金属球融化成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂漆，需要这种油漆_______公斤.14．已知向量,a b rr 满足：43a b +=r r ，232a b -=r r ，当7a b -r r 取最大值时，a b=r r ______．15．曲线的参数方程2232,1x t t R y t ⎧=+∈⎨=-⎩，化成普通方程为_____________. 16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则(2018)(2019)f f +的值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设a 为实数，函数()()2xf x e x a =--，x ∈R（Ⅰ）若1a =-求()f x 的极小值.（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.18．为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+=+.参考数据：19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，02πα<<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值.20．（6分）已知x 与y 之间的数据如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程； （2）完成下面的残差表：$i i y y -并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若20.9R >，则认为回归效果良好）.附：121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$1221ni ii nii x y nx yxnx==-=-∑∑，a y bx =-$$，$22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑，$521()0.651iii y y =-=∑.21．（6分）如图，三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，25CA CB ==，22AB =，4PC =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）求二面角P BC A --的余弦值． 22．（8分）已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值； （2）求()f x 的单调区间.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】由二项式项的公式，直接得出x 2的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项． 【详解】因为5(12)x +的展开式中含2x 的项为2225C (2)40x x =,故2x 的系数为40.故选：D 【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x 2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练． 2．C 【解析】 【分析】先计算集合N ，再计算M N ⋂得到答案. 【详解】{}{}|28|3x N x x x =≤=≤{}1,2,3,4M = {}1,2,3M N ⋂=故答案选C 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题. 3．B 【解析】 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n +1）×2n ﹣2， 第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4．C 【解析】 【分析】根据椭圆对称性可证得四边形AFBF '为平行四边形，根据椭圆定义可求得3a =；利用点到直线距离构造不等式可求得2b ≥，根据222a b c =+可求得c 的范围，进而得到离心率的范围. 【详解】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则OA OB = 又OF OF '= ∴四边形AFBF '为平行四边形AF BF '∴=又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥22292a c c -=-≥ 05c ∴<≤ 53c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦本题正确选项：C 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆的定义、点到直线距离公式的应用等知识. 5．B 【解析】 【分析】求函数()f x 在2x =处的导数即可求解. 【详解】∵()()22'2f x x xf ＝＋，()()’22'2f x x f ∴＝＋．令2x =，得()()’242'2f f ＝＋，()’24f ∴-＝.故()28f x x x -＝.【点睛】本题主要考查导数定义的运用.求解()f x 在2x =处的导数是解题的关键. 6．C 【解析】 【分析】 根据题意，写出展开式中的通项为，令的指数为0，可得的值，由项数与的关系，可得答案． 【详解】 解：根据题意，展开式中的通项为，令，可得；则其常数项为第项；故选：． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与的关系,属于基础题． 7．A 【解析】 【分析】通过和差公式变形，然后可直接得到答案. 【详解】根据题意()()4cos cos sin sin cos 5αββαββα+++==，α是第四象限角，故 3tan 4α=-，而tan 1tan()741tan πααα--==-+，故答案为A. 【点睛】本题主要考查和差公式的运用，难度不大. 8．C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可进行选择.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故可得x R ∀∈，sin 2x <的否定是0x R ∃∈，0sin 2x ≥. 故选：C. 【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题. 9．A 【解析】分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断.详解：由三段论可知“指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指数函数(01)xy a a a =>≠且，当a>1时，指数函数是增函数，当0＜a ＜1时，指数函数是减函数.所以大前提不正确，故答案为：A.点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 10．B 【解析】 【分析】图中阴影部分表示的集合为()U A C B ⋂，解出集合A B ，，再进行集合运算即可 【详解】{}{}2|621012A x Z x =∈<=--，，，，()()()2{|20}002B x x x =-<=-∞⋃，，{})02U C B ⎡=⋃+∞⎣，图中阴影部分表示的集合为(){}02U A C B ⋂=，故选B 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合A 的限制条件． 11．A 【解析】 【分析】先对()f x 进行求导，然后分别讨论0a …和0<a 时的极值点情况，随后得到答案. 【详解】由21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈得 ()()2()()=x x x x f x e a e e ae e a e e '=+--+-，当0a …时，0x e a +>，由()0f x '>，得x>1，由()0f x '<，得x<1.所以()f x 在x=1取得极小值，不符合；当0<a 时，令()0f x '=，得x=1或ln()a -，为使()f x 在1x =时取得极大值，则有ln()1a ->，所以a e <-，所以选A. 【点睛】本题主要考查函数极值点中含参问题，意在考查学生的分析能力和计算能力，对学生的分类讨论思想要求较高，难度较大. 12．B 【解析】 【分析】由12PF F ∆的面积为23c ，可得2123PF F π∠=，再由余弦定理求出123PF c =，根据双曲线的定义可得2232a c c =-，从而可得结论. 【详解】因为12PF F ∆23c ， 1222F F PF c ==， 所以2212221211sin 2sin 32F F PF PF F c PF F c ⨯⨯∠=∠=， 可得212132sin 3PF F PF F π∠=⇒∠=， 22114422232PF c c c c c =++⨯⨯⨯=， 122232PF PF a c c -==-，所以离心率3131c e a +===-，故选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．9.6 【解析】 【分析】根据大金属球和64个小金属球体积相同，求半径的比值，再求大金属球和64个小金属球的表面积比值，最后求油漆数量. 【详解】Q33446433R r ππ=⋅ ∴4R r =，Q 214S R π=，2264.4S r π=Q∴2221644S r S R=⋅=， ∴ 2.449.6m kg =⨯=.故答案为：9.6 【点睛】本题考查球的体积和表面积的实际应用问题，重点考查表面积和体积公式，关键是利用前后体积相等求半径的比值，属于基础题型. 14．18【解析】 【分析】根据向量模的性质可知当23a b -r r 与4r r a b +反向时，7a b -r r 取最大值，根据模长的比例关系可得()()32324a b a b -=-+r r r r，整理可求得结果.【详解】()()72342345a b a b a b a b a b -=--+≤-++=r r r r r r r r rr当且仅当23a b -r r与4rra b +反向时取等号又43223a b a b +=-r r r r()()32324a b a b ∴-=-+r r r r整理得：8a b =r r18a b ∴=r r本题正确结果：18【点睛】 本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.15．350(2)x y x --=≥．【解析】【分析】用代入法或消元法可化参数方程为普通方程．【详解】在22321x t y t ⎧=+⎨=-⎩中，由21y t =-得21t y =+，代入232x t =+得3(1)2x y =++，整理得350x y --=．又2322x t =+≥，∴所求普通方程为350(2)x y x --=≥．故答案为：350(2)x y x --=≥．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，在转化时要注意变量的取值范围有没有发生变化，如果有变化必须加上变量的范围，如本题中2322x t =+≥，如果答案是350x y --=，则其为直线，如果答案是350(2)x y x --=≥，则其为射线，图形发生了变化．16．3-【解析】【分析】根据函数奇偶性和()()2f x f x +=-可推导得到函数为周期函数，周期为4；将()()20182019f f +变为()()23f f +，根据奇函数可得()()200f f ==，且()()()3113f f f =-=-=-可求得结果.【详解】()f x Q 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-，又()()2f x f x +=-()()2f x f x ∴+=- ()()()42f x f x f x ∴+=-+=()f x ∴是周期为4的周期函数()()()()()()20182019450424504323f f f f f f ∴+=⨯++⨯+=+又()()200f f ==，()()()3113f f f =-=-=-()()201820193f f ∴+=-本题正确结果：3-【点睛】本题考查利用函数的周期性求解函数值的问题，关键是能够利用函数的奇偶性和对称性求解得到函数的周期，从而将所求函数值变为已知的函数值.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（Ⅰ）2ln2-；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）将1a =-代入()()2xf x e x a =--，求导，得出极小值点，代入即可求出答案。
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宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）2．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．103．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．224．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．20,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,2⎡⎤⎢⎥⎣ 5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A ．5种B ．4种C ．9种D ．20种7．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2 B ．－2C ．2D ．48．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．19．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ） A ．0. 36B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 7510．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。
小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A ．17B ．13C ．37D ．31012．曲线()cos sin cos xf x x x =-在点33,44M f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．12 B ．12-C ．22-D ．22二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等n 个游戏，并且各自独立地从m 个游戏中任选()n n m ≤个进行游玩，每个游戏需要1小时，则最后1小时他们同在一个游戏游玩的概率是__________．14．若复数满足，则z 的模等于______．15．若()f x 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-，对于下列命题：①()20f =；②()f x 是以4为周期的周期函数；③()f x 的图像关于0x =对称；④(2)()f x f x +=-.其中正确命题的序号为_________16．命题“1x ∃<使得21x ≥”是______命题. （选填“真”或“假”） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示： 支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金 人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率. （1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率； （2）记为三人中使用支付宝支付的人数，求的分布列及数学期望.18．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求: （1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.19．（6分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算x ，y 的值；（2）若规定考试成绩在[]120150,为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率； （3）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，由以上统计数据填写下面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20．（6分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.21．（6分）设,a b ∈R ，已知1x ，2x 为关于x 的二次方程220x ax b ++=两个不同的虚根， （1）若2b =，求实数a 的取值范围； （2）若122x x -=，12211x x x x +=，求实数a ，b 的值. 22．（8分）集合A={x|-3≤x ＜5}，B={x|-2＜x ＜7} （1）求A∩B, A ∪B （2）（∁R A ）∩B ．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 2．B 【解析】 【分析】先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数. 【详解】每一个小组的人数为，所以编号落在[101,500]的人数为.故选：B 【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．B【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】的展开式的第7项﹣9，令 ＝0，解得n ＝1．故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．A 【解析】 【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m 2﹣m+2≤2，即可得出结论． 【详解】易知221m m -+>，所以()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1f =.由题意可知，当()2222f x x x =-+=，∴0x =或2，22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A. 【点睛】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键． 5．A 【解析】 【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）． 详解：模拟程序的运行，可得12,4,1,18,8a b n a b =====， 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2,27,16n a b ===；不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，813,,322n a b ===； 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2434,,644n a b ===；满足结束循环的条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6．C 【解析】 【分析】分成两类方法相加. 【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C. 【点睛】本题考查分类加法计数原理. 7．C 【解析】 【分析】根据等比数列性质得3a ，7a ，再根据等比数列性质求得5a . 【详解】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，即以371,4a a ==， 因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =选C. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 8．C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．C 【解析】 【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率． 【详解】乙至少赢甲—局的概率为10.70.70.51P =-⨯=. 故选C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．B 【解析】 【分析】由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'0()0h x =，由此可判断极值情况. 【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又''000()()()'0h x g x f x =-=，则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解. 11．B 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P（A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值． 【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”， 事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P （A ）22342737C C C +==， 23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12．B 【解析】 【分析】求导后代入即可得出答案。