7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-高一数学新教材讲练导学案(人教A版2019必修第二册)

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

导学案

【学习目标】

1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则

2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

【自主学习】

知识点1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律

复数的和z 1＋z 2与向量OZ 1→

＋OZ 2→＝OZ →

的坐标对应

复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→

－OZ 2→＝Z 2Z 1→

的坐标对应

z ＋z ＝z ＋z

【合作探究】

探究一复数加、减法的运算

【例1】(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；

(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).

解(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.

(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.

归纳总结：

【练习1】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i).

解方法一原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2 012＋2 013)i＝－1 006＋1 006i.

方法二(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i，

(3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，…，

(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i.

将上列1 006个式子累加可得

原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i.

探究二复数加、减法的几何意义

【例2】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)AO →所表示的复数，BC →

所表示的复数； (2)对角线CA →

所表示的复数；

(3)对角线OB →所表示的复数及OB →

的长度. 解 (1)因为AO →

＝0－(3＋2i)＝－3－2i ， 所以AO →

所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，

所以BC →

所表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →

，

所以CA →

所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →

，

所以OB →

所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 所以|OB →

|＝12＋62＝37.

归纳总结：

【练习2】满足条件|z ＋1－i|＝|4－3i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一个圆 D.一个椭圆

【答案】 C

解析 根据复数减法的几何意义，|z ＋1－i|表示复平面内复数z 对应的点Z 到点(－1,1)的距离，而|4－3i|表示复数4－3i 的模，等于5，故满足|z ＋1－i|＝5的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，5为半径的圆.

探究三 复数加、减法的综合应用

【例3】已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.

解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1，② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 方法二 设O 为坐标原点，

z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，

∴△OAB 是边长为1的正三角形， 又以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，

∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →

|

＝ (|OA →|2＋|AC →|2＋2|OA →||AC →

|cos 60°)＝ 3.

归纳总结：

【练习3】已知|z 1|＝|z 2|＝1，z 1＋z 2＝12＋3

2

i ，求复数z 1，z 2及|z 1－z 2|.

解 由于|z 1＋z 2|＝⎪⎪⎪⎪12＋32i ＝1，设z 1，z 2，z 1＋z 2对应的向量分别为OA →，OB →，OC →，则因|OA

→

|＝|OB →|＝|OC →

|＝1，故A ，B ，C 三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得

cos ∠AOC ＝|OA →|2＋|OC →|2－|AC →

|22|OA →||OC →

|

＝1

2，

故∠AOC ＝60°，所以平行四边形OACB 为菱形，且△BOC ，△COA 都是等边三角形，即∠AOB ＝120°.

又∵OC →

与x 轴正半轴的夹角为60°，故点A 在x 轴上，即A (1,0). 而x B ＝|OB →|cos 120°＝－12，y B ＝|OB →

|sin 120°＝32，

∴B 的坐标为⎝⎛⎭

⎫－12，3

2.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1，z 2＝－12＋3

2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧

z 1＝－12＋32i ，

z 2＝1. 方法一 |z 1－z 2|＝⎪⎪⎪

⎪32－3

2i ＝ 3.

方法二 由结论|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)知，|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2－|z 1＋z 2|2＝3， ∴|z 1－z 2|＝ 3.

方法三 由余弦定理可得

|AB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →

|cos 120°＝3，